1. Как хорошо известно, интегралы системы находятся в тесной связи с ее группой симметрий.

Для интегрируемых систем соответствующая группа абелева, но в последующем мы будем изучать общий случай произвольной некоммутативной группы. Хороший пример представляется группой $S O(3)$ : гамильтонова система в $\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}$, инвариантная относительно вращений,

может быть сведена к системе только на радиальную переменную, т.е. к системе с одной степенью свободы.

Как подобное сведение может быть осуществлено — предмет рассмотрения этого параграфа. Существуют превосходные изложения этих вопросов (см. [2], [16]-[18]). Поэтому мы опишем этот подход, опустив доказательства и уделяя основное внимание примерам, иллюстрирующим его.
ПримеР 1. Пусть $H(x, y)$ — гамильтониан в $\mathbb{R}^{2 n}$, инвариантный относительно сдвигов $x_{k} \rightarrow x_{k}+s, y_{k} \rightarrow y_{k}$ т.е. удовлетворяющий уравнению
\[
\sum_{k=1}^{n} \partial_{x_{k}} H=0 .
\]

Тогда, очевидно,
\[
F=\sum_{k=1}^{n} y_{k}
\]

есть интеграл, порождающий описанную выше группу трансляций и
\[
\{F, H\}=0 .
\]

Такая система может быть сведена к системе с $n-1$ степенями свободы, например, введением относительных координат
\[
\begin{array}{ll}
\xi_{k}=x_{k}-x_{n}, & \eta_{k}=y_{k}, \quad(k=1, \ldots, n-1), \\
\xi_{n}=x_{n}, & \eta_{n}=y_{1}+\ldots+y_{n} .
\end{array}
\]

Это каноническое преобразование, после которого интеграл совпадает с $\eta_{n}$, так что новый гамильтониан
\[
\Gamma(\xi, \eta)=H(x, y)
\]

не зависит от $\xi_{n}$. Таким образом, если мы фиксируем $\eta_{n}=c$, система
\[
\dot{\xi}_{k}=\Gamma_{\eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=-\Gamma_{\xi_{k}} \quad(k \leqslant n-1)
\]

может быть решена при $\eta_{n}=c$. После этого остается лишь решить уравнение для $\xi_{n}$ :
\[
\dot{\xi}_{n}=\Gamma_{\eta_{n}}
\]

Итак, один интеграл позволяет нам понизить размерность фазового пространства на 2: одна размерность пропадает при фиксировании

значения интеграла $F=c$, а вторая — за счет игнорирования циклической переменной $\xi_{n}=x_{n}$ вдоль орбиты действия группы.

Этот пример довольно типичен для интегралов в инволюции: если система допускает $r$ коммутирующих интегралов, то ее размерность можно понизить на $2 r$, сведя ее к системе с $n-r$ степенями свободы. Однако, если интегралы не находятся в инволюции, редукция устроена более сложно.
ПРИмеР 2. Пусть $H(x, y)=\frac{1}{2}|y|^{2}+V(|x|)$ гамильтониан в $\mathbb{R}^{6}$, инвариантный относительно ортогональной группы. $S O(3): x \rightarrow R x$, $y \rightarrow R y$, где $R$ принадлежит $S O(3)$. Эта группа трехмерна, а ее действие порождено векторными полями
\[
\dot{x}=A x, \quad \dot{y}=A y,
\]

где
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & 0 & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & 0
\end{array}\right)=a_{1} I_{1}+a_{2} I_{2}+a_{3} I_{3} .
\]

Эти векторные поля гамильтоновы с гамильтонианом
\[
H=\langle A x, y\rangle=\langle a, x \wedge y\rangle
\]

где $a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), x \wedge y$ — векторное произведение $x$ и $y$. Таким образом, компоненты $F_{1}=x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, F_{2}=x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, F_{3}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}$ представляют собой интегралы движения, определяя вектор кинетического момента. Так как число интегралов равно 3 , можно было бы ожидать понижения размерности фазового пространства на 6 , однако в данном случае интегралы не коммутируют и приведенное фазовое пространство имеет размерность 2.

Поступим следующим образом: фиксируем вектор кинетического момента
\[
x \wedge y=\mu,
\]

где $\mu
eq 0$. Мы можем предполагать, что $\mu=\lambda e_{3}$, где $e_{3}=(0,0,1)$, $\lambda>0$. Тогда из равенств
\[
\begin{array}{l}
x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}=0, \\
x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}=0
\end{array}
\]

следует, что $x_{3}=y_{3}=0$ и задача сведена к системе на $\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2}$, где мы имеем квадрику $x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=\lambda$. Эта задача все еще инвариантна относительно вращении из группы $S O(2)$, и мы можем использовать полярные координаты $r, \varphi$ и сопряженные переменные $p_{r}, p_{\varphi}$. Они могут быть определены каноническим преобразованием
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=r \cos \varphi=W_{y_{1}}, \\
x_{2}=r \sin \varphi=W_{y_{2}},
\end{array}
\]

где $W=r\left(y_{1} \cos \varphi+y_{2} \sin \varphi\right)$.
Тогда $p_{r}=W_{r}, p_{\varphi}=W_{\varphi}$ дают
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=p_{r} \cos \varphi-\frac{p_{\varphi}}{r} \sin \varphi, \\
y_{2}=p_{r} \sin \varphi+\frac{p_{\varphi}}{r} \cos \varphi
\end{array}
\]

и $x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=\lambda$.
Таким образом, $p_{\varphi}$ есть интеграл, а $H$ не зависит от $\varphi$.
Приведенный гамильтониан имеет вид
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{\lambda^{2}}{r^{2}}\right)+V(r),
\]

а зависимость $\varphi$ от времени получается отдельно из уравнения
\[
\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{\lambda}{r^{2}} .
\]

Этот тип редукций был известен Якоби, который применил его к проблеме 3 тел в $\mathbb{R}^{3}$, используя инвариантность этой системы относительно группы преобразований Галилея, содержащей группу вращений $S O(3)$ как подгруппу. Исключая интегралы центра масс и кинетического момента, можно привести эту систему с 9 степенями свободы к системе с 4 степенями свободы, т.е. понизить размерность фазового пространства с 18 до 8 . Используя вдобавок сохранение энергии, получаем векторное поле на семимерном многообразии.

2. Отображение момента. Мы опишем обобщение этой редукции в абстрактной форме. Рассмотрим многообразие $M$ с 1-формой $\theta$, для которой $\omega=d \theta$ невырождена, так что $(M, \omega)$ — симплектическое многообразие. Иногда в этом случае используют также выражение: точное симплектическое многообразие.

Примером такого многообразия является кокасательное расслоение $M=T^{*} N$ многообразия $N$ с естественной 1-формой.

Пусть $G$ — группа Ли. Мы говорим о ее симплектическом действии $\left(\varphi_{g}\right)$, если для каждого $g \in G$ существует диффеоморфизм $\varphi_{g}: M \rightarrow M$ такой, что
\[
\varphi_{g} \circ \varphi_{h}=\varphi_{g h}, \quad \varphi_{e}=\mathrm{Id}
\]

и $\varphi_{g}$ симплектичен, т.е. $\varphi_{g}^{*} \omega=\omega$. Если, более того, $\varphi_{g}^{*} \theta=\theta$, мы говорим о точном симплектическом действии группы.

Для $G=\mathbb{R}$ это понятие совпадает с понятием симплектического потока. Каждый такой поток порождается гамильтоновым векторным полем $X$, для которого форма
\[
X\lrcorner \omega
\]

замкнута.
Мы будем предполагать, что эта 1-форма даже точна:
\[
X\lrcorner \omega=d F,
\]
$F$ — гамильтониан этого векторного поля. Например, в точном симплектическом случае мы можем определить $F$ как
\[
F=X\lrcorner \theta .
\]

Если $\mathcal{A}$ — алгебра Ли группы $G$ и $a \in \mathcal{A}, \exp (t a)=g(t) \in G$, то для любой функции на $M$ соотношение
\[
\left.\frac{d}{d t} f\left(\varphi_{g}\right)\right|_{t=0}=X f
\]

определяет симплектическое векторное поле на $M$. Это векторное поле линейно зависит от $a$ из $\mathcal{A}$. Если $\varphi_{g}$, а следовательно и $X$, точно симплектичны, то мы можем определить соответствующий гамильтониан $F=F(p, a)$ формулой
\[
F=X\lrcorner \theta .
\]

Этот гамильтониан линейно зависит от $a$ из $\mathcal{A}$ и поэтому определяет элемент $\psi$ из $\mathcal{A}^{*}$ в дуальном пространстве к алгебре Ли:
\[
F(p, a)=\langle\psi(p), a\rangle .
\]

Отображение $\psi: M \rightarrow \mathcal{A}^{*}$, таким образом определенное, называется отображением момента (Сурио).

Эти понятия легко иллюстрируются и мотивируются примером 2 , где $G=S O(3), \mathcal{A}=\mathbb{R}^{3}$ с $[a, b]=a \wedge b$. Действие группы на точном симплектическом пространстве $(M, \theta)=\left(R^{6}, \sum_{i=1}^{3} y_{i} d x_{i}\right)$ задается формулой
\[
\varphi_{R}(x, y)=(R x, R y), \quad R \in S O(3),
\]

а соответствующее векторное поле для $R=e^{t A}, A x=a \wedge x$, получается дифференцированием как
\[
X=a_{1}\left(x_{2} \partial_{x_{3}}-x_{3} \partial_{x_{2}}\right)+\text { циклические перестановки. }
\]

Это векторное поле гамильтоново с гамильтонианом
\[
\begin{array}{c}
F=\sum_{j=1}^{3} a_{j} F_{j}, \quad F_{1}=x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, \\
F_{2}=x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, \quad F_{3}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1} .
\end{array}
\]

Отображение момента $\psi: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ переводит $p=(x, y)$ в вектор кинетического момента $\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right.$ ). Если гамильтониан $H_{0}$ инвариантен относительно действия группы $\varphi_{g}$, т. е. $H_{0} \circ \varphi_{g}=H_{0}$, то соответствующий поток $\varphi_{0}^{t}$, порожденный $H_{0}$, оставляет $\psi$ неизменным, т. е.
\[
\psi \circ \varphi_{0}^{t}=\psi \text {. }
\]

Это обобщает тот факт, что вектор кинетического момента есть интеграл. Доказательство вышеприведенного утверждения проводится напрямик (см. [17]).

3. Коприсоединенное представление группы. Важным примером действия группы, не связанного с симплектической структурой, является присоединенное представление группы Ли $G$, которое задается формулой
\[
\varphi_{g}: x \rightarrow g x g^{-1}=L_{g} R_{g^{-1}} x .
\]

Здесь $L_{g}, R_{g}$ обозначают левый и правый сдвиги. Это отображение переводит единичный элемент е группы в себя, его линеаризация в точке $x=e$ определяется как
\[
\operatorname{Ad}(g)=\left.d L_{g} d R_{g^{-1}}\right|_{x=e} .
\]

Последнее отображение переводит $\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}$ и удовлетворяет соотношению
\[
\operatorname{Ad}\left(g_{1} g_{2}\right)=\operatorname{Ad}\left(g_{1}\right) \operatorname{Ad}\left(g_{2}\right) .
\]

Это и есть присоединенное представление $G$. Индуцированное отображение $\mathrm{Ad}^{*}\left(g^{-1}\right)$ на $\mathcal{A}^{*}$, дуальном к $\mathcal{A}$, называется коприсоединенным представлением.

Для фиксированного $\mu \in \mathcal{A}^{*}$ орбита коприсоединенного представления $O(\mu)$ определяется как
\[
O(\mu)=\left\{\left(\mathrm{Ad}^{*} g\right) \mu \mid g \in G\right\} .
\]

Основной результат, принадлежащий Кириллову и Костанту, состоит в том, что эти орбиты $O(\mu)$ несут симплектическую структуру. Мы проиллюстрируем этот факт одним примером, отослав за полным исследованием к [19].
Пусть $G=G L(n, \mathbb{R})$; тогда, как легко видеть,
\[
\operatorname{Ad}(T): A \rightarrow T A T^{-1}, \quad \text { где } \quad T \in G, \quad A \in \mathcal{A} .
\]

Мы можем отождествить $\mathcal{A}^{*}$ с $\mathcal{A}$, представляя любой линейный функционал на $\mathcal{A}$ в виде $\operatorname{tr}(A B)$, где $B \in \mathcal{A}$. Таким образом, мы сможем отождествить присоединенное и коприсоединенное представление.

В этом случае орбиты $O(\mu)$ — матрицы, подобные $\mu$. Если $\mu$ имеет различные собственные числа, то орбита состоит в точности из изоспектральных матриц.

Симплектическая структура определяется заданием 2-формы на касательном пространстве к многообразию
\[
\psi^{-1}(A)=\left\{T A T^{-1} \mid T \in G\right\} .
\]

Касательное пространство в $A$ задается следующим образом:
\[
T_{A} \psi^{-1}(A)=\{[B, A] \mid B \in A\} .
\]

Дифференциальная форма определяется формулой
\[
\omega\left(\left[B_{1}, A\right],\left[B_{2}, A\right]\right)=\operatorname{tr}\left(A\left[B_{1}, B_{2}\right]\right) .
\]

Можно проверить, что эта форма невырождена, кососимметрична и замкнута и, следовательно, определяет симплектическую структуру на $O(A)$.

Рассмотрим любые два действия группы $G$ :
\[
\varphi_{g}: M \rightarrow M, \quad \widetilde{\varphi}_{g}: \widetilde{M} \rightarrow \widetilde{M} .
\]

Отображение $\tau: M \rightarrow \widetilde{M}$ называется эквивариантным, если
\[
\tau \varphi_{g}=\widetilde{\varphi}_{g} \tau .
\]

Если $\varphi_{g}$ — точное симплектическое действие, то отображение момента $\psi: M \rightarrow \mathcal{A}^{*}$ эквивариантно по отношению к $\varphi_{g}: M \rightarrow M$ и коприсоединенному представлению $G$. (Эта теорема верна при более общих предположениях, это так не только для точно симплектического $\varphi_{g}$.)

Следовательно, образ множества $\left\{\varphi_{g}(p) \mid g \in G\right\}$ для фиксированного $p$ из $M$ при отображении момента $\psi$ совпадает с орбитой
\[
\left\{\operatorname{Ad}^{*}(g) \mu \mid g \in G\right\}, \quad \mu=\psi(p) .
\]

Стационарная подгруппа $G_{\mu}$ определяется как
\[
G_{\mu}=\left\{g \in G \mid \operatorname{Ad}^{*}(g) \mu=\mu\right\} .
\]

4. Приведенное фазовое пространство. Пусть $\varphi_{g}: M \rightarrow M-$ точное симплектическое действие группы $G$, рассмотрим отображение момента $\psi: M \rightarrow \mathcal{A}^{*}$ и для фиксированного $\mu \in \mathcal{A}^{*}$ множество
\[
\psi^{-1}(\mu)=\{p \in M \mid \psi(p)=\mu\} .
\]

Это подмножество $M$ с фиксированными значениями интегралов. В примере 2 оно состоит из тех положений, для которых вектор кинетического момента фиксирован. На этом множестве действует группа $G_{\mu}$, которая в данном примере состоит из вращений, оставляющих вектор кинетического момента $\mu$ на месте.

Если $\mu
eq 0$, это — одномерная группа вращений $S O(2)$. Исключая этот угол поворота, мы рассмотрим фактор-пространство $\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$, что соответствует игнорированию циклической координаты — угла поворота.

При соответствующих предположениях (например, если $\psi^{-1}(\mu)$ многообразие, $G_{\mu}$ компактна и действует на $\psi^{-1}(\mu)$ без неподвижных точек) введем приведенное фазовое пространство
\[
\widetilde{M}=\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu} .
\]

Таким образом, $\widetilde{M}$ — база расслоения
\[
\pi: \psi^{-1}(\mu) \rightarrow \widetilde{M}
\]

Это пространство $\widetilde{M}$ снова есть симплектическое многообразие, причем симплектическая структура задается 2 -формой $\widetilde{\omega}$, определяемой следующим образом. Пусть $j: \psi^{-1}(\mu) \rightarrow M$ — отображение вложения, $j^{*} \omega$ обозначает ограничение $\omega$ на $\psi^{-1}(\mu)$. Эта форма инвариантна относительно $G_{\mu}$, и поэтому определена форма $\widetilde{\omega}$, удовлетворяющая равенству
\[
\pi^{*} \widetilde{\omega}=j^{*} \omega .
\]

Другими словами, для $V_{1}, V_{2} \in T \psi^{-1}(\mu)$ положим $\widetilde{V}_{k}=(d \pi) V_{k}$, тогда
\[
\widetilde{\omega}\left(\widetilde{V}_{1}, \widetilde{V}_{2}\right)=\omega\left(V_{1}, V_{2}\right) .
\]

Более того, если $H$ — гамильтониан, инвариантный относительно $\varphi_{g}$, то приведенный поток задается гамильтонианом $\widetilde{H}$, определенным равенством
\[
\widetilde{H} \circ \pi=H \circ j .
\]

Другими словами, $H \circ j$ — ограничение $H$ на $\psi^{-1}(\mu)$ — инвариантно относительно $G_{\mu}$, и поэтому определена функция $\widetilde{H}$ на $\widetilde{M}$.

Подведем итог: если гамильтониан $H$ инвариантен относительно действия группы $\varphi_{g}$, то (при соответствующих предположениях) фазовое пространство может быть редуцировано к $\widetilde{M}=\psi^{-1}(\mu) / G_{\mu}$, которое представляет собой симплектическое многообразие, а приведенный гамильтониан $\widetilde{H}$ определяется ограничением $H$.

Мы не будем уточнять необходимых предположений, поскольку их выполнимость в примерах, которые мы будем рассматривать, может быть легко установлена.

5. Примеры. В качестве иллюстрации этой редукции можно рассмотреть примеры 1 и 2 , что предоставляется сделать читателю.
Пример 3. Рассмотрим действие группы $G=\mathbb{R}$
\[
(x, y) \rightarrow(x, y-s x)
\]

на $\mathbb{R}^{2 n}$, сохраняющее форму $\omega=d y \wedge d x$. Оно имеет гамильтониан
\[
\psi=\frac{1}{2}|x|^{2} .
\]

Для $\mu=\frac{1}{2}$ многообразие $\psi^{-1}(\mu)$ представляет собой единичную сферу $^{1}$, а стационарная подгруппа совпадает со всей $G=\mathbb{R}$. Для описания $\psi^{-1}(\mu) / G$ выберем в качестве начальной ( $s=0$ ) точку на прямой $y-s x$ с минимальным расстоянием от начала координат, т. е. положим $\langle x, y\rangle=0$. Таким образом,
\[
\psi^{-1}(\mu) / G \simeq\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2 n}, \quad|x|=1, \quad\langle x, y\rangle=0\right\},
\]

что представляет собой кокасательное расслоение единичной сферы. Можно проверить, что 2-форма $d y \wedge d x$ проектируется в каноническую 2 -форму на $T^{*} S^{n-1}$.
В качестве примера рассмотрим гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right),
\]

который инвариантен относительно указанного выше действия группы $G$.
Соответствующее векторное поле
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=|x|^{2} y-\langle x, y\rangle x, \\
\dot{y}=-|y|^{2} x+\langle x, y\rangle y
\end{array}
\]

при ограничении на $T^{*} S^{n-1}$ переходит в
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-|y|^{2} x
\]

или
\[
\ddot{x}=-|\dot{x}|^{2} x,
\]

что очевидным образом представляет собой геодезический поток на сфере.

Таким образом, геодезический поток представляется как приведенная система с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right)$. Его орбиты — большие круги на сфере.
Пример 4. Рассмотренный выше гамильтониан (*) инвариантен относительно действия группы $S L(2, \mathbb{R})$
\[
(x, y) \rightarrow(a x+b y, c x+d y), \quad a d-b c=1 .
\]

Ее алгебра Ли порождена гамильтонианами $|x|^{2},|y|^{2},\langle x, y\rangle$, мы рассмотрим приведенное пространство, соответствующее ограничениям
\[
|x|^{2}=1, \quad\langle x, y\rangle=0, \quad|y|^{2}=1,
\]

определяющим $\psi^{-1}(\mu)$ в этом случае.
Нужная нам стационарная подгруппа $G_{\mu}$ без труда определяется и имеет вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right) .
\]

Отметим, что $\psi^{-1}(\mu)$ — расслоение единичных касательных векторов к $S^{n-1}$, а орбиты $G_{\mu}$ — в точности геодезические на сфере. Таким образом, приведенное пространство представляет собой многообразие орбит геодезического потока на расслоении касательных единичных векторов. Приведенный поток в этом случае будет постоянным.

В следующем параграфе мы опишем более сложный пример фазового пространства, приведенного относительно коприсоединенного действия унитарной группы, продолженного на касательное расслоение алгебры Ли. Это приведет при соответствующем выборе $\mu$ к системе Калоджеро с потенциалом $q^{-2}$.

В действительности подобные конструкции применимы к цепочке Тода (соответствующая группа представлена верхнетреугольными матрицами и уравнению Кортевега-де Фриза, как это было недавно показано М. Адлером $[20]^{1}$ ).