1. Системы со связями. В следующих примерах мы ограничим гамильтонову систему
\[
\dot{x}=H_{y}, \quad \dot{y}=-H_{x},
\]

заданную в симплектическом пространстве $\left(R^{2 n}, \omega\right) \omega=\sum_{j=1}^{m} d y_{j} \wedge d x_{j}$, на симплектическое подмногообразие. Для наших целей будет достаточно описывать подмногообразие $M$ с помощью $2 r$ уравнений
\[
M: F_{1}(x, y)=\ldots=F_{2 r}(x, y)=0 .
\]

Если
\[
\operatorname{det}\left(\left\{F_{j}, F_{k}\right\}\right)
eq 0 \quad(j, k=1,2, \ldots, 2 r),
\]

то многообразие $M$ симплектическое с 2-формой $\left.\omega\right|_{M}$, ограниченной на $T M$.

Векторное поле (5.1), которое мы будем также обозначать через $X_{H}$, не обязательно касается $M$, но такое векторное поле можно построить, заменяя $H$ на $H_{M}$ — ограничение $H$ на $M$. Тогда функция $H_{M}$ на симплектическом многообразии ( $M, \omega_{M}$ ) определяет векторное поле $X_{H_{M}}$, касательное к $M$. Это векторное поле $X_{H_{M}}$ будем называть векторным полем при наличии связей.

Существует другой способ описания такого потока. Так как $\omega_{M}$ невырождена на $T M$, то существует пространство $(T M)^{\perp}$, дополнительное к $T M$ в $\mathbb{R}^{2 n}$ и ортогональное к $T M$ по отношению к симплектической структуре. Легко видеть, что $X_{H}-X_{H_{M}} \in(T M)^{\perp}$. Другими словами, $X_{H_{M}}$ — проекция $X_{H}$ на $T M$ по отношению к указанному выше разложению $\mathbb{R}^{2 n}$.
Эффективно векторное поле может быть описано гамильтонианом
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{2 r} \lambda_{j} F_{j}(x, y) .
\]

Для того, чтобы $X_{H^{*}}$ было касательным к $M$, необходимо потребовать, чтобы
\[
0=X_{H^{*}} F_{k}=\left\{H, F_{k}\right\}-\sum \lambda_{j}\left\{F_{j}, F_{k}\right\} \quad \text { на } M,
\]

что с учетом (5.2) однозначно определяет функции $\lambda_{j}$ на $M$.
Теперь обратимся к более специальному случаю. Пусть $\mathfrak{F}$ обозначает класс функций, находящихся в инволюции в $\left(\mathbb{R}^{2 n}, \omega\right)$, и рассмотрим векторное поле $X_{H}$, ограниченное на симплектическое многообразие
\[
M: F_{1}=F_{2}=\ldots=F_{r}=0, \quad G_{1}=G_{2}=\ldots=G_{r}=0,
\]

где будем считать, что
\[
\begin{array}{c}
F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{r}, H \in \mathfrak{F}, \\
\operatorname{det}\left\{F_{i}, G_{j}\right\}
eq 0 \quad(i, j=1,2, \ldots, r) .
\end{array}
\]

Очевидно, что это частный случай предыдущей ситуации, так как $(5.5 \mathrm{i}, \mathrm{ii})$ влечет за собой (5.2), если положить $F_{j+r}=G_{j}$ для $j=$ $=1,2, \ldots, r$. Гамильтониан (5.3) принимает вид
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{r}\left(\lambda_{j} F_{j}+\mu_{j} G_{j}\right) .
\]

Так как $F_{j}$ и $H$ принадлежат $\mathfrak{F}$ и, следовательно, находятся в инволюции, заключаем, что
\[
0=\sum_{j=1}^{r} \mu_{j}\left\{G_{j}, F_{k}\right\}
\]

и, поэтому, $\mu_{j}=0$. Таким образом, гамильтониан при наличии связей имеет вид
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{r} \lambda_{j} F_{j},
\]

и соответствующее векторное поле задается выражением
\[
X_{H^{*}}=X_{H}-\sum \lambda_{j} X_{F_{j}}
\]

на $M$.
Отсюда следует, что для любой функции $E \in \mathfrak{F}$ на $M$
\[
X_{H^{*}} E=0,
\]

то есть, $\left.E\right|_{M}$ — интеграл ограниченного векторного поля со связями. Заключаем, что в случаях (5.4), (5.5) ограниченные потоки должны иметь функции из $\mathfrak{F}$ в качестве интегралов. Очевидно, что эти функции в классе $\mathfrak{F}_{M}$, получаемом из $\mathfrak{F}$ ограничением на $M$, находятся в инволюции.

Мы применим этот простой прием наложения связей на интегрируемую систему для получения новой интегрируемой системы в последующих примерах ${ }^{1}$.

2. Материальная точка на сфере $S^{n-1}:|x|=1$ под действием силы $-A x$ (К.Нейман [14]). Дифференциальное уравнение данной системы имеет вид
\[
\ddot{x}=-A x+\lambda x,
\]

где $\lambda$ выбирается так, что $|x|=1,\langle x, \dot{x}\rangle=0$. Эту систему получим ограничением гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2}\langle A x, x\rangle+\frac{1}{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right)
\]

на симплектическое подмногообразие
\[
M: F=\frac{1}{2}\left(|x|^{2}-1\right)=0, \quad G=\langle x, y\rangle=0 .
\]

Заметим, что $\{F, G\}=|x|^{2}=1$ на $M$. Кроме того, если $\mathfrak{F}$ — класс функций, порождаемых
\[
\Phi_{z}(x, y)=Q_{z}(x)+Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y),
\]

то разложение в $z=\infty$ принимает вид
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{|x|^{2}}{z}+\frac{1}{z^{2}}\left(\langle A x, x\rangle+\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right)\right)+O\left(\frac{1}{z^{3}}\right) .
\]

Следовательно, обе функции $F, H$ принадлежат $\mathfrak{F}$, и поток, ограниченный на $M$, определяется формулами
\[
H^{*}=H-\lambda F, \quad \lambda=\{H, G\}=\langle A x, x\rangle .
\]

Уравнения на $M$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=H_{y}^{*}=H_{y}-\lambda F_{y}=|x|^{2} y=y, \\
\dot{y}=-H_{x}^{*}=-H_{x}+\lambda F_{x}=-A x-|y|^{2} x+\lambda x,
\end{array}
\]

или
\[
\ddot{x}=-A x-\left(|y|^{2}-\lambda\right) x,
\]

что является искомым потоком, если $|y|^{2}-\lambda$ переобозначить через $\lambda$. Функции из $\mathfrak{F}$, ограниченные на $M$, являются искомыми интегралами. В данном случае $a=-1, d=-c=1, d=0$, следовательно, симметричной частью $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ является $\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ранга 1. Если положить
\[
\Phi_{z}=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}(x, y)}{z-\alpha_{j}},
\]

то легко видеть, что
\[
2 H=\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} G_{j}(x, y), \quad 2 F+1=\sum_{j=1}^{n} G_{j}(x, y) .
\]

Это показывает, что $H, F$ — функции от $G_{j}$, которые являются интегралами системы. Эти интегралы $G_{j}$ были найдены К. Уленбеком (см. [21] и Деваней [3]).

3. Материальная точка на эллипсоиде $Q_{0}(x)+1=0$ под действием силы — ах (Якоби [6]).

Движение свободной частицы под действием силы — ax описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(|y|^{2}+a|x|^{2}\right) .
\]

В случае ограниченного движения введем класс функций $\mathfrak{F}$, порождаемых
\[
\Phi_{z}(x, y)=a Q_{z}(x)+Q_{z}(y)+Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y),
\]

которые, как следует из раздела 2 , находятся в инволюции. Положим
\[
\begin{aligned}
F(x, y) & =a+\Phi_{0}(x, y)= \\
& =\left(1+Q_{0}(x)\right)\left(a+Q_{0}(y)\right)-Q_{0}^{2}(x, y), \\
G(x, y) & =Q_{0}(x, y)
\end{aligned}
\]

и ограничим движение на
\[
F(x, y)=0, \quad G(x, y)=0 .
\]

Из $H, F \in \mathfrak{F}$ следует, что ограниченный поток описывается с помощью
\[
H^{*}=H-\lambda F
\]
и, поэтому, имеет все функции из $\mathfrak{F}$ в качестве интегралов. Осталось отождествить этот потою с искомым. С этой целью заметим, что из $G(x, y)=0$ и $F(x, y)=0$ следует
\[
1+Q_{0}(x)=0 \quad \text { или } a+Q_{0}(y)=0 .
\]

Выберем $a+Q_{0}(y)
eq 0$. Это условие остается инвариантным под действием потока, как легко можно проверить. Таким образом, $1+Q_{0}(x)=0$, $Q_{0}(x, y)=0$, это означает, что $x$ лежит на эллипсоиде и $y$ направлен по касательной к нему в точке $x$. Дифференциальные уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=H_{y}^{*}=H_{y}-\lambda F_{y}=y, \\
\dot{y}=-H_{x}^{*}=-H_{x}+\lambda F_{x}=-a x-2 \lambda\left(a+Q_{0}(y)\right) A^{-1} x,
\end{array}
\]

или
\[
\ddot{x}=-a x-2 \lambda\left(a+Q_{0}(y)\right) A^{-1} x,
\]

что является уравнением движения при наличии связей. Таким образом, данная система интегрируема, и $\left.G_{j}\right|_{M}$ — искомые интегралы в инволюции. При $a=0$ получаем геодезический поток на эллипсоиде. Заметим, что найденные интегралы $G_{j}$ получаются из интегралов системы Неймана (раздел 5.2) посредством симплектического отображения $(x, y) \rightarrow(y,-x)$.

4. Геодезический поток на ортогональной группе (Манаков $[8]$, Мищенко [11]). Арнольдом был изучен геодезический поток правоинвариантной метрики на $S O(n)$, например
\[
\int \sqrt{\operatorname{tr}\left(\dot{U}^{T} G \dot{U}\right)} d t,
\]

где $G$ — фиксированная положительно определенная симметричная матрица и $U \in S O(n)$. Если определить элемент $A=\dot{U} U^{-1}$ на алгебре Ли, то уравнения Эйлера примут вид
\[
\frac{d}{d t}(G A+A G)=\left[A^{2}, G\right] .
\]

Полагая $L=G A+A G+\mu G^{2}, B=A+\mu G$ с произвольной постоянной $\mu$, эти уравнения можно записать в форме Лакса
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L] .
\]

Эти формулы были получены Манаковым [8] для построения интегралов данной системы по характеристическому полиному $L$.
Рассмотрим $2 n$-мерную подсистему этого потока, полагая
\[
\begin{aligned}
G & =\operatorname{diag}\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right), \\
L & =x \otimes y-y \otimes x+\mu G^{2}, \\
B & =\frac{x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}}{g_{i}+g_{j}}+\mu G .
\end{aligned}
\]

Можно проверить, что данная система совместна и описывается гамильтонианом
\[
H=-\frac{1}{2} \sum_{i<j} \frac{\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2}}{g_{i}+g_{j}} .
\]

Очевидно, что эта система связана с системой из раздела 2 и совпадает с (2.9), если положить
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \\
\alpha_{j}=\mu g_{j}^{2}, \quad \beta_{j}=\mu g_{j}=\sqrt{\mu \alpha_{j}} .
\end{array}
\]

Таким образом, рассматриваемая система интегрируема, и ее решения выражаются через гиперэллиптические функции.

5. Уравнение Хилла (Мак-Кин и Трубовиц $[9,10]$ ). Рассмотрим уравнение Хилла
\[
-\left(\frac{d}{d s}\right)^{2} y+q(s) y=\lambda y,
\]

где $q(s+1)=q(s)$. Мак-Кин и Трубовиц, а также Новиков и др., исследовали задачу о восстановлении потенциала $q=q(s)$ по различным спектрам. Как правило, для определения $q(s)$ необходимы два спектра, соответствующих двум различным граничным условиям, в то же время существует семейство потенциалов, приводящих к одному спектру, определяемому одним граничным условием. Особый интерес здесь представляет периодическое граничное условие, например
\[
y(s+1)= \pm y(s), \text { или } y(s+2)=y(s) .
\]

Собственные значения ${ }^{1} \lambda_{0}^{\prime}<\lambda_{1}^{\prime} \leqslant \lambda_{2}^{\prime}<\lambda_{3}^{\prime} \leqslant \lambda_{4}^{\prime}<\cdots$ образуют граничные точки отрезков $\left[\lambda_{0}^{\prime}, \lambda_{1}^{\prime}\right] \cup\left[\lambda_{2}^{\prime}, \lambda_{3}^{\prime}\right] \cup \cdots$ непрерывного спектра уравнения Хилла, рассматриваемого на прямой $-\infty<s<+\infty$. Другие интервалы $\left(-\infty, \lambda_{0}^{\prime}\right),\left(\lambda_{1}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}\right),\left(\lambda_{3}^{\prime}, \lambda_{4}^{\prime}\right), \ldots$ называются интервалами неустойчивости.

Очевидно, что спектр $\lambda_{j}^{\prime}$ не может быть задан произвольно, он подчинен асимптотическим ограничениям при $j \rightarrow \infty$. Более того, работа Мак-Кина и Трубовица показывает, что расположение $\lambda_{2 j-1}^{\prime}$ полностью определяется $\lambda_{2 j}^{\prime}$. Особенно интересен случай «конечнозонного» спектра, для которого все, за исключением конечного числа собственных значений, двукратно вырождены, например,
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{0}^{\prime}<\lambda_{1}^{\prime}<\cdots<\lambda_{2 N}^{\prime} ; \\
\lambda_{2 j-1}^{\prime}=\lambda_{2 j}^{\prime} \quad \text { при } j \geqslant N+1 .
\end{array}
\]

В этом случае весь спектр однозначно восстанавливается по $\lambda_{0}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}, \ldots$, $\lambda_{2 N}^{\prime}$ и определяет соответствующие потенциалы. Они образуют $N$-мерный действительный тор, являющийся действительной частью многообразия Якоби гиперэллиптической кривой
\[
w^{2}=\prod_{j=0}^{2 n}\left(z-\lambda_{j}^{\prime}\right) .
\]

Любопытно, что эта задача тесно связана с описанными выше возмущениями ранга 2. Следующее наблюдение принадлежит Е. Трубовицу (Мозер [12]). Пусть $q(s)$ — произвольный периодический потенциал со спектром (5.6), и $f_{j}(s)$ — собственные функции с нормировкой
\[
\int_{0}^{1} f_{j}^{2}(s) d s=1 .
\]

Зафиксируем спектр $\lambda_{j}^{\prime}$; тогда существуют положительные числа $\varepsilon_{j}$, $j=0,1, \ldots, N$, зависящие только от спектра $\lambda_{k}^{\prime}$, но не от частного вида

потенциала, такие, что
\[
\sum_{j=0}^{N} \varepsilon_{j} f_{2 j}^{2}(s)=1, \quad \sum_{j=0}^{N} \varepsilon_{j}=1
\]

Определение $\varepsilon_{j}$ для нас не существенно; его можно найти в работе МакКина и Трубовица [9].
Мы замечаем, что точка $x$ с координатами
\[
x_{j}=\sqrt{\varepsilon_{j}} f_{2 j}(s), \quad \alpha_{j}=\lambda_{2 j}^{\prime}, \quad j=0,1, \ldots, N,
\]

ограничена на сферу радиуса 1 . Кроме того,
\[
\frac{d^{2} x_{j}}{d s^{2}}=\sqrt{\varepsilon_{j}} f_{2 j}^{\prime \prime}(s)=q x_{j}-\lambda_{2 j} x_{j} .
\]

Это уравнение можно рассматривать как ограничение движения $x_{j}^{\prime \prime}+$ $+\lambda_{2 j}^{\prime} x_{j}=0$ на сферу, где $q=q(s)$ играет роль нормальной силь,
\[
q(s)=\sum_{j=0}^{N}\left(\lambda_{2 j}^{\prime} x_{j}^{2}(s)-{x_{j}^{\prime}}^{2}(s)\right)
\]

Таким образом, данная задача может быть связана с задачей Неймана на сфере, если положить $n=N+1$ и воспользоваться (5.7). Тогда потенциал $q(s)$ определяется из (5.8).

Теперь мы знаем, что все решения задачи Неймана выражаются через обратные гиперэллиптические функции, то есть являются квазипериодическими функциями, заданными на торе размерности $n-1=N$. Такой тор характеризуется заданием констант
\[
G_{k}=\varepsilon_{k} f_{2 k}^{2}+\sum_{j}^{\prime} \frac{\varepsilon_{j} \varepsilon_{k}}{\lambda_{2 k}^{\prime}-\lambda_{2 j}^{\prime}}\left(f_{2 j} f_{2 k}^{\prime}-f_{2 k} f_{2 j}^{\prime}\right)^{2},
\]

или иначе, заданием функции
\[
\Phi_{z}(x, y)=\sum_{k=0}^{N} \frac{G_{k}}{z-\lambda_{2 k}^{\prime}} .
\]

Покажем, что условие периодичности $q(s+1)=q(s)$ влечет за собой
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{\prod_{k=1}^{N}\left(z-\lambda_{2 k-1}^{\prime}\right)}{\prod_{k=0}^{N}\left(z-\lambda_{2 k}^{\prime}\right)},
\]

так что $\Phi_{z}$ обращается в нуль при $z=\lambda_{2 k-1}^{\prime}(k=1,2, \ldots, N)$ и имеет полюса в $\lambda_{0}^{\prime}, \lambda_{2}^{\prime}, \ldots, \lambda_{2 N}^{\prime}$.

Таким образом, $N$-щелевые потенциалы соответствуют только одному из торов в задаче Неймана из раздела 5.2. Для доказательства (5.9) рассмотрим спектральные задачи для
\[
L=P_{x}(A-y \otimes y) P_{x}, \quad M=P_{x} A P_{x},
\]

где собственные значения $\alpha_{k}$ матрицы $A$ определяются как $\alpha_{k}=\lambda_{2 k}^{\prime}$, $k=0,1, \ldots, N$, а собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы $L$ равны $\lambda_{2 k-1}^{\prime}$ $(k=1, \ldots, N)$. В разделе 4 гиперэллиптическая кривая определяется как
\[
w^{2}=P(z)=l^{(0)}(z) a(z)=\prod_{1}^{N}\left(z-\lambda_{k}\right) \prod_{0}^{N}\left(z-\alpha_{k}\right) .
\]

С другой стороны, в теории Мак-Кина и Трубовица гиперэллиптическая кривая задается как
\[
w^{2}=\prod_{j=0}^{2 N}\left(z-\lambda_{j}^{\prime}\right),
\]

откуда видно, что $\lambda_{k}$ совпадают с $\lambda_{2 k-1}^{\prime}$, что мы и хотели показать.
Из условий периодичности $q(s+1)=q(s)$ следует, что $\lambda_{2 k-1}^{\prime}=\lambda_{k}$ должны определяться по $\lambda_{2 k}$, естественно отыскать также потенциалы, соответствующие другим торам, то есть торам, для которых $\lambda_{2 k-1}^{\prime}$ не приводят к периодическим потенциалам. Из (5.8) и вышеизложенной теории видно, что при общем выборе $\lambda_{2 k-1}^{\prime}$ потенциал является квазипериодической функцией, которая выражается через $\theta$-функции. Действительно, такие потенциалы были рассмотрены Дубровиным, Матвеевым и Новиковым [5]. Мы ограничились конечнозонным случаем, так как он соответствует конечномерным механическим системам. Очевидно, данный подход можно распространить на общий случай, соответствующий

движению частицы по бесконечномерной сфере, или на изоспектральный поток в гильбертовом пространстве.