С помощью приведенных рассуждений мы хотели показать, как можно эффективно использовать взаимосвязь между обратной спектральной задачей и механической задачей на сфере. Мы нашли в явном виде орбиты на устойчивых многообразиях, начиная с формул для потенциалов Баргмана. Эти потенциалы появляются как предельный случай конечнозонных потенциалов, где все зоны коллапсируют в точки собственные значения такого потенциала. Но эту взаимосвязь можно использовать для изучения дополнительных интересных потенциалов, для которых спектр может быть определен явно. Например, в окрестности одного из стационарных решений $e_{k}$ с чисто мнимыми и действительными собственными значениями находятся неустойчивые периодические орбиты. Эти периодические орбиты, в свою очередь, имеют устойчивые и неустойчивые многообразия и могут быть описаны в терминах экспонент $\exp \left(r_{j} x\right)$, где $r_{j}$ – действительные числа, и чисто мнимых экспонент, приводящих к периодическому поведению. Поэтому соответствующий потенциал экспоненциально приближает периодическую орбиту при $x \rightarrow \pm \infty$. Его спектр определяется двумя зонами (одна конечная, другая полубесконечная) и дискретными собственными значениями, соответствующими действительным экспонентам. Аналогично можно рассматривать неустойчивые инвариантные торы и соответствующие устойчивые и неустойчивые многообразия (усы), порождающиеся потенциалами, которые асимптотически приближаются к квазипериодическим функциям при $x \rightarrow \pm \infty$. Они являются просто предельными случаями квазипериодических потенциалов, рассмотренных в предыдущем разделе.
После выхода этих лекций появились интересные статьи:
B. M. Levitan. Almost periodicity of infinite-zone potentials. Math. USSR. 1982. 18. P. 249-273.
B. M. Levitan. Approximation of infinite-zone potentials by finite-zone potentials. Izv. Akad. Nauk USSR. Ser. Math. 1982. 46. N 1. P. 56-87.

Они расширяют конструкцию конечнозонных потенциалов на случай бесконечного числа зон. В периодическом случае это было сделано Мак Кином-Трубовицем [18], но подход Левитана, в противоположность [18], основывается на изучении обращения Якоби в общем случае бесконечного числа зон. Эти статьи содержат дальнейшие ссылки по данным вопросам.