1. Гамильтоновы системы.

В классической механике уравнение движения описывают гамильтоновой системой вида
\[
\frac{d q_{j}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \quad \frac{d p_{j}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}}, \quad(j=1, \ldots, n),
\]

где $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, и $H=H(q, p)-$ гладкая функция в открытой области $\Omega$ из $\mathbb{R}^{2 n}$. Объединяя $q, p$ в один вектор
\[
x=\left(\begin{array}{l}
q \\
p
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 n},
\]

запишем эту систему также в виде
\[
\frac{d x}{d t}=J H_{x},
\]

где $H_{x}=\left(H_{x_{1}}, \ldots, H_{x_{2 n}}\right)-$ градиент функции $H$ и
\[
J=\left(\begin{array}{cc}
0 & I_{x} \\
-I_{x} & 0
\end{array}\right) .
\]
«Скобка Пуассона» $\{F, G\}$ двух функций $F, G \in C^{1}(\Omega)$ вводится стандартным образом
\[
\{F, G\}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \frac{\partial G}{\partial p_{j}}-\frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial G}{\partial q_{j}}\right),
\]

так что уравнения движения (2.1) или (2.2) могут быть написаны в виде
\[
\frac{d x_{j}}{d t}=\left\{x_{j}, H\right\} \quad(j=1,2, \ldots, 2 n) .
\]

Система дифференциальных уравнений (2.1) определена через единственную функцию $H \in C^{n}(\Omega)$. Используя обозначения, заимствованные из дифференциальной геометрии, свяжем с (2.1) также «векторное поле», или оператор частного дифференцирования первого порядка,
\[
X_{H}=\sum_{j=1}^{n}\left(H_{p_{j}} \frac{\partial}{\partial q_{j}}-H_{q_{j}} \frac{\partial}{\partial p_{j}}\right) .
\]

Эти гамильтоновы векторные поля с $H \in C^{\infty}(\Omega)$ образуют алгебру Ли, так как коммутатор $\left[X_{F}, X_{G}\right]=X_{F} X_{G}-X_{G} X_{F}$ также является дифференциальным оператором первого порядка, порожденным гамильтонианом. Действительно,
\[
\left[X_{F}, X_{G}\right]=-X_{\{F, G\}} .
\]

Эта алгебра Ли гамильтоновых векторных полей является объектом изучения в классической механике. Сказанное может быть обобщено на случай векторных полей на симплектических многообразиях, но такое обобщение не понадобится в данных лекциях.

2. Интегралы.

Важное понятие интеграла гамильтонового векторного поля $X_{H}$ определяется следующим образом:
Определение 1. Функция $F \in C^{1}(\Omega)$, не являющаяся константой, называется интегралом, если
\[
X_{H} F=\{F, H\}=0 .
\]

Это означает, что $F(x(t))$ не зависит от $t$, т.е. $F(x)$ постоянна вдоль орбит. Поскольку $\{\cdot, \cdot\}$ является антисимметричной формой, т.е.

$\{F, G\}=-\{G, F\}$, то $\{H, H\}=0$, т. е. $H$ всегда является интегралом. Более того, имеется следующее свойство симметрии: если $F$ интеграл для $X_{H}$, то $H$ – интеграл для $X_{F}$.

Существование одного или более интегралов, очевидно, может быть использовано для сведения системы к более простой, и поэтому знание интегралов представляет интерес. Например, если имеются $2 n-1$ интегралов $F_{j}$, градиенты которых линейно независимы, то уравнения $F_{j}=c_{j}$ определяют орбиты системы. На самом деле для гамильтоновых систем достаточно знать $n$ «коммутирующих» интегралов для того, чтобы система была интегрируемой.
Определение 2. Гамильтоново векторное поле $X_{H}$ в $\Omega \subset \mathbb{R}^{2 n}$ называется «интегрируемым», если оно обладает $n$ интегралами $F_{j} \in C^{1}(\Omega)$, удовлетворяющими следующим условиям:
i) $\left\{F_{j}, H\right\}=0$,
ii) $\left\{F_{j}, F_{k}\right\}=0$,
iii) градиенты $d F_{j}$ линейно независимы в $\Omega$.
Первое условие означает, что $F_{j}$ – интегралы; второе – что они коммутируют, поскольку из (2.4) следует, что
\[
\left[X_{F_{j}}, X_{F_{k}}\right]=0 ;
\]

и третье условие, которое мы часто будем применять в ослабленном варианте, требует невырожденности.
Приведем два простых примера интегрируемых систем.

ПримеР А. Линейная система, описывающая $n$ осцилляторов
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{2}+\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}\right) ; \quad \omega_{j}>0
\]

очевидно, обладает интегралами
\[
F_{j}=p_{j}^{2}+\omega_{j}^{2} q_{j}^{2},
\]

удовлетворяющими условиям i) и ii). Условие іiі) нарушено на
\[
S_{k}=\left\{(p, q) \in \mathbb{R}^{n}: p_{k}=q_{k}=0\right\},
\]

но удовлетворяется на
\[
\Omega=\mathbb{R}^{2 n} \backslash\left(\bigcup_{k=1}^{n} S_{k}\right) .
\]

ПРимеР В. Второй пример задается гамильтонианом
\[
H=H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)
\]

где $F_{j}=p_{j}-n$ интегралов, удовлетворяющих условиям i)-iii).
Если в физической интерпретации переменные $q_{k}$ имеют смысл углов (скажем, $\bmod 2 \pi$ ), то $q_{k}$ называют «угловыми переменными», а $p_{k}$ «переменными действия».

Для интегрируемых гамильтоновых систем векторное поле $X_{H}$ является касательным к многообразиям $M_{c}=\left\{(q, p): F_{1}=c_{1}, F_{2}=\right.$ $\left.=c_{2}, \ldots, F_{n}=c_{n}\right\}$, т.е. эти многообразия инвариантны относительно потока, порожденного $X_{H}$. Таким образом фазовое пространство расслаивается на эти $n$-мерные инвариантные многообразия. Согласно теореме В.И.Арнольда и ее усиленному варианту, принадлежащему Р. Йсту, такой лист с необходимостью будет тором $T^{n}$, если он компактный и связный. Более того, в окрестности такого компактного листа с помощью канонического преобразования можно ввести переменные действие-угол $P, Q$, такие, что $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$ будут угловыми переменными, $P_{1}, \ldots, P_{n}$ – переменными действия и $H=H\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right)$.

Другими словами, в окрестности такого компактного листа интегрируемая система всегда имеет вид, как в примере В. В примере А листы задаются соотношениями:
\[
p_{j}^{2}+\omega_{j} q_{j}^{2}=c_{j} \quad(j=i, \ldots, n)
\]

и при $c_{1}>0, \ldots, c_{n}>0$ действительно являются торами $T^{n}$. Кроме того, на таком инвариантном компактном листе дифференциальные уравнения становятся линейными. Действительно, в переменных действие-угол $P, Q$ дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\dot{Q}_{j}=H_{P_{j}}, \quad \dot{P}_{j}=-H_{Q_{j}}=0,
\]

и имеют решения
\[
Q_{j}(t)=H_{P_{j}}(P) t+Q_{j}(0), \quad P_{j}(t)=P_{j}(0) .
\]

Поэтому интегрирование таких систем (с компактными листами) становится тривиальным, что и объясняет название.

Действительно, коммутирующие интегралы $F_{j}$ могут быть заменены другими интегралами
\[
\tilde{F}_{k}=\varphi_{k}\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right),
\]

которые также коммутируют, т. к.
\[
\left\{\tilde{F}_{k}, \tilde{F}_{l}\right\}=\sum_{i, j} \frac{\partial\left(\varphi_{k}, \varphi_{l}\right)}{\partial\left(F_{i}, F_{j}\right)}\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=0 .
\]

Поэтому основной интерес представляют не интегралы сами по себе, а слоение, определяемое системой Пфаффа
\[
d F_{1}=0, \quad d F_{2}=0, \quad \ldots, \quad d F_{n}=0 .
\]

Эта система определяет слоение, которое имеет геометрический смысл. В дальнейшем мы будем часто пользоваться этой свободой заменять множество интегралов функциями от них.

3. Возмущения интегрируемых систем.
Важно понять, что интегрируемые системы занимают особое место среди гамильтоновых систем. Если немного возмутить интегрируемую систему, то интегралы в общем случае разрушаются. Это связано с часто цитируемой «теоремой» Пуанкаре о несуществовании интегралов. В 1923 г. Э. Ферми [8] развил рассуждения Пуанкаре, чтобы показать, что после возмущения системы на изоэнергетической поверхности не может быть других интегралов. Несмотря на это, рассуждения Пуанкаре носят чисто формальный характер и используют ошибочное предположение о том, что для гладкой гамильтоновой системы инвариантные множества также гладки. Хотя интегралы могут разрушаться после возмущения, все слоение в целом не разрушается, а обширное подмножество торов (а именно, нерезонансные торы) выдерживает малые возмущения и образует сложное инвариантное канторовское множество положительной меры. Это утверждение составляет содержание так называемой КАМ-теории, которая устанавливает существование указанного множества инвариантных торов. В недавней работе Ю. Пёшль $[26]$ показал, что на самом деле возмущенная система все еще может рассматриваться как интегрируемая, если ограничиться этим кантровским множеством. Это означает, что на канторовом множестве, о котором идет речь, можно определить $n$ интегралов в инволюции дифференцируемых в смысле Уитни.

Однако мы не будем изучать такие возмущенные системы, а займемся рассмотрением гамильтоновых систем, интегрируемых на открытом множестве $\Omega$ из $\mathbb{R}^{2 n}$. Даже если система интегрируема, найти

множество интегралов часто бывает не легко. Как типичный пример, рассмотрим в следующем разделе геодезический поток на эллипсоиде.

Приведем пример, эквивалентный задаче Кеплера в $\mathbb{R}^{n}$ и задаваемый гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}|p|^{2}-|q|^{-1} .
\]

Эта система симметрична относительно вращений и поэтому имеет много интегралов, а именно $p_{i} q_{j}-p_{j} q_{i}$ для $1 \leqslant i<j \leqslant n$. Но эти интегралы не коммутируют, и нужно немного поэкспериментировать, чтобы найти коммутирующие интегралы
\[
\begin{array}{c}
F_{k}=\sum_{1<i<j<k}\left(p_{i} q_{j}-p_{j} q_{i}\right)^{2} \quad(k=2,3, \ldots, n) \\
F_{1}=H .
\end{array}
\]

Таким образом, задача Кеплера в $\mathbb{R}^{n}$ действительно интегрируема. Заметим, для $n=3$ функции $H_{1}, H_{2}, F_{3}$ связаны с переменными Делоне из небесной механики.
4. Потенциал, обратно пропорциональный квадрату расстояния.

Как пример с неочевидными интегралами рассмотрим, следуя Калоджеро $(1971)^{1}$, следующий пример. Рассмотрим $n$ материальных точек одинаковой массы, скажем, равной единице, на прямой, отталкивающихся друг от друга с силой, обратно пропорциональной минус третьей степени взаимного расстояния. Если $q_{j}$ – положение $j$-й материальной точки, то движение задается уравнениями
\[
\frac{d^{2} q_{j}}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial q_{j}},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
U=\sum_{1<i<j<n} V\left(q_{i}-q_{j}\right), \\
V(x)=\frac{b}{|x|^{2}} .
\end{array}
\]

Гамильтониан, очевидно, имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum p_{j}^{2}+U(q) .
\]

Для этой задачи $n$ рациональных интегралов были обнаружены М. Хеноном, Флашкой и Манаковым $[11,9,16]$. Как бы то ни было, в этом случае интегралы находятся неожиданным образом, а именно как собственные значения матрицы
\[
L(q, p)=\operatorname{diag}\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)+i\left(\frac{1-\delta_{j k}}{q_{j}-q_{k}}\right)_{i, k=1, \ldots, n} .
\]

Это показывает, что для любого решения системы (2.5) с $p_{j}=\dot{q}_{j}$ матрица $L(t)=L(q(t), \mathrm{p}(t))$ подобна $L(0)$, т. е. существует унитарная матрица $U=U(t)$ такая, что
\[
U(t)^{-1} L(t) U(t)=L(0) .
\]

Очевидно, что собственные значения $L(t)$ являются интегралами. То же справедливо для симметричных функций от собственных значений, задаваемых соотношениями
\[
F_{k}(q, p)=\operatorname{tr}\left(L^{k}\right) \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

которые являются рациональными функциями относительно $q_{j}, p_{j}=\dot{q}_{j}$. Кроме того, можно показать, что $F_{k}$ коммутируют (см. Мозер [21]).

Для того чтобы проверить справедливость (2.7), зададим $U(t)$ дифференциальным уравнением
\[
\frac{d U(t)}{d t}=B(t) U(t) ; \quad U(0)=I
\]

где $B=B(t)$ – антиэрмитова матрица. Дифференцируя (2.7), получаем
\[
U(t)^{-1}\left(\frac{d}{d t} L-B L+L B\right) U(t)=0,
\]

или
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L] .
\]

Если мы сможем найти $B=-B^{*}$ такую, что (2.10) выполнялось бы как следствие (2.5), тогда из (2.9) и (2.10) с помощью интегрирования можно получить (2.7).

С помощью вычислений можно проверить, что уравнение (2.10) выполняется, если
\[
\begin{array}{c}
B=i \operatorname{diag}\left(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\right)-i\left(\frac{1-\delta_{j k}}{\left(q_{j}-q_{k}\right)^{2}}\right), \\
d_{k}=\sum_{\substack{j=1 \\
j
eq k}}^{n} \frac{1}{\left(q_{j}-q_{k}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Таким образом дифференциальное уравнение (2.5) приводит к изоспектральной деформации матрицы $L=L(q, \mathrm{p})$, задаваемой (2.6). Нужно помнить, что $L$ и $B$ были угаданы! Более систематичный вывод их формул дали Каждан, Констант и Стернберг. Изложение и обсуждение этих решений, в частности их поведение при рассеянии, см. в [20,22]. Заметим, что в данном случае листы слоения $F_{k}=c_{k}$ не компактны, а эквивалентны $\mathbb{R}^{n}$. Мы привели этот пример, чтобы проиллюстрировать идею изоспектральных деформаций, которую мы снова будем использовать в следующем разделе. Для систем Калоджеро не было найдено никакого другого метода для построения интегралов. Для $n=3$ данная задача была исследована Якоби с помощью метода разделения переменных, однако этот подход непригоден для $n>3$.

Идся связать диффсрспциально уравнснис с изоспсктральными деформациями была развита П. Д. Лаксом $[14,15]$ в связи с уравнением Кортевега-де Фриза. После предшествующей работы Крускала и др., он заметил, что КдФ (1.2) может быть записано в форме
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L],
\]

где
\[
\begin{array}{c}
L=-D^{2}+q(x, t), \quad D=\frac{d}{d x}, \\
B=4 D^{3}-3(q D+D q) .
\end{array}
\]

Поэтому собственные значения оператора Шредингера $L$ с подходящими граничными условиями порождают интегралы уравнения Кортевега-де Фриза! Мы вернемся к этому уравнению в разделе 5, где мы получим интегралы уравнения КдФ через почти периодические функции при помощи обобщенного мультипликатора Флоке $\mu(\lambda)$.

5. Ограниченные гамильтоновы системы.

Далее будем часто рассматривать гамильтоновы системы на подмногообразиях $M$ из $\mathbb{R}^{2 n}$, задаваемых соотношениями
\[
G_{1}(x)=\ldots=G_{2 r}(x)=0 .
\]

Размерность многообразия $M$ равна $2 n-2 r$, если $d G_{j}$ линейно независимы на $M$. Более того, потребуем
\[
\operatorname{det}\left(\left\{G_{j}, G_{k}\right\}\right)_{j, k=1, \ldots, 2 r}
eq 0,
\]

что делает $M$ симплектическим многообразием.
Если система (2.2) определяет векторное поле, касательное к $M$, то нетрудно ограничить эту систему на $M$. Условие, необходимое для этого, очевидно имеет вид
\[
X_{H} G_{j}=-\left\{H, G_{j}\right\}=0 \quad \text { для } \quad j=1,2, \ldots, 2 r
\]

на $M$.
Однако в общем случае это условие нарушается, и необходимо задать новое векторное поле на $M$, зависящее от $X_{H}$. Это может быть сделано различными способами [23], например, изменяя $X_{H}$ на
\[
X_{H}-\sum_{j=1}^{2 r} \lambda_{j}(x) X_{G_{j}},
\]

где множители $\lambda_{j}$ определены так, что это векторное поле является касательным к $M$. Для этого необходимо, чтобы
\[
\left\{H, G_{k}\right\}-\sum_{j=1}^{2 r} \lambda_{j}\left\{G_{j}, G_{k}\right\}=0,
\]

что согласно (2.12) определяет $\lambda_{j}=\lambda_{j}(x)$ на $M$ единственным образом. Если положить
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{2 r} \lambda_{j} G_{j},
\]

то «векторное поле» на $M$ задается следующим образом
\[
X_{H^{*}}=X_{H}-\sum_{j=1}^{2 r} \lambda_{j} X_{G_{j}} .
\]

Без труда проверяется, что это векторное поле не зависит от определения $\lambda_{j}(x)$ вне $M$.

Если $X_{H}$ интегрируемо, в общем случае нельзя ожидать, что ограничение векторного поля также будет интегрируемым. Опишем особый случай, когда оно действительно является интегрируемым. Для этого допустим, что $X_{H}$ интегрируемое векторное поле, а $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}$ коммутирующие интегралы. Более того, предположим, что $M$ задается уравнениями
\[
G_{1}=\ldots=G_{r}=0, \quad F_{1}=F_{2}=\ldots=F_{r}=0,
\]

где $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{r}$ – некоторые функции, удовлетворяющие
\[
\operatorname{det}\left(\left\{F_{j}, G_{j}\right\}\right)_{i j=1, \ldots, r}
eq 0 .
\]

Другими словами, в обозначениях (2.11), $G_{j+r}=F_{j}(j=1,2, \ldots, r)$. Покажем, что в этом случае ограничения $F_{j}$ на $M$ являются интегралами для ограниченной системы. Более того, $\left.F_{j}\right|_{M}$ также коммутируют. При этом $\left.d F_{j}\right|_{M}$ больше не будут являться независимыми.
Действительно, при
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{r}\left(\lambda_{j} F_{j}+\mu_{j} G_{j}\right)
\]

из
\[
0=\left\{H^{*}, F_{k}\right\}=\sum_{j=1}^{r} \mu_{j}\left\{G_{j}, F_{k}\right\}
\]

и (2.14) следует, что на $M \mu_{1}=\ldots=\mu_{r}=0$. Поэтому можно положить
\[
H^{*}=H-\sum_{j=1}^{r} \lambda_{j} F_{j},
\]

где $\lambda_{j}$ определяются из соотношения $\left\{H^{*}, G_{k}\right\}=0 \quad(k=1,2, \ldots, r)$. Следовательно, ограничение векторного поля имеет вид
\[
X_{H^{*}}=X_{H}-\sum_{j=1}^{r} \lambda_{j} X_{r_{j}}
\]

дифференцирование $F_{k}$ вдоль него заведомо равно нулю, что и доказывает утверждение.

Проиллюстрируем эту конструкцию для гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2}\langle A q, q\rangle+\frac{1}{2}\left(|q|^{2}|p|^{2}-\langle q, p\rangle^{2}\right)
\]

где $q, \mathrm{p} \in \mathbb{R}^{n}$ и $A$ – симметричная матрица. Как мы увидим далее, существуют $n$ коммутирующих интегралов $F_{1}, \ldots, F_{n}$, являющихся полиномами относительно $q$ и $p$, один из которых имеет вид
\[
F_{1}=\frac{1}{2}\left(|q|^{2}-1\right),
\]

Ограничим эту систему на касательное расслоение сферы
\[
2 F_{1}=|q|^{2}-1=0 ; \quad G_{1}=\langle p, q\rangle=0 .
\]

Заметим, что $\left\{F_{1}, G_{1}\right\}=1
eq 0$. Ограничение гамильтониана получим в виде
\[
H^{*}=H-\lambda_{1} F_{1} \quad \text { где } \quad \lambda_{1}=\left\{H, G_{1}\right\}=\langle A q, q\rangle .
\]

Дифференциальные уравнения приобретают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}=H_{p}^{*}=H_{p}-\lambda_{1} F_{p}=|q|^{2} p=p, \\
\dot{p}=-H_{q}^{*}=-H_{q}+\lambda_{1} F_{q}=-A q+\left(\lambda_{1}-|p|^{2}\right) q,
\end{array}
\]

где $|q|=1,\langle q, \mathrm{p}\rangle=0$. Положив $
u=\lambda_{1}-|p|^{2}$, перепишем уравнение в виде
\[
\frac{d^{2} q}{d t^{2}}=-A q+
u q
\]

Уравнение (2.17) можно интерпретировать как ограничение линейной системы $\ddot{q}=-A q$ на единичную сферу, а $
u \cdot q$ – как нормальную силу реакции.

Эта система, упоминаемая в разделе 1 , была изучена К. Нейманом. Ее решение и связь с геодезическим потоком на эллипсоиде будет рассмотрена в следующем разделе.