Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Интегралы для геодезического потока на эллипсоиде. В $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$ со скалярным произведением $\langle x, y\rangle$ рассмотрим положительно определенную симметричную матрицу $A$ с различными собственными значениями. Не ограничивая общности, можно считать, что $A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, где $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<$ $<\cdots<\alpha_{n}$. Тогда уравнение определяет эллипсоид. Квадрики $\mathfrak{U}_{z}$, конфокальные к эллипсоиду, задаются уравнением Введем билинейную форму так что $\mathfrak{U}_{z}$ определяется выражением и (3.1) является квадрикой $\mathfrak{U}_{0}$. Конфокальные квадрики обладают рядом хорошо известными свойствами, которым мы дадим новую интерпретацию. Например, через каждую точку $x$ с $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} Для любой заданной точки $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ найдем конус прямых, касательных к квадрике $Q(x)+1=0$ (мы опускаем нижний индекс $z$, так как он в данном случае не имеет значения). После элементарных вычислений получаем уравнение этого конуса: Если положить $y=x-x_{0}$, то уравнение примет вид которое при фиксированном $x_{0}$ описывает конус с вершиной в начале координат. если (в обозначениях предыдущего раздела) положить $a=0, b=-c=1$, $d=1$ (или $a=0, b=-c=i, d=1$ ). Оно показывает, что последнее уравнение можно геометрически интерпретировать, как определение множества прямых $x=x_{0}+s y$, касательных к $\mathfrak{U}_{z}$. В частности, описывает касательные к эллипсоиду $\mathfrak{U}_{0}$; мы заменили обозначение $x_{0}$ на $x$. Гамильтоновы дифференциальные уравнения ограниченные на $\Phi_{0}=0$, описывают движение таких касательных, что легко интерпретировать следующим образом. Точка контакта с $\mathfrak{U}_{0}$ движется вдоль геодезической, в то время как точка $x$ движется перпендикулярно к этой касательной. Действительно, если прямая, проходящая через $x$ в направлении $y и мы вычисляем, что так как $\Phi_{0}(x, y)=0$, и Если ввести параметр $\tau$ по формуле $d \tau / d t=\dot{s}$, то Это показывает, что точка касания $\xi=\xi(\tau)$ движется по геодезической. Из соотношений следует, что $\dot{x}$ перпендикулярно направлению этой прямой, и $\langle y, y\rangle$ постоянно. Таким образом, (3.4) можно рассматривать как расширение геодезического потока на эллипсоиде до потока в $T^{*} \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{2 n}$. Геодезический поток получается ограничением (3.4) на симплектическое многообразие и на энергетическое многообразие $\Phi_{0}(x, y)$ (см. раздел 5.3). Соотношения $\Phi_{0}=0, Q_{0}(x, y)=0$ эквивалентны соотношениям описывающим касательное расслоение эллипсоида, где определен ограниченный поток. Для установления интегрируемости геодезического потока достаточно показать интегрируемость расширенного потока (3.4) (см. раздел 5). Это следует из теоремы 1 и формулы следовательно, $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ — интегралы (3.4) в инволюции. 2. Изоспектральные деформации. Так как нули $1-\Phi_{z}(x, y)$ являются собственными значениями матрицы они также могут рассматриваться как интегралы движения, и $L(x, y)$ остается подобной самой себе вдоль орбит (3.4). Так как касательные к $\mathfrak{U}_{z}$ определяются уравнением $\Phi_{z}(x, y)=0$, более естественно построить матрицу $L(x, y)$, чьи собственные значения являются нулями $\Phi_{z}(x, y)$. Такая матрица имеет вид где определяются формулой $\Phi_{z}(x, Это предполагает возможность устремить $ стремится к $y$. Если выбрать $ имея своим пределом при $ Таким образом, $n-1$ корней $\Phi_{z}(x, y)$ являются собственными значениями $L$ и $n$-ое собственное значение $\lambda=0$, соответствующее собственному вектору $y$. Очевидно, что матрица (3.5) подвергается изоспектральной деформации под действием потока (3.4). Сделаем это более явным, записывая дифференциальные уравнения (3.4) в форме Лакса с подходящей матрицей $B$. Обобщим эту структуру и заменим гамильтониан $\Phi_{0}$ на с произвольными константами $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$. При $\beta_{j}=2 \alpha_{j}^{-1}$ имеем $H=\Phi_{0}$. Как и в предыдущем разделе, получаем следующую теорему. с гамильтонианом $H$ (3.7) может быть записана в матричном виде где L определяется выражением (3.5), и Следствие. Если $H=H\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right)$, то векторное поле $X_{H}$ соответствует изоспектральной деформации (3.8), (3.9), где Это утверждение требует вычислений, аналогичных проведенным при доказательстве теоремы 2. Дифференциальные уравнения имеют вид откуда следует, что и первое соотношение дает для $M_{x}=A-x \otimes x$ уравнение Объединяя два последние соотношения, находим для $L=P_{y}(A-$ $-x \otimes x) P_{y}=P_{y} M_{x} P_{y}$ после несложных вычислений получим что доказывает утверждение. 3. Интерпретация собственных значений и векторов $L$. В соответствии с последней теоремой, симметричная матрица $L(3.5)$ подвергается изоспектральной деформации, то есть ее собственные значения остаются постоянными и собственные направления изменяются под действием ортогонального преобразования. Дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам $L$. С этой целью рассмотрим собственные значения $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ матрицы $M_{x}$ и собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $L$, где $\lambda_{1}=0$. Кроме того, положим Тогда формулы предыдущего раздела дают Первое уравнение показывает, что собственные значения $\mu_{j}$ матрицы $M=M_{x}$ являются эллиптическими коордиатами от $x$. Действительно, соотношение определяет эллиптические координаты, так что $x \in \bigcap_{j=1}^{n} \mathfrak{U}_{\mu_{j}}$. Второе уравнение показывает, что собственные значения $\lambda_{j}(j=2, \ldots, n)$ это такие значения $z$, для которых прямые, проходяцие через $x$ в направлении $y$, касаются квадрики $\mathfrak{U}_{z}$. Действительно, мы видели, что уравнение $\Phi_{z}(x, y)=0$ определяет касательные к $\mathfrak{U}_{z}$. «Общая» прямая касается $n-1$ конфокальных квадрик $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$, где $\lambda_{j}$ выбираются как корни (3.11), пока $Q_{z}(y) Пусть собственные значения $\lambda_{j}$ матрицы $L=L(x, y)$ различны. Тогда собственным вектором для $\lambda_{1}=0$ будет $\phi_{1}=y$, и собственные векторы при $\lambda_{j} Для доказательства этого утверждения заметим, что точка касания с $\xi_{j}=x+s_{j} y$ определяется выражением Действительно, первое соотношение выражает условие касания прямой с $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$, а второе следует из если $Q_{\lambda_{j}}(y) Это искомые собственные функции, если $\lambda_{j} где мы для кратости обозначили $Q_{\lambda_{j}}$ через $Q$. Так как при $s=s_{j}$ и мы заключаем, что Утверждение доказано. поверхностям (Бьянки [2]). Эти поверхности являются поверхностями уровня функции $S=S(x, y)$ (см. раздел 4 ). 4. Интеграл Иоахимсталя. В классической литературе можно найти интеграл Иоахимсталя для геодезического потока на трехосном эллипсоиде. Он определяется как произведение $p \cdot d$, где для данной касательной к эллипсоиду $d$ — диаметр эллипсоида в направлении, параллельном касательной, и $p$ — расстояние от начала координат до касательной плоскости к эллипсоиду, содержащей данную касательную. Выразим этот интеграл через интегралы $G_{1}, G_{2}, G_{3}$, определяемые выражением Находим В самом деле, в точке $\xi \in \mathfrak{U}_{0}$, то есть $\left\langle A^{-1} \xi, \xi\right\rangle=1$, касательная плоскость задается как $\left\langle A^{-1} \xi, x\right\rangle=1$, а ее расстояние $p$ от $x=0$ как Для касательного вектора $\xi+\eta$ в $\xi$ имеем $\left\langle A^{-1} \xi, \eta\right\rangle=0$ и так что Сравнивая коэффициенты при $z^{-1}$ в ряду (3.12) и вычисляя $(d / d z) \Phi_{z}$ при $z=0$, находим для $x=\xi, y=\eta$ что дает требуемое равенство. Очевидно, этот интеграл имеет ту же интерпретацию для высших размерностей, однако не следует ожидать подобного геометрического значения для всех интегралов.
|
1 |
Оглавление
|