1. Интегралы для геодезического потока на эллипсоиде. В $n$-мерном евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^n$ со скалярным произведением $⟨x,y⟩$ рассмотрим положительно определенную симметричную матрицу $A$ с различными собственными значениями. Не ограничивая общности, можно считать, что $A=\mathrm{diag}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$, где $0<{\alpha }_1<{\alpha }_2<$ $<\cdots <{\alpha }_n$. Тогда уравнение
$$⟨A^{-1}x,x⟩=1$$

определяет эллипсоид. Квадрики ${\mathfrak{U}}_z$, конфокальные к эллипсоиду, задаются уравнением
$$⟨(z-A{)}^{-1}x,x⟩+1=0.$$

Введем билинейную форму
$$Q_z(x,y)=⟨(z-A{)}^{-1}x,y⟩,Q_z(x)=Q_z(x,x),$$

так что ${\mathfrak{U}}_z$ определяется выражением
$$Q_z(x)+1=0,$$

и (3.1) является квадрикой ${\mathfrak{U}}_0$. Конфокальные квадрики обладают рядом хорошо известными свойствами, которым мы дадим новую интерпретацию. Например, через каждую точку $x$ с $x_1{x}_2\cdots x_{n}eq0$ проходит ровно $n$ конфокальных квадрик, которые, кроме того, пересекают друг друга перпендикулярно.

Для любой заданной точки $x_0\in {\mathbb{R}}^n$ найдем конус прямых, касательных к квадрике $Q(x)+1=0$ (мы опускаем нижний индекс $z$, так как он в данном случае не имеет значения). После элементарных вычислений получаем уравнение этого конуса:
$$\begin{array}{c}\det \left(\begin{array}{cc}1+Q(x)& 1+Q(x,x_0)\\ 1+Q(x,x_0)& 1+Q\left(x_0\right)\end{array}\right)=\\ =Q(x)-2Q(x,x_0)+Q\left(x_0\right)+Q(x)Q\left(x_0\right)-Q^2(x,x_0)=0.\end{array}$$

Если положить $y=x-x_0$, то уравнение примет вид
$$\det \left(\begin{array}{cc}Q(y)& Q(x_0,y)\\ Q(x_0,y)& 1+Q\left(x_0\right)\end{array}\right)=Q(y)+Q\left(x_0\right)Q(y)-Q^2(x_0,y)=0,$$

которое при фиксированном $x_0$ описывает конус с вершиной в начале координат.
Это уравнение совпадает с уравнением
$${\mathrm{\Phi }}_z(x_0,y)=0,$$

если (в обозначениях предыдущего раздела) положить $a=0,b=-c=1$, $d=1$ (или $a=0,b=-c=i,d=1$ ). Оно показывает, что последнее уравнение можно геометрически интерпретировать, как определение множества прямых $x=x_0+sy$, касательных к ${\mathfrak{U}}_z$. В частности,
$${\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=0$$

описывает касательные к эллипсоиду ${\mathfrak{U}}_0$; мы заменили обозначение $x_0$ на $x$.

Гамильтоновы дифференциальные уравнения
$$\dot{x}=-\frac{\partial }{\partial y}{\mathrm{\Phi }}_0(x,y),\dot{y}=\frac{\partial }{\partial x}{\mathrm{\Phi }}_0(x,y),$$

ограниченные на ${\mathrm{\Phi }}_0=0$, описывают движение таких касательных, что легко интерпретировать следующим образом. Точка контакта с ${\mathfrak{U}}_0$ движется вдоль геодезической, в то время как точка $x$ движется перпендикулярно к этой касательной.

Действительно, если прямая, проходящая через $x$ в направлении $yeq0$, имеет точку касания $x+sy=\xi$ с ${\mathfrak{U}}_0$, то
$$Q(x+sy,y)=0,\text{ или }s=-\frac{Q(x,y)}{Q(y)},$$

и мы вычисляем, что
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\xi & =\frac{d}{dt}(x+sy)=\dot{x}+s\dot{y}+\dot{s}y=\\ & =\frac{2{\mathrm{\Phi }}_0(x,y)}{Q(y)}{A}^{-1}y+\dot{s}y=\dot{s}y\end{array}$$

так как ${\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=0$, и
$$\frac{dy}{dt}=-2Q(y)A^{-1}x+2Q(x,y)A^{-1}y=-2Q(y)A^{-1}\xi .$$

Если ввести параметр $\tau$ по формуле $d\tau /dt=\dot{s}$, то
$$\frac{d\xi }{dt}=y,\frac{d^2\xi }{d{\tau }^2}=\frac{dy}{d\tau }=-\frac{2Q(y)}{\dot{s}}{A}^{-1}\xi .$$

Это показывает, что точка касания $\xi =\xi (\tau )$ движется по геодезической. Из соотношений
$$⟨\dot{x},y⟩=2{\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=0,⟨y,\dot{y}⟩=0$$

следует, что $\dot{x}$ перпендикулярно направлению этой прямой, и $⟨y,y⟩$ постоянно.

Таким образом, (3.4) можно рассматривать как расширение геодезического потока на эллипсоиде до потока в $T^{\ast }{\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^{2n}$. Геодезический поток получается ограничением (3.4) на симплектическое многообразие
$$Q_0(x,y)=0,|y{|}^2=\text{ const }>0,$$

и на энергетическое многообразие ${\mathrm{\Phi }}_0(x,y)$ (см. раздел 5.3). Соотношения ${\mathrm{\Phi }}_0=0,Q_0(x,y)=0$ эквивалентны соотношениям
$$Q_0(x)+1=0,Q_0(x,y)=0,\text{ если }{Q}_0(y)eq0,$$

описывающим касательное расслоение эллипсоида, где определен ограниченный поток.

Для установления интегрируемости геодезического потока достаточно показать интегрируемость расширенного потока (3.4) (см. раздел 5). Это следует из теоремы 1 и формулы
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\sum _{j=1}^n\frac{G_j}{z-{\alpha }_j};$$

следовательно, $G_1,G_2,\dots ,G_n$ — интегралы (3.4) в инволюции.

2. Изоспектральные деформации. Так как нули $1-{\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ являются собственными значениями матрицы
$$L(x,y)=A+x\otimes y-y\otimes x-y\otimes y,$$

они также могут рассматриваться как интегралы движения, и $L(x,y)$ остается подобной самой себе вдоль орбит (3.4). Так как касательные к ${\mathfrak{U}}_z$ определяются уравнением ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=0$, более естественно построить матрицу $L(x,y)$, чьи собственные значения являются нулями ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$. Такая матрица имеет вид
$$L(x,y)=P_y(A-x\otimes x)P_y,$$

где
$$P_y=I-\frac{y\otimes y}{⟨y,y⟩}$$
— проекция на ортогональное дополнение к $y$ для $|y|=1$.
Для того, чтобы увидеть это, заметим, что собственные значения
$$L(x,uy)=A+u(x\otimes y-y\otimes x)-u^{2}y\otimes y$$

определяются формулой ${\mathrm{\Phi }}_z(x,uy)=1$, или
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\frac{1}{u^2}.$$

Это предполагает возможность устремить $u$ к бесконечности. Конечно, $L(x,uy)$ не имеет предела; действительно, одно из собственных значений $\lambda =u^2(|y{|}^2+O\left(u^{-2}\right))$ стремится к бесконечности, и соответствующий собственный вектор
$$\varphi =y+u^{-1}{P}_{y}x+O\left(u^{-2}\right)$$

стремится к $y$. Если выбрать $u$ чисто мнимым, то $L(x,uy)$ будет эрмитовой, и на ортогональном дополнении к $\varphi$ данная матрица принимает вид
$$L(x,uy)-\frac{\varphi \otimes \overline{\varphi }}{|\varphi {|}^2},$$

имея своим пределом при $u\to \mathrm{\infty }$ матрицу (3.5). Также легко проверить непосредственно, что для матрицы (3.5) имеем
$$|y{|}^2\frac{\det (z-L)}{\det (z-A)}=-z{\mathrm{\Phi }}_z(x,y).$$

Таким образом, $n-1$ корней ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ являются собственными значениями $L$ и $n$-ое собственное значение $\lambda =0$, соответствующее собственному вектору $y$. Очевидно, что матрица (3.5) подвергается изоспектральной деформации под действием потока (3.4). Сделаем это более явным, записывая дифференциальные уравнения (3.4) в форме Лакса
$$\frac{d}{dt}L=[B,L]$$

с подходящей матрицей $B$. Обобщим эту структуру и заменим гамильтониан ${\mathrm{\Phi }}_0$ на
$$H=\frac{1}{2}\sum {\beta }_j{y}_j^2+\frac{1}{2}\sum _{i<j}\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\beta }_j{G}_j$$

с произвольными константами ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$. При ${\beta }_j=2{\alpha }_j^{-1}$ имеем $H={\mathrm{\Phi }}_0$. Как и в предыдущем разделе, получаем следующую теорему.
Теорема 3. Гамильтонова система
$$\dot{x}=H_y,\dot{y}=-H_x$$

с гамильтонианом $H$ (3.7) может быть записана в матричном виде
$$\frac{d}{dt}L=[B,L]$$

где L определяется выражением (3.5), и
$$B=-\left(\frac{{\beta }_i-{\beta }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}(x_i{y}_j-x_j{y}_i)\right)$$
— матрица с нулевыми диагональными элементами.

Следствие. Если $H=H(G_1,G_2,\dots ,G_n)$, то векторное поле $X_H$ соответствует изоспектральной деформации (3.8), (3.9), где
$${\beta }_j=2\frac{\partial H}{\partial G_j}.$$

Это утверждение требует вычислений, аналогичных проведенным при доказательстве теоремы 2. Дифференциальные уравнения имеют вид
$$\dot{x}=\beta y+Bx,\dot{y}=+By,$$

откуда следует, что
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}(x\otimes x)=-[B,A-(x\otimes x)]+\beta x\otimes y+y\otimes \beta x,\\ \frac{d}{dt}(y\otimes y)=[B,y\otimes y]\end{array}$$
$\mathrm{c}\beta =\mathrm{diag}({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$. Так как $⟨y,y⟩$ является интегралом, последнее соотношение означает, что
$$\frac{d}{dt}{P}_y=[B,P_y]$$

и первое соотношение дает для $M_x=A-x\otimes x$ уравнение
$$\frac{d}{dt}{M}_x=[B,M_x]-\beta x\otimes y-y\otimes \beta x.$$

Объединяя два последние соотношения, находим для $L=P_y(A-$ $-x\otimes x)P_y=P_y{M}_x{P}_y$ после несложных вычислений получим
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}L& =[B,P_y]M_x{P}_y+P_y[B,M_x]P_y+P_y{M}_x[B,P_y]=\\ & =[B,P_y{M}_x{P}_y]=[B,L],\end{array}$$

что доказывает утверждение.

3. Интерпретация собственных значений и векторов $L$. В соответствии с последней теоремой, симметричная матрица $L(3.5)$ подвергается изоспектральной деформации, то есть ее собственные значения остаются постоянными и собственные направления изменяются под действием ортогонального преобразования. Дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам $L$.

С этой целью рассмотрим собственные значения ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n$ матрицы $M_x$ и собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ матрицы $L$, где ${\lambda }_1=0$. Кроме того, положим
$$m(z)=\prod _{j=1}^n(z-{\mu }_j),l(z)=\prod _{j=1}^n(z-{\lambda }_j),\text{ и }a(z)=\prod _{j=1}^n(z-{\alpha }_j).$$

Тогда формулы предыдущего раздела дают
$$\begin{array}{c}1+Q_z(x)=\frac{\det (z-M)}{\det (z-A)}=\frac{m(z)}{a(z)},\\ -z{\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=|y{|}^2\frac{\det (z-L)}{\det (z-A)}=|y{|}^2\frac{l(z)}{a(z)}.\end{array}$$

Первое уравнение показывает, что собственные значения ${\mu }_j$ матрицы $M=M_x$ являются эллиптическими коордиатами от $x$. Действительно, соотношение
$$1+\sum \frac{x_j^2}{z-{\alpha }_j}=0\text{ при }z={\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n$$

определяет эллиптические координаты, так что $x\in \bigcap _{j=1}^n{\mathfrak{U}}_{{\mu }_j}$. Второе уравнение показывает, что собственные значения ${\lambda }_j(j=2,\dots ,n)$ это такие значения $z$, для которых прямые, проходяцие через $x$ в направлении $y$, касаются квадрики ${\mathfrak{U}}_z$. Действительно, мы видели, что уравнение ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=0$ определяет касательные к ${\mathfrak{U}}_z$. «Общая» прямая касается $n-1$ конфокальных квадрик ${\mathfrak{U}}_{{\lambda }_j}$, где ${\lambda }_j$ выбираются как корни (3.11), пока $Q_z(y)eq0$.

Пусть собственные значения ${\lambda }_j$ матрицы $L=L(x,y)$ различны. Тогда собственным вектором для ${\lambda }_1=0$ будет ${\varphi }_1=y$, и собственные векторы при ${\lambda }_{j}eq0$ являются нормалями к конфокальным квадрикам ${\mathfrak{U}}_{{\lambda }_j}$ в точке касания ${\xi }_j=x+s_{j}y$ с прямой, проходящей через $x$ в направлении $у$.

Для доказательства этого утверждения заметим, что точка касания с ${\xi }_j=x+s_{j}y$ определяется выражением
$$Q_{{\lambda }_j}({\xi }_j,y)=0,1+Q_{{\lambda }_j}\left({\xi }_j\right)=0.$$

Действительно, первое соотношение выражает условие касания прямой с ${\mathfrak{U}}_{{\lambda }_j}$, а второе следует из
$$0={\mathrm{\Phi }}_{{\lambda }_j}(x,y)={\mathrm{\Phi }}_{{\lambda }_j}({\xi }_j,y)=Q_{{\lambda }_j}(y)(1+Q_{{\lambda }_j}\left({\xi }_j\right))-Q_{{\lambda }_j}^2({\xi }_j,y),$$

если $Q_{{\lambda }_j}(y)eq0$.
Нормаль к ${\mathfrak{U}}_{{\lambda }_j}$ в ${\xi }_j$ определяется формулой
$$\varphi ={({\lambda }_j-A)}^{-1}{\xi }_j.$$

Это искомые собственные функции, если ${\lambda }_{j}eq0$. Действительно, так как они ортогональны к $y$, собственной функции для $\lambda =0$, имеем $P_y\varphi =\varphi$; следовательно, при $\lambda ={\lambda }_j,\xi ={\xi }_j$
$$(\lambda -L)\varphi =P_y(\lambda -A+x\otimes x)\varphi =P_y(\xi +x⟨x,\varphi ⟩)=P_y(\xi +xQ(x,\xi )),$$

где мы для кратости обозначили $Q_{{\lambda }_j}$ через $Q$. Так как при $s=s_j$
$$Q(x,\xi )=Q(x+sy,\xi )=Q(\xi )=-1,$$

и мы заключаем, что
$$(\lambda -L)\varphi =P_y(\xi -x)=P_y(sy)=0.$$

Утверждение доказано.
Таким образом, $n-1$ нормалей ${\varphi }_j={({\lambda }_j-A)}^{-1}{\xi }_j(j=2,\dots ,n)$ и $y$ образуют ортогональную систему. Это хорошо известная теорема из элементарной геометрии, выведенная Шале (Салмон и Фидлер [17]): нормали к двум конфокальным квадрикам ${\mathfrak{U}}_{z_1}{\mathfrak{U}}_{z_2}$ в точках касания с общей касательной перпендикулярны друг другу. Утверждение теоремы соответствует ортогональности системы ${\mathrm{\Phi }}_1=y,{\mathrm{\Phi }}_j={({\lambda }_j-A)}^{-1}{\xi }_j$. Действительно, равенство $\{{\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}\}=0$ может быть выведено из этого геометрического факта (см. Мозер [12]). Другим следствием того же геометрического факта является то, что общие касательные к $n-1$ конфокальным квадрикам ${\mathfrak{U}}_{z_1},\dots ,{\mathfrak{U}}_{z_{n-1}}$ образуют нормальную конгруэнцию, то есть могут рассматриваться как нормали к $n$ — 1 -мерным

поверхностям (Бьянки [2]). Эти поверхности являются поверхностями уровня функции $S=S(x,y)$ (см. раздел 4 ).

4. Интеграл Иоахимсталя. В классической литературе можно найти интеграл Иоахимсталя для геодезического потока на трехосном эллипсоиде. Он определяется как произведение $p\cdot d$, где для данной касательной к эллипсоиду $d$ — диаметр эллипсоида в направлении, параллельном касательной, и $p$ — расстояние от начала координат до касательной плоскости к эллипсоиду, содержащей данную касательную. Выразим этот интеграл через интегралы $G_1,G_2,G_3$, определяемые выражением
$${\mathrm{\Phi }}_z=\sum _{j=1}^n\frac{G_j}{z-{\alpha }_j}.$$

Находим
$${\left(\frac{pd}{2}\right)}^2=-\frac{\sum _{j=1}^3{G}_j}{\sum _{j=1}^3{\alpha }_j^{-2}{G}_j}.$$

В самом деле, в точке $\xi \in {\mathfrak{U}}_0$, то есть $⟨A^{-1}\xi ,\xi ⟩=1$, касательная плоскость задается как $⟨A^{-1}\xi ,x⟩=1$, а ее расстояние $p$ от $x=0$ как
$$p={\left|A^{-1}\xi \right|}^{-1}\text{. }$$

Для касательного вектора $\xi +\eta$ в $\xi$ имеем $⟨A^{-1}\xi ,\eta ⟩=0$ и
$${\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\frac{⟨\eta ,\eta ⟩}{⟨A^{-1}\eta ,\eta ⟩},$$

так что
$${\left(\frac{pd}{2}\right)}^2=\frac{⟨\eta ,\eta ⟩}{⟨A^{-1}\eta ,\eta ⟩⟨A^{-2}\xi ,\xi ⟩}.$$

Сравнивая коэффициенты при $z^{-1}$ в ряду (3.12) и вычисляя $(d/dz){\mathrm{\Phi }}_z$

при $z=0$, находим для $x=\xi ,y=\eta$
$$\begin{array}{c}⟨\eta ,\eta ⟩=\sum _{j=1}^3{G}_j,\\ ⟨A^{-1}\eta ,\eta ⟩⟨A^{-2}\xi ,\xi ⟩=-\sum _{j=1}^3{\alpha }_j^{-2}{G}_j,\end{array}$$

что дает требуемое равенство. Очевидно, этот интеграл имеет ту же интерпретацию для высших размерностей, однако не следует ожидать подобного геометрического значения для всех интегралов.