1. Интегралы для геодезического потока на эллипсоиде. В $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$ со скалярным произведением $\langle x, y\rangle$ рассмотрим положительно определенную симметричную матрицу $A$ с различными собственными значениями. Не ограничивая общности, можно считать, что $A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, где $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<$ $<\cdots<\alpha_{n}$. Тогда уравнение
\[
\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1
\]

определяет эллипсоид. Квадрики $\mathfrak{U}_{z}$, конфокальные к эллипсоиду, задаются уравнением
\[
\left\langle(z-A)^{-1} x, x\right\rangle+1=0 .
\]

Введем билинейную форму
\[
Q_{z}(x, y)=\left\langle(z-A)^{-1} x, y\right\rangle, \quad Q_{z}(x)=Q_{z}(x, x),
\]

так что $\mathfrak{U}_{z}$ определяется выражением
\[
Q_{z}(x)+1=0,
\]

и (3.1) является квадрикой $\mathfrak{U}_{0}$. Конфокальные квадрики обладают рядом хорошо известными свойствами, которым мы дадим новую интерпретацию. Например, через каждую точку $x$ с $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}
eq 0$ проходит ровно $n$ конфокальных квадрик, которые, кроме того, пересекают друг друга перпендикулярно.

Для любой заданной точки $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ найдем конус прямых, касательных к квадрике $Q(x)+1=0$ (мы опускаем нижний индекс $z$, так как он в данном случае не имеет значения). После элементарных вычислений получаем уравнение этого конуса:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
1+Q(x) & 1+Q\left(x, x_{0}\right) \\
1+Q\left(x, x_{0}\right) & 1+Q\left(x_{0}\right)
\end{array}\right)= \\
=Q(x)-2 Q\left(x, x_{0}\right)+Q\left(x_{0}\right)+Q(x) Q\left(x_{0}\right)-Q^{2}\left(x, x_{0}\right)=0 .
\end{array}
\]

Если положить $y=x-x_{0}$, то уравнение примет вид
\[
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
Q(y) & Q\left(x_{0}, y\right) \\
Q\left(x_{0}, y\right) & 1+Q\left(x_{0}\right)
\end{array}\right)=Q(y)+Q\left(x_{0}\right) Q(y)-Q^{2}\left(x_{0}, y\right)=0,
\]

которое при фиксированном $x_{0}$ описывает конус с вершиной в начале координат.
Это уравнение совпадает с уравнением
\[
\Phi_{z}\left(x_{0}, y\right)=0,
\]

если (в обозначениях предыдущего раздела) положить $a=0, b=-c=1$, $d=1$ (или $a=0, b=-c=i, d=1$ ). Оно показывает, что последнее уравнение можно геометрически интерпретировать, как определение множества прямых $x=x_{0}+s y$, касательных к $\mathfrak{U}_{z}$. В частности,
\[
\Phi_{0}(x, y)=0
\]

описывает касательные к эллипсоиду $\mathfrak{U}_{0}$; мы заменили обозначение $x_{0}$ на $x$.

Гамильтоновы дифференциальные уравнения
\[
\dot{x}=-\frac{\partial}{\partial y} \Phi_{0}(x, y), \quad \dot{y}=\frac{\partial}{\partial x} \Phi_{0}(x, y),
\]

ограниченные на $\Phi_{0}=0$, описывают движение таких касательных, что легко интерпретировать следующим образом. Точка контакта с $\mathfrak{U}_{0}$ движется вдоль геодезической, в то время как точка $x$ движется перпендикулярно к этой касательной.

Действительно, если прямая, проходящая через $x$ в направлении $y
eq 0$, имеет точку касания $x+s y=\xi$ с $\mathfrak{U}_{0}$, то
\[
Q(x+s y, y)=0, \quad \text { или } s=-\frac{Q(x, y)}{Q(y)},
\]

и мы вычисляем, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \xi & =\frac{d}{d t}(x+s y)=\dot{x}+s \dot{y}+\dot{s} y= \\
& =\frac{2 \Phi_{0}(x, y)}{Q(y)} A^{-1} y+\dot{s} y=\dot{s} y
\end{aligned}
\]

так как $\Phi_{0}(x, y)=0$, и
\[
\frac{d y}{d t}=-2 Q(y) A^{-1} x+2 Q(x, y) A^{-1} y=-2 Q(y) A^{-1} \xi .
\]

Если ввести параметр $\tau$ по формуле $d \tau / d t=\dot{s}$, то
\[
\frac{d \xi}{d t}=y, \quad \frac{d^{2} \xi}{d \tau^{2}}=\frac{d y}{d \tau}=-\frac{2 Q(y)}{\dot{s}} A^{-1} \xi .
\]

Это показывает, что точка касания $\xi=\xi(\tau)$ движется по геодезической. Из соотношений
\[
\langle\dot{x}, y\rangle=2 \Phi_{0}(x, y)=0, \quad\langle y, \dot{y}\rangle=0
\]

следует, что $\dot{x}$ перпендикулярно направлению этой прямой, и $\langle y, y\rangle$ постоянно.

Таким образом, (3.4) можно рассматривать как расширение геодезического потока на эллипсоиде до потока в $T^{*} \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{2 n}$. Геодезический поток получается ограничением (3.4) на симплектическое многообразие
\[
Q_{0}(x, y)=0, \quad|y|^{2}=\text { const }>0,
\]

и на энергетическое многообразие $\Phi_{0}(x, y)$ (см. раздел 5.3). Соотношения $\Phi_{0}=0, Q_{0}(x, y)=0$ эквивалентны соотношениям
\[
Q_{0}(x)+1=0, \quad Q_{0}(x, y)=0, \quad \text { если } Q_{0}(y)
eq 0,
\]

описывающим касательное расслоение эллипсоида, где определен ограниченный поток.

Для установления интегрируемости геодезического потока достаточно показать интегрируемость расширенного потока (3.4) (см. раздел 5). Это следует из теоремы 1 и формулы
\[
\Phi_{z}(x, y)=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}}{z-\alpha_{j}} ;
\]

следовательно, $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ – интегралы (3.4) в инволюции.

2. Изоспектральные деформации. Так как нули $1-\Phi_{z}(x, y)$ являются собственными значениями матрицы
\[
L(x, y)=A+x \otimes y-y \otimes x-y \otimes y,
\]

они также могут рассматриваться как интегралы движения, и $L(x, y)$ остается подобной самой себе вдоль орбит (3.4). Так как касательные к $\mathfrak{U}_{z}$ определяются уравнением $\Phi_{z}(x, y)=0$, более естественно построить матрицу $L(x, y)$, чьи собственные значения являются нулями $\Phi_{z}(x, y)$. Такая матрица имеет вид
\[
L(x, y)=P_{y}(A-x \otimes x) P_{y},
\]

где
\[
P_{y}=I-\frac{y \otimes y}{\langle y, y\rangle}
\]
– проекция на ортогональное дополнение к $y$ для $|y|=1$.
Для того, чтобы увидеть это, заметим, что собственные значения
\[
L(x,
u y)=A+
u(x \otimes y-y \otimes x)-
u^{2} y \otimes y
\]

определяются формулой $\Phi_{z}(x,
u y)=1$, или
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{1}{
u^{2}} .
\]

Это предполагает возможность устремить $
u$ к бесконечности. Конечно, $L(x,
u y)$ не имеет предела; действительно, одно из собственных значений $\lambda=
u^{2}\left(|y|^{2}+O\left(
u^{-2}\right)\right)$ стремится к бесконечности, и соответствующий собственный вектор
\[
\phi=y+
u^{-1} P_{y} x+O\left(
u^{-2}\right)
\]

стремится к $y$. Если выбрать $
u$ чисто мнимым, то $L(x,
u y)$ будет эрмитовой, и на ортогональном дополнении к $\phi$ данная матрица принимает вид
\[
L(x,
u y)-\frac{\phi \otimes \bar{\phi}}{|\phi|^{2}},
\]

имея своим пределом при $
u \rightarrow \infty$ матрицу (3.5). Также легко проверить непосредственно, что для матрицы (3.5) имеем
\[
|y|^{2} \frac{\operatorname{det}(z-L)}{\operatorname{det}(z-A)}=-z \Phi_{z}(x, y) .
\]

Таким образом, $n-1$ корней $\Phi_{z}(x, y)$ являются собственными значениями $L$ и $n$-ое собственное значение $\lambda=0$, соответствующее собственному вектору $y$. Очевидно, что матрица (3.5) подвергается изоспектральной деформации под действием потока (3.4). Сделаем это более явным, записывая дифференциальные уравнения (3.4) в форме Лакса
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L]
\]

с подходящей матрицей $B$. Обобщим эту структуру и заменим гамильтониан $\Phi_{0}$ на
\[
H=\frac{1}{2} \sum \beta_{j} y_{j}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i<j} \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \beta_{j} G_{j}
\]

с произвольными константами $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$. При $\beta_{j}=2 \alpha_{j}^{-1}$ имеем $H=\Phi_{0}$. Как и в предыдущем разделе, получаем следующую теорему.
Теорема 3. Гамильтонова система
\[
\dot{x}=H_{y}, \quad \dot{y}=-H_{x}
\]

с гамильтонианом $H$ (3.7) может быть записана в матричном виде
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L]
\]

где L определяется выражением (3.5), и
\[
B=-\left(\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)\right)
\]
– матрица с нулевыми диагональными элементами.

Следствие. Если $H=H\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right)$, то векторное поле $X_{H}$ соответствует изоспектральной деформации (3.8), (3.9), где
\[
\beta_{j}=2 \frac{\partial H}{\partial G_{j}} .
\]

Это утверждение требует вычислений, аналогичных проведенным при доказательстве теоремы 2. Дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\dot{x}=\beta y+B x, \quad \dot{y}=+B y,
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}(x \otimes x)=-[B, A-(x \otimes x)]+\beta x \otimes y+y \otimes \beta x, \\
\frac{d}{d t}(y \otimes y)=[B, y \otimes y]
\end{array}
\]
$\mathrm{c} \beta=\operatorname{diag}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)$. Так как $\langle y, y\rangle$ является интегралом, последнее соотношение означает, что
\[
\frac{d}{d t} P_{y}=\left[B, P_{y}\right]
\]

и первое соотношение дает для $M_{x}=A-x \otimes x$ уравнение
\[
\frac{d}{d t} M_{x}=\left[B, M_{x}\right]-\beta x \otimes y-y \otimes \beta x .
\]

Объединяя два последние соотношения, находим для $L=P_{y}(A-$ $-x \otimes x) P_{y}=P_{y} M_{x} P_{y}$ после несложных вычислений получим
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} L & =\left[B, P_{y}\right] M_{x} P_{y}+P_{y}\left[B, M_{x}\right] P_{y}+P_{y} M_{x}\left[B, P_{y}\right]= \\
& =\left[B, P_{y} M_{x} P_{y}\right]=[B, L],
\end{aligned}
\]

что доказывает утверждение.

3. Интерпретация собственных значений и векторов $L$. В соответствии с последней теоремой, симметричная матрица $L(3.5)$ подвергается изоспектральной деформации, то есть ее собственные значения остаются постоянными и собственные направления изменяются под действием ортогонального преобразования. Дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам $L$.

С этой целью рассмотрим собственные значения $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ матрицы $M_{x}$ и собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $L$, где $\lambda_{1}=0$. Кроме того, положим
\[
m(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\mu_{j}\right), \quad l(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\lambda_{j}\right), \quad \text { и } a(z)=\prod_{j=1}^{n}\left(z-\alpha_{j}\right) .
\]

Тогда формулы предыдущего раздела дают
\[
\begin{array}{c}
1+Q_{z}(x)=\frac{\operatorname{det}(z-M)}{\operatorname{det}(z-A)}=\frac{m(z)}{a(z)}, \\
-z \Phi_{z}(x, y)=|y|^{2} \frac{\operatorname{det}(z-L)}{\operatorname{det}(z-A)}=|y|^{2} \frac{l(z)}{a(z)} .
\end{array}
\]

Первое уравнение показывает, что собственные значения $\mu_{j}$ матрицы $M=M_{x}$ являются эллиптическими коордиатами от $x$. Действительно, соотношение
\[
1+\sum \frac{x_{j}^{2}}{z-\alpha_{j}}=0 \text { при } z=\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}
\]

определяет эллиптические координаты, так что $x \in \bigcap_{j=1}^{n} \mathfrak{U}_{\mu_{j}}$. Второе уравнение показывает, что собственные значения $\lambda_{j}(j=2, \ldots, n)$ это такие значения $z$, для которых прямые, проходяцие через $x$ в направлении $y$, касаются квадрики $\mathfrak{U}_{z}$. Действительно, мы видели, что уравнение $\Phi_{z}(x, y)=0$ определяет касательные к $\mathfrak{U}_{z}$. «Общая» прямая касается $n-1$ конфокальных квадрик $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$, где $\lambda_{j}$ выбираются как корни (3.11), пока $Q_{z}(y)
eq 0$.

Пусть собственные значения $\lambda_{j}$ матрицы $L=L(x, y)$ различны. Тогда собственным вектором для $\lambda_{1}=0$ будет $\phi_{1}=y$, и собственные векторы при $\lambda_{j}
eq 0$ являются нормалями к конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$ в точке касания $\xi_{j}=x+s_{j} y$ с прямой, проходящей через $x$ в направлении $у$.

Для доказательства этого утверждения заметим, что точка касания с $\xi_{j}=x+s_{j} y$ определяется выражением
\[
Q_{\lambda_{j}}\left(\xi_{j}, y\right)=0, \quad 1+Q_{\lambda_{j}}\left(\xi_{j}\right)=0 .
\]

Действительно, первое соотношение выражает условие касания прямой с $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$, а второе следует из
\[
0=\Phi_{\lambda_{j}}(x, y)=\Phi_{\lambda_{j}}\left(\xi_{j}, y\right)=Q_{\lambda_{j}}(y)\left(1+Q_{\lambda_{j}}\left(\xi_{j}\right)\right)-Q_{\lambda_{j}}^{2}\left(\xi_{j}, y\right),
\]

если $Q_{\lambda_{j}}(y)
eq 0$.
Нормаль к $\mathfrak{U}_{\lambda_{j}}$ в $\xi_{j}$ определяется формулой
\[
\phi=\left(\lambda_{j}-A\right)^{-1} \xi_{j} .
\]

Это искомые собственные функции, если $\lambda_{j}
eq 0$. Действительно, так как они ортогональны к $y$, собственной функции для $\lambda=0$, имеем $P_{y} \phi=\phi$; следовательно, при $\lambda=\lambda_{j}, \xi=\xi_{j}$
\[
(\lambda-L) \phi=P_{y}(\lambda-A+x \otimes x) \phi=P_{y}(\xi+x\langle x, \phi\rangle)=P_{y}(\xi+x Q(x, \xi)),
\]

где мы для кратости обозначили $Q_{\lambda_{j}}$ через $Q$. Так как при $s=s_{j}$
\[
Q(x, \xi)=Q(x+s y, \xi)=Q(\xi)=-1,
\]

и мы заключаем, что
\[
(\lambda-L) \phi=P_{y}(\xi-x)=P_{y}(s y)=0 .
\]

Утверждение доказано.
Таким образом, $n-1$ нормалей $\phi_{j}=\left(\lambda_{j}-A\right)^{-1} \xi_{j}(j=2, \ldots, n)$ и $y$ образуют ортогональную систему. Это хорошо известная теорема из элементарной геометрии, выведенная Шале (Салмон и Фидлер [17]): нормали к двум конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{z_{1}} \mathfrak{U}_{z_{2}}$ в точках касания с общей касательной перпендикулярны друг другу. Утверждение теоремы соответствует ортогональности системы $\Phi_{1}=y, \Phi_{j}=\left(\lambda_{j}-A\right)^{-1} \xi_{j}$. Действительно, равенство $\left\{\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}\right\}=0$ может быть выведено из этого геометрического факта (см. Мозер [12]). Другим следствием того же геометрического факта является то, что общие касательные к $n-1$ конфокальным квадрикам $\mathfrak{U}_{z_{1}}, \ldots, \mathfrak{U}_{z_{n-1}}$ образуют нормальную конгруэнцию, то есть могут рассматриваться как нормали к $n$ – 1 -мерным

поверхностям (Бьянки [2]). Эти поверхности являются поверхностями уровня функции $S=S(x, y)$ (см. раздел 4 ).

4. Интеграл Иоахимсталя. В классической литературе можно найти интеграл Иоахимсталя для геодезического потока на трехосном эллипсоиде. Он определяется как произведение $p \cdot d$, где для данной касательной к эллипсоиду $d$ – диаметр эллипсоида в направлении, параллельном касательной, и $p$ – расстояние от начала координат до касательной плоскости к эллипсоиду, содержащей данную касательную. Выразим этот интеграл через интегралы $G_{1}, G_{2}, G_{3}$, определяемые выражением
\[
\Phi_{z}=\sum_{j=1}^{n} \frac{G_{j}}{z-\alpha_{j}} .
\]

Находим
\[
\left(\frac{p d}{2}\right)^{2}=-\frac{\sum_{j=1}^{3} G_{j}}{\sum_{j=1}^{3} \alpha_{j}^{-2} G_{j}} .
\]

В самом деле, в точке $\xi \in \mathfrak{U}_{0}$, то есть $\left\langle A^{-1} \xi, \xi\right\rangle=1$, касательная плоскость задается как $\left\langle A^{-1} \xi, x\right\rangle=1$, а ее расстояние $p$ от $x=0$ как
\[
p=\left|A^{-1} \xi\right|^{-1} \text {. }
\]

Для касательного вектора $\xi+\eta$ в $\xi$ имеем $\left\langle A^{-1} \xi, \eta\right\rangle=0$ и
\[
\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\langle\eta, \eta\rangle}{\left\langle A^{-1} \eta, \eta\right\rangle},
\]

так что
\[
\left(\frac{p d}{2}\right)^{2}=\frac{\langle\eta, \eta\rangle}{\left\langle A^{-1} \eta, \eta\right\rangle\left\langle A^{-2} \xi, \xi\right\rangle} .
\]

Сравнивая коэффициенты при $z^{-1}$ в ряду (3.12) и вычисляя $(d / d z) \Phi_{z}$

при $z=0$, находим для $x=\xi, y=\eta$
\[
\begin{array}{c}
\langle\eta, \eta\rangle=\sum_{j=1}^{3} G_{j}, \\
\left\langle A^{-1} \eta, \eta\right\rangle\left\langle A^{-2} \xi, \xi\right\rangle=-\sum_{j=1}^{3} \alpha_{j}^{-2} G_{j},
\end{array}
\]

что дает требуемое равенство. Очевидно, этот интеграл имеет ту же интерпретацию для высших размерностей, однако не следует ожидать подобного геометрического значения для всех интегралов.