Гамильтонова система (1.2), как показано выше, обладает $n$ интегралами $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}$, которые являются полиномами от $y_{k}$ и $e^{x_{k}-x_{k+1}}$.

Можно показать, хотя мы не будем здесь этого делать, что эти интегралы находятся в инволюции, т. е. скобка Пуассона для двух любых из них равна нулю. Используя эти интегралы как новые гамильтонианы, можно ввести $n$ новых векторных полей, которые обладают теми же интегралами и коммутируют друг с другом. Они превращают многообразия $I_{k}=$ const в коммутативные группы. Это хорошо известные факты для интегрируемых гамильтоновых систем (см., например, приложение 26 в [7]), которые мы здесь непосредственно проверим.

В качестве первого шага рассмотрим дифференциальное уравнение (2.7), которое представляет собой деформацию матрицы Якоби $L$, не изменяющую спектр. Существует много таких изоспектральных деформаций, которые соответствуют различным матрицам $B$. Мы ограничимся здесь кососимметричными матрицами $B$, порождающими ортогональные преобразования подобия, которые вместо одной пары ненулевых диагоналей допускают несколько таких пар. Пусть $B_{p}$ представляет собой кососимметричную матрицу с $p$ ненулевыми диагоналями и диагоналями, смежными им (из условия кососимметричности). Таким образом, матрица $B$, определенная в (2.7), будет обозначаться $B_{1}$. Потребуем, чтобы для каждого $p$ в интервале $1 \leqslant p<n$ можно было найти нетривиальную матрицу $B_{p}$, такую, чтобы $\grave{L}=B_{p} L-L B_{p}$ определяло дифференциальное уравнение, имеющее смысл – то есть, чтобы коммутатор $B_{p} L-L B_{p}$ имел бы только одну диагональ выше главной диагонали, тогда как все остальные элементы обращались бы в ноль. Мы обоснуем это утверждение ниже, но прежде отметим, что у всех этих дифференциальных уравнений собственные значения $L$ являются интегралами и, следовательно, могут быть записаны в переменных $r_{k}, \lambda_{k}$ в виде $\dot{\lambda}_{k}=0, \dot{r}_{k}=f_{k}(\lambda, r)$. При $p=2$ находим матрицу
\[
B_{2}=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & \beta_{1} & \gamma_{1} & & \\
-\beta_{1} & 0 & \beta_{2} & \ddots & \\
-\gamma_{1} & -\beta_{2} & 0 & & \gamma_{n-2} \\
& \ddots & & \ddots & \beta_{n-1} \\
& & -\gamma_{n-2} & -\beta_{n-1} & 0
\end{array}\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\beta_{k} & =\left(b_{k}+b_{k+1}\right) a_{k}, & k & =1,2, \ldots, n-1, \\
\gamma_{k} & =a_{k} a_{k+1}, & k & =1,2, \ldots, n-2,
\end{aligned}
\]

и дифференциальное уравнение $\dot{L}=B_{2} L-L B_{2}$ принимает простой вид
\[
\begin{array}{lll}
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}+b_{k+1}^{2}-b_{k}^{2}\right), & & k \leqslant n-1, \\
\dot{b}_{k}=2 b_{k}\left(a_{k}^{2}-a_{k-1}^{2}\right)+2 b_{k+1} a_{k}^{2}-b_{k-1} a_{k-1}^{2}, & & k \leqslant n,
\end{array}
\]

где мы полагаем $a_{0}=0, a_{n}=0$. Снова введем $r, \lambda$ с помощью преобразования (3.10), что приведет к дифференциальному уравнению
\[
\frac{d \lambda_{k}}{d t}=0, \quad \frac{d r_{k}}{d t}=-\lambda_{k}^{2} r_{k} .
\]

Наметим здесь наше вычисление. Сначала, ограничивая $r_{k}$ на $\sum r_{k}^{2}=1$, получим
\[
\frac{d f}{d t}=\sum \frac{2 r_{k} \dot{r}_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{aligned}
\frac{d f}{d t} & =\left(\dot{R}(\lambda) e_{n}, e_{n}\right)=\left(\left(B_{2} R-R B_{2}\right) e_{n}, e_{n}\right)= \\
& =-2\left(R B_{2} e_{n}, e_{n}\right)=-2\left(R\left(\gamma_{n-2} e_{n-2}+\beta_{n-1} e_{n-1}\right), e_{n}\right)= \\
& =-2\left(\gamma_{n-2} R_{n, n-2}+\beta_{n-1} R_{n, n-1}\right) .
\end{aligned}
\]

При помощи (5.1) и
\[
R_{n, n-1}=\frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n}} a_{n-1}, \quad R_{n, n-2}=\frac{\Delta_{n-3}}{\Delta_{n}} a_{n-2} a_{n-1}
\]

можно получить
\[
\frac{d f}{d t}=-2 \frac{a_{n-1}^{2}}{\Delta_{n}}\left(a_{n-2}^{2} \Delta_{n-3}+\left(b_{n-1}+b_{n}\right) \Delta_{n-2}\right) .
\]

Используя рекуррентное выражение (3.7) при $k=n-1, n$, находим
\[
\frac{d f}{d t}=-2\left(\lambda^{2}-b_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right) \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}} .
\]

Сравнивая вычеты в этих выражениях в $\lambda_{k}$ с вычетами (5.3), получим
\[
\dot{r}_{k}=-\left(\lambda_{k}^{2}-b_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right) r_{k},
\]

и учитывая, что $r_{k}$ являются однородными координатами,
\[
\dot{r}_{k}=-\lambda_{k}^{2} r_{k} .
\]

Так как решения системы (5.2) могут быть выражены как рациональные функции $\lambda_{k}$ и $e^{-\lambda_{k}^{2} t}$, асимптотическое поведение их решений также может быть полностью описано на основе результатов предыдущих разделов.

Интересно заметить, что дифференциальные уравнения (5.2) допускают $b_{k}=0, k=1, \ldots, n$, как инвариантное многообразие, на котором они редуцируются к виду
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}\right), \quad k=1, \ldots, n-1 .
\]

Это – уравнения деформации для матрицы Якоби $L$ с нулевой диагональю ${ }^{1}$.

Чтобы понять, какое из решений (5.3) соответствует (5.4), снова рассмотрим разложение в цепную дробь (3.5), обозначая левую часть через $f(\lambda, a, b)$. Легко проверить, что инволюция $b_{k} \rightarrow-b_{k}, a_{k} \rightarrow a_{k}$ приводит к условию
\[
-f(-\lambda, a,-b)=f(\lambda, a, b)=\sum_{k=1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

Следовательно, если собственные значения $\lambda_{k}$ упорядочены по величине, то такая инволюция соответствует преобразованию
\[
\lambda_{k} \rightarrow-\lambda_{n-k+1}, \quad r_{k} \rightarrow r_{n-k+1} .
\]

Неподвижными точками этой инволюции являются точки $(a, b)$ с $b_{k}=0$ в первом представлении и точки $(\lambda, r)$ с
\[
\lambda_{k}+\lambda_{n-k+1}=0, \quad r_{k} \rightarrow r_{n-k+1} .
\]

Это очевидно также из того, что симметричные матрицы Якоби с нулевой диагональю имеют спектр, симметричный относительно начала координат. Таким образом, решения системы (5.4) даются точно такими же рациональными функциями от $\lambda_{j}, e^{-\lambda_{j}^{2} t}$, для которых $\lambda_{j}$ удовлетворяют соотношениям (5.5).

Используя (2.1), легко переписать систему (5.2) в переменных $x_{k}, y_{k}$ в гамильтоновом виде
\[
\dot{x}_{k}=\frac{\partial H_{2}}{\partial y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=-\frac{\partial H_{2}}{\partial x_{k}}, \quad k=1,2, \ldots, n,
\]

с гамильтонианом
\[
H_{2}=-\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{3}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} y_{k}\left(e^{x_{k-1}-x_{k}}+e^{x_{k}-x_{k+1}}\right) .
\]

В этой системе необходимо снова положить $x_{0}=-\infty, x_{n+1}=+\infty$. Хотя эта система не имеет физической интерпретации, она дает полное описание задачи рассеяния.
Если выразить гамильтониан $H_{2}$ через $a, b$, то легко показать, что
\[
H_{2}=\frac{4}{3} \operatorname{tr} L^{3}=\frac{4}{3} \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{3} .
\]

Так как исходный гамильтониан (1.1) может быть представлен в виде
\[
H=2 \operatorname{tr} L^{2}=2 \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{2},
\]

то можно ожидать, что дальнейшие дифференциальные уравнения будут ассоциированы с гамильтонианами, пропорциональными $\operatorname{tr}\left(L^{p+1}\right)$.

Мы не последуем этому и в заключение установим существование матриц $B_{p}$ для $p=1,2, \ldots, n-1$. Эти матрицы удобно записать в виде разностных операторов. Пусть $\xi$ – двойная бесконечная последовательность с компонентами $\xi_{k}$ ( $k$ – целые), и пусть $\sigma$ обозначает оператор сдвига
\[
(\sigma \xi)_{k}=\xi_{k+1} .
\]

Мы будем предполагать, что $\xi_{k}=0$, если $k \leqslant 0$ или $k>n$, и запишем матрицу $L$ в виде
\[
L \xi=a(\sigma \xi)+b \xi+\sigma^{-1}(a \xi) .
\]

Здесь через $a, b$ обозначены последовательности с компонентами $a_{k}$ и $(a \xi)_{k}=a_{k} \xi_{k}$. Таким образом $\sigma(a \xi)=\sigma(a) \cdot \sigma(\xi)$.

В этих обозначениях матрица $B_{p}$ представима в виде
\[
B_{p} \xi=\gamma \sigma^{p} \xi+\ldots+\beta\left(\sigma^{q} \xi\right)+\ldots-\sigma^{-q}(\beta \xi)+\ldots-\sigma^{-p}(\gamma \xi),
\]

где для слагаемого $q$-го порядка указаны лишь типичные члены, $1 \leqslant q<p$.

Коммутатор $\left[B_{p}, L\right]=B_{p} L-L B_{p}$ содержит $\sigma, \sigma^{-1}$ в степенях вплоть до $p+1$. Действительно, слагаемое наибольшего порядка этого коммутатора имеет вид
\[
\left[B_{p}, L\right]=\left\{\gamma \sigma^{p}(a)-a \sigma(\gamma)\right\} \sigma^{p+1}+\ldots
\]

Определим $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n-1}$ так, чтобы было выполнено
\[
\left(\gamma \sigma^{p}(a)-a \sigma(\gamma)\right) \xi=0
\]
T. e.
\[
\gamma_{k} a_{k+p}-a_{k} \gamma_{k+1}=0, \quad k=1,2, \ldots, n-p-1 .
\]

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить
\[
\gamma_{k}=a_{k} a_{k+1} \ldots a_{k+p-1}, \quad k=1,2, \ldots, n-p .
\]

Теперь по индукции определим коэффициенты $\beta$ при $\sigma^{q}$ в (5.6), чтобы исключить слагаемые порядка $q+1$ в $\left[B_{p}, L\right]$, изменяя $q$ от $q=p$ до $q=1$. По аналогии с (5.7) это приводит к уравнениям вида
\[
\left(\beta \sigma^{q}(a)-a \sigma(\beta)\right) \xi=g \cdot \xi,
\]

где $g$ – данная последовательность. В компонентах будем иметь
\[
\beta_{k} a_{k+q}-\beta_{k+1} a_{k}=g_{k}, \quad k=1,2, \ldots, n-q-1 .
\]

Это $n-q-1$ уравнений для $n-q$ неизвестных. Вообще говоря, их решение не единственно, но если $\beta_{1}$ будет произвольно зафиксировано, то эти уравнения могут быть решены рекуррентно и однозначно, поскольку $a_{k}>0$.

Таким образом, $B_{p}$ может быть определена так, что в $\left[B_{p}, L\right]$ все коэффициенты при $\sigma^{q+1}$ для $q=1,2, \ldots, p$ будут равны нулю. Так как скобка $\left[B_{p}, L\right]$ симметрична, она будет матрицей Якоби, приводящей к искомому дифференциальному уравнению
\[
\dot{L}=\left[B_{p}, L\right] .
\]

Очевидно, что оно аналогично уравнениям Кортевега-де Фриза высших порядков.
Наконец, очевидно, что умножение
\[
(r \otimes r)_{k}=r_{k} \tilde{r}_{k}
\]

определяет групповую структуру в многообразиях $\lambda_{k}=$ const, превращая ( $n-1$ )-мерное многообразие матриц Якоби $L$ с фиксированным спектром в абелеву группу. Действие этой группы коммутирует с векторным полем (2.2) и вообще с векторными полями (5.8) при $p=1,2, \ldots, n-1$.