Гамильтонова система (1.2), как показано выше, обладает $n$ интегралами $I_1,I_2,\dots ,I_n$, которые являются полиномами от $y_k$ и $e^{x_k-x_{k+1}}$.

Можно показать, хотя мы не будем здесь этого делать, что эти интегралы находятся в инволюции, т. е. скобка Пуассона для двух любых из них равна нулю. Используя эти интегралы как новые гамильтонианы, можно ввести $n$ новых векторных полей, которые обладают теми же интегралами и коммутируют друг с другом. Они превращают многообразия $I_k=$ const в коммутативные группы. Это хорошо известные факты для интегрируемых гамильтоновых систем (см., например, приложение 26 в [7]), которые мы здесь непосредственно проверим.

В качестве первого шага рассмотрим дифференциальное уравнение (2.7), которое представляет собой деформацию матрицы Якоби $L$, не изменяющую спектр. Существует много таких изоспектральных деформаций, которые соответствуют различным матрицам $B$. Мы ограничимся здесь кососимметричными матрицами $B$, порождающими ортогональные преобразования подобия, которые вместо одной пары ненулевых диагоналей допускают несколько таких пар. Пусть $B_p$ представляет собой кососимметричную матрицу с $p$ ненулевыми диагоналями и диагоналями, смежными им (из условия кососимметричности). Таким образом, матрица $B$, определенная в (2.7), будет обозначаться $B_1$. Потребуем, чтобы для каждого $p$ в интервале $1⩽p<n$ можно было найти нетривиальную матрицу $B_p$, такую, чтобы $\stackrel{`}{L}=B_{p}L-L{B}_p$ определяло дифференциальное уравнение, имеющее смысл — то есть, чтобы коммутатор $B_{p}L-L{B}_p$ имел бы только одну диагональ выше главной диагонали, тогда как все остальные элементы обращались бы в ноль. Мы обоснуем это утверждение ниже, но прежде отметим, что у всех этих дифференциальных уравнений собственные значения $L$ являются интегралами и, следовательно, могут быть записаны в переменных $r_k,{\lambda }_k$ в виде ${\dot{\lambda }}_k=0,{\dot{r}}_k=f_k(\lambda ,r)$. При $p=2$ находим матрицу
$$B_2=\left(\begin{array}{ccccc}0& {\beta }_1& {\gamma }_1& & \\ -{\beta }_1& 0& {\beta }_2& \ddots & \\ -{\gamma }_1& -{\beta }_2& 0& & {\gamma }_{n-2}\\ & \ddots & & \ddots & {\beta }_{n-1}\\ & & -{\gamma }_{n-2}& -{\beta }_{n-1}& 0\end{array}\right),$$

где
$$\begin{array}{rlrl}{\beta }_k& =(b_k+b_{k+1})a_k,& k& =1,2,\dots ,n-1,\\ {\gamma }_k& =a_k{a}_{k+1},& k& =1,2,\dots ,n-2,\end{array}$$

и дифференциальное уравнение $\dot{L}=B_{2}L-L{B}_2$ принимает простой вид
$$\begin{array}{lll}{\dot{a}}_k=a_k(a_{k+1}^2-a_{k-1}^2+b_{k+1}^2-b_k^2),& & k⩽n-1,\\ {\dot{b}}_k=2b_k(a_k^2-a_{k-1}^2)+2b_{k+1}{a}_k^2-b_{k-1}{a}_{k-1}^2,& & k⩽n,\end{array}$$

где мы полагаем $a_0=0,a_n=0$. Снова введем $r,\lambda$ с помощью преобразования (3.10), что приведет к дифференциальному уравнению
$$\frac{d{\lambda }_k}{dt}=0,\frac{d{r}_k}{dt}=-{\lambda }_k^2{r}_k.$$

Наметим здесь наше вычисление. Сначала, ограничивая $r_k$ на $\sum r_k^2=1$, получим
$$\frac{df}{dt}=\sum \frac{2r_k{\dot{r}}_k}{\lambda -{\lambda }_k}.$$

С другой стороны,
$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dt}& =(\dot{R}(\lambda )e_n,e_n)=((B_{2}R-R{B}_2)e_n,e_n)=\\ & =-2(R{B}_2{e}_n,e_n)=-2(R({\gamma }_{n-2}{e}_{n-2}+{\beta }_{n-1}{e}_{n-1}),e_n)=\\ & =-2({\gamma }_{n-2}{R}_{n,n-2}+{\beta }_{n-1}{R}_{n,n-1}).\end{array}$$

При помощи (5.1) и
$$R_{n,n-1}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-2}}{{\mathrm{\Delta }}_n}{a}_{n-1},R_{n,n-2}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-3}}{{\mathrm{\Delta }}_n}{a}_{n-2}{a}_{n-1}$$

можно получить
$$\frac{df}{dt}=-2\frac{a_{n-1}^2}{{\mathrm{\Delta }}_n}(a_{n-2}^2{\mathrm{\Delta }}_{n-3}+(b_{n-1}+b_n){\mathrm{\Delta }}_{n-2}).$$

Используя рекуррентное выражение (3.7) при $k=n-1,n$, находим
$$\frac{df}{dt}=-2({\lambda }^2-b_n^2-a_{n-1}^2)\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n}.$$

Сравнивая вычеты в этих выражениях в ${\lambda }_k$ с вычетами (5.3), получим
$${\dot{r}}_k=-({\lambda }_k^2-b_n^2-a_{n-1}^2)r_k,$$

и учитывая, что $r_k$ являются однородными координатами,
$${\dot{r}}_k=-{\lambda }_k^2{r}_k.$$

Так как решения системы (5.2) могут быть выражены как рациональные функции ${\lambda }_k$ и $e^{-{\lambda }_k^{2}t}$, асимптотическое поведение их решений также может быть полностью описано на основе результатов предыдущих разделов.

Интересно заметить, что дифференциальные уравнения (5.2) допускают $b_k=0,k=1,\dots ,n$, как инвариантное многообразие, на котором они редуцируются к виду
$${\dot{a}}_k=a_k(a_{k+1}^2-a_{k-1}^2),k=1,\dots ,n-1.$$

Это — уравнения деформации для матрицы Якоби $L$ с нулевой диагональю ${}^1$.

Чтобы понять, какое из решений (5.3) соответствует (5.4), снова рассмотрим разложение в цепную дробь (3.5), обозначая левую часть через $f(\lambda ,a,b)$. Легко проверить, что инволюция $b_k\to -b_k,a_k\to a_k$ приводит к условию
$$-f(-\lambda ,a,-b)=f(\lambda ,a,b)=\sum _{k=1}^n\frac{r_k^2}{\lambda -{\lambda }_k}.$$

Следовательно, если собственные значения ${\lambda }_k$ упорядочены по величине, то такая инволюция соответствует преобразованию
$${\lambda }_k\to -{\lambda }_{n-k+1},r_k\to r_{n-k+1}.$$

Неподвижными точками этой инволюции являются точки $(a,b)$ с $b_k=0$ в первом представлении и точки $(\lambda ,r)$ с
$${\lambda }_k+{\lambda }_{n-k+1}=0,r_k\to r_{n-k+1}.$$

Это очевидно также из того, что симметричные матрицы Якоби с нулевой диагональю имеют спектр, симметричный относительно начала координат. Таким образом, решения системы (5.4) даются точно такими же рациональными функциями от ${\lambda }_j,e^{-{\lambda }_j^{2}t}$, для которых ${\lambda }_j$ удовлетворяют соотношениям (5.5).

Используя (2.1), легко переписать систему (5.2) в переменных $x_k,y_k$ в гамильтоновом виде
$${\dot{x}}_k=\frac{\partial H_2}{\partial y_k},{\dot{y}}_k=-\frac{\partial H_2}{\partial x_k},k=1,2,\dots ,n,$$

с гамильтонианом
$$H_2=-\frac{1}{6}\sum _{k=1}^n{y}_k^3-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{y}_k(e^{x_{k-1}-x_k}+e^{x_k-x_{k+1}}).$$

В этой системе необходимо снова положить $x_0=-\mathrm{\infty },x_{n+1}=+\mathrm{\infty }$. Хотя эта система не имеет физической интерпретации, она дает полное описание задачи рассеяния.
Если выразить гамильтониан $H_2$ через $a,b$, то легко показать, что
$$H_2=\frac{4}{3}\mathrm{tr}{L}^3=\frac{4}{3}\sum _{k=1}^n{\lambda }_k^3.$$

Так как исходный гамильтониан (1.1) может быть представлен в виде
$$H=2\mathrm{tr}{L}^2=2\sum _{k=1}^n{\lambda }_k^2,$$

то можно ожидать, что дальнейшие дифференциальные уравнения будут ассоциированы с гамильтонианами, пропорциональными $\mathrm{tr}\left(L^{p+1}\right)$.

Мы не последуем этому и в заключение установим существование матриц $B_p$ для $p=1,2,\dots ,n-1$. Эти матрицы удобно записать в виде разностных операторов. Пусть $\xi$ — двойная бесконечная последовательность с компонентами ${\xi }_k$ ( $k$ — целые), и пусть $\sigma$ обозначает оператор сдвига
$$(\sigma \xi {)}_k={\xi }_{k+1}.$$

Мы будем предполагать, что ${\xi }_k=0$, если $k⩽0$ или $k>n$, и запишем матрицу $L$ в виде
$$L\xi =a(\sigma \xi )+b\xi +{\sigma }^{-1}(a\xi ).$$

Здесь через $a,b$ обозначены последовательности с компонентами $a_k$ и $(a\xi {)}_k=a_k{\xi }_k$. Таким образом $\sigma (a\xi )=\sigma (a)\cdot \sigma (\xi )$.

В этих обозначениях матрица $B_p$ представима в виде
$$B_p\xi =\gamma {\sigma }^p\xi +\dots +\beta \left({\sigma }^q\xi \right)+\dots -{\sigma }^{-q}(\beta \xi )+\dots -{\sigma }^{-p}(\gamma \xi ),$$

где для слагаемого $q$-го порядка указаны лишь типичные члены, $1⩽q<p$.

Коммутатор $[B_p,L]=B_{p}L-L{B}_p$ содержит $\sigma ,{\sigma }^{-1}$ в степенях вплоть до $p+1$. Действительно, слагаемое наибольшего порядка этого коммутатора имеет вид
$$[B_p,L]=\{\gamma {\sigma }^p(a)-a\sigma (\gamma )\}{\sigma }^{p+1}+\dots$$

Определим ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_{n-1}$ так, чтобы было выполнено
$$(\gamma {\sigma }^p(a)-a\sigma (\gamma ))\xi =0$$
T. e.
$${\gamma }_k{a}_{k+p}-a_k{\gamma }_{k+1}=0,k=1,2,\dots ,n-p-1.$$

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить
$${\gamma }_k=a_k{a}_{k+1}\dots a_{k+p-1},k=1,2,\dots ,n-p.$$

Теперь по индукции определим коэффициенты $\beta$ при ${\sigma }^q$ в (5.6), чтобы исключить слагаемые порядка $q+1$ в $[B_p,L]$, изменяя $q$ от $q=p$ до $q=1$. По аналогии с (5.7) это приводит к уравнениям вида
$$(\beta {\sigma }^q(a)-a\sigma (\beta ))\xi =g\cdot \xi ,$$

где $g$ — данная последовательность. В компонентах будем иметь
$${\beta }_k{a}_{k+q}-{\beta }_{k+1}{a}_k=g_k,k=1,2,\dots ,n-q-1.$$

Это $n-q-1$ уравнений для $n-q$ неизвестных. Вообще говоря, их решение не единственно, но если ${\beta }_1$ будет произвольно зафиксировано, то эти уравнения могут быть решены рекуррентно и однозначно, поскольку $a_k>0$.

Таким образом, $B_p$ может быть определена так, что в $[B_p,L]$ все коэффициенты при ${\sigma }^{q+1}$ для $q=1,2,\dots ,p$ будут равны нулю. Так как скобка $[B_p,L]$ симметрична, она будет матрицей Якоби, приводящей к искомому дифференциальному уравнению
$$\dot{L}=[B_p,L].$$

Очевидно, что оно аналогично уравнениям Кортевега-де Фриза высших порядков.
Наконец, очевидно, что умножение
$$(r\otimes r{)}_k=r_k{\tilde{r}}_k$$

определяет групповую структуру в многообразиях ${\lambda }_k=$ const, превращая ( $n-1$ )-мерное многообразие матриц Якоби $L$ с фиксированным спектром в абелеву группу. Действие этой группы коммутирует с векторным полем (2.2) и вообще с векторными полями (5.8) при $p=1,2,\dots ,n-1$.