Система $n$ частиц из предыдущего раздела имеет очень простое поведение. Так как частицы взаимодействуют с силами отталкивания,

они разлетаются при $t \rightarrow \pm \infty$ и в конце концов ведут себя как силовые центры. Отсюда видно, что существуют пределы $\lim _{t \rightarrow \infty} \dot{x}_{k}( \pm t)=$ $=\dot{x}_{k}( \pm \infty)$. Фактически, эти предельные скорости или их симметричные функции могут задаваться как интегралы на орбитах, к которым они принадлежат. Таким образом, суцествование интегралов для систем типа (3.2) не является удивительным. Однако существование раииональных интегралов замечательно и влечет за собой
\[
\dot{x}_{k}(+\infty)=\dot{x}_{n+1-k}(-\infty), \quad k=1,2, \ldots, n,
\]

так что частицы просто обмениваются своими скоростями. Более того, эти скорости различны и совпадают со взятыми с обратным знаком собственными значениями матрицы (3.4), принадлежащей рассматриваемой орбите. Тем самым доказывается, что матрицы вида (3.4) всегда имеют простые собственные значения. Найдем сдвиги фаз $\delta_{k}$, определяемье как
\[
x_{k}(t)-x_{n-k+1}(-t)-2 \dot{x}_{k}(\infty) t \rightarrow \delta_{k}
\]

при $t \rightarrow+\infty$. Легко проверить, что при $n=2 \delta_{1}=\delta_{2}=0$, и можно предположить, что $\delta_{k}=0$ для любого $n>2$, однако мы не смогли это доказать ${ }^{1}$.

Соотношения (4.1) были установлены для случая $n=3$ Марчиоро [11], который предположил их справедливость и при произвольном $n$. Для квантовой задачи они были установлены Калоджеро [2].

Для доказательства сделанного выше предположения заметим, что частицы можно перенумеровать в последовательности
\[
x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n} .
\]

В самом деле, так как гамильтониан (3.2) задается выражением
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}+\sum_{k<l}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2},
\]

минимальное расстояние между частицами отлично от нуля для любого решения. Более того, для любой орбиты скорости $-y_{k}=\dot{x}_{k}$ ограничены при всех $t$.
Наша следующая цель — показать, что предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y_{k}( \pm t)=y_{k}( \pm \infty)
\]

существует и что
\[
y_{1}(+\infty)>y_{2}(+\infty)>\cdots>y_{n}(+\infty) .
\]

Из
\[
\frac{1}{2}\left(\ddot{x}_{n}-\ddot{x}_{1}\right)=\sum_{j<n}\left(x_{n}-x_{j}\right)^{-3}+\sum_{j>1}\left(x_{j}-x_{1}\right)^{-3}>0
\]

и ограниченности $\dot{x}_{k}$ заключаем с помощью интегрирования, что
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-3} d t<\infty \quad \text { при } k>l=1 \text { и при } l<k=n .
\]

Рассматривая другие дифференциальные уравнения, с помощью простых индуктивных предположений (которые мы опускаем) приходим к выводу, что (4.5) выполняется для всех пар $k>l$. Из (3.2), в свою очередь, следует существование пределов $\lim _{t \rightarrow \infty} \dot{x}_{k}( \pm t)$, что доказывает (4.3). Вследствие упорядоченности частиц, очевидно, имеем
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}(+\infty) \leqslant \dot{x}_{2}(+\infty) \leqslant \cdots \leqslant \dot{x}_{n}(+\infty), \\
\dot{x}_{1}(-\infty) \geqslant \dot{x}_{2}(-\infty) \geqslant \cdots \geqslant \dot{x}_{n}(-\infty) .
\end{array}
\]

Чтобы доказать (4.4), поступим следующим образом. Рассмотрим сперва величину $\phi(t)=x_{n}-x_{1}>0$, которая, согласно ( $4.4^{\prime}$ ), удовлетворяет неравенству
\[
\frac{1}{2} \ddot{\phi} \geqslant 2\left(x_{n}-x_{1}\right)^{-3}>0 .
\]

Таким образом, из (4.6) следует, что $\dot{\phi}$ монотонно возрастает, и $\dot{\phi}(+\infty) \geqslant 0$. Если бы выполнялось $\dot{\phi}(+\infty)=0$, то $\dot{\phi}(t)<0$, и поэтому $\phi$ была бы ограничена. Но тогда правая часть (4.7) была бы ограничена от нуля, следовательно, $\phi$ неограничена. Это противоречие показывает, что
\[
\dot{x}_{1}(+\infty)<\dot{x}_{n}(+\infty) .
\]

Таким образом, в первой строке (4.6) знаки равенства стоят не на всех местах, то есть существует такое $s$, что
\[
\dot{x}_{s}(+\infty)<\dot{x}_{s+1}(+\infty) .
\]

Выведем отсюда, что $\dot{x}_{1}(+\infty)<\dot{x}_{s}(+\infty)$ и $\dot{x}_{s+1}(+\infty)<\dot{x}_{n}(+\infty)$, сразу означающее, что все скорости различны. Достаточно показать $\dot{x}_{1}(+\infty)<\dot{x}_{s}(+\infty)$, другой случай симметричен этому.

Из (4.8) делаем вывод, что $x_{j}-x_{s}=O\left(t^{-1}\right)$ при $j>s$ и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(x_{s}-x_{1}\right) & =\sum_{j<s}\left(x_{s}-x_{j}\right)^{-3}-O\left(t^{-3}\right)+\sum_{j>1}\left(x_{j}-x_{1}\right)^{-3} \geqslant \\
& \geqslant 2\left(x_{s}-x_{1}\right)^{-3}-O\left(t^{-3}\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, величина $\psi=x_{s}-x_{1}+A t^{-1}$ с некоторой положительной константой $A$ удовлетворяет неравенству
\[
\ddot{\psi} \geqslant 4\left(x_{s}-x_{1}\right)^{-3} \quad \text { при } t>t_{0}
\]

и ограничена снизу. Итак, $\dot{\psi}$ возрастает и $\dot{\psi}(+\infty) \geqslant 0$. Как и выше, покажем, что $\dot{\psi}(\infty)=0$ приводит к противоречию. Так как $\dot{\psi}(t)<\dot{\psi}(\infty)=0$ $\left(t>t_{0}\right.$ ) влечет за собой ограниченность $\psi$ при $t>t_{0}$, то $\dot{\psi}$ была бы ограничена от нуля, и значит $\psi$ неограничена. Таким образом, $\dot{\psi}(\infty)>0$, как мы и хотели показать.
Так как $y_{k}=-\dot{x}_{k}$, то (4.4) доказано. Очевидно, отсюда следует
\[
\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-1}=O\left(t^{-1}\right) \quad \text { при } t \rightarrow+\infty, \quad k
eq l,
\]

и ясно, что матрица $L(t)$ имеет предел $L(\infty)$, представляющий собой диагональную матрицу. Так как собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы $L$ не зависят от $t$, то
\[
y_{k}(\infty)=\lambda_{k},
\]

если условиться упорядочивать их следующим образом
\[
\lambda_{n}<\lambda_{n-1}<\cdots<\lambda_{1} .
\]

При $t \rightarrow-\infty$ матрица $L$ также стремится к диагональной матрице с теми же собственными значениями на диагонали, но, вследствие (4.6), в обратном порядке. Таким образом,
\[
\dot{x}_{k}(+\infty)=-y_{k}(+\infty)=-\lambda_{k} ; \quad \dot{x}_{n+1-k}(-\infty)=-y_{n+1-k}(-\infty)=-\lambda_{k},
\]

и (4.1) доказано.

В заключение отметим, что интегралы $I_{k}=I_{k}(x, y)$ ( $k=1$, $2, \ldots, n)$ находятся в инволюции. При $x_{k}-x_{k-1} \rightarrow \infty$ интегралы $I_{k}$ сходятся вместе со своими производными к $\sigma_{k}(y)$, симметричным функциям от $y$. Так, скобка Пуассона
\[
G_{k l}=\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial\left(I_{k}, I_{l}\right)}{\partial\left(x_{r}, y_{r}\right)}=\left\{I_{k}, I_{l}\right\}
\]

сходится к $\left\{\sigma_{k}, \sigma_{l}\right\}=0$. Следовательно, вдоль любого решения нашей системы $G_{k l} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. С другой стороны, хорошо известно, что $G_{k l}$ сами являются интегралами, следовательно, $G_{k l}=0$ при всех $x, y$.