1. Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде была установлена Якоби. Он использовал разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби после введения эллиптических координат и некоторых ухищрений. Этот вывод может быть найден в разных источниках, начиная с самого Якоби.

Мы дадим здесь другой вывод, использующий описанное выше расширение геодезического потока до потока прямых в объемлющем пространстве.
2. Пусть
$$Q(x)=⟨a^{-1}x,x⟩$$
— положительно определенная квадратичная форма в ${\mathbb{R}}^{n+1}$ с различными собственными значениями $0<a_0<\dots <a_n$. Мы можем считать, что $a=\mathrm{diag}(a_0,\dots ,a_n)$, а
$$Q(x)=\sum _{u=0}^n{a}_u^{-1}{x}_u^2.$$

Уравнение $Q(x)=1$ определяет эллипсоид в ${\mathbb{R}}^{n+1}$, и мы будем изучать геодезический поток на этом эллипсоиде.

Для этого введем семейство конфокальных квадрик, определенное формулой
$$Q_z(x)=⟨(a-z{)}^{-1}x,x⟩=1$$

для вещественных $z$, отличных от $a_u$.
При $z<a_0$ это эллипсоид, при $a_0<z<a_1,a_1<z<a_2$, .. это гиперболоиды, в действительности имеется $n+1$ типов таких квадрик, соответствующих интервалам $(-\mathrm{\infty },a_0),(a_0,a_1),\dots ,(a_{n-1},a_n)$. Через каждую точку $x\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ такую, что $\prod _{u=0}^n{x}_{u}eq0$, проходит $n+1$ таких конфокальных квадрик (2). В самом деле, при заданном $x$ рациональная функция $1-Q_z(x)$ имеет $n+1$ различных нулей, по одному в каждом из указанных выше интервалов, и можно записать
$$\{\begin{array}{l}1-Q_z(x)=\prod _{u=0}^n\frac{z-u_u}{z-a_u},\\ u_0<a_0<u_1<\dots <u_n<a_n.\end{array}$$

Уравнения $z=u_u$ определяют искомые $n+1$ квадрик, пересекающихся в точке $x$; хорошо известно, что они пересекаются ортогонально. В действительности они обладают более сильным свойством ортогональности, которое менее известно и представляет для нас интерес. Следующая теорема принадлежит Шалю [24].
Теорема. Если $L$ — прямая, касающаяся двух конфокальных квадрик $Q_{z_1}=1,Q_{z_2}=1$ в точках $x^{(1)},x^{(2)}$, то нормали к квадрикам в этих точках касания перпендикулярны друг другу при условии $z_{1}eq{z}_2$.

Доказательство.

Представим точки прямой в виде $x+ty$, где $t$ пробегает $\mathbb{R}$. Пусть $x^{(j)}=x+t_{j}y$. Условие касания $L$ в точках $x^{(j)}$ задается равенствами
$$⟨abla{Q}_{z_j}\left(x^{(j)}\right),y⟩=0,Q_{z_j}\left(x_j\right)=1(j=1,2).$$

Мы хотим показать, что выражение
$$⟨abla{Q}_{z_1}\left(x^{(1)}\right),abla{Q}_{z_2}\left(x^{(2)}\right)⟩$$

обращается в нуль.
Для этого воспользуемся тождеством
$$(z_1-z_2)⟨{(a-z_1)}^{-1}\xi ,{(a-z_2)}^{-1}\eta ⟩=⟨{(a-z_1)}^{-1}\xi ,\eta ⟩-⟨\xi ,{(a-z_2)}^{-1}\eta ⟩.$$

Поэтому, если $Q_z(x,y)$ — симметрическая билинейная форма, соответствующая $Q_z(x)$, то для (5) получаем выражение
$$\begin{array}{c}4{(z_1-z_2)}^{-1}(Q_{z_1}(x^{(1)},x^{(2)})-Q_{z_2}(x^{(1)},x^{(2)}))=4{(z_1-z_2)}^{-1}(Q_{z_1}\left(x^{(1)}\right)+\\ +(t_2-t_1)Q_{z_1}(x^{(1)},y)-Q_{z_2}\left(x^{(2)}\right)-(t_1-t_2)Q_{z_2}(x^{(2)},y)),\end{array}$$

которое равно нулю в силу (4).
Из этого замечательного свойства следует, что прямая (которая в общем случае касается $n$ конфокальных квадрик) имеет $n$ взаимно перпендикулярных нормалей, с ней связанных. Эти нормали, очевидно, ортогональны также самой прямой, так что мы имеем ортогональный $(n+1)$-репер, ассоциированный с каждой такой прямой.

3. Для определения дифференциальных уравнений для геодезических на эллипсоиде мы обобщим задачу в двух направлениях: 1) мы заменим эллипсоид произвольной конфокальной квадрикой $Q_z(x)=m$ и 2) определим расширенный поток прямых из предыдущего параграфа.

Пусть $u_j(x)=z$ — некоторая из этих квадрик, рассмотрим все прямые $x+ty$, касающиеся ее. Поскольку для заданного значения $z$ $Q_z(x)=m$, условия касания прямой $x+ty$ этой квадрики в точке $\xi =x+t^{\ast }y$ имеет вид
$$Q_z(\xi )=m,Q_z(\xi ,y)=0$$

или, если $Q_z(y)eq0$, из второго соотношения получаем
$$t^{\ast }=-Q_z(x,y)/Q_z(y).$$

Подставляя это выражение в первое равенство, видим, что прямая $x+ty$ касается квадрики $Q_z(x)=m$ тогда и только тогда, когда
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=m{Q}_z(y)-(Q_z(x)Q_z(y)-Q_z^2(x,y))=0$$

при условии, что $Q_z(y)eq0$.
Таким образом, мы можем взять ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ в качестве гамильтониана для искомого потока, ограниченного на поверхность
$${\mathrm{\Phi }}_z=0.$$

В качестве следствия теоремы и предложения предыдущего параграфа имеем:
$$\{{\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}\}=0,\text{ если }{\mathrm{\Phi }}_{z_1}=0,{\mathrm{\Phi }}_{z_2}=0,$$
т.е. потоки коммутируют.
Для больших $m$
$$\frac{1}{m}{\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\sum _{u=0}^n\frac{y_u^2}{a_u-z}+O\left(\frac{1}{m}\right),$$

откуда следует, что нули ${\mathrm{\Phi }}_z$ различны, если $m$ — достаточно большое. Для ${\mathrm{\Phi }}_z$ с различными нулями можно показать, что верхнее соотношение
$$\{{\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}\}=0$$

выполняется без каких-либо ограничений, т.е. ${\mathrm{\Phi }}_{z_1}$ и ${\mathrm{\Phi }}_{z_2}$ находятся в инволюции (см. упражнения 1 и 2). Это верно для больших $m$, но в силу квадратичной зависимости выражения от $m$ последнее соотношение выполняется тождественно для всех $m$, в частности для $m=1$.
Если представить ${\mathrm{\Phi }}_z$ (при $m=1$ ) в виде суммы простых дробей:
$${\mathrm{\Phi }}_z=\sum _{u=0}^n\frac{F_u(x,y)}{a_u-z},$$

то $F_u$ вычисляются как вычеты и имеют вид
$$F_u=y_u^2+\sum _{\mu equ}\frac{{(x_u{y}_{\mu }-x_{\mu }{y}_u)}^2}{a_u-a_{\mu }}.$$

Будучи функциями от ${\mathrm{\Phi }}_{z_0},\dots ,{\mathrm{\Phi }}_{z_n}$, для $n+1$ различных значений $z_0,\dots ,z_n,F_u$ также удовлетворяют равенству
$$\{F_u,F_{\mu }\}=0.$$

Таким образом, инволютивность $F_u$ является отражением геометрического предложения $\mathrm{\S }5$. Конечно, этот факт может быть также получен и прямым вычислением (упражнение 3 ).

Гамильтониан потока прямых для эллипсоида $Q_0(x)=1$ может быть выражен через $F_u$ в виде
$${\mathrm{\Phi }}_0=\sum _{u=0}^n{a}_u^{-1}{F}_u.$$

Теорема. Поток с гамильтонианом ${\mathrm{\Phi }}_0$ является интегрируемым и обладает рациональными интегралами в инволюции, определенными формулами (7).

Следствие. Геодезический поток на эллисоиде интегрируем и имеет интегралы $F_{

u}$. Энергия имеет вид
$$\frac{1}{2}|y{|}^2=\frac{1}{2}\sum _{u=0}^n{F}_u.$$

Следствие. Вещественные компоненты алгебрачческого многобразия $M:F_u=c_u(u=0,1,\dots ,n)$ являются торами, если $d{F}_u$ линейно независимы на $M$.

Упражнение 1. Определим полиномы
$$P_z(x,y)=|y{|}^{-2}A(z){\mathrm{\Phi }}_z,\text{ где }A(z)=\frac{1}{m}\prod _{u=0}^n(a_u-z).$$

Используя тождество $\{|y{|}^2,{\mathrm{\Phi }}_z\}=0$, покажите, что
$$\{P_{z_1},P_{z_2}\}=|y{|}^{-4}{A}^2(z)\{{\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}\}.$$

Упражнение 2. Пусть $P(z,x,y)=z^n+p_1(x,y)z^{n-1}+\dots +p_n(x,y)-$ полином с рациональными коэффициентами. Если где-нибудь $P(z,x,y)$

не имеет кратных корней, то из того, что $\{P_{z_1},P_{z_2}\}=0$ при условии $P_{z_1}=0,P_{z_2}=0$, вытекает абсолютное равенство
$$\{P_{z_1},P_{z_2}\}=0.$$

Указание. Разложите полином $P=\prod _{u=0}^n(z-u_u(x,y))$ в некоторой окрестности и покажите, что в точке $(x_0,y_0)$ для $z_1=u_u(x_0,y_0)$, $z_2=u_{\mu }(x_0,y_0)eq{z}_1$ имеется равенство
$$\{P_{z_1},P_{z_2}\}=c\{u_u,u_{\mu }\}=0,$$

где $c$ отлично от нуля. Таким образом, покажите, что нули $u_u$ находятся в инволюции, а следовательно, и $P_{z_1},P_{z_2}$ также инволютивны при всех $z_1,z_2,x,y$.

Заметим, что утверждение упражнения 2 неверно для двойных корней: пусть
$$P_z=Q_z^2,$$

тогда для $P_{z_1}=P_{z_2}=0$ имеем всегда
$$\{P_{z_1},P_{z_2}\}=4Q_{z_1}{Q}_{z_2}\{Q_{z_1},Q_{z_2}\}=0!.$$

Упражнение 3. Покажите, что функции (7) находятся в инволюции прямым вычислением.

Упражнение 4. Покажите, что $n+2$ функции
$$G_u=\sum _{\mu equ}\frac{{(x_u{y}_{\mu }-x_{\mu }{y}_u)}^2}{a_u-a_{\mu }},G_{n+1}=|y{|}^2$$

находятся в инволюции; поэтому они должны быть функционально зависимы; действительно,
$$\sum _{u=0}^{n+1}{G}_u\equiv 0.$$

Упражнение 5. Для любой прямой, касательной к двум конфокальным конусам,
$$Q_{z_j}(x)=0,z_{1}eq{z}_2,$$

или к такому конусу и сфере
$$|x|=1,$$

нормали в точках касания перпендикулярны.
(Этот факт привел к выражениям $G_u$ в упражнении 4.)

Упражнение 6. Касательные к произвольной геодезической на эллипсоиде касаются одного и того же множества конфокальных квадрик, т. е. независимо от точки на данной геодезической (см. [29]).

С небольшими изменениями можно показать, что движение на эллипсоиде под действием потенциала $|x{|}^2$ также интегрируемо. Это было показано еще Якоби [25].