1. Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде была установлена Якоби. Он использовал разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби после введения эллиптических координат и некоторых ухищрений. Этот вывод может быть найден в разных источниках, начиная с самого Якоби.
Мы дадим здесь другой вывод, использующий описанное выше расширение геодезического потока до потока прямых в объемлющем пространстве.
2. Пусть
\[
Q(x)=\left\langle a^{-1} x, x\right\rangle
\]
– положительно определенная квадратичная форма в $\mathbb{R}^{n+1}$ с различными собственными значениями $0<a_{0}<\ldots<a_{n}$. Мы можем считать, что $a=\operatorname{diag}\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right)$, а
\[
Q(x)=\sum_{
u=0}^{n} a_{
u}^{-1} x_{
u}^{2} .
\]
Уравнение $Q(x)=1$ определяет эллипсоид в $\mathbb{R}^{n+1}$, и мы будем изучать геодезический поток на этом эллипсоиде.
Для этого введем семейство конфокальных квадрик, определенное формулой
\[
Q_{z}(x)=\left\langle(a-z)^{-1} x, x\right\rangle=1
\]
для вещественных $z$, отличных от $a_{
u}$.
При $z<a_{0}$ это эллипсоид, при $a_{0}<z<a_{1}, a_{1}<z<a_{2}$, .. это гиперболоиды, в действительности имеется $n+1$ типов таких квадрик, соответствующих интервалам $\left(-\infty, a_{0}\right),\left(a_{0}, a_{1}\right), \ldots,\left(a_{n-1}, a_{n}\right)$. Через каждую точку $x \in \mathbb{R}^{n+1}$ такую, что $\prod_{
u=0}^{n} x_{
u}
eq 0$, проходит $n+1$ таких конфокальных квадрик (2). В самом деле, при заданном $x$ рациональная функция $1-Q_{z}(x)$ имеет $n+1$ различных нулей, по одному в каждом из указанных выше интервалов, и можно записать
\[
\left\{\begin{array}{l}
1-Q_{z}(x)=\prod_{
u=0}^{n} \frac{z-u_{
u}}{z-a_{
u}}, \\
u_{0}<a_{0}<u_{1}<\ldots<u_{n}<a_{n} .
\end{array}\right.
\]
Уравнения $z=u_{
u}$ определяют искомые $n+1$ квадрик, пересекающихся в точке $x$; хорошо известно, что они пересекаются ортогонально. В действительности они обладают более сильным свойством ортогональности, которое менее известно и представляет для нас интерес. Следующая теорема принадлежит Шалю [24].
Теорема. Если $L$ – прямая, касающаяся двух конфокальных квадрик $Q_{z_{1}}=1, Q_{z_{2}}=1$ в точках $x^{(1)}, x^{(2)}$, то нормали к квадрикам в этих точках касания перпендикулярны друг другу при условии $z_{1}
eq z_{2}$.
Доказательство.
Представим точки прямой в виде $x+t y$, где $t$ пробегает $\mathbb{R}$. Пусть $x^{(j)}=x+t_{j} y$. Условие касания $L$ в точках $x^{(j)}$ задается равенствами
\[
\left\langle
abla Q_{z_{j}}\left(x^{(j)}\right), y\right\rangle=0, \quad Q_{z_{j}}\left(x_{j}\right)=1 \quad(j=1,2) .
\]
Мы хотим показать, что выражение
\[
\left\langle
abla Q_{z_{1}}\left(x^{(1)}\right),
abla Q_{z_{2}}\left(x^{(2)}\right)\right\rangle
\]
обращается в нуль.
Для этого воспользуемся тождеством
\[
\left(z_{1}-z_{2}\right)\left\langle\left(a-z_{1}\right)^{-1} \xi,\left(a-z_{2}\right)^{-1} \eta\right\rangle=\left\langle\left(a-z_{1}\right)^{-1} \xi, \eta\right\rangle-\left\langle\xi,\left(a-z_{2}\right)^{-1} \eta\right\rangle .
\]
Поэтому, если $Q_{z}(x, y)$ – симметрическая билинейная форма, соответствующая $Q_{z}(x)$, то для (5) получаем выражение
\[
\begin{array}{c}
4\left(z_{1}-z_{2}\right)^{-1}\left(Q_{z_{1}}\left(x^{(1)}, x^{(2)}\right)-Q_{z_{2}}\left(x^{(1)}, x^{(2)}\right)\right)=4\left(z_{1}-z_{2}\right)^{-1}\left(Q_{z_{1}}\left(x^{(1)}\right)+\right. \\
\left.+\left(t_{2}-t_{1}\right) Q_{z_{1}}\left(x^{(1)}, y\right)-Q_{z_{2}}\left(x^{(2)}\right)-\left(t_{1}-t_{2}\right) Q_{z_{2}}\left(x^{(2)}, y\right)\right),
\end{array}
\]
которое равно нулю в силу (4).
Из этого замечательного свойства следует, что прямая (которая в общем случае касается $n$ конфокальных квадрик) имеет $n$ взаимно перпендикулярных нормалей, с ней связанных. Эти нормали, очевидно, ортогональны также самой прямой, так что мы имеем ортогональный $(n+1)$-репер, ассоциированный с каждой такой прямой.
3. Для определения дифференциальных уравнений для геодезических на эллипсоиде мы обобщим задачу в двух направлениях: 1) мы заменим эллипсоид произвольной конфокальной квадрикой $Q_{z}(x)=m$ и 2) определим расширенный поток прямых из предыдущего параграфа.
Пусть $u_{j}(x)=z$ – некоторая из этих квадрик, рассмотрим все прямые $x+t y$, касающиеся ее. Поскольку для заданного значения $z$ $Q_{z}(x)=m$, условия касания прямой $x+t y$ этой квадрики в точке $\xi=x+t^{*} y$ имеет вид
\[
Q_{z}(\xi)=m, \quad Q_{z}(\xi, y)=0
\]
или, если $Q_{z}(y)
eq 0$, из второго соотношения получаем
\[
t^{*}=-Q_{z}(x, y) / Q_{z}(y) .
\]
Подставляя это выражение в первое равенство, видим, что прямая $x+t y$ касается квадрики $Q_{z}(x)=m$ тогда и только тогда, когда
\[
\Phi_{z}(x, y)=m Q_{z}(y)-\left(Q_{z}(x) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y)\right)=0
\]
при условии, что $Q_{z}(y)
eq 0$.
Таким образом, мы можем взять $\Phi_{z}(x, y)$ в качестве гамильтониана для искомого потока, ограниченного на поверхность
\[
\Phi_{z}=0 .
\]
В качестве следствия теоремы и предложения предыдущего параграфа имеем:
\[
\left\{\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}\right\}=0, \quad \text { если } \Phi_{z_{1}}=0, \Phi_{z_{2}}=0,
\]
т.е. потоки коммутируют.
Для больших $m$
\[
\frac{1}{m} \Phi_{z}(x, y)=\sum_{
u=0}^{n} \frac{y_{
u}^{2}}{a_{
u}-z}+O\left(\frac{1}{m}\right),
\]
откуда следует, что нули $\Phi_{z}$ различны, если $m$ – достаточно большое. Для $\Phi_{z}$ с различными нулями можно показать, что верхнее соотношение
\[
\left\{\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}\right\}=0
\]
выполняется без каких-либо ограничений, т.е. $\Phi_{z_{1}}$ и $\Phi_{z_{2}}$ находятся в инволюции (см. упражнения 1 и 2). Это верно для больших $m$, но в силу квадратичной зависимости выражения от $m$ последнее соотношение выполняется тождественно для всех $m$, в частности для $m=1$.
Если представить $\Phi_{z}$ (при $m=1$ ) в виде суммы простых дробей:
\[
\Phi_{z}=\sum_{
u=0}^{n} \frac{F_{
u}(x, y)}{a_{
u}-z},
\]
то $F_{
u}$ вычисляются как вычеты и имеют вид
\[
F_{
u}=y_{
u}^{2}+\sum_{\mu
eq
u} \frac{\left(x_{
u} y_{\mu}-x_{\mu} y_{
u}\right)^{2}}{a_{
u}-a_{\mu}} .
\]
Будучи функциями от $\Phi_{z_{0}}, \ldots, \Phi_{z_{n}}$, для $n+1$ различных значений $z_{0}, \ldots, z_{n}, F_{
u}$ также удовлетворяют равенству
\[
\left\{F_{
u}, F_{\mu}\right\}=0 .
\]
Таким образом, инволютивность $F_{
u}$ является отражением геометрического предложения $\S 5$. Конечно, этот факт может быть также получен и прямым вычислением (упражнение 3 ).
Гамильтониан потока прямых для эллипсоида $Q_{0}(x)=1$ может быть выражен через $F_{
u}$ в виде
\[
\Phi_{0}=\sum_{
u=0}^{n} a_{
u}^{-1} F_{
u} .
\]
Теорема. Поток с гамильтонианом $\Phi_{0}$ является интегрируемым и обладает рациональными интегралами в инволюции, определенными формулами (7).
Следствие. Геодезический поток на эллисоиде интегрируем и имеет интегралы $F_{
u}$. Энергия имеет вид
\[
\frac{1}{2}|y|^{2}=\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} F_{
u} .
\]
Следствие. Вещественные компоненты алгебрачческого многобразия $M: F_{
u}=c_{
u}(
u=0,1, \ldots, n)$ являются торами, если $d F_{
u}$ линейно независимы на $M$.
Упражнение 1. Определим полиномы
\[
P_{z}(x, y)=|y|^{-2} A(z) \Phi_{z}, \quad \text { где } A(z)=\frac{1}{m} \prod_{
u=0}^{n}\left(a_{
u}-z\right) .
\]
Используя тождество $\left\{|y|^{2}, \Phi_{z}\right\}=0$, покажите, что
\[
\left\{P_{z_{1}}, P_{z_{2}}\right\}=|y|^{-4} A^{2}(z)\left\{\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}\right\} .
\]
Упражнение 2. Пусть $P(z, x, y)=z^{n}+p_{1}(x, y) z^{n-1}+\ldots+p_{n}(x, y)-$ полином с рациональными коэффициентами. Если где-нибудь $P(z, x, y)$
не имеет кратных корней, то из того, что $\left\{P_{z_{1}}, P_{z_{2}}\right\}=0$ при условии $P_{z_{1}}=0, P_{z_{2}}=0$, вытекает абсолютное равенство
\[
\left\{P_{z_{1}}, P_{z_{2}}\right\}=0 .
\]
Указание. Разложите полином $P=\prod_{
u=0}^{n}\left(z-u_{
u}(x, y)\right)$ в некоторой окрестности и покажите, что в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ для $z_{1}=u_{
u}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $z_{2}=u_{\mu}\left(x_{0}, y_{0}\right)
eq z_{1}$ имеется равенство
\[
\left\{P_{z_{1}}, P_{z_{2}}\right\}=c\left\{u_{
u}, u_{\mu}\right\}=0,
\]
где $c$ отлично от нуля. Таким образом, покажите, что нули $u_{
u}$ находятся в инволюции, а следовательно, и $P_{z_{1}}, P_{z_{2}}$ также инволютивны при всех $z_{1}, z_{2}, x, y$.
Заметим, что утверждение упражнения 2 неверно для двойных корней: пусть
\[
P_{z}=Q_{z}^{2},
\]
тогда для $P_{z_{1}}=P_{z_{2}}=0$ имеем всегда
\[
\left\{P_{z_{1}}, P_{z_{2}}\right\}=4 Q_{z_{1}} Q_{z_{2}}\left\{Q_{z_{1}}, Q_{z_{2}}\right\}=0 ! .
\]
Упражнение 3. Покажите, что функции (7) находятся в инволюции прямым вычислением.
Упражнение 4. Покажите, что $n+2$ функции
\[
G_{
u}=\sum_{\mu
eq
u} \frac{\left(x_{
u} y_{\mu}-x_{\mu} y_{
u}\right)^{2}}{a_{
u}-a_{\mu}}, \quad G_{n+1}=|y|^{2}
\]
находятся в инволюции; поэтому они должны быть функционально зависимы; действительно,
\[
\sum_{
u=0}^{n+1} G_{
u} \equiv 0 .
\]
Упражнение 5. Для любой прямой, касательной к двум конфокальным конусам,
\[
Q_{z_{j}}(x)=0, \quad z_{1}
eq z_{2},
\]
или к такому конусу и сфере
\[
|x|=1,
\]
нормали в точках касания перпендикулярны.
(Этот факт привел к выражениям $G_{
u}$ в упражнении 4.)
Упражнение 6. Касательные к произвольной геодезической на эллипсоиде касаются одного и того же множества конфокальных квадрик, т. е. независимо от точки на данной геодезической (см. [29]).
С небольшими изменениями можно показать, что движение на эллипсоиде под действием потенциала $|x|^{2}$ также интегрируемо. Это было показано еще Якоби [25].
