Несмотря на исключительный характер интегрируемости, недавно было открыто довольно много интегрируемых гамильтоновых систем, скрытые симметрии которых оказались весьма неожиданными. Наиболее интересные из них представляются дифференциальными уравнениями в частных производных и, следовательно, имеют бесконечное число степеней свободы.

Из-за недостатка места они не будут обсуждаться здесь, но некоторые из приведенных ниже систем могут рассматриваться как дискретный аналог соответствующих систем с бесконечными степенями свободы.
1. Цепочка Тоды. Рассмотрим $n$ частиц на прямой с координатами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям
\[
\ddot{x}_{j}=-\frac{\partial U}{\partial x_{j}}
\]

где
\[
U=\sum_{k=1}^{n} e^{x_{k}-x_{k+1}}, \quad x_{n+1} \equiv x_{1} .
\]

Эта система имеет $n$ интегралов в инволюции $F_{1}, \ldots, F_{n}$, которые представляют собой рациональные функции от $y_{k}=\dot{x}_{k}$ и $\exp \left(x_{k}-x_{k+1}\right)$. Этот факт был открыт Эноном и несколько позднее Фляшкой ${ }^{1}$. Решения этой системы могут быть выражены в следующем виде: $e^{x_{k}}$ задаются рациональными функциями от $e^{\lambda_{1} t}, \ldots, e^{\lambda_{n} t}$ с некоторыми различными постоянными $\lambda_{k}$.

Первоначальная цепочка Тода относится к случаю бесконечного числа частиц, но мы ограничимся случаем $n<\infty$ (см. [5]-[8]).

2. Система Калоджеро с потенциалом $q^{-2}$ также имеет вид (1), но (2) заменяется на
\[
U=\sum_{k<l}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{-2} .
\]

Эта система имеет $n$ рациональных интегралов в инволюции [9] (см. §4).

Решения $x_{k}(t)$ – алгебраические функции $t$, в действительности они являются собственными числами матрицы, линейно зависящей от $t$.
3. Наиболее старый пример этого типа – геодезический поток на $n$-мерном эллипсоиде в $\mathbb{R}^{n+1}$ с различными осями. Интегрируемость его была открыта Якоби (см. § 6). Более того, он показал, что система, описывающая движение частицы по эллипсоиду под действием радиальной силы $a x$, также интегрируема. При $a=0$ получаем, как частный случай, геодезический поток. Решения выражаются через гиперэллиптические функции.
4. С последней системой связана система, описывающая движение точки на $n$-мерной сфере $|x|=1, x \in \mathbb{R}^{n+1}$, под действием квадратичного потенциала $V(x)$ с различными собственными числами. Решения ее также выражаются через гиперэллиптические функции (§ 7).

Как увидеть интегрируемый характер этих систем и скрытые симметрии, лежащие в основе их интегрируемости? К решению этой задачи нет систематического подхода. Мы найдем различные причины, обуславливающие существование интегралов. В случаях пп. 1 и 2 интегралы находятся как собственные значения некоторого класса матриц, а дифференциальные уравнения соответствуют деформациям этих матриц, оставляющим спектр неподвижным (изоспектральные деформации).

В случае п. 2 мы увидим, что симметрия системы связана с коприсоединенным представлением унитарной группы. (См. также [14].)

В случаях пп. 3 и 4 для нахождения рациональных интегралов в инволюции мы используем геометрический факт о конфокальных квадриках. Он состоит в следующем: если прямая касается $n$ конфокальных квадрик в точках $P_{1}, \ldots, P_{n}$, то нормали к этим квадрикам в точках $P_{1}, \ldots, P_{n}$ взаимно перпендикулярны.

Вероятно, в основе всех этих явлений лежит общее объяснение. Один из аргументов в пользу этого состоит в том, что все эти примеры связаны с уравнением Кортевега-де Фриза. Для пп. 1 и 2 это хорошо

известно ([10]-[13]), в §8 мы покажем связь случая п. 4 с уравнением Хилла (которое тесно связано с уравнением Кортевега-де Фриза). Последнее рассмотрение представляется новым.

Мы закончим этот параграф описанием интегралов для системы п. 1 , следуя Флашке. Он конструирует матрицы Якоби
\[
L=\left(\begin{array}{ccccc}
b_{1} & a_{1} & & & 0 \\
a_{1} & b_{2} & \cdot & & \\
& \cdot & \cdot & \cdot & \\
& & \cdot & \cdot & a_{n-1} \\
0 & & & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & a_{1} & & & 0 \\
-a_{1} & 0 & \cdot & & \\
& \cdot & \cdot & \cdot & \\
& & \cdot & 0 & a_{n-1} \\
0 & & & -a_{n-1} & 0
\end{array}\right)
\]

и показывает, что дифференциальные уравнения (1), (2) эквивалентны системе
\[
\frac{d}{d t} L=[B, L],
\]

если мы положим
\[
2 a_{k}=\exp \left(\frac{1}{2}\left(x_{k}-x_{k+1}\right)\right), \quad 2 b_{k}=-y_{k}=-\dot{x}_{k} .
\]

Из этого выводится, что собственные числа $L$ являются интегралами, которые оказываются коммутирующими. Таким образом, любые функции от них, например симметрические функции или следы степеней
\[
\operatorname{tr} L^{p} \quad(p=1,2, \ldots, n),
\]

также являются интегралами в инволюции.
Подобная конструкция приводит к цели и в случае п. 2 , но мы опишем другой подход в $\S 4$.