В этой главе мы обобщим предыдущие результаты и рассмотрим функционал $S=\sum_{k} \operatorname{tr}\left(X_{k} J X_{k+1}\right)$ на последовательностях $X=\left(X_{k}\right)$ $n+N$ матриц $X_{k}, 1 \leqslant n \leqslant N$, удовлетворяющих условию
\[
X_{k} X_{k}^{T}=I_{n} .
\]

Строки таких матриц представляют собой ортогональные единичные векторы в $\mathbb{R}^{N}$. Такие матрицы образуют многообразие Штифеля $V_{n, N}$.

Функция взаимодействия $\mathscr{L}=\operatorname{tr}\left(X J Y^{T}\right)$ есть симметрическая билинейная функция, инвариантная под действием $O(n): X \rightarrow s X, y \rightarrow s Y$, $s \in O(n)$. Покажем, что некоторые результаты главы 1 , соответствующие случаю $n=N$, можно обобщить для $n<N$.

Для $n=1$ наши результаты согласуются с решением этой задачи, предложенным в [1]. Заметим, что для $n=1, N=3$ мы имеем задачу о стационарных состояниях цепочки Гейзенберга с классическими спинами (см. $[1,5,6,7]$ и введение).

1. Уравнение динамики и изоспектральных деформаций.
Варьирование $S$ при условии (2.1) приводит к уравнению
\[
X_{k+1} J+X_{k-1} J=\Lambda_{k} X_{k},
\]

где $\Lambda_{k}=\Lambda_{k}^{T}$ представляет собой $(n \times n)$ матричный множитель. Будем считать матрицу $J$ симметрической и невырожденной.
Теорема 4. Уравнения (2.2) эквивалентны уравнению изоспектральных деформаций
\[
L_{k+1}(\lambda)=A_{k}(\lambda) L_{k}(\lambda) A_{k}^{-1}(\lambda),
\]

где $L_{k}(\lambda)=J^{2}+\lambda M_{k}-\lambda^{2} X_{k-1}^{T} X_{k-1}, M_{k}=X_{k-1}^{T} X_{k} J-J X_{k}^{T} X_{k-1}$, $A_{k}(\lambda)=J-\lambda X_{k}^{T} X_{k-1}$. Более того,
\[
L_{k}=\left(J+\lambda X_{k-1}^{T} X_{k}\right)\left(J-\lambda X_{k}^{T} X_{k-1}\right)=A_{k}^{T}(-\lambda) A_{k}(\lambda),
\]

так что
\[
L_{k+1}=A_{k+1}^{T}(-\lambda) A_{k+1}(\lambda)=A_{k}(\lambda) A_{k}^{T}(-\lambda) .
\]

Доказательство следует из прямых вычислений. Определитель $L_{k}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
P(\lambda)=\operatorname{det} L_{k}(\lambda)=\operatorname{det} A_{k}^{T}(-\lambda) \operatorname{det} A_{k}(\lambda)= \\
\quad=\operatorname{det} J^{2} \operatorname{det}\left(I_{n}-\lambda^{2}\left(X_{k-1} J^{-1} X_{k}\right)^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где была использована формула Вейнстейна-Аронжана, см. [10]. Поэтому $P(\lambda)$ – четный полином от $\lambda$ степени $2 n$. Факторизация (2.4) определяет разбиение $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$множества $\Sigma$ нулей $P(\lambda)$ :

$\Sigma_{+}=\{\lambda: \operatorname{det} A(\lambda)=0\}, \Sigma_{-}=\left\{\lambda: \operatorname{det} A^{T}(-\lambda)=0\right\}$. Это разбиение удовлетворяет условиям
\[
\bar{\Sigma}_{+}=\Sigma_{+}, \quad \bar{\Sigma}_{-}=\Sigma_{-}, \quad \Sigma_{+}=-\Sigma_{-} .
\]

Если такое разбиение фиксировано и все нули $P(\lambda)$ различны, то для заданных $X_{k-1}, X_{k}$ матрицу $X_{k+1}$ можно определить следующим образом.

Рассмотрим «собственные векторы» $\psi_{i}$ матриц $L_{k+1}=A_{k}(\lambda) A_{k}^{T}(-\lambda)$, соответствующие $\lambda_{i} \in \Sigma_{+}$,
\[
L_{k+1}\left(\lambda_{i}\right) \psi_{i}=0,
\]

и объединим эти векторы в $N \times n$ матрицу $\psi$ в качестве столбцов. Поскольку $\Sigma_{+}=\left\{\lambda: \operatorname{det} A_{k+1}(\lambda)=0\right\}$, то из (2.5) имеем
\[
\left(J-\lambda_{i} X_{k+1}^{T} X_{k}\right) \psi_{i}=0,
\]

или
\[
J \psi-X_{k+1}^{T} X_{k} \psi \Lambda=0,
\]

где $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right), \lambda_{i} \in \Sigma_{+}$. Если $n \times n$ матрица $X_{k} \psi$ обратима, то
\[
X_{k+1}^{T}=J \psi \Lambda^{-1}\left(X_{k} \psi\right)^{-1}
\]

восстанавливается единственным образом.
Не вдаваясь в дальнейшие рассуждения для общего случая $1 \leqslant n \leqslant N$, перейдем в следующем параграфе к детальному изучению случая $n=1$. В этой связи хочется сослаться на работу Адамса, Арнада и Превиато [26], в которой обобщаются матрицы, введенные в [10].

2. Дискретный вариант системы Неймана и цепочка Гейзенберга с классическими спинами.
Для $n=1$ имеем функционал
\[
S(x)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left(x_{k}, J x_{k+1}\right),
\]

где $x=\left(x_{k}\right), x_{k}$ принадлежит единичной сфере $S^{N-1}$ в $\mathbb{R}^{N}:\left|x_{k}\right|=1$, и $J=\operatorname{diag}\left(J_{1}, \ldots, J_{n}\right)$. Для $N=3$ имеем единичные векторы в $\mathbb{R}^{3}$, которые можно интерпретировать как классические спины. В этом случае

функционал $S(2.10)$ определяет энергию цепочки спинов в модели Гейзенберга (см. $[1,6,7,8]$ ). Уравнения стационарной конфигурации имеют вид
\[
J x_{k+1}+J x_{k-1}=\lambda_{k} x_{k},
\]

или
\[
x_{k+1}+x_{k-1}=\lambda_{k} J^{-1} x_{k} .
\]

Множители $\lambda_{k}(1 \times 1$ матрицы) можно найти из
\[
1=\left|x_{k+1}\right|^{2}=\left|\lambda_{k} J^{-1} x_{k}-x_{k-1}\right|^{2}=\lambda_{k}^{2}\left|J^{-1} x_{k}\right|^{2}-2 \lambda_{k}\left(J^{-1} x_{k}, x_{k-1}\right)+1,
\]

поэтому
\[
\lambda_{k}\left(\lambda_{k}\left|J^{-1} x_{k}\right|^{2}-2\left(J^{-1} x_{k}, x_{k-1}\right)\right)=0 .
\]

Имеется две возможности: $\lambda_{k}=0$ или
\[
\lambda_{k}=2\left(J^{-1} x_{k}, x_{k-1}\right) /\left|J^{-1} x_{k}\right|^{2} .
\]

В литературе (см., например, $[5,6]$ ) обычно рассматривается вторая возможность, потому что только в этом случае может существовать непрерывный предел. Это обусловлено следующим. Пусть $J=I+\varepsilon^{2} J_{c}$ и $x_{k}=x\left(t_{0}+k \varepsilon\right.$ ) для малых $\varepsilon$, тогда из (2.11) имеем следующие уравнения для $x(t)$
\[
\left(I+\varepsilon^{2} J_{c}\right)\left(2 x+2 \frac{1}{2} \varepsilon^{2} x^{\prime \prime}\right) \approx \lambda x
\]

или
\[
x^{\prime \prime}+2 J_{c} x \approx \mu x
\]

где $\mu=(\lambda-2) \varepsilon^{-2}$, т. е. систему Неймана, описывающую движение на единичной сфере под действием потенциала $U(x)=\left(J_{c} x, x\right)[8,9,27]$. По этой причине будем называть систему (2.11), (2.13) дискретным вариантом системы Неймана.

Объясним теперь, как можно проинтегрировать эту систему при помощи теоремы 4 . Матрица $L_{k}(2.3)$ имеет вид
\[
L=J^{2}+\lambda x \wedge J y-\lambda^{2} x \otimes x,
\]

где $x=x_{k-1}, y=x_{k}, x \wedge y=x \otimes y-y \otimes x$. Это особый случай матрицы, введенный и исследованный в связи с классическими интегрируемыми системами в [10]. Определитель $L$ имеет вид
\[
\operatorname{det} L=\operatorname{det} J^{2}\left(1-\lambda^{2}\left(x, J^{-1} y\right)^{2}\right)
\]

и нули $\lambda= \pm\left(x, J^{-1} y\right)^{-1}$. Таким образом, мы имеем два возможных разбиения множества $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}: \Sigma_{+}=\left(x, J^{-1} y\right)^{-1}$ или $\Sigma_{+}=-\left(x, J^{-1} y\right)^{-1}$. Легко видеть, что они соответствуют двум решениям (2.12). Это означает, что процедура, предложенная в предыдущей главе, действительно определяет динамику.

Для того, чтобы получить явные формулы, нужно рассмотреть спектральную кривую $\Gamma$ на $L$ :
\[
\operatorname{det}(L(\lambda)-\mu I)=0,
\]

или, используя формулу (см. [10]),
\[
\begin{array}{c}
\frac{\operatorname{det}(L-\mu I)}{\operatorname{det}\left(J^{2}-\mu I\right)}=1-\lambda^{2} \phi_{\mu}(x, J y), \\
\phi_{\mu}(x, J y)=Q_{\mu}(x)-\left(Q_{\mu}(x) Q_{\mu}(J y)-Q_{\mu}^{2}(x, J y)\right), \\
Q(x, z)=\left(-\left(J^{2}-\mu I\right)^{-1} x, z\right), \\
Q_{\mu}(x)=Q_{\mu}(x, x),
\end{array}
\]

получим гиперболическое уравнение
\[
\lambda^{2}\left[\left(Q_{\mu}(x) Q_{\mu}(J y)-Q_{\mu}^{2}(x, J y)\right)-Q_{\mu}(x)\right]+1=0 .
\]

Функцию $\phi_{\mu}(x, J y)$ можно представить в виде
\[
\phi_{\mu}(x, J y)=\sum_{i=1}^{N} \frac{F_{i}(x, y)}{\mu-J_{i}^{2}},
\]

где
\[
F_{i}=x_{i}^{2}+\sum_{j
eq i} \frac{(x \wedge J y)_{i j}^{2}}{J_{i}^{2}-J_{j}^{2}}, \quad \sum_{i=1}^{N} F_{i} \equiv 1
\]

являются инволютивными интегралами системы (2.11), (см. $[1,8]$ ). Обозначив корни $\phi_{\mu}(x, J y)$ через $\mu_{1}, \ldots, \mu_{N-1}$, можно написать
\[
\phi_{\mu}(x, J y)=\frac{\prod_{i=1}^{N-1}\left(\mu-\mu_{i}\right)}{\prod_{i=1}^{N}\left(\mu-J_{i}^{2}\right)}
\]

и уравнение кривой Г в виде
\[

u^{2}=\prod_{i=1}^{N-1}\left(\mu-\mu_{i}\right) \prod_{j=1}^{N}\left(\mu-J_{j}^{2}\right),
\]

где $
u=\lambda \prod_{i=1}^{N-1}\left(\mu-\mu_{i}\right)$. Очевидно, что отображение (2.11) есть сдвиг на многообразии Якоби гиперболической кривой (1.23). Чтобы найти этот сдвиг, проведем ту же самую процедуру, что и в параграфе 1.5; а именно: собственные функции $\psi_{k+1}$ матрицы $L_{k+1}$ могут быть получены как $\psi_{k+1}=A_{k}(\lambda) \psi_{k}$ или
\[
\psi_{k+1}=\left(J-\lambda x_{k} \otimes x_{k-1}\right) \psi_{k} .
\]

Мы видим, что $\psi_{k+1}$ имеет новый полюс $P_{\infty}$ на «бесконечности», соответствующий $\mu=\infty$ для (1.23), и новый нуль в одной из точек $P_{ \pm}$: $\mu=0, \lambda= \pm\left(x, J^{-1} y\right)^{-1}$, определяемый разбиением $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$. Таким образом, сдвиг есть $U=P_{\infty}-P_{+}$. Следуя процедуре, предложенной в предыдущем параграфе, можно записать явные формулы для $\psi_{k}$ и $x_{k}$ в терминах гиперэллиптических $\theta$-функций. Такие формулы были найдены впервые в [7] (см. также [1]) при помощи другого подхода, требующего нескольких необоснованных шагов. Как можно проверить, эти результаты хорошо согласуются с результатами в $[1,7]$.