Вновь обратимся к уравнениям (2.4) и (2.5) и изучим их решения, используя тот факт, что эти дифференциальные уравнения описывают изоспектральные деформации матриц Якоби. Начнем с введения множества переменных $r_{k}$ на многообразии матриц Якоби (2.1) с фиксированным спектром. Это аналог обратной спектральной задачи.
Пусть
\[
R(\lambda)=(\lambda I-L)^{-1}
\]

и $e_{1}$ – вектор с компонентами $(1,0 \ldots, 0)$. Введем рациональную функцию
\[
f(\lambda)=\left(R(\lambda) e_{1}, e_{1}\right),
\]

имеющую простые полюса в точках $\lambda=\lambda_{k}$ с положительным вычетом, который обозначим через $r_{k}^{2}$, так что
\[
f(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

С учетом свойства симметрии $K^{-1} L K=-L$, выведенным в разделе $2, f(\lambda)$ является нечетной функцией $\lambda$. Таким образом, упорядочивая (всегда различные) собственные значения
\[
\lambda_{n}>\lambda_{n-1}>\cdots>\lambda_{1},
\]

заключаем, что
\[
\lambda_{k}=-\lambda_{n-k+1} ; \quad r_{k}=r_{n-k+1},
\]

и $f(\lambda)$ может быть представлена в виде
\[
f(\lambda)=\sum_{k=1}^{
u} \frac{2 \lambda r_{k}^{2}}{\lambda^{2}-\lambda_{k}^{2}}+\varkappa_{n} \frac{r_{
u+1}^{2}}{\lambda},
\]

где $\varkappa_{n}=1$ при нечетном $n$, и $\varkappa_{n}=0$ при четном $n$ и $
u=[n / 2]$.
Так как $f(\lambda) \sim \lambda^{-1}$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$, то
\[
\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1 .
\]

Освободимся от последнего ограничения, используя $r_{k}^{2}$ в качестве проективных координат, положив
\[
f(\lambda)=\frac{\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2} /\left(\lambda-\lambda_{k}\right)}{\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}}=\frac{\sum_{k=1}^{
u} 2 \lambda r_{k}^{2} /\left(\lambda^{2}-\lambda_{k}^{2}\right)+\varkappa_{n}\left(r_{
u+1}^{2} / \lambda\right)}{\sum_{k=1}^{
u} 2 r_{k}^{2}+\varkappa_{n} r_{
u+1}^{2}} .
\]

Для однозначного с точностью до масштабирования $r_{k}$ описания матрицы Якоби (2.1) можно использовать $n$ переменных $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{
u}$, $\varkappa r_{
u+1}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{
u}$. Действительно, квадраты $a_{k}^{2}(k=1,2, \ldots, n-1)$ элементов в (2.1) могут быть выражены рационально через $r_{j}, \lambda_{j}$, $1 \leqslant j \leqslant
u$ и $r_{
u+1}$, если $n$ нечетно, что видно из представления $f(\lambda)$ в виде цепной дроби
\[
f(\lambda)=\frac{1}{\lambda-\frac{a_{1}^{2}}{\lambda-\frac{a_{2}^{2}}{\frac{\ddots}{\frac{\lambda-a_{n-1}^{2}}{\lambda}}}}}
\]

восходящего к Стилтьесу (использованной также в [12]). Так как вычисление цепной дроби из выражения, составленного из элементарных дробей, является рациональным процессом, находим, что
\[
a_{k}^{2}=R_{k}(r, \lambda),
\]

где $R_{k}(r, \lambda)$ – рациональные функции степени ноль по $r_{j}$ и однородные степени 2 по $\lambda$.

Кроме того, (6.4) можно рассматривать как отображение, переводящее область
\[
D=\left\{(\lambda, r), \lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots>\lambda_{
u} \geqslant 0 ; r_{j}>0 \quad(j=1,2, \ldots, n-
u)\right\}
\]

в область на
\[
\tilde{D}=\left\{a_{j}>0, j=1,2, \ldots, n-1\right\}
\]

так, что прообразом каждой точки является ровно один луч $(\rho r, \lambda)$ со скаляром $\rho>0$.

Покажем, что в этих однородных координатах дифференциальные уравнения принимают простую форму
\[
\dot{\lambda}_{k}=0 ; \quad \dot{r}_{k}=-\lambda_{k}^{2} r_{k},
\]

так что посредством (6.4) $a_{k}^{2}$ представимы в виде рациональных функций экспонент $e^{-\lambda_{1}^{2} t}, \ldots, e^{-\lambda_{
u}^{2} t}$.

Для доказательства этого предположения введем собственные вектора $\phi\left(\lambda_{j}\right)$ матрицы $L$, нормированные следующим образом
\[
\phi_{1}\left(\lambda_{j}\right)=\left(e_{1}, \phi\left(\lambda_{j}\right)\right)>0 ; \quad\left|\phi\left(\lambda_{j}\right)\right|=1 .
\]

Если $L$ – решение (2.3), то ее собственные векторы становятся функциями от $t$, эволюционирующими в соответствии с уравнением
\[
\phi\left(\lambda_{j}, t\right)=U(t) \phi\left(\lambda_{j}, 0\right),
\]

где $U(t)$ – унитарная матрица из раздела 2. Таким образом, собственные векторы удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
\frac{d \phi\left(\lambda_{j}, t\right)}{d t}=-B \phi\left(\lambda_{j}, t\right) .
\]

Запишем результирующее дифференциальное уравнение для первой компоненты $\phi_{1}=\left(e_{1}, \phi\right)$
\[
\dot{\phi}_{1}=-a_{1} a_{2} \phi_{3}
\]

и воспользуемся уравнениями, полученными из равенства $(L-\lambda) \phi=0$
\[
\begin{aligned}
\lambda \phi_{1}+a_{1} \phi_{2} & =0 \\
a_{1} \phi_{1}-\lambda \phi_{2}+a_{2} \phi_{3} & =0,
\end{aligned}
\]

чтобы выразить $\phi_{3}$ через $\phi_{1}$. Легко находим
\[
a_{1} a_{2} \phi_{3}=\left(\lambda^{2}-a_{1}^{2}\right) \phi_{1},
\]

так что дифференциальное уравнение на $\phi_{1}$ принимает вид
\[
\dot{\phi}_{1}=-\left(\lambda^{2}-a_{1}^{2}\right) \phi_{1} .
\]

Наконец, чтобы показать, что $\phi_{1}\left(\lambda_{k}\right)$ пропорционально $r_{k}$, запишем резольвенту $R(\lambda)$ через собственные векторы
\[
f(\lambda)=\left(R(\lambda) e_{1}, e_{1}\right)=\sum_{k} \frac{\left(\phi\left(\lambda_{k}\right), e_{1}\right)^{2}}{\lambda-\lambda_{k}},
\]

тан что
\[
\phi_{1}=\left(\lambda_{k}\right) \frac{r_{k}}{\left(\sum_{j=1}^{n} r_{j}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Таким образом, дифференциальные уравнения (6.5) дают
\[
\dot{\phi}_{1}\left(\lambda_{k}\right)=-\left(\lambda_{k}^{2}-\sum \lambda_{j}^{2} r_{j}^{2}\right) \phi_{1}\left(\lambda_{k}\right) .
\]

Легко проверить, что
\[
a_{1}^{2}=\sum_{j} \lambda_{j}^{2} r_{j}^{2}\left(\sum_{j} r_{j}^{2}\right)^{-1},
\]

и вторые уравнения в (6.5) доказаны. Первые уравнения в (6.5) очевидны из непосредственного дифференцирования.

Таким образом, решения $a_{k}^{2}$ уравнений (2.4) являются рациональными функциями экспонент. Опишем решение для $n=4$. Вычисляя явно цепную дробь $f(\lambda)$, находим
\[
\begin{array}{c}
a_{1}^{2}=\frac{\lambda_{1}^{2} r_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2} r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}, \quad a_{2}^{2}=\frac{\left(\lambda_{2}^{2}-\lambda_{1}^{2}\right)^{2} r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{\left(\lambda_{1}^{2} r_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2} r_{2}^{2}\right)\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)}, \\
a_{3}^{2}=\frac{\lambda_{1}^{2} \lambda_{2}^{2}\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)}{\lambda_{1}^{2} r_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2} r_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Подставляя $r_{j}=r_{j}(0) e^{-\lambda_{j}^{2} t}$, получаем явное решение (2.4).