Упомянем еще об одной механической системе, интегралы которой могут быть интерпретированы как собственные значения матрицы, получаемой при возмущении ранга 2 . Примером служит движение частицы по сфере $|x|=1$ в $\mathbb{R}^{n}$ под влиянием потенциала
\[
U=\frac{1}{2}\left(\langle A x, x\rangle-\sum_{j=1}^{n} c_{j}^{2} x_{j}^{-2}\right) .
\]

Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\ddot{x}_{j}=-U_{x_{j}}=-\left((A x)_{j}+\frac{c_{j}^{2}}{x_{j}^{3}}\right)+\lambda x_{j} .
\]

Методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби Росохатиус [16] показал, что данная система интегрируема. Покажем, что эта задача может быть описана как изоспектральный поток матриц вида
\[
L(x, y)=A+a x \otimes x+r(x \otimes y-y \otimes x)+x \otimes \frac{c}{x}+\frac{c}{x} \otimes x,
\]

где $c / x$ обозначает вектор с компонентами $c_{j} / x_{j}$. В частности, собственные значения такой матрицы находятся в инволюции по отношению к стандартной симплектической структуре. Эта матрица снова является возмущением ранга 2 , так как
\[
L=A+x \otimes \xi+\eta \otimes x,
\]

где
\[
\xi=a x+r y+\frac{c}{x}, \quad \eta=-r y+\frac{c}{x} .
\]

Не приводя вычислений, дадим обобщение теоремы 2 на этот случай.
Для произвольной фиксированной диагональной матрицы $\beta=$ $=\operatorname{diag}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)$, определим
\[
B=r \beta+\left(\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left[r^{2}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)+r\left(\frac{c_{i}}{x_{i}} x_{j}+\frac{c_{j}}{x_{j}} x_{i}\right)\right]\right)-\left(\delta_{i j} D_{j}\right),
\]

где
\[
D_{j}=r \sum_{k}^{\prime} \frac{\beta_{j}-\beta_{k}}{\alpha_{j}-\alpha_{k}}\left(\frac{c_{j}}{x_{j}^{2}}+\frac{c_{k}}{x_{k}^{2}}\right) x_{k}^{2} .
\]

Тогда изоспектральная деформация
\[
\frac{d L}{d t}=[B, L]
\]

эквивалентна гамильтоновой системе
\[
\dot{x}=H_{y}, \quad \dot{y}=-H_{x},
\]
$\mathrm{c}$
\[
2 H=a\langle\beta x, x\rangle-\sum_{i<j} \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\left[r^{2}\left(x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}\right)^{2}+x_{i}^{2} \frac{c_{j}^{2}}{x_{j}^{2}}+x_{j}^{2} \frac{c_{i}^{2}}{x_{i}^{2}}\right] .
\]

Снова запишем
\[
H=\sum_{j=1}^{n} \beta_{j} G_{j}
\]

и получим, таким образом, $n$ рациональных функций в инволюции и то, что все вышеупомянутые $X_{H}$ являются интегрируемыми. В частности, при $\beta=A$ получаем
\[
2 H=a\langle A x, x\rangle-r^{2}\left(|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right)-\langle x, x\rangle \sum_{j=1}^{n} \frac{c_{j}^{2}}{x_{j}^{2}}+2 \sum_{j=1}^{n} c_{j}^{2} .
\]

Ограничение данной системы на касательное расслоение сферы $\langle x, x\rangle=1$, $\langle x, y\rangle=0$ дает систему (6.1), если положить $a=-1, r=1$. Так как
\[
2 \sum_{j=1}^{n} G_{j}=a\langle x, x\rangle / 2
\]

также принадлежит функциям, генерируемым $G_{j}$, система (6.1) имеет $G_{j}$ в качестве интегралов.

Интегрирование системы может быть выполнено, как и ранее, с использованием дополнительной матрицы
\[
M=P_{x} A P_{x} .
\]

Подходящей гиперэллиптической кривой является
\[
w^{2}=P(z)=a^{2}(z)\left(1-\sum_{j=1}^{n} \frac{c_{j}}{z-\alpha_{j}}\right)^{2}-a(z) l(z) .
\]

Здесь $P(z)$ – полином степени $2 n-1$, и кривая – рода $n-1$. Однако при $c_{j}
eq 0$ ни $\alpha_{k}$, ни собственные значения $\lambda_{k}$ матрицы $L$ не являются точками ветвления.
П. Дейфт сделал интересное наблюдение, что система (6.1) может быть получена из системы Неймана раздела 5.2 , если заменить $n$ на $2 n$, положить $\alpha_{k+n}=\alpha_{k}(k=1,2, \ldots, n)$ и редуцировать систему по $n$ вращениям в $x_{k}-x_{k+n}$ плоскостях. Пусть
\[
x_{k}=r_{k} \cos \theta_{k}, \quad x_{k+n}=r_{k} \sin \theta_{k} ; \quad y_{j}=x_{j},
\]

тогда свободный гамильтониан
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}^{2}+y_{k+n}^{2}+\alpha_{k}\left(x_{k}^{2}+x_{k+n}^{2}\right)\right)
\]

превращается в
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\dot{r}_{k}^{2}+r_{k}^{2} \dot{\theta}_{k}^{2}+\alpha_{k} r_{k}^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\dot{r}_{k}^{2}+\left(\frac{c_{k}}{r_{k}}\right)^{2}+\alpha_{k} r_{k}^{2}\right),
\]

если $x_{k} y_{k+n}-x_{k+n} y_{k}=r_{k}^{2} \dot{\theta}_{k}=c_{k}$ являются постоянными значениями этих интегралов. Ограничение этого гамильтониана на расслоение касательных единичных векторов дает систему (6.1).

Данное замечание показывает, что матрицы $A$ с кратными собственными значениями также представляют интерес.