Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (Ю.Мозер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Уравнения «движения».
Рассмотрим функционал S(X), определенный формальной суммой
S=ktr(XkJXk+1T)

на последовательностях X=(Xk), где XkO(N), т. е. ортогональная N×N матрица. Стационарные точки S описываются уравнением δS=0 или
Xk+1J+Xk1J=ΛkXk,

где Λk=ΛkT — матричный множитель Лагранжа, который определен таким образом, чтобы XkXkT=I. Λk однозначно определяется Xk1, Xk,Xk+1 но, как будет видно в дальнейшем, неединственным образом определяется Xk1,Xk; он является сложной функцией от Xk1,Xk.

Поэтому воспользуемся эйлеровым описанием динамики. Это можно проделать следующим образом. Перепишем (1.2) как
Xk+1JXkT+Xk1JXkT=Λk=ΛkT=XkJXk+1T+XkJXk1T.

Положив mk=XkJXk1TXk1JXkT, замечаем, что уравнение (1.3) означает, что mk+1=mk. Сохранение mk, являющегося дискретным аналогом углового момента в пространстве [20], есть следствие левоинвариантности L(X,Y) (см. [1]). В системе координат, связанной с телом, находим «угловую скорость» ωk=XkTXk1=Xk1Xk1o(N) и «угловой момент относительно тела» Mk=Xk11mkXk1=ωkTJJωk O(N), следовательно, уравнение (1.3) можно записать как «дискретное уравнение Эйлера-Арнольда» [1]
{Mk+1=ωkMkωk1,Mk=ωkTJJωk,ωko(N).

В непрерывном пределе, когда XkX(tk),tkt0+kε,ωk =Xk1Xk1IεΩ(tk),ωk=Xk1Xk1 и Mk=ωkTJJωk ε(JΩ+ΩJ)=εM(tk),M=JΩ+ΩJ, это уравнение (1.4) становится обычным уравнением Эйлера-Арнольда для движения N-мерного твердого тела
{M˙=[M,Ω],M=JΩ+ΩJ,Ωo(N).

Главной новой чертой дискретной системы (1.4) является связь между M и ω :
M=ωTJJω,ωO(N),MT=M,
которая требуется для нахождения ω. На самом деле, такое ω не единственно (см. ниже), и (1.4) определяет ωk+1 неоднозначно, что приводит к соответствию, но не к отображению.

Обсудим симплектические свойства этого соответствия (см. также [1]). Уравнение (1.2) есть частный случай уравнений Лагранжа δS=0 для функционала
S=kZL(Xk,Xk+1),XkMn,L=L(x,y)
(см. введение), которое в подходящей системе координат (x,y) на Q2n=Mn×Mn можно записать как
δS=0,Lx(Xk,Xk+1)+Ly(Xk1,Xk)=0.

Подмногообразие Γ2n в Q2n×Q2n, определенное уравнениями
x=y,Lx(x,y)+Ly(x,y)=0,

задает, вообще говоря, некоторое соответствие между подмножествами Q2n.
На Q2n можно определить замкнутую 2-форму σ :
σ=2Lxydxdy

или
σ=dβ=d(Lx(x,y)dx),β=Lxdx,

где dL=Lxdx+Lydy — естественное разложение 1-формы на Q2n. Подмногообразие Γ2n изотропно относительно формы σσ на Q2n×Q2n. Действительно,
ββ|Γ2n=Lx(x,y)dx|Γ2nLx(x,y)dx|Γ2n==Ly(x,y)dy|Γ2nLx(x,y)dx|Γ2n=dL(x,x)|Γ2n.

Мы видим, что L — производящая функция отображения, локально определена уравнениями (1.8) в области невырожденности σ :
det|2Lxy|eq0,

и, следовательно, это отображение симплектическое относительно симплектической структуры σ.

В этой связи полезно ввести дискретный вариант преобразования Лежандра τ из Q2n в TM. Оно определяется формулами
τ:(x,y)(x,p),pdx=Lx(x,y)dx,

где p — координата слоя, а α=pdx — каноническая 1-форма на TM. Таким образом, прообразом этой формы является τα=β=Lxdx, и каноническая симплектическая форма dα на TM имеет прообраз τdα=dβ=σ, который не вырождается, если только τ не критическое. В общем случае, τ обратимо только локально.

Обсудим описанную идею для нашего случая, когда M=O(N), L(X,Y)=tr(XJYT) и
β=tr(dXJYT).

Для описания преобразование Лежандра τ:O(N)×O(N)TO(N), отождествим TO(N) и TO(N) при помощи билинейной формы tr(ABT), так что
τ:(X,Y)(X,P),P=YJXSTXO(N),

где S=ST выбирается таким образом, чтобы XTP была кососимметрической, т.е.
P=12(YJXJYTX).

Каноническая 1-форма α=tr(PTdX) переводится в β=tr(dXJYT), поскольку XTdX кососимметрическая, а каноническая симплектическая форма dα на TO(N) отображается в
σ=dβ=tr(dXJdYT).

Говорят, что эта 2-форма σ является прообразом канонической симплектической формы на TO(N) при τ; она невырожденна во всех точках, не являющихся критическими точками τ.

Если локально определить отображение ϕ:(X,Y)(X,Y), выбрав ветвь соответствия в виде
YJ+XJ=ΛX,X=Y,ΛT=Λ,

где X,Y,X,YO(N), то это отображение сохраняет σ. Эквивалентно, отображение τϕτ1, локально определенное в окрестностях регулярных значений τ, сохраняет как каноническую симплектическую структуру, соответствующую пуассоновой структуре TO(N).

Поскольку и τ, и ψ коммутируют с левым сдвигом O(N), можно редуцировать отображение τϕτ1 до отображения o(N) при помощи проекции (X,P)XTPo(N). Результирующее приведенное отображение ψ:o(N)o(N), определенное уравнениями (1.4), переводит M=Mk в M=Mk+1, т. e.
ψ:M=ωTJJωM=JωTωJ.

Здесь важно решить матричное уравнение M=ωTJJω для ωO(N); этот вопрос подробно обсуждается в разделе 1.2 .

Хорошо известно, что редукция TO(N) на o(N) переводит каноническую пуассонову структуру на TO(N) (с точностью до постоянного ненулевого множителя) в структуру Ли-Пуассона
{f,g}=tr(M[fM,gM]),f,gC(o(N))

на o(N), которую мы снова отождествляем с o(N); здесь fM обозначает кососимметрическую матрицу частных производных f/Mij. Это доказывает, что отображение ψ:MM из (1.4) сохраняет пуассонову структуру, которая согласована с пуассоновой структурой, сохраняемой обычным непрерывным движением твердого тела, определяемым (1.5).

Эта редукция является дискретным вариантом хорошо известной процедуры редукции [20] для гамильтоновых систем. Для вычисления (1.11) см. также [30,31].

Наша следующая цель — показать, что это отображение интегрируемо, т. е. сохраняет достаточно много функций Fi, которые находятся в инволюции относительно описанной выше пуассоновой структуры.

Фактически, оказывается, что эти интегралы имеют такую же форму как в непрерывном случае, которые, как известно, находятся в инволюции.

2. Решение матричного уравнения (1.6): ωTJJω=M.
Нам нужно решить две основные задачи: а) определить отображение ϕ единственным образом, выбрав ветвь соответствия, и б) проверить, что это отображение интегрируемо. Покажем, что обе эти задачи можно свести к подходящей задаче факторизации матричного полинома.

Первая задача — построение вполне определенного отображения ϕ:(X,Y)(X,Y), график которого принадлежит соответствию (1.9), сводится к нахождению вполне определенного решения ωO(N) матричного уравнения
M=(ω)TJJω

для заданной кососимметрической матрицы M. Действительно, полагая ω=YTX,M=ωTJJω,M=ωMω1=JωTωJ, получим, что X и Y из (1.9) задаются формулами X=Y,Y=X(ω)T.

Фактически эта задача эквивалентна нахождению определенного преобразования, обратного преобразованию Лежандра τ:(X,Y) (X,P), поскольку
XTP=12(XTYJJYTX)=12(ωTJJω).

Следовательно решение этого уравнения приводит к Y=XωT, определяя тем самым τ1.
Основополагающее наблюдение заключается в следующем.

Лемма. Матрица (1.6) эквивалентна факторизации
(IλMλ2J2)=(ωT+λJ)(ωλJ).

Доказательство — простая проверка, которая также показывает, что решение ω обязательно является ортогональной матрицей. Оказывается, что выбор решения ω задается соответствующей факторизацией определителя
P(λ)=det(IλMλ2J2)=p(λ)p(λ).

Докажем следующую теорему

Теорема 1. Предположим, что для вещественной кососимметрической матрицы M полином P(λ) допускает разбиение
P(λ)=p(λ)p(λ);

а вещественный полином p(λ) удовлетворяет неравенству
|p(λ)|+|p(λ)|>0 для всех λC.

Тогда существует единственная матрица ωO(N), удовлетворяющая (1.12) и уравнению
±p(λ)=det(ωλJ).

Отложим доказательство этой теоремы до раздела 1.4. Рассмотрим разбиение некоторого P(λ). Поскольку M+MT=0, то имеем P(λ)=P(λ), а множество Σ всех корней P(λ) удовлетворяет соотношению Σ=Σ. Факторизация (1.13) соответствует разбиению Σ=Σ+Σна непересекающиеся множества Σ+,Σ, удовлетворяющие соотношениям
Σ¯+=Σ+,Σ¯=Σ,Σ+=Σ,

где Σ+- множество нулей вещественного полинома p(λ). Теперь обозначим для любого множества AC через A¯ множество всех a¯,aA, а через A — множество ( a),aA. Любое подобное разбиение приводит к фаюторизации (1.12) и, следовательно, к решению (1.6). Очевидно, что для возможности такой факторизации требуется, чтобы P(λ) не имел корней на мнимой оси. В этом случае факторизация получается путем выбора в качестве Σ+корней P(λ) из правой полуплоскости и Σ=Σ+.

Приведем схему доказательства теоремы 1 , предполагая, что корни P(λ) различны, полное доказательство для общего случая приводится позже. Обозначим элементы Σ+через λ1,λ2,,λN (а элементы Σ={λ1,λ2,,λN} ). Тогда существуют собственные векторы ψk:(IλkMλk2J2)ψk=0. Вследствие невырожденности ωT+λiJ из факторизации (1.12) имеем
(ωλkJ)ψk=0,

или, эквивалентно,
ωψ=JψΛ

где ψ есть N×N матрица со столбцами ψk, а Λ=diag(λ1,λ2,,λN).
Если ψ обратима, то уравнение
ω=JψΛψ1

определяет требуемое решение. Можно показать, что ψ в самом деле невырождена, и что (1.14) действительно определяет решение уравнения (1.6), которое, кроме того, вещественно и ортогонально. Однако в разделе 1.4 представлен другой, более общий подход к решению уравнения (1.6). В этом доказательстве показана также невырожденность ψ, что завершит предыдущие рассуждения. В этой связи являются полезными понятия симплектической геометрии.

Заметим, что полученные таким способом решения ωO(N) обладают тем свойством, что полиномы p(λ)=±det(ωλJ) и p(λ) не имеют общих корней. Другими словами, любые два собственных значения λ,λ матрицы ωJ1 удовлетворяют неравенству λ+λeq0. Обозначим множество этих матриц через E, т. е.
E={ωO(N),|p(λ)|+|p(λ)|>0λC;p(λ)=det(ωλJ)}.

Очевидно, что это открытое подмножество O(N), содержащее окрестность единицы. Поскольку p(λ) не стремится к нулю на мнимой оси, E разлагается на несколько компонент в зависимости от того, сколько корней p(λ) лежит в левой полуплоскости.

С помощью теоремы 1 легко определить отображение ϕ единственным образом. Проделаем это в сокращенной форме и перепишем предыдущую факторизацию (1.12) в виде
(IλMλ2J2)=AT(λ)A(λ);A(λ)=ωλJ.

Тогда образ точки M=ψM задается уравнением
(IλMλ2J2)=A(λ)AT(λ),

где два сомножителя переставлены. Это уравнение сразу проверяется при помощи (1.10). Таким образом, определители P(λ),P(λ) уравнений (1.16) и (1.17), соответственно, равны. По теореме 1 любое разложение P(λ)=p(λ)p(λ) приводит к единственной факторизации.

Следовательно для (1.17) существует единственное ω и A(λ)=ωλJ, причем
(IλMλ2J2)=AT(λ)A(λ),

где
det(ωλJ)=det(ωλJ)=p(λ).

Это приводит к вполне определенному отображению ωω, переводящему E в себя. Единственность достигается за счет требования (1.18), которое является совместимым с итерациями отображения 1.

Подобным образом отображение ϕ:(X,Y)(X,Y) вполне определено на левоинвариантном множестве
Q~={X,YO(N),YTXE}

и задается формулой (X,Y)=(Y,Y(ω)T), если ω=YTX. Заметим, что можно легко проверить, что Q~ есть в точности множество регулярных точек преобразования Лежандра τ. Таким образом, σ невырождено на Q~, что делает Q~ симплектическим многообразием.

3. Изоспектральные деформации.
Получим требуемые интегралы из предыдущих рассуждений. Для этого запишем отображение в терминах изоспектральных деформаций. Уравнение (1.4) уже имеет такой вид, но дает только k=[N2] «тривиальных» интегралов tr(M2u),u=1,2,,k (на самом деле они являются коприсоединенными инвариантами O(N) ), что недостаточно для полной интегрируемости. Как отметил Новиков [17], важно иметь такое представление для матрицы, которая полиномиально зависит от параметра λ. В нашем случае мы используем (1.16), (1.17), чтобы получить отображение ψ:MM в форме
(IλMλ2J2)=A(λ)(IλMλ2J2)A1(λ)

или эквивалентно
L(λ)=M+λJ2=A(λ)(M+λJ2)A1(λ).

Следовательно, полиномы fk(M,λ)=tr(M+λJ2)k являются интегралами ψ. Другими словами, характеристический полином det(L(λ)μI) сохраняется при отображении ψ, или в однородной форме
det(uM+λJ2μI)=2α+β+γ=Nu2αλβμγQαβγ(M),

коэффициенты Qαβγ(M) при α1,2α+β+γ=N дают k2 интегралов, если N=2k, или k(k+1) интегралов, если N=2k+1.

Эти интегралы fk(M,λ) или Qαβγ(M) являются в точности такими же, как для уравнения Эйлера-Арнольда (1.5). Действительно, для этих уравнений представление Лакса было найдено Манаковым [22] в виде
ddt(M+λJ2)=[M+λJ2,Ω+λJ],

показывающем, что fk(M,λ) или Qαβγ(M) также являются интегралами движения.

Хорошо известно, что эти функции находятся в инволюции относительно пуассоновой структуры (1.11) и независимы, что делает систему (1.5) вполне интегрируемой. Поскольку наше дискретное отображение ψ:MM сохраняет ту же пуассонову структуру (1.11) и функции fk(M,λ), мы приходим к выводу, что ψ также интегрируемое. Обобщим эти результаты в следующей теореме.
Теорема 2. Дискретное уравнение Эйлера (1.4) эквивалентно изоспектральной деформации
Lk+1=AkLkAk1,detAk+1=detAk,

где Lk=Mk+λJ2,Ak=ωkλJ,Mk+1=ψ(Mk). Отображение ψ сохраняет пуассонову структуру (1.11) и вполне интегрируемо. Оно сохраняет ту же пуассонову структуру и интегралы Fi, что и непрерывная система (1.5) для движения твердого тела.

«Интегрирование» этой системы теперь довольно просто, поскольку интегрирование непрерывного случая известно. Неособые компактные множества уровня Tc=i(Fi=ci) состоит из конечного объединения торов, в соответствии с хорошо известными рассуждениями [20]. Поскольку наше отображение ψ сохраняет структуру Пуассона (1.11) и функции Fi, оно коммутирует со всеми коммутирующими гамильтоновыми потоками, порождаемыми Fi, определенными через M˙=[M,ablaFi]. На каждом таком торе наше отображение ψ должно быть сдвигом относительно аффинной структуры, определяемым этими потоками. В данном случае это отображение можно представить как сдвиг вдоль траектории некоторого интеграла H (см. [1] и раздел 5).

Покажем, что в нашем случае Tc является вещественной частью комплексного абелева многообразия кривой det(M+λJ2μI)=0, и уравнение (1.4) определяет сдвиг на ней. Действительно, это многообразие оказывается тем же многообразием Прима, возникающим при интегрировании уравнений Эйлера-Арнольда (см., например, [21] и [33]).

4. Симплектическая геометрия уравнения (1.6).
Прежде всего запишем (1.6) в виде
ω1JJω=M,ωωT=I,

и, вводя W=ω1J, получим квадратное матричное уравнение
W2MWJ2=0

с дополнительным условием WTW=J2. Если u есть собственное значение W, то
Q(u):=det(u2IuMJ2)=0.

Сравнивая с (1.13), получим, что Q(u)=u2NP(u1). Поскольку 0otinΣ, разбиение Σ=Σ+Σопределяет разбиение S=S+Sмножества S корней (1.21):
S+=(Σ+)1,S=(Σ)1.

Потребуем, чтобы это разбиение удовлетворяло следующим условиям:
S¯+=S+,S¯=S,S=S+,S+S=.

Такое разбиение существует, если (1.21) не имеет чисто мнимых корней. Заметим, что теперь разрешаются кратные корни, но предполагается, что ни один из корней не принадлежит обеим компонентам S+ и S. В частности, чисто мнимые корни исключаются.
Переформулируем теорему 1 в эквивалентной форме:

Теорема 1′. Для любого разбиения S=S+Sсо свойствами (1.22) существует единственное решение W уравнения (1.20) ( и, следовательно, решение уравнения (1.6) ω=JW1 ), для которого specW=S+.

Для доказательства решение уравнения (1.20) сведем к задаче симплектической геометрии, а именно к определению инвариантных подпространств линейного гамильтонова векторного поля.
Вещественная 2N×2N матрица, о которой идет речь, имеет форму
A=(0IJ2M).

Рассмотрим N-мерное инвариантное подпространство A :
z=(XY)u,uRN

где X,YN×N матрицы, т.е.
A(XY)=(XY)C

вещественной N×N матрицы C, для которой spec C=S+или, что эквивалентно,
{Y=XC,J2X+MY=YC.

Если
detXeq0
т. е. если инвариантное подпространство можно рассматривать как график y=YX1x,z=(xy), то получим для W=YX1 уравнение (1.20):
J2+MW=WXCX1=W2.
Для доказательства WTW=J2, заметим, что A антисимметрична относительно симплектической билинейной формы
[z,w]=(Bz,w),B=(MIIO),

и Az можно рассматривать как гамильтоново векторное поле с гамильтонианом
H=12(Hz,z)=12(|Jx|2+|y|2),H=(J2O0I),

так что BA=H и
z˙=B1Hz=B1Hz=Az

Так как
\[

u I-A=\left(\begin{array}{cc}

u I & O \
-J^{2} &
u^{-1} I
\end{array}\right)\left(Iu1IOu2JuMJ2\right),
\]

будем иметь
det(uIA)=Q(u)=det(u2IuMJ2),

и спектр A представляет собой S+S.
Обозначим N-мерные собственные пространства A относительно S+,Sчерез V+,V, соответственно. Вследствие того, что S¯+=S+, S¯=S, они вещественны, а поскольку μi+μjeq0 для μi,μjS+, они являются лагранжевыми, изотропными пространствами относительно симплектической формы [, ] и симметрической форме H, соответственно, как следует из приведенной ниже леммы.
Лемма. Если Eμk=Ker(AμI)kuμ+ueq0, то [Eμk,Eul]=0 для всех k,l0.
Доказательство.
Индукция по k+l. При k+l=0 это тривиально. Предположим, что лемма верна для меньших значений k+l. Рассмотрим ϕEμk,ψEul и положим
ϕ^=(AμI)ϕEμk1,ψ^=(AμI)ψEul1,

так что
μϕ=Aϕϕ^,uψ=Aψψ^

Тогда
(μ+u)[ϕ,ψ]=[Aϕϕ^,ψ]+[ϕ,Aψψ^]=[ϕ^,ψ][ϕ,ψ^]=0,

следовательно, [ϕ,ψ]=0.

Следствие. Подпространства V+,Vлагранжевы:
[V+,V+]=[V,V]=0,

и изотропны относительно H:H(z)=12(Hz,z)=0 для zV±.
Первое утверждение немедленно следует из леммы, так как
V+=spans=1,,NEμs,μsS+,Eμ=Ker(AμI)2N.

Чтобы доказать изотропность V±относительно H, рассмотрим для ϕEμ,ψEu
(Hϕ,ψ)=[Aϕ,ψ]=μ[ϕ,ψ]+[ϕ^,ψ]=0,

где ϕ^=(AμI)ϕEμ.
Заметим, что V+,Vявляются вещественными подпространствами, поскольку S¯+=S+,S¯=S, тогда как Ek, вообще говоря, комплексные.

Теперь вернемся к доказательству теоремы 2 . Пусть z1,,zn произвольный базис в V+; объединяя эти векторы-столбцы в N×2N матрицу
Z+=(z1,,zn)=(X+Y+)

ранга N, имеем из AV+V+, что
AZ+=Z+C+

для некоторой вещественной матрицы C+размера N×N.

Чтобы доказать (1.23), используем сотношения (1.26), выполняющиеся для любых u,vRN
0=[Z+u,Z+v]=(BZ+u,Z+v)=(MX+uY+u,X+v)+(X+u,Y+v).

Полагая, что v выбрано таким образом, что X+v=0, положим u=C+v, так что X+u=X+Cv=Y+v, и найдем из предыдущего тождества
0=|Y+v|2,
т. е. Y+v=0, отсюда Z+v=0, т. е. v=0. Следовательно, detX+eq0, что и доказывает (1.23).

Таким образом, V+задано формулой y=W+x. Поскольку V+лежит на поверхности нулевой энергии, из этого следует, что
|Jx|2|W+x|2=0

для всех xRn, что доказывает формулу W+TW+=J2, следовательно, матрица ω=JW+1 ортогональна. Более того, specW+=S+, что доказывает теорему 1.

5. Интегрирование дискретного уравнения Эйлера.
Применим теперь наши результаты к нахождению решения уравнения (1.4) в соответствии с процедурой, описанной для непрерывного случая Дубровиным [9,10].

Для начальных условий X0,X1O(N) определим ω1=X1TX0= =X11X0O(N) и M1=ω1TJJω1. Как следует из предыдущих рассуждений, уравнения (1.4) определяют только соответствие, но если зафиксировать разбиение S=S+Sкорней полинома Q(u)(u2IμMkJ2), который на самом деле не зависит от k, то получим вполне определенное отображение fS+,S:(ωk,Mk) (ωk+1,Mk+1). Для того, чтобы «проинтегрировать» эту динамику, рассмотрим спектральную кривую Γ :
det(M+λJ2μI)=0,M=M1.

Будем считать, что J2 имеет различные собственные значения, отличные от нуля: Ji2eqJj2 для ieqj, и Ji2eq0. Для общего M кривая Γ имеет род g=(N1)(N2)2. Собственный вектор ψ(λ,μ),
(M+λJ2μI)ψ(λ,μ)=0,

нормированный условием
ψ1++ψN=1,

мероморфен на Γ, а полюса определяют дивизор D=D1++Dg+N1 (см. [10,16]). В бесконечно удаленных точках PiΓ, где μλJi2, λ,(i=1,,N) имеем
ψi(Pj)=δji.

Это означает, что ψi(λ,μ) — базис линейного пространства мероморфных функций с дивизором полюсов D, определенным условиями (1.30).

В нашем случае матрица M — кососимметрическая, поэтому Γ имеет симметрию σ:ΓΓ,σ2=id :
σ(λ,μ)=(λ,μ).

Делитель D также непроизволен ввиду следующих предложений. Обозначим ψT(λ,μ) через ψ(λ,μ) и зафиксируем λC такое, что собственные значения μ1,,μN матрицы M+λJ2, определенной формулами (1.27), различны.

Предложение. Пусть μ=μ-два различных собственных значения матрицы M+λJ2, тогда
ψ(λ,μ)ψ(λ,μ)=0.

Для μ=μ это произведение отлично от нуля:
ψ(λ,μ)ψ(λ,μ)eq0.

Доказательство.
Рассмотрим произведение
ψ(λ,μ)(M+λJ2)ψ(λ,μ)=μψ(λ,μ)ψ(λ,μ).

С другой стороны,
ψ(λ,μ)(M+λJ2)ψ(λ,μ)==((MλJ2)ψ(λ,μ))Tψ(λ,μ)=μψ(λ,μ)ψ(λ,μ).

Легко видеть, что если μeqμ, то ψ(λ,μ)ψ(λ,μ)=0. Но ψ(λ,μ) для всех возможных μ=μ1,,μN образуют базис, следовательно ψ(λ,μ)ψ(λ,μ) не может быть равно нулю.

Следствие. Дивизор D полюсов ψ удовлетворяет уравнению
D+σ(D)B,

где B — множество точек ветвления μ как функции от λ, а значок обозначает линейную эквивалентность дивизоров.

Эта эквивалентность, как следует из предложения, задается функцией F(λ,μ)=ψ(λ,μ)ψ(λ,μ). Поэтому D принадлежит сдвинутому многообразию Прима PJ(Γ). Ограничимся этими рассуждениями, поскольку детальное обсуждение алгебро-геометрических аспектов этой спектральной задачи можно найти в литературе (см. [21] и ссылки оттуда). Соответствующие задачи из вещественной алгебраической геометрии рассмотрены в [23].

Теперь используем представление (1.19) для описания аналитических свойств ψk на Γ для произвольного k.

Зафиксируем некоторое разбиение Σ=Σ+Σ. Как следует из (1.19),
ψ~(λ,μ)=(ωkλJ)ψk(λ,μ)
— собственное значение матрицы Mk+1+λJ2 :
(Mk+1+λJ2)ψ~(λ,μ)=μψ~(λ,μ).

Это означает, что ψk+1 можно определить как
ψk+1=(ωkλJ)ψk.

Заметим, что ψk+1 не удовлетворяет нормировке Дубровина (1.29), которая требуется только для ψ1.

Из (1.36) можно увидеть, что ψk+1 имеет N новых полюсов на «бесконечностях» P1,,PN. Чтобы найти новые нули, рассмотрим гиперболу H, определенную уравнением
λμ=1,

и пересечение HΓ. Это пересечение описывается уравнениями μ=λ1 и уравнением
det(M+λJ2λ1I)=(λ)Ndet(IλMλ2J2)=0,

которое соответствует (1.11).

Таким образом, имеем 2N точек пересечения, которые обозначим Q1+,,QN+,Q1,,QN, согласно разбиению Σ=Σ+Σ. Как следует из построения ωk (см. главу 3 ),
(ωkλiI)ψk(Qi+)=0.

Это означает, что Q1+,,QN+- новые нули ψk+1. Итак, мы доказали следующую лемму

Лемма. Для данного разбиения Σ=Σ+Σвекторная собственная функция ψk+1 (1.36) матрицы Mk+1+λJ2 имеет на спектральной кривой Г следующие аналитические свойства, однозначно определящие ψk+1 :
1) ψk+1 имеет простой полюс в D, зависящий от начальных данных M1, и полюса P1,,PN на «бесконечностях» с асимптотикой
Pj:ψk+1i=λk(Jj)k(δji+O(λ1)),λ.
2) ψk+1 имеет нули порядка k в Q1+,,QN+.

Легко видеть, в частности, что дивизор полюсов Dk+1 для ψk+1 связан с Dk отношением
Dk+1Dk+U,

где U=P1++PNQ1+QN+.
Для заданного ψk+1 можно восстановить ψk+1, используя формулу (1.14), и Mk+1 — как ωk+1TJJωk+1. Чтобы найти решение уравнения (1.2) XkO(N) :
Xk1=ωkωk1ω1X01,

можно снова воспользоваться уравнением (1.36). Действительно, из (1.36) следует, что
Φk+1=ωkΦk,

где Φ есть N×N матрица со столбцом ψk(0,μi). Это означает, что
Φk+1=ωkωk1ω1Φ1,Xk1=Φk+1Φ11X01.

Для ψk+1 можно записать явные формулы в терминах θ-функций Прима, как это было проделано, например, Бобенко в [24]. Однако здесь ограничимся примером — группой O(3) (см. ниже).
Резюмируем результаты главы в следующей теореме.

Теорема 3. Дискретное уравнение Эйлера (1.4) соответствует сдвигам на многообразии Прима PJ(Γ) (1.34) на вектор U=P1++ +PNQ1+QN+, зависящий от разбиения Σ=Σ+Σ.Ec ли такое разбиение фиксировано, то общее решение уравнений (1.4) u (1.2) можно выразить через некоторые абелевы функции на P в точках zk=z0+kU.

6. Явные формулы для дискретной динамики трехмерного твердого тела. Рассмотрим уравнения (1.2), (1.4) при N=3. В этом случае решение можно выразить через эллиптические функции. Спектральная кривая Γ (1.27) имеет уравнение
det|λJ12μM12M13M12λJ22μM23M13M23λJ32μ|=0,

или
(λJ12μ)(λJ22μ)(λJ32μ)+HλM2μ=0,

где H=J32M122+J22M132+J12M232.
В новых переменных
x=μ/λ,y=λ,

соотношение (1.41) имеет вид
y2Q(x)=HM2x,

где Q(x)=(xJ12)(xJ22)(xJ32). После другой замены переменных
w=Q(x)y=Q(μ/λ)λ

получим стандартную форму эллиптической кривой
w2=R(x)=(xJ12)(xJ22)(xJ32)(HM2x).

Инволюция σ:(λ,μ)(λ,μ) в этих переменных записывается в виде σ(w,x)=(w,x), а многообразие Прима совпадает с J(Γ)Γ. «Бесконечности» P1,P2,P3 соотвтствуют точкам разветвления x=J12,

x=J22,x=J32. Четвертая точка ветвления x=H/M2 соответствует точке λ=μ=0, поэтому выберем ее в качестве нуля на Γ. Пусть x1<x2<x3<x4 — упорядоченные корни R(x), т. е. числа J12, J22,J32,H/M2 (заметим, что min{Ji}H/M2max{Ji} ).
Эллиптический интеграл
z=H/M2(x,w)dxR(x)
=2x2x3dxR(x);τ1 — вещественное, τ2 чисто мнимое.
Уравнение μλ=1 в переменных x,w имеет вид
(xJ12)(xJ22)(xJ32)x(HM2x)=0;

оно определяет на Γ множество из шести точек, которые обозначим как Q1+,Q2+,Q3+,Q1,Q2,Q3в соответствии с разбиением Σ=Σ+Σ (см. рис. 7 ).
Рис. 7
На рисунке изображена ситуация, соответствующая J12<H/M2< <J22<J32 и достаточно малым M2 и H, когда все корни (1.43) и P(λ) вещественны. Условие того, что P(λ) не имеет чисто мнимых корней, которое достаточно для разрешимости уравнения (1.6) (см. разделы 1.2 и 1.4), эквивалентно отсутствию отрицательных корней уравнения (1.43). Это приводит к некоторому ограничению на интегралы M2

и H. Сдвиг U задается формулой
U=P1+P2+P3Q1+Q2+Q3+=(Q1++Q2++Q3+),

поскольку P1+P2+P3=0.
Используя результаты предыдущего раздела, можно легко выразить ψk+1(z) в терминах классических эллиптических σ-функций и начального положения полюсов ψ1 : (ζ1,ζ2,ζ3). Например, функция
ψk+11(z)=(J1)k××σk(zQ1+)σk(zQ2+)σk(zQ3+)σ(z(ζ1+ζ2+ζ3)kUP1)σ(zζ1)σ(zζ2)σ(zζ3)σk(zP1)σk1(zP2)σk1(zP3)

имеет все аналитические свойства первой компоненты ψk+1(z) (см. лемму из параграфа 1.5) и поэтому совпадает с ней. Теперь можно записать явные формулы для ωk,Mk и Xk, как было объяснено в предыдущем разделе.

Опуская несущественные множители в (1.44), определим матрицу Φ~k+1 как
(Φ~k+1)ij=(Ji)kfk(zj)σ(zjζkUPi)σ(zjPi),

где
f(z)=σ(zQ1+)σ(zQ2+)σ(zQ3+)σ(zP1)σ(zP2)σ(zP3),

а переменные ζ=ζ1+ζ2+ζ3,zi(i=1,2,3) соответствуют λ=0 в (1.41) :
zi=0(x=HM2),z2,3=±H/M2dxR(x)(x=).

Наконец, из (1.40) имеем
XkT=Φ~k+1Φ~11X0T,ωk=Φ~k+1Φ~k1,

где Φ~k определяются формулой (1.45).

В непрерывном пределе для M=εMc,ε0 кривая Γ остается прежней:
(w)2=(wε)2=(xJ12)(xJ22)(xJ32)(HcMc2x)s,

а уравнение переходит в
(xJ12)(xJ22)(xJ32)ε2x(HcMc2x)=0.

При ε=0 достигается
(xJ12)(xJ22)(xJ32)=0.

Это означает, что Q1±,Q2±,Q3±стремятся к P1,P2,P3 при ε0, и сдвиг U=ΣQiΣQi+0. Следует заметить, что непрерывный предел соответствует специальному разбиению Σ, когда Σ+содержит все находящиеся в правой полуплоскости корни полинома P(λ), определяемые формулой (1.13) раздела 1.2 , который принимает вид
(λ2J121)(λ2J221)(λ2J321)+Hλ4Mλ2=0.

Как было показано выше, этот непрерывный предел соответствует классической задаче о свободном движении твердого тела, явное решение которой в терминах эллиптических функций было найдено Якоби [25]. Сравнение этой формулы и непрерывного предела (1.46) может быть достаточно сложным.

1
Оглавление
email@scask.ru