Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Уравнения «движения». на последовательностях $X=\left(X_{k}\right)$, где $X_{k} \in O(N)$, т. е. ортогональная $N \times N$ матрица. Стационарные точки $S$ описываются уравнением $\delta S=0$ или где $\Lambda_{k}=\Lambda_{k}^{T}$ — матричный множитель Лагранжа, который определен таким образом, чтобы $X_{k} X_{k}^{T}=I$. $\Lambda_{k}$ однозначно определяется $X_{k-1}$, $X_{k}, X_{k+1}$ но, как будет видно в дальнейшем, неединственным образом определяется $X_{k-1}, X_{k}$; он является сложной функцией от $X_{k-1}, X_{k}$. Поэтому воспользуемся эйлеровым описанием динамики. Это можно проделать следующим образом. Перепишем (1.2) как Положив $m_{k}=X_{k} J X_{k-1}^{T}-X_{k-1} J X_{k}^{T}$, замечаем, что уравнение (1.3) означает, что $m_{k+1}=m_{k}$. Сохранение $m_{k}$, являющегося дискретным аналогом углового момента в пространстве [20], есть следствие левоинвариантности $\mathscr{L}(X, Y)$ (см. [1]). В системе координат, связанной с телом, находим «угловую скорость» $\omega_{k}=X_{k}^{T} X_{k-1}=X_{k}^{-1} X_{k-1} \in o(N)$ и «угловой момент относительно тела» $M_{k}=X_{k-1}^{-1} m_{k} X_{k-1}=\omega_{k}^{T} J-J \omega_{k} \in$ $O^{*}(N)$, следовательно, уравнение (1.3) можно записать как «дискретное уравнение Эйлера-Арнольда» [1] В непрерывном пределе, когда $X_{k}-X\left(t_{k}\right), t_{k}-t_{0}+k \varepsilon, \omega_{k}-$ $=X_{k}^{-1} X_{k-1} \approx I-\varepsilon \Omega\left(t_{k}\right), \omega_{k}=X_{k}^{-1} X_{k-1}$ и $M_{k}=\omega_{k}^{T} J-J \omega_{k} \approx$ $\approx \varepsilon(J \Omega+\Omega J)=\varepsilon M\left(t_{k}\right), M=J \Omega+\Omega J$, это уравнение (1.4) становится обычным уравнением Эйлера-Арнольда для движения $N$-мерного твердого тела Главной новой чертой дискретной системы (1.4) является связь между $M$ и $\omega$ : Обсудим симплектические свойства этого соответствия (см. также [1]). Уравнение (1.2) есть частный случай уравнений Лагранжа $\delta S=0$ для функционала Подмногообразие $\Gamma^{2 n}$ в $Q^{2 n} \times Q^{2 n}$, определенное уравнениями задает, вообще говоря, некоторое соответствие между подмножествами $Q^{2 n}$. или где $d \mathscr{L}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} d x+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y} d y$ — естественное разложение 1-формы на $Q^{2 n}$. Подмногообразие $\Gamma^{2 n}$ изотропно относительно формы $\sigma^{\prime}-\sigma$ на $Q^{2 n} \times Q^{2 n}$. Действительно, Мы видим, что $\mathscr{L}$ — производящая функция отображения, локально определена уравнениями (1.8) в области невырожденности $\sigma$ : и, следовательно, это отображение симплектическое относительно симплектической структуры $\sigma$. В этой связи полезно ввести дискретный вариант преобразования Лежандра $\tau$ из $Q^{2 n}$ в $T^{*} \mathscr{M}$. Оно определяется формулами где $p$ — координата слоя, а $\alpha=p d x$ — каноническая 1-форма на $T^{*} \mathscr{M}$. Таким образом, прообразом этой формы является $\tau^{*} \alpha=\beta=\mathscr{L}_{x} d x$, и каноническая симплектическая форма $d \alpha$ на $T^{*} \mathscr{M}$ имеет прообраз $\tau^{*} d \alpha=d \beta=\sigma$, который не вырождается, если только $\tau$ не критическое. В общем случае, $\tau$ обратимо только локально. Обсудим описанную идею для нашего случая, когда $\mathscr{M}=O(N)$, $\mathscr{L}(X, Y)=\operatorname{tr}\left(X J Y^{T}\right)$ и Для описания преобразование Лежандра $\tau: O(N) \times O(N) \rightarrow T^{*} O(N)$, отождествим $T^{*} O(N)$ и $T O(N)$ при помощи билинейной формы $\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$, так что где $S=S^{T}$ выбирается таким образом, чтобы $X^{T} P$ была кососимметрической, т.е. Каноническая 1-форма $\alpha=\operatorname{tr}\left(P^{T} d X\right)$ переводится в $\beta=\operatorname{tr}\left(d X J Y^{T}\right)$, поскольку $X^{T} d X$ кососимметрическая, а каноническая симплектическая форма $d \alpha$ на $T^{*} O(N)$ отображается в Говорят, что эта 2-форма $\sigma$ является прообразом канонической симплектической формы на $T^{*} O(N)$ при $\tau$; она невырожденна во всех точках, не являющихся критическими точками $\tau$. Если локально определить отображение $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$, выбрав ветвь соответствия в виде где $X, Y, X^{\prime}, Y^{\prime} \in O(N)$, то это отображение сохраняет $\sigma$. Эквивалентно, отображение $\tau \phi \tau^{-1}$, локально определенное в окрестностях регулярных значений $\tau$, сохраняет как каноническую симплектическую структуру, соответствующую пуассоновой структуре $T^{*} O(N)$. Поскольку и $\tau$, и $\psi$ коммутируют с левым сдвигом $O(N)$, можно редуцировать отображение $\tau \phi \tau^{-1}$ до отображения $o^{*}(N)$ при помощи проекции $(X, P) \rightarrow X^{T} P \in o(N)$. Результирующее приведенное отображение $\psi: o^{*}(N) \rightarrow o^{*}(N)$, определенное уравнениями (1.4), переводит $M=M_{k}$ в $M^{\prime}=M_{k+1}$, т. e. Здесь важно решить матричное уравнение $M=\omega^{T} J-J \omega$ для $\omega \in O(N)$; этот вопрос подробно обсуждается в разделе 1.2 . Хорошо известно, что редукция $T^{*} O(N)$ на $o^{*}(N)$ переводит каноническую пуассонову структуру на $T^{*} O(N)$ (с точностью до постоянного ненулевого множителя) в структуру Ли-Пуассона на $o^{*}(N)$, которую мы снова отождествляем с $o(N)$; здесь $f_{M}$ обозначает кососимметрическую матрицу частных производных $\partial f / \partial M_{i j}$. Это доказывает, что отображение $\psi: M \rightarrow M^{\prime}$ из (1.4) сохраняет пуассонову структуру, которая согласована с пуассоновой структурой, сохраняемой обычным непрерывным движением твердого тела, определяемым (1.5). Эта редукция является дискретным вариантом хорошо известной процедуры редукции [20] для гамильтоновых систем. Для вычисления (1.11) см. также $[30,31]$. Наша следующая цель — показать, что это отображение интегрируемо, т. е. сохраняет достаточно много функций $F_{i}$, которые находятся в инволюции относительно описанной выше пуассоновой структуры. Фактически, оказывается, что эти интегралы имеют такую же форму как в непрерывном случае, которые, как известно, находятся в инволюции. 2. Решение матричного уравнения (1.6): $\omega^{T} J-J \omega=M$. Первая задача — построение вполне определенного отображения $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$, график которого принадлежит соответствию (1.9), сводится к нахождению вполне определенного решения $\omega \in O(N)$ матричного уравнения для заданной кососимметрической матрицы $M$. Действительно, полагая $\omega=Y^{T} X, M=\omega^{T} J-J \omega, M^{\prime}=\omega M \omega^{-1}=J \omega^{T}-\omega J$, получим, что $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$ из (1.9) задаются формулами $X^{\prime}=Y, Y^{\prime}=X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right)^{T}$. Фактически эта задача эквивалентна нахождению определенного преобразования, обратного преобразованию Лежандра $\tau:(X, Y) \rightarrow$ $\rightarrow(X, P)$, поскольку Следовательно решение этого уравнения приводит к $Y=X \omega^{T}$, определяя тем самым $\tau^{-1}$. Лемма. Матрица (1.6) эквивалентна факторизации Доказательство — простая проверка, которая также показывает, что решение $\omega$ обязательно является ортогональной матрицей. Оказывается, что выбор решения $\omega$ задается соответствующей факторизацией определителя Докажем следующую теорему Теорема 1. Предположим, что для вещественной кососимметрической матрицы $M$ полином $P(\lambda)$ допускает разбиение а вещественный полином $p(\lambda)$ удовлетворяет неравенству Тогда существует единственная матрица $\omega \in O(N)$, удовлетворяющая (1.12) и уравнению Отложим доказательство этой теоремы до раздела 1.4. Рассмотрим разбиение некоторого $P(\lambda)$. Поскольку $M+M^{T}=0$, то имеем $P(\lambda)=P(-\lambda)$, а множество $\Sigma$ всех корней $P(\lambda)$ удовлетворяет соотношению $\Sigma=-\Sigma$. Факторизация (1.13) соответствует разбиению $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$на непересекающиеся множества $\Sigma_{+}, \Sigma_{-}$, удовлетворяющие соотношениям где $\Sigma_{+}$- множество нулей вещественного полинома $p(\lambda)$. Теперь обозначим для любого множества $A \in \mathbb{C}$ через $\bar{A}$ множество всех $\bar{a}, a \in A$, а через $-A$ — множество ( $-a), a \in A$. Любое подобное разбиение приводит к фаюторизации (1.12) и, следовательно, к решению (1.6). Очевидно, что для возможности такой факторизации требуется, чтобы $P(\lambda)$ не имел корней на мнимой оси. В этом случае факторизация получается путем выбора в качестве $\Sigma_{+}$корней $P(\lambda)$ из правой полуплоскости и $\Sigma_{-}=-\Sigma_{+}$. Приведем схему доказательства теоремы 1 , предполагая, что корни $P(\lambda)$ различны, полное доказательство для общего случая приводится позже. Обозначим элементы $\Sigma_{+}$через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$ (а элементы $\Sigma_{-}=\left\{-\lambda_{1},-\lambda_{2}, \ldots,-\lambda_{N}\right\}$ ). Тогда существуют собственные векторы $\psi_{k}:\left(I-\lambda_{k} M-\lambda_{k}^{2} J^{2}\right) \psi_{k}=0$. Вследствие невырожденности $\omega^{T}+\lambda_{i} J$ из факторизации (1.12) имеем или, эквивалентно, где $\psi$ есть $N \times N$ матрица со столбцами $\psi_{k}$, а $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}\right)$. определяет требуемое решение. Можно показать, что $\psi$ в самом деле невырождена, и что (1.14) действительно определяет решение уравнения (1.6), которое, кроме того, вещественно и ортогонально. Однако в разделе 1.4 представлен другой, более общий подход к решению уравнения (1.6). В этом доказательстве показана также невырожденность $\psi$, что завершит предыдущие рассуждения. В этой связи являются полезными понятия симплектической геометрии. Заметим, что полученные таким способом решения $\omega \in O(N)$ обладают тем свойством, что полиномы $p(\lambda)= \pm \operatorname{det}(\omega-\lambda J)$ и $p(-\lambda)$ не имеют общих корней. Другими словами, любые два собственных значения $\lambda, \lambda^{\prime}$ матрицы $\omega J^{-1}$ удовлетворяют неравенству $\lambda+\lambda^{\prime} Очевидно, что это открытое подмножество $O(N)$, содержащее окрестность единицы. Поскольку $p(\lambda)$ не стремится к нулю на мнимой оси, $E$ разлагается на несколько компонент в зависимости от того, сколько корней $p(\lambda)$ лежит в левой полуплоскости. С помощью теоремы 1 легко определить отображение $\phi$ единственным образом. Проделаем это в сокращенной форме и перепишем предыдущую факторизацию (1.12) в виде Тогда образ точки $M^{\prime}=\psi M$ задается уравнением где два сомножителя переставлены. Это уравнение сразу проверяется при помощи (1.10). Таким образом, определители $P(\lambda), P^{\prime}(\lambda)$ уравнений (1.16) и (1.17), соответственно, равны. По теореме 1 любое разложение $P(\lambda)=p(\lambda) p(-\lambda)$ приводит к единственной факторизации. Следовательно для (1.17) существует единственное $\omega^{\prime}$ и $A^{\prime}(\lambda)=\omega^{\prime}-\lambda J$, причем где Это приводит к вполне определенному отображению $\omega \rightarrow \omega^{\prime}$, переводящему $E$ в себя. Единственность достигается за счет требования (1.18), которое является совместимым с итерациями отображения ${ }^{1}$. Подобным образом отображение $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$ вполне определено на левоинвариантном множестве и задается формулой $\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)=\left(Y, Y\left(\omega^{\prime}\right)^{T}\right)$, если $\omega=Y^{T} X$. Заметим, что можно легко проверить, что $\widetilde{Q}$ есть в точности множество регулярных точек преобразования Лежандра $\tau$. Таким образом, $\sigma$ невырождено на $\widetilde{Q}$, что делает $\widetilde{Q}$ симплектическим многообразием. 3. Изоспектральные деформации. или эквивалентно Следовательно, полиномы $f_{k}(M, \lambda)=\operatorname{tr}\left(M+\lambda J^{2}\right)^{k}$ являются интегралами $\psi$. Другими словами, характеристический полином $\operatorname{det}(L(\lambda)-\mu I)$ сохраняется при отображении $\psi$, или в однородной форме коэффициенты $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ при $\alpha \geqslant 1,2 \alpha+\beta+\gamma=N$ дают $k^{2}$ интегралов, если $N=2 k$, или $k(k+1)$ интегралов, если $N=2 k+1$. Эти интегралы $f_{k}(M, \lambda)$ или $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ являются в точности такими же, как для уравнения Эйлера-Арнольда (1.5). Действительно, для этих уравнений представление Лакса было найдено Манаковым [22] в виде показывающем, что $f_{k}(M, \lambda)$ или $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ также являются интегралами движения. Хорошо известно, что эти функции находятся в инволюции относительно пуассоновой структуры (1.11) и независимы, что делает систему (1.5) вполне интегрируемой. Поскольку наше дискретное отображение $\psi: M \rightarrow M^{\prime}$ сохраняет ту же пуассонову структуру (1.11) и функции $f_{k}(M, \lambda)$, мы приходим к выводу, что $\psi$ также интегрируемое. Обобщим эти результаты в следующей теореме. где $L_{k}=M_{k}+\lambda J^{2}, A_{k}=\omega_{k}-\lambda J, M_{k+1}=\psi\left(M_{k}\right)$. Отображение $\psi$ сохраняет пуассонову структуру (1.11) и вполне интегрируемо. Оно сохраняет ту же пуассонову структуру и интегралы $F_{i}$, что и непрерывная система (1.5) для движения твердого тела. «Интегрирование» этой системы теперь довольно просто, поскольку интегрирование непрерывного случая известно. Неособые компактные множества уровня $T_{c}=\bigcap_{i}\left(F_{i}=c_{i}\right)$ состоит из конечного объединения торов, в соответствии с хорошо известными рассуждениями [20]. Поскольку наше отображение $\psi$ сохраняет структуру Пуассона (1.11) и функции $F_{i}$, оно коммутирует со всеми коммутирующими гамильтоновыми потоками, порождаемыми $F_{i}$, определенными через $\dot{M}=\left[M, Покажем, что в нашем случае $T_{c}$ является вещественной частью комплексного абелева многообразия кривой $\operatorname{det}\left(M+\lambda J^{2}-\mu I\right)=0$, и уравнение (1.4) определяет сдвиг на ней. Действительно, это многообразие оказывается тем же многообразием Прима, возникающим при интегрировании уравнений Эйлера-Арнольда (см., например, [21] и [33]). 4. Симплектическая геометрия уравнения (1.6). и, вводя $W=\omega^{-1} J$, получим квадратное матричное уравнение с дополнительным условием $W^{T} W=J^{2}$. Если $ Сравнивая с (1.13), получим, что $Q( Потребуем, чтобы это разбиение удовлетворяло следующим условиям: Такое разбиение существует, если (1.21) не имеет чисто мнимых корней. Заметим, что теперь разрешаются кратные корни, но предполагается, что ни один из корней не принадлежит обеим компонентам $S_{+}$ и $S_{-}$. В частности, чисто мнимые корни исключаются. Теорема 1′. Для любого разбиения $S=S_{+} \cup S_{-}$со свойствами (1.22) существует единственное решение $W$ уравнения (1.20) ( $и$, следовательно, решение уравнения (1.6) $\omega=J W^{-1}$ ), для которого $\operatorname{spec} W=S_{+}$. Для доказательства решение уравнения (1.20) сведем к задаче симплектической геометрии, а именно к определению инвариантных подпространств линейного гамильтонова векторного поля. Рассмотрим $N$-мерное инвариантное подпространство $A$ : где $X, Y-N \times N$ матрицы, т.е. вещественной $N \times N$ матрицы $C$, для которой spec $C=S_{+}$или, что эквивалентно, Если и $A z$ можно рассматривать как гамильтоново векторное поле с гамильтонианом так что $B A=H$ и Так как u I-A=\left(\begin{array}{cc} u I & O \\ будем иметь и спектр $A$ представляет собой $S_{+} \cup S_{-}$. так что Тогда следовательно, $[\phi, \psi]=0$. Следствие. Подпространства $V_{+}, V_{-}$лагранжевы: и изотропны относительно $\mathscr{H}: \mathscr{H}(z)=\frac{1}{2}(H z, z)=0$ для $z \in V_{ \pm}$. Чтобы доказать изотропность $V_{ \pm}$относительно $\mathscr{H}$, рассмотрим для $\phi \in E_{\mu}, \psi \in E_{ где $\hat{\phi}=(A-\mu I) \phi \in E_{\mu}$. Теперь вернемся к доказательству теоремы 2 . Пусть $z_{1}, \ldots, z_{n}-$ произвольный базис в $V_{+}$; объединяя эти векторы-столбцы в $N \times 2 N$ матрицу ранга $N$, имеем из $A V_{+} \subset V_{+}$, что для некоторой вещественной матрицы $C_{+}$размера $N \times N$. Чтобы доказать (1.23), используем сотношения (1.26), выполняющиеся для любых $u, v \in \mathbb{R}^{N}$ Полагая, что $v$ выбрано таким образом, что $X_{+} v=0$, положим $u=C_{+} v$, так что $X_{+} u=X_{+} C v=Y_{+} v$, и найдем из предыдущего тождества Таким образом, $V_{+}$задано формулой $y=W_{+} x$. Поскольку $V_{+}$лежит на поверхности нулевой энергии, из этого следует, что для всех $x \in \mathbb{R}^{n}$, что доказывает формулу $W_{+}^{T} W_{+}=J^{2}$, следовательно, матрица $\omega=J W_{+}^{-1}$ ортогональна. Более того, $\operatorname{spec} W_{+}=S_{+}$, что доказывает теорему $1^{\prime}$. 5. Интегрирование дискретного уравнения Эйлера. Для начальных условий $X_{0}, X_{1} \in O(N)$ определим $\omega_{1}=X_{1}^{T} X_{0}=$ $=X_{1}^{-1} X_{0} \in O(N)$ и $M_{1}=\omega_{1}^{T} J-J \omega_{1}$. Как следует из предыдущих рассуждений, уравнения (1.4) определяют только соответствие, но если зафиксировать разбиение $S=S_{+} \cup S_{-}$корней полинома $Q( Будем считать, что $J^{2}$ имеет различные собственные значения, отличные от нуля: $J_{i}^{2} нормированный условием мероморфен на $\Gamma$, а полюса определяют дивизор $\mathscr{D}=\mathscr{D}_{1}+\cdots+\mathscr{D}_{g+N-1}$ (см. [10,16]). В бесконечно удаленных точках $P_{i} \in \Gamma$, где $\mu \approx \lambda J_{i}^{2}$, $\lambda \rightarrow \infty,(i=1, \ldots, N)$ имеем Это означает, что $\psi^{i}(\lambda, \mu)$ — базис линейного пространства мероморфных функций с дивизором полюсов $\leqslant \mathscr{D}$, определенным условиями (1.30). В нашем случае матрица $M$ — кососимметрическая, поэтому $\Gamma$ имеет симметрию $\sigma: \Gamma \rightarrow \Gamma, \sigma^{2}=\mathrm{id}$ : Делитель $\mathscr{D}$ также непроизволен ввиду следующих предложений. Обозначим $\psi^{T}(-\lambda,-\mu)$ через $\psi^{*}(\lambda, \mu)$ и зафиксируем $\lambda \in \mathbb{C}$ такое, что собственные значения $\mu_{1}, \ldots, \mu_{N}$ матрицы $M+\lambda J^{2}$, определенной формулами (1.27), различны. Предложение. Пусть $\mu^{\prime}=\mu$-два различных собственных значения матрицы $M+\lambda J^{2}$, тогда Для $\mu^{\prime}=\mu$ это произведение отлично от нуля: Доказательство. С другой стороны, Легко видеть, что если $\mu^{\prime} Следствие. Дивизор $\mathscr{D}$ полюсов $\psi$ удовлетворяет уравнению где $B$ — множество точек ветвления $\mu$ как функции от $\lambda$, а значок $\approx$ обозначает линейную эквивалентность дивизоров. Эта эквивалентность, как следует из предложения, задается функцией $F(\lambda, \mu)=\psi^{*}(\lambda, \mu) \psi(\lambda, \mu)$. Поэтому $\mathscr{D}$ принадлежит сдвинутому многообразию Прима $P \subset J(\Gamma)$. Ограничимся этими рассуждениями, поскольку детальное обсуждение алгебро-геометрических аспектов этой спектральной задачи можно найти в литературе (см. [21] и ссылки оттуда). Соответствующие задачи из вещественной алгебраической геометрии рассмотрены в [23]. Теперь используем представление (1.19) для описания аналитических свойств $\psi_{k}$ на $\Gamma$ для произвольного $k$. Зафиксируем некоторое разбиение $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$. Как следует из (1.19), Это означает, что $\psi_{k+1}$ можно определить как Заметим, что $\psi_{k+1}$ не удовлетворяет нормировке Дубровина (1.29), которая требуется только для $\psi_{1}$. Из (1.36) можно увидеть, что $\psi_{k+1}$ имеет $N$ новых полюсов на «бесконечностях» $P_{1}, \ldots, P_{N}$. Чтобы найти новые нули, рассмотрим гиперболу $\mathscr{H}$, определенную уравнением и пересечение $\mathscr{H} \cap \Gamma$. Это пересечение описывается уравнениями $\mu=\lambda^{-1}$ и уравнением которое соответствует (1.11). Таким образом, имеем $2 N$ точек пересечения, которые обозначим $Q_{1}^{+}, \ldots, Q_{N}^{+}, Q_{1}^{-}, \ldots, Q_{N}^{-}$, согласно разбиению $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$. Как следует из построения $\omega_{k}$ (см. главу 3 ), Это означает, что $Q_{1}^{+}, \ldots, Q_{N}^{+}$- новые нули $\psi_{k+1}$. Итак, мы доказали следующую лемму Лемма. Для данного разбиения $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$векторная собственная функция $\psi_{k+1}$ (1.36) матрицы $M_{k+1}+\lambda J^{2}$ имеет на спектральной кривой Г следующие аналитические свойства, однозначно определящие $\psi_{k+1}$ : Легко видеть, в частности, что дивизор полюсов $\mathscr{D}_{k+1}$ для $\psi_{k+1}$ связан с $\mathscr{D}_{k}$ отношением где $U=P_{1}+\cdots+P_{N}-Q_{1}^{+}-\cdots-Q_{N}^{+}$. можно снова воспользоваться уравнением (1.36). Действительно, из (1.36) следует, что где $\Phi$ есть $N \times N$ матрица со столбцом $\psi_{k}\left(0, \mu_{i}\right)$. Это означает, что Для $\psi_{k+1}$ можно записать явные формулы в терминах $\theta$-функций Прима, как это было проделано, например, Бобенко в [24]. Однако здесь ограничимся примером — группой $O(3)$ (см. ниже). Теорема 3. Дискретное уравнение Эйлера (1.4) соответствует сдвигам на многообразии Прима $P \subset J(\Gamma)$ (1.34) на вектор $U=P_{1}+\cdots+$ $+P_{N}-Q_{1}^{+}-\cdots-Q_{N}^{+}$, зависящий от разбиения $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-} . E c$ ли такое разбиение фиксировано, то общее решение уравнений (1.4) $u$ (1.2) можно выразить через некоторые абелевы функции на $P$ в точках $z_{k}=z_{0}+k U$. 6. Явные формулы для дискретной динамики трехмерного твердого тела. Рассмотрим уравнения (1.2), (1.4) при $N=3$. В этом случае решение можно выразить через эллиптические функции. Спектральная кривая $\Gamma$ (1.27) имеет уравнение или где $H=J_{3}^{2} M_{12}^{2}+J_{2}^{2} M_{13}^{2}+J_{1}^{2} M_{23}^{2}$. соотношение (1.41) имеет вид где $Q(x)=\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)$. После другой замены переменных получим стандартную форму эллиптической кривой Инволюция $\sigma:(\lambda, \mu) \rightarrow(-\lambda,-\mu)$ в этих переменных записывается в виде $\sigma(w, x)=(-w, x)$, а многообразие Прима совпадает с $J(\Gamma) \approx \Gamma$. «Бесконечности» $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ соотвтствуют точкам разветвления $x=J_{1}^{2}$, $x=J_{2}^{2}, x=J_{3}^{2}$. Четвертая точка ветвления $x=H / M^{2}$ соответствует точке $\lambda=\mu=0$, поэтому выберем ее в качестве нуля на $\Gamma$. Пусть $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ — упорядоченные корни $R(x)$, т. е. числа $J_{1}^{2}$, $J_{2}^{2}, J_{3}^{2}, H / M^{2}$ (заметим, что $\min \left\{J_{i}\right\} \leqslant H / M^{2} \leqslant \max \left\{J_{i}\right\}$ ). оно определяет на $\Gamma$ множество из шести точек, которые обозначим как $Q_{1}^{+}, Q_{2}^{+}, Q_{3}^{+}, Q_{1}^{-}, Q_{2}^{-}, Q_{3}^{-}$в соответствии с разбиением $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$ (см. рис. 7 ). и $H$. Сдвиг $U$ задается формулой поскольку $P_{1}+P_{2}+P_{3}=0$. имеет все аналитические свойства первой компоненты $\psi_{k+1}(z)$ (см. лемму из параграфа 1.5) и поэтому совпадает с ней. Теперь можно записать явные формулы для $\omega_{k}, M_{k}$ и $X_{k}$, как было объяснено в предыдущем разделе. Опуская несущественные множители в (1.44), определим матрицу $\tilde{\Phi}_{k+1}$ как где а переменные $\zeta=\zeta_{1}+\zeta_{2}+\zeta_{3}, z_{i}(i=1,2,3)$ соответствуют $\lambda=0$ в $(1.41)$ : Наконец, из (1.40) имеем где $\tilde{\Phi}_{k}$ определяются формулой (1.45). В непрерывном пределе для $M=\varepsilon M_{c}, \varepsilon \rightarrow 0$ кривая $\Gamma$ остается прежней: а уравнение переходит в При $\varepsilon=0$ достигается Это означает, что $Q_{1}^{ \pm}, Q_{2}^{ \pm}, Q_{3}^{ \pm}$стремятся к $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ при $\varepsilon \rightarrow 0$, и сдвиг $U=\Sigma Q_{i}-\Sigma Q_{i}^{+} \rightarrow 0$. Следует заметить, что непрерывный предел соответствует специальному разбиению $\Sigma$, когда $\Sigma_{+}$содержит все находящиеся в правой полуплоскости корни полинома $P(\lambda)$, определяемые формулой (1.13) раздела 1.2 , который принимает вид Как было показано выше, этот непрерывный предел соответствует классической задаче о свободном движении твердого тела, явное решение которой в терминах эллиптических функций было найдено Якоби [25]. Сравнение этой формулы и непрерывного предела (1.46) может быть достаточно сложным.
|
1 |
Оглавление
|