1. Уравнения «движения».
Рассмотрим функционал $S(X)$, определенный формальной суммой
\[
S=\sum_{k} \operatorname{tr}\left(X_{k} J X_{k+1}^{T}\right)
\]

на последовательностях $X=\left(X_{k}\right)$, где $X_{k} \in O(N)$, т. е. ортогональная $N \times N$ матрица. Стационарные точки $S$ описываются уравнением $\delta S=0$ или
\[
X_{k+1} J+X_{k-1} J=\Lambda_{k} X_{k},
\]

где $\Lambda_{k}=\Lambda_{k}^{T}$ – матричный множитель Лагранжа, который определен таким образом, чтобы $X_{k} X_{k}^{T}=I$. $\Lambda_{k}$ однозначно определяется $X_{k-1}$, $X_{k}, X_{k+1}$ но, как будет видно в дальнейшем, неединственным образом определяется $X_{k-1}, X_{k}$; он является сложной функцией от $X_{k-1}, X_{k}$.

Поэтому воспользуемся эйлеровым описанием динамики. Это можно проделать следующим образом. Перепишем (1.2) как
\[
X_{k+1} J X_{k}^{T}+X_{k-1} J X_{k}^{T}=\Lambda_{k}=\Lambda_{k}^{T}=X_{k} J X_{k+1}^{T}+X_{k} J X_{k-1}^{T} .
\]

Положив $m_{k}=X_{k} J X_{k-1}^{T}-X_{k-1} J X_{k}^{T}$, замечаем, что уравнение (1.3) означает, что $m_{k+1}=m_{k}$. Сохранение $m_{k}$, являющегося дискретным аналогом углового момента в пространстве [20], есть следствие левоинвариантности $\mathscr{L}(X, Y)$ (см. [1]). В системе координат, связанной с телом, находим «угловую скорость» $\omega_{k}=X_{k}^{T} X_{k-1}=X_{k}^{-1} X_{k-1} \in o(N)$ и «угловой момент относительно тела» $M_{k}=X_{k-1}^{-1} m_{k} X_{k-1}=\omega_{k}^{T} J-J \omega_{k} \in$ $O^{*}(N)$, следовательно, уравнение (1.3) можно записать как «дискретное уравнение Эйлера-Арнольда» [1]
\[
\left\{\begin{aligned}
M_{k+1} & =\omega_{k} M_{k} \omega_{k}^{-1}, \\
M_{k} & =\omega_{k}^{T} J-J \omega_{k}, \quad \omega_{k} \in o(N) .
\end{aligned}\right.
\]

В непрерывном пределе, когда $X_{k}-X\left(t_{k}\right), t_{k}-t_{0}+k \varepsilon, \omega_{k}-$ $=X_{k}^{-1} X_{k-1} \approx I-\varepsilon \Omega\left(t_{k}\right), \omega_{k}=X_{k}^{-1} X_{k-1}$ и $M_{k}=\omega_{k}^{T} J-J \omega_{k} \approx$ $\approx \varepsilon(J \Omega+\Omega J)=\varepsilon M\left(t_{k}\right), M=J \Omega+\Omega J$, это уравнение (1.4) становится обычным уравнением Эйлера-Арнольда для движения $N$-мерного твердого тела
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=[M, \Omega], \\
M=J \Omega+\Omega J, \quad \Omega \in o(N) .
\end{array}\right.
\]

Главной новой чертой дискретной системы (1.4) является связь между $M$ и $\omega$ :
\[
M=\omega^{T} J-J \omega, \quad \omega \in O(N), \quad M^{T}=-M,
\]
которая требуется для нахождения $\omega$. На самом деле, такое $\omega$ не единственно (см. ниже), и (1.4) определяет $\omega_{k+1}$ неоднозначно, что приводит к соответствию, но не к отображению.

Обсудим симплектические свойства этого соответствия (см. также [1]). Уравнение (1.2) есть частный случай уравнений Лагранжа $\delta S=0$ для функционала
\[
S=\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathscr{L}\left(X_{k}, X_{k+1}\right), \quad X_{k} \in \mathscr{M}^{n}, \quad \mathscr{L}=\mathscr{L}(x, y)
\]
(см. введение), которое в подходящей системе координат $(x, y)$ на $Q^{2 n}=\mathscr{M}^{n} \times \mathscr{M}^{n}$ можно записать как
\[
\delta S=0, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}\left(X_{k}, X_{k+1}\right)+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y}\left(X_{k-1}, X_{k}\right)=0 .
\]

Подмногообразие $\Gamma^{2 n}$ в $Q^{2 n} \times Q^{2 n}$, определенное уравнениями
\[
x^{\prime}=y, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y}(x, y)=0,
\]

задает, вообще говоря, некоторое соответствие между подмножествами $Q^{2 n}$.
На $Q^{2 n}$ можно определить замкнутую 2-форму $\sigma$ :
\[
\sigma=\frac{\partial^{2} \mathscr{L}}{\partial x \partial y} d x \wedge d y
\]

или
\[
\sigma=d \beta=d\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}(x, y) d x\right), \quad \beta=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} d x,
\]

где $d \mathscr{L}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} d x+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y} d y$ – естественное разложение 1-формы на $Q^{2 n}$. Подмногообразие $\Gamma^{2 n}$ изотропно относительно формы $\sigma^{\prime}-\sigma$ на $Q^{2 n} \times Q^{2 n}$. Действительно,
\[
\begin{aligned}
\beta^{\prime}-\left.\beta\right|_{\Gamma^{2 n}}= & \left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) d x^{\prime}\right|_{\Gamma^{2 n}}-\left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}(x, y) d x\right|_{\Gamma^{2 n}}= \\
& =-\left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y}(x, y) d y\right|_{\Gamma^{2 n}}-\left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x}(x, y) d x\right|_{\Gamma^{2 n}}=-\left.d \mathscr{L}\left(x, x^{\prime}\right)\right|_{\Gamma^{2 n}} .
\end{aligned}
\]

Мы видим, что $\mathscr{L}$ – производящая функция отображения, локально определена уравнениями (1.8) в области невырожденности $\sigma$ :
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial^{2} \mathscr{L}}{\partial x \partial y}\right|
eq 0,
\]

и, следовательно, это отображение симплектическое относительно симплектической структуры $\sigma$.

В этой связи полезно ввести дискретный вариант преобразования Лежандра $\tau$ из $Q^{2 n}$ в $T^{*} \mathscr{M}$. Оно определяется формулами
\[
\tau:(x, y) \rightarrow(x, p), \quad p d x=\mathscr{L}_{x}(x, y) d x,
\]

где $p$ – координата слоя, а $\alpha=p d x$ – каноническая 1-форма на $T^{*} \mathscr{M}$. Таким образом, прообразом этой формы является $\tau^{*} \alpha=\beta=\mathscr{L}_{x} d x$, и каноническая симплектическая форма $d \alpha$ на $T^{*} \mathscr{M}$ имеет прообраз $\tau^{*} d \alpha=d \beta=\sigma$, который не вырождается, если только $\tau$ не критическое. В общем случае, $\tau$ обратимо только локально.

Обсудим описанную идею для нашего случая, когда $\mathscr{M}=O(N)$, $\mathscr{L}(X, Y)=\operatorname{tr}\left(X J Y^{T}\right)$ и
\[
\beta=\operatorname{tr}\left(d X J Y^{T}\right) .
\]

Для описания преобразование Лежандра $\tau: O(N) \times O(N) \rightarrow T^{*} O(N)$, отождествим $T^{*} O(N)$ и $T O(N)$ при помощи билинейной формы $\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$, так что
\[
\tau:(X, Y) \rightarrow(X, P), \quad P=Y J-X S \in T_{X} O(N),
\]

где $S=S^{T}$ выбирается таким образом, чтобы $X^{T} P$ была кососимметрической, т.е.
\[
P=\frac{1}{2}\left(Y J-X J Y^{T} X\right) .
\]

Каноническая 1-форма $\alpha=\operatorname{tr}\left(P^{T} d X\right)$ переводится в $\beta=\operatorname{tr}\left(d X J Y^{T}\right)$, поскольку $X^{T} d X$ кососимметрическая, а каноническая симплектическая форма $d \alpha$ на $T^{*} O(N)$ отображается в
\[
\sigma=d \beta=\operatorname{tr}\left(d X J \wedge d Y^{T}\right) .
\]

Говорят, что эта 2-форма $\sigma$ является прообразом канонической симплектической формы на $T^{*} O(N)$ при $\tau$; она невырожденна во всех точках, не являющихся критическими точками $\tau$.

Если локально определить отображение $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$, выбрав ветвь соответствия в виде
\[
Y^{\prime} J+X J=\Lambda X^{\prime}, \quad X^{\prime}=Y, \quad \Lambda^{T}=\Lambda,
\]

где $X, Y, X^{\prime}, Y^{\prime} \in O(N)$, то это отображение сохраняет $\sigma$. Эквивалентно, отображение $\tau \phi \tau^{-1}$, локально определенное в окрестностях регулярных значений $\tau$, сохраняет как каноническую симплектическую структуру, соответствующую пуассоновой структуре $T^{*} O(N)$.

Поскольку и $\tau$, и $\psi$ коммутируют с левым сдвигом $O(N)$, можно редуцировать отображение $\tau \phi \tau^{-1}$ до отображения $o^{*}(N)$ при помощи проекции $(X, P) \rightarrow X^{T} P \in o(N)$. Результирующее приведенное отображение $\psi: o^{*}(N) \rightarrow o^{*}(N)$, определенное уравнениями (1.4), переводит $M=M_{k}$ в $M^{\prime}=M_{k+1}$, т. e.
\[
\psi: M=\omega^{T} J-J \omega \rightarrow M^{\prime}=J \omega^{T}-\omega J .
\]

Здесь важно решить матричное уравнение $M=\omega^{T} J-J \omega$ для $\omega \in O(N)$; этот вопрос подробно обсуждается в разделе 1.2 .

Хорошо известно, что редукция $T^{*} O(N)$ на $o^{*}(N)$ переводит каноническую пуассонову структуру на $T^{*} O(N)$ (с точностью до постоянного ненулевого множителя) в структуру Ли-Пуассона
\[
\{f, g\}=\operatorname{tr}\left(M\left[f_{M}, g_{M}\right]\right), \quad f, g \in C^{\infty}(o(N))
\]

на $o^{*}(N)$, которую мы снова отождествляем с $o(N)$; здесь $f_{M}$ обозначает кососимметрическую матрицу частных производных $\partial f / \partial M_{i j}$. Это доказывает, что отображение $\psi: M \rightarrow M^{\prime}$ из (1.4) сохраняет пуассонову структуру, которая согласована с пуассоновой структурой, сохраняемой обычным непрерывным движением твердого тела, определяемым (1.5).

Эта редукция является дискретным вариантом хорошо известной процедуры редукции [20] для гамильтоновых систем. Для вычисления (1.11) см. также $[30,31]$.

Наша следующая цель – показать, что это отображение интегрируемо, т. е. сохраняет достаточно много функций $F_{i}$, которые находятся в инволюции относительно описанной выше пуассоновой структуры.

Фактически, оказывается, что эти интегралы имеют такую же форму как в непрерывном случае, которые, как известно, находятся в инволюции.

2. Решение матричного уравнения (1.6): $\omega^{T} J-J \omega=M$.
Нам нужно решить две основные задачи: а) определить отображение $\phi$ единственным образом, выбрав ветвь соответствия, и б) проверить, что это отображение интегрируемо. Покажем, что обе эти задачи можно свести к подходящей задаче факторизации матричного полинома.

Первая задача – построение вполне определенного отображения $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$, график которого принадлежит соответствию (1.9), сводится к нахождению вполне определенного решения $\omega \in O(N)$ матричного уравнения
\[
M^{\prime}=\left(\omega^{\prime}\right)^{T} J-J \omega^{\prime}
\]

для заданной кососимметрической матрицы $M$. Действительно, полагая $\omega=Y^{T} X, M=\omega^{T} J-J \omega, M^{\prime}=\omega M \omega^{-1}=J \omega^{T}-\omega J$, получим, что $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$ из (1.9) задаются формулами $X^{\prime}=Y, Y^{\prime}=X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right)^{T}$.

Фактически эта задача эквивалентна нахождению определенного преобразования, обратного преобразованию Лежандра $\tau:(X, Y) \rightarrow$ $\rightarrow(X, P)$, поскольку
\[
X^{T} P=\frac{1}{2}\left(X^{T} Y J-J Y^{T} X\right)=\frac{1}{2}\left(\omega^{T} J-J \omega\right) .
\]

Следовательно решение этого уравнения приводит к $Y=X \omega^{T}$, определяя тем самым $\tau^{-1}$.
Основополагающее наблюдение заключается в следующем.

Лемма. Матрица (1.6) эквивалентна факторизации
\[
\left(I-\lambda M-\lambda^{2} J^{2}\right)=\left(\omega^{T}+\lambda J\right)(\omega-\lambda J) .
\]

Доказательство – простая проверка, которая также показывает, что решение $\omega$ обязательно является ортогональной матрицей. Оказывается, что выбор решения $\omega$ задается соответствующей факторизацией определителя
\[
P(\lambda)=\operatorname{det}\left(I-\lambda M-\lambda^{2} J^{2}\right)=p(-\lambda) p(\lambda) .
\]

Докажем следующую теорему

Теорема 1. Предположим, что для вещественной кососимметрической матрицы $M$ полином $P(\lambda)$ допускает разбиение
\[
P(\lambda)=p(\lambda) p(-\lambda) ;
\]

а вещественный полином $p(\lambda)$ удовлетворяет неравенству
\[
|p(\lambda)|+|p(-\lambda)|>0 \quad \text { для всех } \quad \lambda \in \mathbb{C} .
\]

Тогда существует единственная матрица $\omega \in O(N)$, удовлетворяющая (1.12) и уравнению
\[
\pm p(\lambda)=\operatorname{det}(\omega-\lambda J) .
\]

Отложим доказательство этой теоремы до раздела 1.4. Рассмотрим разбиение некоторого $P(\lambda)$. Поскольку $M+M^{T}=0$, то имеем $P(\lambda)=P(-\lambda)$, а множество $\Sigma$ всех корней $P(\lambda)$ удовлетворяет соотношению $\Sigma=-\Sigma$. Факторизация (1.13) соответствует разбиению $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$на непересекающиеся множества $\Sigma_{+}, \Sigma_{-}$, удовлетворяющие соотношениям
\[
\bar{\Sigma}_{+}=\Sigma_{+}, \quad \bar{\Sigma}_{-}=\Sigma_{-}, \quad \Sigma_{+}=-\Sigma_{-},
\]

где $\Sigma_{+}$- множество нулей вещественного полинома $p(\lambda)$. Теперь обозначим для любого множества $A \in \mathbb{C}$ через $\bar{A}$ множество всех $\bar{a}, a \in A$, а через $-A$ – множество ( $-a), a \in A$. Любое подобное разбиение приводит к фаюторизации (1.12) и, следовательно, к решению (1.6). Очевидно, что для возможности такой факторизации требуется, чтобы $P(\lambda)$ не имел корней на мнимой оси. В этом случае факторизация получается путем выбора в качестве $\Sigma_{+}$корней $P(\lambda)$ из правой полуплоскости и $\Sigma_{-}=-\Sigma_{+}$.

Приведем схему доказательства теоремы 1 , предполагая, что корни $P(\lambda)$ различны, полное доказательство для общего случая приводится позже. Обозначим элементы $\Sigma_{+}$через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$ (а элементы $\Sigma_{-}=\left\{-\lambda_{1},-\lambda_{2}, \ldots,-\lambda_{N}\right\}$ ). Тогда существуют собственные векторы $\psi_{k}:\left(I-\lambda_{k} M-\lambda_{k}^{2} J^{2}\right) \psi_{k}=0$. Вследствие невырожденности $\omega^{T}+\lambda_{i} J$ из факторизации (1.12) имеем
\[
\left(\omega-\lambda_{k} J\right) \psi_{k}=0,
\]

или, эквивалентно,
\[
\omega \psi=J \psi \Lambda
\]

где $\psi$ есть $N \times N$ матрица со столбцами $\psi_{k}$, а $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}\right)$.
Если $\psi$ обратима, то уравнение
\[
\omega=J \psi \Lambda \psi^{-1}
\]

определяет требуемое решение. Можно показать, что $\psi$ в самом деле невырождена, и что (1.14) действительно определяет решение уравнения (1.6), которое, кроме того, вещественно и ортогонально. Однако в разделе 1.4 представлен другой, более общий подход к решению уравнения (1.6). В этом доказательстве показана также невырожденность $\psi$, что завершит предыдущие рассуждения. В этой связи являются полезными понятия симплектической геометрии.

Заметим, что полученные таким способом решения $\omega \in O(N)$ обладают тем свойством, что полиномы $p(\lambda)= \pm \operatorname{det}(\omega-\lambda J)$ и $p(-\lambda)$ не имеют общих корней. Другими словами, любые два собственных значения $\lambda, \lambda^{\prime}$ матрицы $\omega J^{-1}$ удовлетворяют неравенству $\lambda+\lambda^{\prime}
eq 0$. Обозначим множество этих матриц через $E$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
E=\{\omega \in O(N),|p(\lambda)|+|p(-\lambda)|>0 \forall \lambda \in \mathbb{C} ; \\
p(\lambda)=\operatorname{det}(\omega-\lambda J)\} .
\end{array}
\]

Очевидно, что это открытое подмножество $O(N)$, содержащее окрестность единицы. Поскольку $p(\lambda)$ не стремится к нулю на мнимой оси, $E$ разлагается на несколько компонент в зависимости от того, сколько корней $p(\lambda)$ лежит в левой полуплоскости.

С помощью теоремы 1 легко определить отображение $\phi$ единственным образом. Проделаем это в сокращенной форме и перепишем предыдущую факторизацию (1.12) в виде
\[
\left(I-\lambda M-\lambda^{2} J^{2}\right)=A^{T}(-\lambda) A(\lambda) ; \quad A(\lambda)=\omega-\lambda J .
\]

Тогда образ точки $M^{\prime}=\psi M$ задается уравнением
\[
\left(I-\lambda M^{\prime}-\lambda^{2} J^{2}\right)=A(\lambda) A^{T}(-\lambda),
\]

где два сомножителя переставлены. Это уравнение сразу проверяется при помощи (1.10). Таким образом, определители $P(\lambda), P^{\prime}(\lambda)$ уравнений (1.16) и (1.17), соответственно, равны. По теореме 1 любое разложение $P(\lambda)=p(\lambda) p(-\lambda)$ приводит к единственной факторизации.

Следовательно для (1.17) существует единственное $\omega^{\prime}$ и $A^{\prime}(\lambda)=\omega^{\prime}-\lambda J$, причем
\[
\left(I-\lambda M^{\prime}-\lambda^{2} J^{2}\right)=A^{\prime T}(-\lambda) A^{\prime}(\lambda),
\]

где
\[
\operatorname{det}\left(\omega^{\prime}-\lambda J\right)=\operatorname{det}(\omega-\lambda J)=p(\lambda) .
\]

Это приводит к вполне определенному отображению $\omega \rightarrow \omega^{\prime}$, переводящему $E$ в себя. Единственность достигается за счет требования (1.18), которое является совместимым с итерациями отображения ${ }^{1}$.

Подобным образом отображение $\phi:(X, Y) \rightarrow\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)$ вполне определено на левоинвариантном множестве
\[
\widetilde{Q}=\left\{X, Y \in O(N), Y^{T} X \in E\right\}
\]

и задается формулой $\left(X^{\prime}, Y^{\prime}\right)=\left(Y, Y\left(\omega^{\prime}\right)^{T}\right)$, если $\omega=Y^{T} X$. Заметим, что можно легко проверить, что $\widetilde{Q}$ есть в точности множество регулярных точек преобразования Лежандра $\tau$. Таким образом, $\sigma$ невырождено на $\widetilde{Q}$, что делает $\widetilde{Q}$ симплектическим многообразием.

3. Изоспектральные деформации.
Получим требуемые интегралы из предыдущих рассуждений. Для этого запишем отображение в терминах изоспектральных деформаций. Уравнение (1.4) уже имеет такой вид, но дает только $k=\left[\frac{N}{2}\right]$ «тривиальных» интегралов $\operatorname{tr}\left(M^{2
u}\right),
u=1,2, \ldots, k$ (на самом деле они являются коприсоединенными инвариантами $O(N)$ ), что недостаточно для полной интегрируемости. Как отметил Новиков [17], важно иметь такое представление для матрицы, которая полиномиально зависит от параметра $\lambda$. В нашем случае мы используем (1.16), (1.17), чтобы получить отображение $\psi: M \rightarrow M^{\prime}$ в форме
\[
\left(I-\lambda M^{\prime}-\lambda^{2} J^{2}\right)=A(\lambda)\left(I-\lambda M-\lambda^{2} J^{2}\right) A^{-1}(\lambda)
\]

или эквивалентно
\[
L^{\prime}(\lambda)=M^{\prime}+\lambda J^{2}=A(\lambda)\left(M+\lambda J^{2}\right) A^{-1}(\lambda) .
\]

Следовательно, полиномы $f_{k}(M, \lambda)=\operatorname{tr}\left(M+\lambda J^{2}\right)^{k}$ являются интегралами $\psi$. Другими словами, характеристический полином $\operatorname{det}(L(\lambda)-\mu I)$ сохраняется при отображении $\psi$, или в однородной форме
\[
\operatorname{det}\left(
u M+\lambda J^{2}-\mu I\right)=\sum_{2 \alpha+\beta+\gamma=N}
u^{2 \alpha} \lambda^{\beta} \mu^{\gamma} Q_{\alpha \beta \gamma}(M),
\]

коэффициенты $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ при $\alpha \geqslant 1,2 \alpha+\beta+\gamma=N$ дают $k^{2}$ интегралов, если $N=2 k$, или $k(k+1)$ интегралов, если $N=2 k+1$.

Эти интегралы $f_{k}(M, \lambda)$ или $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ являются в точности такими же, как для уравнения Эйлера-Арнольда (1.5). Действительно, для этих уравнений представление Лакса было найдено Манаковым [22] в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(M+\lambda J^{2}\right)=\left[M+\lambda J^{2}, \Omega+\lambda J\right],
\]

показывающем, что $f_{k}(M, \lambda)$ или $Q_{\alpha \beta \gamma}(M)$ также являются интегралами движения.

Хорошо известно, что эти функции находятся в инволюции относительно пуассоновой структуры (1.11) и независимы, что делает систему (1.5) вполне интегрируемой. Поскольку наше дискретное отображение $\psi: M \rightarrow M^{\prime}$ сохраняет ту же пуассонову структуру (1.11) и функции $f_{k}(M, \lambda)$, мы приходим к выводу, что $\psi$ также интегрируемое. Обобщим эти результаты в следующей теореме.
Теорема 2. Дискретное уравнение Эйлера (1.4) эквивалентно изоспектральной деформации
\[
L_{k+1}=A_{k} L_{k} A_{k}^{-1}, \quad \operatorname{det} A_{k+1}=\operatorname{det} A_{k},
\]

где $L_{k}=M_{k}+\lambda J^{2}, A_{k}=\omega_{k}-\lambda J, M_{k+1}=\psi\left(M_{k}\right)$. Отображение $\psi$ сохраняет пуассонову структуру (1.11) и вполне интегрируемо. Оно сохраняет ту же пуассонову структуру и интегралы $F_{i}$, что и непрерывная система (1.5) для движения твердого тела.

«Интегрирование» этой системы теперь довольно просто, поскольку интегрирование непрерывного случая известно. Неособые компактные множества уровня $T_{c}=\bigcap_{i}\left(F_{i}=c_{i}\right)$ состоит из конечного объединения торов, в соответствии с хорошо известными рассуждениями [20]. Поскольку наше отображение $\psi$ сохраняет структуру Пуассона (1.11) и функции $F_{i}$, оно коммутирует со всеми коммутирующими гамильтоновыми потоками, порождаемыми $F_{i}$, определенными через $\dot{M}=\left[M,
abla F_{i}\right]$. На каждом таком торе наше отображение $\psi$ должно быть сдвигом относительно аффинной структуры, определяемым этими потоками. В данном случае это отображение можно представить как сдвиг вдоль траектории некоторого интеграла $H$ (см. [1] и раздел 5).

Покажем, что в нашем случае $T_{c}$ является вещественной частью комплексного абелева многообразия кривой $\operatorname{det}\left(M+\lambda J^{2}-\mu I\right)=0$, и уравнение (1.4) определяет сдвиг на ней. Действительно, это многообразие оказывается тем же многообразием Прима, возникающим при интегрировании уравнений Эйлера-Арнольда (см., например, [21] и [33]).

4. Симплектическая геометрия уравнения (1.6).
Прежде всего запишем (1.6) в виде
\[
\omega^{-1} J-J \omega=M, \quad \omega \omega^{T}=I,
\]

и, вводя $W=\omega^{-1} J$, получим квадратное матричное уравнение
\[
W^{2}-M W-J^{2}=0
\]

с дополнительным условием $W^{T} W=J^{2}$. Если $
u$ есть собственное значение $W$, то
\[
Q(
u):=\operatorname{det}\left(
u^{2} I-
u M-J^{2}\right)=0 .
\]

Сравнивая с (1.13), получим, что $Q(
u)=
u^{2 N} P\left(
u^{-1}\right)$. Поскольку $0
otin \Sigma$, разбиение $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$определяет разбиение $S=S_{+} \cup S_{-}$множества $S$ корней (1.21):
\[
S_{+}=\left(\Sigma_{+}\right)^{-1}, \quad S_{-}=\left(\Sigma_{-}\right)^{-1} .
\]

Потребуем, чтобы это разбиение удовлетворяло следующим условиям:
\[
\bar{S}_{+}=S_{+}, \quad \bar{S}_{-}=S_{-}, \quad S_{-}=-S_{+}, \quad S_{+} \cap S_{-}=\varnothing .
\]

Такое разбиение существует, если (1.21) не имеет чисто мнимых корней. Заметим, что теперь разрешаются кратные корни, но предполагается, что ни один из корней не принадлежит обеим компонентам $S_{+}$ и $S_{-}$. В частности, чисто мнимые корни исключаются.
Переформулируем теорему 1 в эквивалентной форме:

Теорема 1′. Для любого разбиения $S=S_{+} \cup S_{-}$со свойствами (1.22) существует единственное решение $W$ уравнения (1.20) ( $и$, следовательно, решение уравнения (1.6) $\omega=J W^{-1}$ ), для которого $\operatorname{spec} W=S_{+}$.

Для доказательства решение уравнения (1.20) сведем к задаче симплектической геометрии, а именно к определению инвариантных подпространств линейного гамильтонова векторного поля.
Вещественная $2 N \times 2 N$ матрица, о которой идет речь, имеет форму
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & I \\
J^{2} & M
\end{array}\right) .
\]

Рассмотрим $N$-мерное инвариантное подпространство $A$ :
\[
z=\left(\begin{array}{l}
X \\
Y
\end{array}\right) u, \quad u \in \mathbb{R}^{N}
\]

где $X, Y-N \times N$ матрицы, т.е.
\[
A\left(\begin{array}{l}
X \\
Y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
X \\
Y
\end{array}\right) C
\]

вещественной $N \times N$ матрицы $C$, для которой spec $C=S_{+}$или, что эквивалентно,
\[
\left\{\begin{array}{l}
Y=X C, \\
J^{2} X+M Y=Y C .
\end{array}\right.
\]

Если
\[
\operatorname{det} X
eq 0 \text {, }
\]
т. е. если инвариантное подпространство можно рассматривать как график $y=Y X^{-1} x, z=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$, то получим для $W=Y X^{-1}$ уравнение (1.20):
\[
J^{2}+M W=W X C X^{-1}=W^{2} .
\]
Для доказательства $W^{T} W=J^{2}$, заметим, что $A$ антисимметрична относительно симплектической билинейной формы
\[
[z, w]=(B z, w), \quad B=\left(\begin{array}{cc}
M & -I \\
I & O
\end{array}\right),
\]

и $A z$ можно рассматривать как гамильтоново векторное поле с гамильтонианом
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2}(H z, z)=\frac{1}{2}\left(-|J x|^{2}+|y|^{2}\right), \quad H=\left(\begin{array}{cc}
-J^{2} & O \\
0 & I
\end{array}\right),
\]

так что $B A=H$ и
\[
\dot{z}=B^{-1} \mathscr{H}_{z}=B^{-1} H z=A z
\]

Так как
\[

u I-A=\left(\begin{array}{cc}

u I & O \\
-J^{2} &
u^{-1} I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & –
u^{-1} I \\
O &
u^{2} J-
u M-J^{2}
\end{array}\right),
\]

будем иметь
\[
\operatorname{det}(
u I-A)=Q(
u)=\operatorname{det}\left(
u^{2} I-
u M-J^{2}\right),
\]

и спектр $A$ представляет собой $S_{+} \cup S_{-}$.
Обозначим $N$-мерные собственные пространства $A$ относительно $S_{+}, S_{-}$через $V_{+}, V_{-}$, соответственно. Вследствие того, что $\bar{S}_{+}=S_{+}$, $\bar{S}_{-}=S_{-}$, они вещественны, а поскольку $\mu_{i}+\mu_{j}
eq 0$ для $\mu_{i}, \mu_{j} \in S_{+}$, они являются лагранжевыми, изотропными пространствами относительно симплектической формы [, ] и симметрической форме $\mathscr{H}$, соответственно, как следует из приведенной ниже леммы.
Лемма. Если $E_{\mu}^{k}=\operatorname{Ker}(A-\mu I)^{k} u \mu+
u
eq 0$, то $\left[E_{\mu}^{k}, E_{
u}^{l}\right]=0$ для всех $k, l \geqslant 0$.
Доказательство.
Индукция по $k+l$. При $k+l=0$ это тривиально. Предположим, что лемма верна для меньших значений $k+l$. Рассмотрим $\phi \in E_{\mu}^{k}, \psi \in E_{
u}^{l}$ и положим
\[
\hat{\phi}=(A-\mu I) \phi \in E_{\mu}^{k-1}, \quad \hat{\psi}=(A-\mu I) \psi \in E_{
u}^{l-1},
\]

так что
\[
\mu \phi=A \phi-\hat{\phi}, \quad
u \psi=A \psi-\hat{\psi}
\]

Тогда
\[
(\mu+
u)[\phi, \psi]=[A \phi-\hat{\phi}, \psi]+[\phi, A \psi-\hat{\psi}]=-[\hat{\phi}, \psi]-[\phi, \hat{\psi}]=0,
\]

следовательно, $[\phi, \psi]=0$.

Следствие. Подпространства $V_{+}, V_{-}$лагранжевы:
\[
\left[V_{+}, V_{+}\right]=\left[V_{-}, V_{-}\right]=0,
\]

и изотропны относительно $\mathscr{H}: \mathscr{H}(z)=\frac{1}{2}(H z, z)=0$ для $z \in V_{ \pm}$.
Первое утверждение немедленно следует из леммы, так как
\[
V_{+}=\operatorname{span}_{s=1, \ldots, N} E_{\mu_{s}}, \quad \mu_{s} \in S_{+}, \quad E_{\mu}=\operatorname{Ker}(A-\mu I)^{2 N} .
\]

Чтобы доказать изотропность $V_{ \pm}$относительно $\mathscr{H}$, рассмотрим для $\phi \in E_{\mu}, \psi \in E_{
u}$
\[
(H \phi, \psi)=[A \phi, \psi]=\mu[\phi, \psi]+[\hat{\phi}, \psi]=0,
\]

где $\hat{\phi}=(A-\mu I) \phi \in E_{\mu}$.
Заметим, что $V_{+}, V_{-}$являются вещественными подпространствами, поскольку $\bar{S}_{+}=S_{+}, \bar{S}_{-}=S_{-}$, тогда как $E_{k}$, вообще говоря, комплексные.

Теперь вернемся к доказательству теоремы 2 . Пусть $z_{1}, \ldots, z_{n}-$ произвольный базис в $V_{+}$; объединяя эти векторы-столбцы в $N \times 2 N$ матрицу
\[
Z_{+}=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=\left(X_{+} Y_{+}\right)
\]

ранга $N$, имеем из $A V_{+} \subset V_{+}$, что
\[
A Z_{+}=Z_{+} C_{+}
\]

для некоторой вещественной матрицы $C_{+}$размера $N \times N$.

Чтобы доказать (1.23), используем сотношения (1.26), выполняющиеся для любых $u, v \in \mathbb{R}^{N}$
\[
0=\left[Z_{+} u, Z_{+} v\right]=\left(B Z_{+} u, Z_{+} v\right)=\left(M X_{+} u-Y_{+} u, X_{+} v\right)+\left(X_{+} u, Y_{+} v\right) .
\]

Полагая, что $v$ выбрано таким образом, что $X_{+} v=0$, положим $u=C_{+} v$, так что $X_{+} u=X_{+} C v=Y_{+} v$, и найдем из предыдущего тождества
\[
0=\left|Y_{+} v\right|^{2},
\]
т. е. $Y_{+} v=0$, отсюда $Z_{+} v=0$, т. е. $v=0$. Следовательно, $\operatorname{det} X_{+}
eq 0$, что и доказывает (1.23).

Таким образом, $V_{+}$задано формулой $y=W_{+} x$. Поскольку $V_{+}$лежит на поверхности нулевой энергии, из этого следует, что
\[
|J x|^{2}-\left|W_{+} x\right|^{2}=0
\]

для всех $x \in \mathbb{R}^{n}$, что доказывает формулу $W_{+}^{T} W_{+}=J^{2}$, следовательно, матрица $\omega=J W_{+}^{-1}$ ортогональна. Более того, $\operatorname{spec} W_{+}=S_{+}$, что доказывает теорему $1^{\prime}$.

5. Интегрирование дискретного уравнения Эйлера.
Применим теперь наши результаты к нахождению решения уравнения (1.4) в соответствии с процедурой, описанной для непрерывного случая Дубровиным $[9,10]$.

Для начальных условий $X_{0}, X_{1} \in O(N)$ определим $\omega_{1}=X_{1}^{T} X_{0}=$ $=X_{1}^{-1} X_{0} \in O(N)$ и $M_{1}=\omega_{1}^{T} J-J \omega_{1}$. Как следует из предыдущих рассуждений, уравнения (1.4) определяют только соответствие, но если зафиксировать разбиение $S=S_{+} \cup S_{-}$корней полинома $Q(
u)\left(
u^{2} I-\mu M_{k}-J^{2}\right)$, который на самом деле не зависит от $k$, то получим вполне определенное отображение $f_{S_{+}, S_{-}}:\left(\omega_{k}, M_{k}\right) \rightarrow$ $\rightarrow\left(\omega_{k+1}, M_{k+1}\right)$. Для того, чтобы «проинтегрировать» эту динамику, рассмотрим спектральную кривую $\Gamma$ :
\[
\operatorname{det}\left(M+\lambda J^{2}-\mu I\right)=0, \quad M=M_{1} .
\]

Будем считать, что $J^{2}$ имеет различные собственные значения, отличные от нуля: $J_{i}^{2}
eq J_{j}^{2}$ для $i
eq j$, и $J_{i}^{2}
eq 0$. Для общего $M$ кривая $\Gamma$ имеет род $g=\frac{(N-1)(N-2)}{2}$. Собственный вектор $\psi(\lambda, \mu)$,
\[
\left(M+\lambda J^{2}-\mu I\right) \psi(\lambda, \mu)=0,
\]

нормированный условием
\[
\psi^{1}+\cdots+\psi^{N}=1,
\]

мероморфен на $\Gamma$, а полюса определяют дивизор $\mathscr{D}=\mathscr{D}_{1}+\cdots+\mathscr{D}_{g+N-1}$ (см. [10,16]). В бесконечно удаленных точках $P_{i} \in \Gamma$, где $\mu \approx \lambda J_{i}^{2}$, $\lambda \rightarrow \infty,(i=1, \ldots, N)$ имеем
\[
\psi^{i}\left(P_{j}\right)=\delta_{j}^{i} .
\]

Это означает, что $\psi^{i}(\lambda, \mu)$ – базис линейного пространства мероморфных функций с дивизором полюсов $\leqslant \mathscr{D}$, определенным условиями (1.30).

В нашем случае матрица $M$ – кососимметрическая, поэтому $\Gamma$ имеет симметрию $\sigma: \Gamma \rightarrow \Gamma, \sigma^{2}=\mathrm{id}$ :
\[
\sigma(\lambda, \mu)=(-\lambda,-\mu) .
\]

Делитель $\mathscr{D}$ также непроизволен ввиду следующих предложений. Обозначим $\psi^{T}(-\lambda,-\mu)$ через $\psi^{*}(\lambda, \mu)$ и зафиксируем $\lambda \in \mathbb{C}$ такое, что собственные значения $\mu_{1}, \ldots, \mu_{N}$ матрицы $M+\lambda J^{2}$, определенной формулами (1.27), различны.

Предложение. Пусть $\mu^{\prime}=\mu$-два различных собственных значения матрицы $M+\lambda J^{2}$, тогда
\[
\psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) \psi(\lambda, \mu)=0 .
\]

Для $\mu^{\prime}=\mu$ это произведение отлично от нуля:
\[
\psi^{*}(\lambda, \mu) \psi(\lambda, \mu)
eq 0 .
\]

Доказательство.
Рассмотрим произведение
\[
\psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right)\left(M+\lambda J^{2}\right) \psi(\lambda, \mu)=\mu \psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) \psi(\lambda, \mu) .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{array}{c}
\psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right)\left(M+\lambda J^{2}\right) \psi(\lambda, \mu)= \\
=-\left(\left(M-\lambda J^{2}\right) \psi\left(-\lambda,-\mu^{\prime}\right)\right)^{T} \psi(\lambda, \mu)=\mu^{\prime} \psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) \psi(\lambda, \mu) .
\end{array}
\]

Легко видеть, что если $\mu^{\prime}
eq \mu$, то $\psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) \psi(\lambda, \mu)=0$. Но $\psi(\lambda, \mu)$ для всех возможных $\mu=\mu_{1}, \ldots, \mu_{N}$ образуют базис, следовательно $\psi^{*}\left(\lambda, \mu^{\prime}\right) \psi(\lambda, \mu)$ не может быть равно нулю.

Следствие. Дивизор $\mathscr{D}$ полюсов $\psi$ удовлетворяет уравнению
\[
\mathscr{D}+\sigma(\mathscr{D}) \approx B,
\]

где $B$ – множество точек ветвления $\mu$ как функции от $\lambda$, а значок $\approx$ обозначает линейную эквивалентность дивизоров.

Эта эквивалентность, как следует из предложения, задается функцией $F(\lambda, \mu)=\psi^{*}(\lambda, \mu) \psi(\lambda, \mu)$. Поэтому $\mathscr{D}$ принадлежит сдвинутому многообразию Прима $P \subset J(\Gamma)$. Ограничимся этими рассуждениями, поскольку детальное обсуждение алгебро-геометрических аспектов этой спектральной задачи можно найти в литературе (см. [21] и ссылки оттуда). Соответствующие задачи из вещественной алгебраической геометрии рассмотрены в [23].

Теперь используем представление (1.19) для описания аналитических свойств $\psi_{k}$ на $\Gamma$ для произвольного $k$.

Зафиксируем некоторое разбиение $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$. Как следует из (1.19),
\[
\tilde{\psi}(\lambda, \mu)=\left(\omega_{k}-\lambda J\right) \psi_{k}(\lambda, \mu)
\]
— собственное значение матрицы $M_{k+1}+\lambda J^{2}$ :
\[
\left(M_{k+1}+\lambda J^{2}\right) \tilde{\psi}(\lambda, \mu)=\mu \tilde{\psi}(\lambda, \mu) .
\]

Это означает, что $\psi_{k+1}$ можно определить как
\[
\psi_{k+1}=\left(\omega_{k}-\lambda J\right) \psi_{k} .
\]

Заметим, что $\psi_{k+1}$ не удовлетворяет нормировке Дубровина (1.29), которая требуется только для $\psi_{1}$.

Из (1.36) можно увидеть, что $\psi_{k+1}$ имеет $N$ новых полюсов на «бесконечностях» $P_{1}, \ldots, P_{N}$. Чтобы найти новые нули, рассмотрим гиперболу $\mathscr{H}$, определенную уравнением
\[
\lambda \mu=1,
\]

и пересечение $\mathscr{H} \cap \Gamma$. Это пересечение описывается уравнениями $\mu=\lambda^{-1}$ и уравнением
\[
\operatorname{det}\left(M+\lambda J^{2}-\lambda^{-1} I\right)=(-\lambda)^{-N} \operatorname{det}\left(I-\lambda M-\lambda^{2} J^{2}\right)=0,
\]

которое соответствует (1.11).

Таким образом, имеем $2 N$ точек пересечения, которые обозначим $Q_{1}^{+}, \ldots, Q_{N}^{+}, Q_{1}^{-}, \ldots, Q_{N}^{-}$, согласно разбиению $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$. Как следует из построения $\omega_{k}$ (см. главу 3 ),
\[
\left(\omega_{k}-\lambda_{i} I\right) \psi_{k}\left(Q_{i}^{+}\right)=0 .
\]

Это означает, что $Q_{1}^{+}, \ldots, Q_{N}^{+}$- новые нули $\psi_{k+1}$. Итак, мы доказали следующую лемму

Лемма. Для данного разбиения $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$векторная собственная функция $\psi_{k+1}$ (1.36) матрицы $M_{k+1}+\lambda J^{2}$ имеет на спектральной кривой Г следующие аналитические свойства, однозначно определящие $\psi_{k+1}$ :
1) $\psi_{k+1}$ имеет простой полюс в $\mathscr{D}$, зависящий от начальных данных $M_{1}$, и полюса $P_{1}, \ldots, P_{N}$ на «бесконечностях» с асимптотикой
\[
P_{j}: \psi_{k+1}^{i}=\lambda^{k}\left(-J_{j}\right)^{k}\left(\delta_{j}^{i}+O\left(\lambda^{-1}\right)\right), \quad \lambda \rightarrow \infty .
\]
2) $\psi_{k+1}$ имеет нули порядка $k$ в $Q_{1}^{+}, \ldots, Q_{N}^{+}$.

Легко видеть, в частности, что дивизор полюсов $\mathscr{D}_{k+1}$ для $\psi_{k+1}$ связан с $\mathscr{D}_{k}$ отношением
\[
\mathscr{D}_{k+1} \approx \mathscr{D}_{k}+U,
\]

где $U=P_{1}+\cdots+P_{N}-Q_{1}^{+}-\cdots-Q_{N}^{+}$.
Для заданного $\psi_{k+1}$ можно восстановить $\psi_{k+1}$, используя формулу (1.14), и $M_{k+1}$ – как $\omega_{k+1}^{T} J-J \omega_{k+1}$. Чтобы найти решение уравнения (1.2) $X_{k} \in O(N)$ :
\[
X_{k}^{-1}=\omega_{k} \omega_{k-1} \ldots \omega_{1} X_{0}^{-1},
\]

можно снова воспользоваться уравнением (1.36). Действительно, из (1.36) следует, что
\[
\Phi_{k+1}=\omega_{k} \Phi_{k},
\]

где $\Phi$ есть $N \times N$ матрица со столбцом $\psi_{k}\left(0, \mu_{i}\right)$. Это означает, что
\[
\Phi_{k+1}=\omega_{k} \omega_{k-1} \ldots \omega_{1} \Phi_{1}, \quad X_{k}^{-1}=\Phi_{k+1} \Phi_{1}^{-1} X_{0}^{-1} .
\]

Для $\psi_{k+1}$ можно записать явные формулы в терминах $\theta$-функций Прима, как это было проделано, например, Бобенко в [24]. Однако здесь ограничимся примером – группой $O(3)$ (см. ниже).
Резюмируем результаты главы в следующей теореме.

Теорема 3. Дискретное уравнение Эйлера (1.4) соответствует сдвигам на многообразии Прима $P \subset J(\Gamma)$ (1.34) на вектор $U=P_{1}+\cdots+$ $+P_{N}-Q_{1}^{+}-\cdots-Q_{N}^{+}$, зависящий от разбиения $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-} . E c$ ли такое разбиение фиксировано, то общее решение уравнений (1.4) $u$ (1.2) можно выразить через некоторые абелевы функции на $P$ в точках $z_{k}=z_{0}+k U$.

6. Явные формулы для дискретной динамики трехмерного твердого тела. Рассмотрим уравнения (1.2), (1.4) при $N=3$. В этом случае решение можно выразить через эллиптические функции. Спектральная кривая $\Gamma$ (1.27) имеет уравнение
\[
\operatorname{det}\left|\begin{array}{ccc}
\lambda J_{1}^{2}-\mu & M_{12} & M_{13} \\
-M_{12} & \lambda J_{2}^{2}-\mu & M_{23} \\
-M_{13} & -M_{23} & \lambda J_{3}^{2}-\mu
\end{array}\right|=0,
\]

или
\[
\left(\lambda J_{1}^{2}-\mu\right)\left(\lambda J_{2}^{2}-\mu\right)\left(\lambda J_{3}^{2}-\mu\right)+H \lambda-M^{2} \mu=0,
\]

где $H=J_{3}^{2} M_{12}^{2}+J_{2}^{2} M_{13}^{2}+J_{1}^{2} M_{23}^{2}$.
В новых переменных
\[
x=\mu / \lambda, \quad y=\lambda,
\]

соотношение (1.41) имеет вид
\[
y^{2} Q(x)=H-M^{2} x,
\]

где $Q(x)=\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)$. После другой замены переменных
\[
w=Q(x) y=Q(\mu / \lambda) \lambda
\]

получим стандартную форму эллиптической кривой
\[
w^{2}=R(x)=\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)\left(H-M^{2} x\right) .
\]

Инволюция $\sigma:(\lambda, \mu) \rightarrow(-\lambda,-\mu)$ в этих переменных записывается в виде $\sigma(w, x)=(-w, x)$, а многообразие Прима совпадает с $J(\Gamma) \approx \Gamma$. «Бесконечности» $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ соотвтствуют точкам разветвления $x=J_{1}^{2}$,

$x=J_{2}^{2}, x=J_{3}^{2}$. Четвертая точка ветвления $x=H / M^{2}$ соответствует точке $\lambda=\mu=0$, поэтому выберем ее в качестве нуля на $\Gamma$. Пусть $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ – упорядоченные корни $R(x)$, т. е. числа $J_{1}^{2}$, $J_{2}^{2}, J_{3}^{2}, H / M^{2}$ (заметим, что $\min \left\{J_{i}\right\} \leqslant H / M^{2} \leqslant \max \left\{J_{i}\right\}$ ).
Эллиптический интеграл
\[
z=\int_{H / M^{2}}^{(x, w)} \frac{d x}{\sqrt{R(x)}}
\]
$=2 \int_{x_{2}}^{x_{3}} \frac{d x}{\sqrt{R(x)}} ; \tau_{1}$ – вещественное, $\tau_{2}$ чисто мнимое.
Уравнение $\mu \lambda=1$ в переменных $x, w$ имеет вид
\[
\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)-x\left(H-M^{2} x\right)=0 ;
\]

оно определяет на $\Gamma$ множество из шести точек, которые обозначим как $Q_{1}^{+}, Q_{2}^{+}, Q_{3}^{+}, Q_{1}^{-}, Q_{2}^{-}, Q_{3}^{-}$в соответствии с разбиением $\Sigma=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$ (см. рис. 7 ).
Рис. 7
На рисунке изображена ситуация, соответствующая $J_{1}^{2}<H / M^{2}<$ $<J_{2}^{2}<J_{3}^{2}$ и достаточно малым $M^{2}$ и $H$, когда все корни (1.43) и $P(\lambda)$ вещественны. Условие того, что $P(\lambda)$ не имеет чисто мнимых корней, которое достаточно для разрешимости уравнения (1.6) (см. разделы 1.2 и 1.4), эквивалентно отсутствию отрицательных корней уравнения (1.43). Это приводит к некоторому ограничению на интегралы $M^{2}$

и $H$. Сдвиг $U$ задается формулой
\[
U=P_{1}+P_{2}+P_{3}-Q_{1}^{+}-Q_{2}^{+}-Q_{3}^{+}=-\left(Q_{1}^{+}+Q_{2}^{+}+Q_{3}^{+}\right),
\]

поскольку $P_{1}+P_{2}+P_{3}=0$.
Используя результаты предыдущего раздела, можно легко выразить $\psi_{k+1}(z)$ в терминах классических эллиптических $\sigma$-функций и начального положения полюсов $\psi_{1}$ : $\left(\zeta_{1}, \zeta_{2}, \zeta_{3}\right)$. Например, функция
\[
\begin{aligned}
& \psi_{k+1}^{1}(z)=\left(-J_{1}\right)^{k} \times \\
\times & \frac{\sigma^{k}\left(z-Q_{1}^{+}\right) \sigma^{k}\left(z-Q_{2}^{+}\right) \sigma^{k}\left(z-Q_{3}^{+}\right) \sigma\left(z-\left(\zeta_{1}+\zeta_{2}+\zeta_{3}\right)-k U-P_{1}\right)}{\sigma\left(z-\zeta_{1}\right) \sigma\left(z-\zeta_{2}\right) \sigma\left(z-\zeta_{3}\right) \sigma^{k}\left(z-P_{1}\right) \sigma^{k-1}\left(z-P_{2}\right) \sigma^{k-1}\left(z-P_{3}\right)}
\end{aligned}
\]

имеет все аналитические свойства первой компоненты $\psi_{k+1}(z)$ (см. лемму из параграфа 1.5) и поэтому совпадает с ней. Теперь можно записать явные формулы для $\omega_{k}, M_{k}$ и $X_{k}$, как было объяснено в предыдущем разделе.

Опуская несущественные множители в (1.44), определим матрицу $\tilde{\Phi}_{k+1}$ как
\[
\left(\tilde{\Phi}_{k+1}\right)_{i j}=\left(-J_{i}\right)^{k} f^{k}\left(z_{j}\right) \frac{\sigma\left(z_{j}-\zeta-k U-P_{i}\right)}{\sigma\left(z_{j}-P_{i}\right)},
\]

где
\[
f(z)=\frac{\sigma\left(z-Q_{1}^{+}\right) \sigma\left(z-Q_{2}^{+}\right) \sigma\left(z-Q_{3}^{+}\right)}{\sigma\left(z-P_{1}\right) \sigma\left(z-P_{2}\right) \sigma\left(z-P_{3}\right)},
\]

а переменные $\zeta=\zeta_{1}+\zeta_{2}+\zeta_{3}, z_{i}(i=1,2,3)$ соответствуют $\lambda=0$ в $(1.41)$ :
\[
z_{i}=0 \quad\left(x=\frac{H}{M^{2}}\right), \quad z_{2,3}= \pm \int_{H / M^{2}}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{R(x)}}(x=\infty) .
\]

Наконец, из (1.40) имеем
\[
X_{k}^{T}=\tilde{\Phi}_{k+1} \tilde{\Phi}_{1}^{-1} X_{0}^{T}, \quad \omega_{k}=\tilde{\Phi}_{k+1} \tilde{\Phi}_{k}^{-1},
\]

где $\tilde{\Phi}_{k}$ определяются формулой (1.45).

В непрерывном пределе для $M=\varepsilon M_{c}, \varepsilon \rightarrow 0$ кривая $\Gamma$ остается прежней:
\[
\left(w^{\prime}\right)^{2}=\left(\frac{w}{\varepsilon}\right)^{2}=\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)\left(H_{c}-M_{c}^{2} x\right) s,
\]

а уравнение переходит в
\[
\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)-\varepsilon^{2} x\left(H_{c}-M_{c}^{2} x\right)=0 .
\]

При $\varepsilon=0$ достигается
\[
\left(x-J_{1}^{2}\right)\left(x-J_{2}^{2}\right)\left(x-J_{3}^{2}\right)=0 .
\]

Это означает, что $Q_{1}^{ \pm}, Q_{2}^{ \pm}, Q_{3}^{ \pm}$стремятся к $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ при $\varepsilon \rightarrow 0$, и сдвиг $U=\Sigma Q_{i}-\Sigma Q_{i}^{+} \rightarrow 0$. Следует заметить, что непрерывный предел соответствует специальному разбиению $\Sigma$, когда $\Sigma_{+}$содержит все находящиеся в правой полуплоскости корни полинома $P(\lambda)$, определяемые формулой (1.13) раздела 1.2 , который принимает вид
\[
\left(\lambda^{2} J_{1}^{2}-1\right)\left(\lambda^{2} J_{2}^{2}-1\right)\left(\lambda^{2} J_{3}^{2}-1\right)+H \lambda^{4}-M \lambda^{2}=0 .
\]

Как было показано выше, этот непрерывный предел соответствует классической задаче о свободном движении твердого тела, явное решение которой в терминах эллиптических функций было найдено Якоби [25]. Сравнение этой формулы и непрерывного предела (1.46) может быть достаточно сложным.