Теперь применим предыдущую процедуру для описания движения биллиарда в области $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^N$, ограниченной эллипсоидом $Q=\partial \mathrm{\Omega }$, заданным уравнением
$$(Ax,x)=1,$$

где $A$ — положительная симметрическая $N\times N$ матрица. Это применение имеет несколько неожиданных особенностей. В частности, оно естественным образом приводит к отображению $\varphi$, которое не связано напрямую с рассматриваемой системой, тогда как $\varphi \circ \varphi ={\varphi }^2-$ связано. Другими словами, это отображение можно рассматривать как «квадратный корень» из биллиардного отображения. Более того, отображение $\varphi$ коммутирует с биллиардным отображением и, следовательно, переводит биллиардную траекторию в другую биллиардную траекторию. Такая симметрия задачи биллиарда была обнаружена в [1]. Начнем с построения отображения $\varphi$.

Динамика биллиарда в области $\mathrm{\Omega }$ может быть описана каю стационарные точки функционала $S$ :
$$S=\sum _{k\in \mathbb{Z}}|x_k-x_{k-1}|,x_k\in Q.$$

Уравнение движения можно записать в виде (см. рис. 8):
$$\{\begin{array}{c}{x}_{k+1}-x_k={\mu }_k{y}_{k+1}\\ y_{k+1}-y_k=u_{k}A{x}_k\end{array},$$

где $y_k=(x_k-x_{k-1})/|x_k-x_{k-1}|,\left|y_k\right|=1$ есть количество движения, множители ${\mu }_k,u_k$ определяются из условий $\left|y_k\right|=1,(A{x}_k,x_k)=1$ :
$${\mu }_k=-\frac{2(A{y}_{k+1},x_k)}{(A{y}_{k+1},y_{k+1})},u_k=-\frac{2(A{x}_k,y_k)}{(A{x}_k,A{x}_k)}.$$

Рис. 8
Рассмотрим отображение «косого годографа» $\varphi :(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$, определенное формулами
$$\{\begin{array}{l}{x}_k^{\prime }=C{y}_{k+1}=C(y_k+u_{k}A{x}_k)\\ y_k^{\prime }=-C^{-1}{x}_k\end{array},$$

где $C=A^{-1/2}$ (сравните с [1]). Легко проверить, что если $(x_k,y_k)$ есть решение (3.3), то и $(x_k^{\prime },y_k^{\prime })$ — тоже. Более того, $x_k^{\prime \prime }=C{y}_{k+1}^{\prime }=-x_{k+1}$, $y_k^{\prime \prime }=-C^{-1}{x}_k^{\prime }=-y_{k+1}$, что показывает, что динамика $\varphi$ «содержит» биллиардову динамику.

В непрерывном пределе эта симметрия означает только, что если $x(s)$ — геодезическая на эллипсоиде (3.1), параметризованная длиной, то траектория вектора $\tilde{x}(s)=C\dot{x}(s)$ также является геодезической на том же эллипсоиде (но, вообще, $s$ не есть длина $\tilde{x}(s)$ ). Этот геометрический факт был отмечен в [28]. Заметим, что оператор $C$ преобразует единичную сферу в эллипсоид $Q$, уравнение которого можно переписать как
$$(C^{-2}x,x)={\left|C^{-1}x\right|}^2=1.$$

1. Разбиения и изоспектральные деформации.

Рассмотрим матрицу $L(x,y,\lambda )$, заданную формулой
$$L=A^{-1}-\lambda x\wedge y-{\lambda }^{2}y\otimes y,$$

которая была предложена в связи с геодезическим потоком на эллипсоиде в $[10,9]$. Для $x\in Q$ эта матрица может быть факторизована
$$L(x,y,\lambda )=(C+\lambda y\otimes \xi )(C-\lambda \xi \otimes y),$$

где $\xi =C^{-1}x,|\xi |=1$. Если $x=x_k,y=y_k$, то (3.6) соответствует разбиению $\mathrm{\Sigma }=\{\lambda :\det L=0\}={\mathrm{\Sigma }}_{+}\cup {\mathrm{\Sigma }}_{-}$на положительную и отрицательную часть, соответственно. В самом деле, легко показать (см. [10]), что для $x\in Q,|y|=1$
$$\det L=\det A^{-1}(1-{\lambda }^2(Ax,y{)}^2)$$

и ${\mathrm{\Sigma }}_{+}=\{\lambda :\det (C-\lambda \xi \otimes y)=0\}=\left\{{(C^{-1}\xi ,y)}^{-1}\right\}=\left\{{(C^{-2}x,y)}^{-1}\right\}=$ $=\{(Ax,y{)}^{-1}\}$. Но $(A{x}_k,y_k)>0$ (см. рис. 8), поэтому в этом случае ${\mathrm{\Sigma }}_{+}$ состоит из положительного корня (3.7). Будем называть такое разбиение естественным.
Вместе с таким разбиением $L(x,y,\lambda )$
$$L=(C+\lambda y\otimes \xi )(C-\lambda \xi \otimes y),\xi =C^{-1}x,|\xi |=|y|=1,$$

рассмотрим матрицу $L^{\prime }(x,y,\lambda )$, получаемую путем перестановки сомножителей
$$L^{\prime }=(C-\lambda \xi \otimes y)(C+\lambda y\otimes \xi ),$$

и разобьем ее снова естественным образом
$$L^{\prime }=(C+\lambda y^{\prime }\otimes {\xi }^{\prime })(C-\lambda {\xi }^{\prime }\otimes y^{\prime }),\left|{\xi }^{\prime }\right|=\left|y^{\prime }\right|=1.$$

Теорема 5. Отображение $(x,y)\to (x^{\prime }=C{\xi }^{\prime },y^{\prime }=-\xi )$, определенное формулами (3.8), (3.9) и описывающее изоспектральные деформации матрииы $L\to L^{\prime }$, совпадает с отображением $\varphi$ из (3.4).

Доказательство.
Второе уравнение $y^{\prime }=-\xi =-C^{-1}x$ совпадает со вторым уравнением системы (3.4). Для того, чтобы доказать то же самое для первого уравнения, сравним (3.8) и (3.9) с $y^{\prime }=-\xi$ : $C^2-\lambda \xi \wedge Cy-{\lambda }^2\xi \otimes \xi =$ $=C^2+\lambda C{\xi }^{\prime }\wedge \xi -{\lambda }^2\xi \otimes \xi ({\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime })$. Очевидно, что $\xi \wedge (Cy-C{\xi }^{\prime })=0$ или
$${\xi }^{\prime }-y=\alpha C^{-1}\xi ,$$

для некоторого $\alpha \in \mathbb{R},{\left|{\xi }^{\prime }\right|}^2=1$. Но ${\left|{\xi }^{\prime }\right|}^2={|y+\alpha C^{-1}\xi |}^2=|y{|}^2+$ $+2\alpha (C^{-1}\xi ,y)+{\alpha }^2{\left|C^{-1}\xi \right|}^2$ и, следовательно, имеется две возможности: $\alpha =0$ и $\alpha =-\frac{2(C^{-1}\xi ,y)}{{\left|C^{-1}\xi \right|}^2}=-\frac{2(Ax,y)}{(Ax,Ax)}$. Легко проверить, что вторая возможность соответствует естественному разбиению и приводит к первому уравнению системы (3.4).

Явные формулы для эллипсоидального биллиарда были выведены в [1] с использованием связи со спектральной теорией разностных операторов. Теперь можно рассмотреть эти формулы с точки зрения раздела 2.

Следствие. Если $(x_k,y_k$ ) есть решение биллардной системы (3.3), то матрицы $L_k=L(x_k,y_k,\lambda )$ удовлетворяют уравнению
$$L_{k+1}=A_k{L}_k{A}_k^{-1},$$

где $A_k=A^{-1}-\lambda (x_k\otimes y_k-y_{k+1}\otimes x_k)-{\lambda }^2{y}_{k+1}\otimes y_k$.

В самом деле,
$$\begin{array}{l}{L}_{k+1}=L^{\prime \prime }=(C+\lambda {\xi }^{\prime }\otimes \xi )L^{\prime }{(C+\lambda {\xi }^{\prime }\otimes \xi )}^{-1}=\\ =(C+\lambda {\xi }^{\prime }\otimes \xi )(C-\lambda \xi \otimes y)L_k(C-\lambda \xi \otimes y{)}^{-1}{(C+\lambda {\xi }^{\prime }\otimes \xi )}^{-1}=\\ =A_k{L}_k{A}_k^{-1}\end{array}$$

поскольку ${\xi }^{\prime }=y_{k+1},\xi =-y_k,C\xi =x_k$. Очевидно, (3.11) также можно проверить прямыми вычислениями.

2. Связь между эллипсоидальным биллиардом и дискретной системой Неймана.
Заменив $x_k^{\prime },y_k^{\prime }$ на $x_{k+1},y_{k+1}$, перепишем систему $\varphi$ из (3.4) в виде
$$\{\begin{array}{l}{x}_{k+1}=C{y}_k+u_k{C}^{-1}{x}_k\\ y_{k+1}=-C^{-1}{x}_k\end{array}$$

или в виде
$$x_{k+1}+x_{k-1}=u_k{C}^{-1}{x}_k.$$

Обозначая $C^{-1}{x}_k=q_k,\left|q_k\right|=1$, имеем
$$q_{k+1}+q_{k-1}=u_k{C}^{-1}{q}_k,\left|q_k\right|=1,$$

что совпадает с (2.11) из параграфа 2.2 при $J=C$.

Теорема 6. Если ( $x_k,y_k$ ) есть решение системы (3.12), связанной с эллипсоидальным биллиардом (3.1), как описано выше, то $q_k=C^{-1}{x}_k$ — решение дискретного варианта системы Неймана ([12], глава 2) $приJ=C$. Обратно, если $q_k$ есть ренение $(3.14)$, то $x_k=C{q}_{2k}(-1{)}^k$ — траектория точки биллиарда в эллипсоиде (3.1) при $A=J^{-2}$.

Эта теорема напоминает о связи между геодезическим потоком и системой Неймана из [9], но не может, однако, рассматриваться как «дискретизация» результата Кнёррера [16]. Прежде всего, вместо гауссова отображения мы имеем линейное отображение $C$. Вторая новая особенность заключается в появлении отображения $\varphi$. Более того, эта связь является неожиданной, ввиду различного характера перехода к непрерывному пределу для этой дискретной системы: для биллиарда она просто соответствует динамике вблизи диагонали в $Q\times Q$, а для системы (2.11) параграфа 2 диагональ не инвариантна, поэтому приходится использовать другой предельный переход. Существует другая

возможность рассмотрения динамики вблизи нулевого уровня интеграла $F=(J^{-1}{x}_k,x_{k-1})$, который соответствует ${\lambda }_k\approx 0,x_{k+1}+x_{k-1}\approx 0$ (см. формулы (2.5), (2.6) раздела 2). Эта возможность приводит к эллипсоидальному биллиарду, как следует из теоремы 6 .

ЗАмЕчАниЕ. Возникает естественный вопрос, имеют ли решения нашей дискретной системы вид $x_k=x(k\mathrm{\Delta })$, где $x(t)$ — решение соответствующей классической системы. Ответ: вообще говоря, нет. Это можно увидеть на примере эллипсоидального биллиарда. Предположим, что каждая траектория лежит на одной геодезической. Зафиксируем $q_0$ на плоскости симметрии $Oxy$ : $q_0=(x_0,y_0,0),x_0:y_{0}eq0$, и выберем $q_{-1}$ на пересечении эллипсоида с плоскостью, ортогональной к $Oxy$ и содержащей нормаль к эллипсоиду в точке $q_0$. Очевидно, $q_1=\sigma \left(q_{-1}\right),\sigma (x,y,z)=(x,y,-z)$. Для близких $q_0$ и $q_{-1}$ существует единственная геодезическая $\gamma$, проходящая через $q_0$ и $q_{-1}$. Из нашего предположения следует, что она проходит и через $q_1$. Из единственности $\sigma (\gamma )=\gamma$, и поэтому касательная к $\gamma$ в точке $q_0$ ортогональна $Oxy$. Следовательно, $\gamma$ проходит через $q_0$ в определенном направлении и, таким образом, $\gamma$ не зависит от $q_{-1}$. Это означает, что $\gamma$ совпадает с нашей плоской кривой и, следовательно, не может быть геодезической.

3. Дополнительные замечания к доказательству. Недавно П. Дейфту удалось получить ответ на вопрос, совпадает ли дискретный аналог вращающегося волчка (формула (1.4) раздела 1) с отображением «за время $\tau$ » для некоторого $\tau >0$ непрерывного потока, заданного уравнением (1.5). Даже хотя обе системы имеют одинаковые интегралы, ответ на этот вопрос отрицательный (как и следовало ожидать). Используя формализм [32], Дейфт построил интерполирующий поток, описываемый уравнением
$$\dot{M}=[M,B],B=B(M),$$

для которого отображение «за время 1» приводит к дискретной системе (1.4). Сравнивая (3.15) и (1.5), он обнаружил, что для малых $|M|$ система (3.15) имеет вид
$$\dot{M}=[M,B]=[M,\mathrm{\Omega }]+K(M)+O\left(|M{|}^5\right),$$

где $K(M)$ — полином четвертой степени, не равный тождественно нулю. Он показал, что потоки не совпадают; но дискретная система (1.4) может рассматриваться как дискретизация системы (1.5), совпадающая с непрерывным потоком с точностью до третьего порядка.