Теперь применим предыдущую процедуру для описания движения биллиарда в области $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$, ограниченной эллипсоидом $Q=\partial \Omega$, заданным уравнением
\[
(A x, x)=1,
\]

где $A$ — положительная симметрическая $N \times N$ матрица. Это применение имеет несколько неожиданных особенностей. В частности, оно естественным образом приводит к отображению $\phi$, которое не связано напрямую с рассматриваемой системой, тогда как $\phi \circ \phi=\phi^{2}-$ связано. Другими словами, это отображение можно рассматривать как «квадратный корень» из биллиардного отображения. Более того, отображение $\phi$ коммутирует с биллиардным отображением и, следовательно, переводит биллиардную траекторию в другую биллиардную траекторию. Такая симметрия задачи биллиарда была обнаружена в [1]. Начнем с построения отображения $\phi$.

Динамика биллиарда в области $\Omega$ может быть описана каю стационарные точки функционала $S$ :
\[
S=\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|, \quad x_{k} \in Q .
\]

Уравнение движения можно записать в виде (см. рис. 8):
\[
\left\{\begin{array}{c}
x_{k+1}-x_{k}=\mu_{k} y_{k+1} \\
y_{k+1}-y_{k}=
u_{k} A x_{k}
\end{array},\right.
\]

где $y_{k}=\left(x_{k}-x_{k-1}\right) /\left|x_{k}-x_{k-1}\right|,\left|y_{k}\right|=1$ есть количество движения, множители $\mu_{k},
u_{k}$ определяются из условий $\left|y_{k}\right|=1,\left(A x_{k}, x_{k}\right)=1$ :
\[
\mu_{k}=-\frac{2\left(A y_{k+1}, x_{k}\right)}{\left(A y_{k+1}, y_{k+1}\right)}, \quad
u_{k}=-\frac{2\left(A x_{k}, y_{k}\right)}{\left(A x_{k}, A x_{k}\right)} .
\]

Рис. 8
Рассмотрим отображение «косого годографа» $\phi:(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, определенное формулами
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=C y_{k+1}=C\left(y_{k}+
u_{k} A x_{k}\right) \\
y_{k}^{\prime}=-C^{-1} x_{k}
\end{array},\right.
\]

где $C=A^{-1 / 2}$ (сравните с [1]). Легко проверить, что если $\left(x_{k}, y_{k}\right)$ есть решение (3.3), то и $\left(x_{k}^{\prime}, y_{k}^{\prime}\right)$ — тоже. Более того, $x_{k}^{\prime \prime}=C y_{k+1}^{\prime}=-x_{k+1}$, $y_{k}^{\prime \prime}=-C^{-1} x_{k}^{\prime}=-y_{k+1}$, что показывает, что динамика $\phi$ «содержит» биллиардову динамику.

В непрерывном пределе эта симметрия означает только, что если $x(s)$ — геодезическая на эллипсоиде (3.1), параметризованная длиной, то траектория вектора $\tilde{x}(s)=C \dot{x}(s)$ также является геодезической на том же эллипсоиде (но, вообще, $s$ не есть длина $\tilde{x}(s)$ ). Этот геометрический факт был отмечен в [28]. Заметим, что оператор $C$ преобразует единичную сферу в эллипсоид $Q$, уравнение которого можно переписать как
\[
\left(C^{-2} x, x\right)=\left|C^{-1} x\right|^{2}=1 .
\]

1. Разбиения и изоспектральные деформации.

Рассмотрим матрицу $L(x, y, \lambda)$, заданную формулой
\[
L=A^{-1}-\lambda x \wedge y-\lambda^{2} y \otimes y,
\]

которая была предложена в связи с геодезическим потоком на эллипсоиде в $[10,9]$. Для $x \in Q$ эта матрица может быть факторизована
\[
L(x, y, \lambda)=(C+\lambda y \otimes \xi)(C-\lambda \xi \otimes y),
\]

где $\xi=C^{-1} x,|\xi|=1$. Если $x=x_{k}, y=y_{k}$, то (3.6) соответствует разбиению $\Sigma=\{\lambda: \operatorname{det} L=0\}=\Sigma_{+} \cup \Sigma_{-}$на положительную и отрицательную часть, соответственно. В самом деле, легко показать (см. [10]), что для $x \in Q,|y|=1$
\[
\operatorname{det} L=\operatorname{det} A^{-1}\left(1-\lambda^{2}(A x, y)^{2}\right)
\]

и $\Sigma_{+}=\{\lambda: \operatorname{det}(C-\lambda \xi \otimes y)=0\}=\left\{\left(C^{-1} \xi, y\right)^{-1}\right\}=\left\{\left(C^{-2} x, y\right)^{-1}\right\}=$ $=\left\{(A x, y)^{-1}\right\}$. Но $\left(A x_{k}, y_{k}\right)>0$ (см. рис. 8), поэтому в этом случае $\Sigma_{+}$ состоит из положительного корня (3.7). Будем называть такое разбиение естественным.
Вместе с таким разбиением $L(x, y, \lambda)$
\[
L=(C+\lambda y \otimes \xi)(C-\lambda \xi \otimes y), \quad \xi=C^{-1} x, \quad|\xi|=|y|=1,
\]

рассмотрим матрицу $L^{\prime}(x, y, \lambda)$, получаемую путем перестановки сомножителей
\[
L^{\prime}=(C-\lambda \xi \otimes y)(C+\lambda y \otimes \xi),
\]

и разобьем ее снова естественным образом
\[
L^{\prime}=\left(C+\lambda y^{\prime} \otimes \xi^{\prime}\right)\left(C-\lambda \xi^{\prime} \otimes y^{\prime}\right), \quad\left|\xi^{\prime}\right|=\left|y^{\prime}\right|=1 .
\]

Теорема 5. Отображение $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}=C \xi^{\prime}, y^{\prime}=-\xi\right)$, определенное формулами (3.8), (3.9) и описывающее изоспектральные деформации матрииы $L \rightarrow L^{\prime}$, совпадает с отображением $\phi$ из (3.4).

Доказательство.
Второе уравнение $y^{\prime}=-\xi=-C^{-1} x$ совпадает со вторым уравнением системы (3.4). Для того, чтобы доказать то же самое для первого уравнения, сравним (3.8) и (3.9) с $y^{\prime}=-\xi$ : $C^{2}-\lambda \xi \wedge C y-\lambda^{2} \xi \otimes \xi=$ $=C^{2}+\lambda C \xi^{\prime} \wedge \xi-\lambda^{2} \xi \otimes \xi\left(\xi^{\prime}, \xi^{\prime}\right)$. Очевидно, что $\xi \wedge\left(C y-C \xi^{\prime}\right)=0$ или
\[
\xi^{\prime}-y=\alpha C^{-1} \xi,
\]

для некоторого $\alpha \in \mathbb{R},\left|\xi^{\prime}\right|^{2}=1$. Но $\left|\xi^{\prime}\right|^{2}=\left|y+\alpha C^{-1} \xi\right|^{2}=|y|^{2}+$ $+2 \alpha\left(C^{-1} \xi, y\right)+\alpha^{2}\left|C^{-1} \xi\right|^{2}$ и, следовательно, имеется две возможности: $\alpha=0$ и $\alpha=-\frac{2\left(C^{-1} \xi, y\right)}{\left|C^{-1} \xi\right|^{2}}=-\frac{2(A x, y)}{(A x, A x)}$. Легко проверить, что вторая возможность соответствует естественному разбиению и приводит к первому уравнению системы (3.4).

Явные формулы для эллипсоидального биллиарда были выведены в [1] с использованием связи со спектральной теорией разностных операторов. Теперь можно рассмотреть эти формулы с точки зрения раздела 2.

Следствие. Если $\left(x_{k}, y_{k}\right.$ ) есть решение биллардной системы (3.3), то матрицы $L_{k}=L\left(x_{k}, y_{k}, \lambda\right)$ удовлетворяют уравнению
\[
L_{k+1}=A_{k} L_{k} A_{k}^{-1},
\]

где $A_{k}=A^{-1}-\lambda\left(x_{k} \otimes y_{k}-y_{k+1} \otimes x_{k}\right)-\lambda^{2} y_{k+1} \otimes y_{k}$.

В самом деле,
\[
\begin{array}{l}
L_{k+1}=L^{\prime \prime}=\left(C+\lambda \xi^{\prime} \otimes \xi\right) L^{\prime}\left(C+\lambda \xi^{\prime} \otimes \xi\right)^{-1}= \\
=\left(C+\lambda \xi^{\prime} \otimes \xi\right)(C-\lambda \xi \otimes y) L_{k}(C-\lambda \xi \otimes y)^{-1}\left(C+\lambda \xi^{\prime} \otimes \xi\right)^{-1}= \\
=A_{k} L_{k} A_{k}^{-1}
\end{array}
\]

поскольку $\xi^{\prime}=y_{k+1}, \xi=-y_{k}, C \xi=x_{k}$. Очевидно, (3.11) также можно проверить прямыми вычислениями.

2. Связь между эллипсоидальным биллиардом и дискретной системой Неймана.
Заменив $x_{k}^{\prime}, y_{k}^{\prime}$ на $x_{k+1}, y_{k+1}$, перепишем систему $\phi$ из (3.4) в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{k+1}=C y_{k}+
u_{k} C^{-1} x_{k} \\
y_{k+1}=-C^{-1} x_{k}
\end{array}\right.
\]

или в виде
\[
x_{k+1}+x_{k-1}=
u_{k} C^{-1} x_{k} .
\]

Обозначая $C^{-1} x_{k}=q_{k},\left|q_{k}\right|=1$, имеем
\[
q_{k+1}+q_{k-1}=
u_{k} C^{-1} q_{k}, \quad\left|q_{k}\right|=1,
\]

что совпадает с (2.11) из параграфа 2.2 при $J=C$.

Теорема 6. Если ( $x_{k}, y_{k}$ ) есть решение системы (3.12), связанной с эллипсоидальным биллиардом (3.1), как описано выше, то $q_{k}=C^{-1} x_{k}$ — решение дискретного варианта системы Неймана ([12], глава 2) $п р и J=C$. Обратно, если $q_{k}$ есть ренение $(3.14)$, то $x_{k}=C q_{2 k}(-1)^{k}$ — траектория точки биллиарда в эллипсоиде (3.1) при $A=J^{-2}$.

Эта теорема напоминает о связи между геодезическим потоком и системой Неймана из [9], но не может, однако, рассматриваться как «дискретизация» результата Кнёррера [16]. Прежде всего, вместо гауссова отображения мы имеем линейное отображение $C$. Вторая новая особенность заключается в появлении отображения $\phi$. Более того, эта связь является неожиданной, ввиду различного характера перехода к непрерывному пределу для этой дискретной системы: для биллиарда она просто соответствует динамике вблизи диагонали в $Q \times Q$, а для системы (2.11) параграфа 2 диагональ не инвариантна, поэтому приходится использовать другой предельный переход. Существует другая

возможность рассмотрения динамики вблизи нулевого уровня интеграла $F=\left(J^{-1} x_{k}, x_{k-1}\right)$, который соответствует $\lambda_{k} \approx 0, x_{k+1}+x_{k-1} \approx 0$ (см. формулы (2.5), (2.6) раздела 2). Эта возможность приводит к эллипсоидальному биллиарду, как следует из теоремы 6 .

ЗАмЕчАниЕ. Возникает естественный вопрос, имеют ли решения нашей дискретной системы вид $x_{k}=x(k \Delta)$, где $x(t)$ — решение соответствующей классической системы. Ответ: вообще говоря, нет. Это можно увидеть на примере эллипсоидального биллиарда. Предположим, что каждая траектория лежит на одной геодезической. Зафиксируем $q_{0}$ на плоскости симметрии $O x y$ : $q_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, 0\right), x_{0}: y_{0}
eq 0$, и выберем $q_{-1}$ на пересечении эллипсоида с плоскостью, ортогональной к $O x y$ и содержащей нормаль к эллипсоиду в точке $q_{0}$. Очевидно, $q_{1}=\sigma\left(q_{-1}\right), \sigma(x, y, z)=(x, y,-z)$. Для близких $q_{0}$ и $q_{-1}$ существует единственная геодезическая $\gamma$, проходящая через $q_{0}$ и $q_{-1}$. Из нашего предположения следует, что она проходит и через $q_{1}$. Из единственности $\sigma(\gamma)=\gamma$, и поэтому касательная к $\gamma$ в точке $q_{0}$ ортогональна $O x y$. Следовательно, $\gamma$ проходит через $q_{0}$ в определенном направлении и, таким образом, $\gamma$ не зависит от $q_{-1}$. Это означает, что $\gamma$ совпадает с нашей плоской кривой и, следовательно, не может быть геодезической.

3. Дополнительные замечания к доказательству. Недавно П. Дейфту удалось получить ответ на вопрос, совпадает ли дискретный аналог вращающегося волчка (формула (1.4) раздела 1) с отображением «за время $\tau$ » для некоторого $\tau>0$ непрерывного потока, заданного уравнением (1.5). Даже хотя обе системы имеют одинаковые интегралы, ответ на этот вопрос отрицательный (как и следовало ожидать). Используя формализм [32], Дейфт построил интерполирующий поток, описываемый уравнением
\[
\dot{M}=[M, B], \quad B=B(M),
\]

для которого отображение «за время 1» приводит к дискретной системе (1.4). Сравнивая (3.15) и (1.5), он обнаружил, что для малых $|M|$ система (3.15) имеет вид
\[
\dot{M}=[M, B]=[M, \Omega]+K(M)+O\left(|M|^{5}\right),
\]

где $K(M)$ — полином четвертой степени, не равный тождественно нулю. Он показал, что потоки не совпадают; но дискретная система (1.4) может рассматриваться как дискретизация системы (1.5), совпадающая с непрерывным потоком с точностью до третьего порядка.