Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (Ю.Мозер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Теперь применим предыдущую процедуру для описания движения биллиарда в области ΩRN, ограниченной эллипсоидом Q=Ω, заданным уравнением
(Ax,x)=1,

где A — положительная симметрическая N×N матрица. Это применение имеет несколько неожиданных особенностей. В частности, оно естественным образом приводит к отображению ϕ, которое не связано напрямую с рассматриваемой системой, тогда как ϕϕ=ϕ2 связано. Другими словами, это отображение можно рассматривать как «квадратный корень» из биллиардного отображения. Более того, отображение ϕ коммутирует с биллиардным отображением и, следовательно, переводит биллиардную траекторию в другую биллиардную траекторию. Такая симметрия задачи биллиарда была обнаружена в [1]. Начнем с построения отображения ϕ.

Динамика биллиарда в области Ω может быть описана каю стационарные точки функционала S :
S=kZ|xkxk1|,xkQ.

Уравнение движения можно записать в виде (см. рис. 8):
{xk+1xk=μkyk+1yk+1yk=ukAxk,

где yk=(xkxk1)/|xkxk1|,|yk|=1 есть количество движения, множители μk,uk определяются из условий |yk|=1,(Axk,xk)=1 :
μk=2(Ayk+1,xk)(Ayk+1,yk+1),uk=2(Axk,yk)(Axk,Axk).

Рис. 8
Рассмотрим отображение «косого годографа» ϕ:(x,y)(x,y), определенное формулами
{xk=Cyk+1=C(yk+ukAxk)yk=C1xk,

где C=A1/2 (сравните с [1]). Легко проверить, что если (xk,yk) есть решение (3.3), то и (xk,yk) — тоже. Более того, xk=Cyk+1=xk+1, yk=C1xk=yk+1, что показывает, что динамика ϕ «содержит» биллиардову динамику.

В непрерывном пределе эта симметрия означает только, что если x(s) — геодезическая на эллипсоиде (3.1), параметризованная длиной, то траектория вектора x~(s)=Cx˙(s) также является геодезической на том же эллипсоиде (но, вообще, s не есть длина x~(s) ). Этот геометрический факт был отмечен в [28]. Заметим, что оператор C преобразует единичную сферу в эллипсоид Q, уравнение которого можно переписать как
(C2x,x)=|C1x|2=1.

1. Разбиения и изоспектральные деформации.

Рассмотрим матрицу L(x,y,λ), заданную формулой
L=A1λxyλ2yy,

которая была предложена в связи с геодезическим потоком на эллипсоиде в [10,9]. Для xQ эта матрица может быть факторизована
L(x,y,λ)=(C+λyξ)(Cλξy),

где ξ=C1x,|ξ|=1. Если x=xk,y=yk, то (3.6) соответствует разбиению Σ={λ:detL=0}=Σ+Σна положительную и отрицательную часть, соответственно. В самом деле, легко показать (см. [10]), что для xQ,|y|=1
detL=detA1(1λ2(Ax,y)2)

и Σ+={λ:det(Cλξy)=0}={(C1ξ,y)1}={(C2x,y)1}= ={(Ax,y)1}. Но (Axk,yk)>0 (см. рис. 8), поэтому в этом случае Σ+ состоит из положительного корня (3.7). Будем называть такое разбиение естественным.
Вместе с таким разбиением L(x,y,λ)
L=(C+λyξ)(Cλξy),ξ=C1x,|ξ|=|y|=1,

рассмотрим матрицу L(x,y,λ), получаемую путем перестановки сомножителей
L=(Cλξy)(C+λyξ),

и разобьем ее снова естественным образом
L=(C+λyξ)(Cλξy),|ξ|=|y|=1.

Теорема 5. Отображение (x,y)(x=Cξ,y=ξ), определенное формулами (3.8), (3.9) и описывающее изоспектральные деформации матрииы LL, совпадает с отображением ϕ из (3.4).

Доказательство.
Второе уравнение y=ξ=C1x совпадает со вторым уравнением системы (3.4). Для того, чтобы доказать то же самое для первого уравнения, сравним (3.8) и (3.9) с y=ξ : C2λξCyλ2ξξ= =C2+λCξξλ2ξξ(ξ,ξ). Очевидно, что ξ(CyCξ)=0 или
ξy=αC1ξ,

для некоторого αR,|ξ|2=1. Но |ξ|2=|y+αC1ξ|2=|y|2+ +2α(C1ξ,y)+α2|C1ξ|2 и, следовательно, имеется две возможности: α=0 и α=2(C1ξ,y)|C1ξ|2=2(Ax,y)(Ax,Ax). Легко проверить, что вторая возможность соответствует естественному разбиению и приводит к первому уравнению системы (3.4).

Явные формулы для эллипсоидального биллиарда были выведены в [1] с использованием связи со спектральной теорией разностных операторов. Теперь можно рассмотреть эти формулы с точки зрения раздела 2.

Следствие. Если (xk,yk ) есть решение биллардной системы (3.3), то матрицы Lk=L(xk,yk,λ) удовлетворяют уравнению
Lk+1=AkLkAk1,

где Ak=A1λ(xkykyk+1xk)λ2yk+1yk.

В самом деле,
Lk+1=L=(C+λξξ)L(C+λξξ)1==(C+λξξ)(Cλξy)Lk(Cλξy)1(C+λξξ)1==AkLkAk1

поскольку ξ=yk+1,ξ=yk,Cξ=xk. Очевидно, (3.11) также можно проверить прямыми вычислениями.

2. Связь между эллипсоидальным биллиардом и дискретной системой Неймана.
Заменив xk,yk на xk+1,yk+1, перепишем систему ϕ из (3.4) в виде
{xk+1=Cyk+ukC1xkyk+1=C1xk

или в виде
xk+1+xk1=ukC1xk.

Обозначая C1xk=qk,|qk|=1, имеем
qk+1+qk1=ukC1qk,|qk|=1,

что совпадает с (2.11) из параграфа 2.2 при J=C.

Теорема 6. Если ( xk,yk ) есть решение системы (3.12), связанной с эллипсоидальным биллиардом (3.1), как описано выше, то qk=C1xk — решение дискретного варианта системы Неймана ([12], глава 2) приJ=C. Обратно, если qk есть ренение (3.14), то xk=Cq2k(1)k — траектория точки биллиарда в эллипсоиде (3.1) при A=J2.

Эта теорема напоминает о связи между геодезическим потоком и системой Неймана из [9], но не может, однако, рассматриваться как «дискретизация» результата Кнёррера [16]. Прежде всего, вместо гауссова отображения мы имеем линейное отображение C. Вторая новая особенность заключается в появлении отображения ϕ. Более того, эта связь является неожиданной, ввиду различного характера перехода к непрерывному пределу для этой дискретной системы: для биллиарда она просто соответствует динамике вблизи диагонали в Q×Q, а для системы (2.11) параграфа 2 диагональ не инвариантна, поэтому приходится использовать другой предельный переход. Существует другая

возможность рассмотрения динамики вблизи нулевого уровня интеграла F=(J1xk,xk1), который соответствует λk0,xk+1+xk10 (см. формулы (2.5), (2.6) раздела 2). Эта возможность приводит к эллипсоидальному биллиарду, как следует из теоремы 6 .

ЗАмЕчАниЕ. Возникает естественный вопрос, имеют ли решения нашей дискретной системы вид xk=x(kΔ), где x(t) — решение соответствующей классической системы. Ответ: вообще говоря, нет. Это можно увидеть на примере эллипсоидального биллиарда. Предположим, что каждая траектория лежит на одной геодезической. Зафиксируем q0 на плоскости симметрии Oxy : q0=(x0,y0,0),x0:y0eq0, и выберем q1 на пересечении эллипсоида с плоскостью, ортогональной к Oxy и содержащей нормаль к эллипсоиду в точке q0. Очевидно, q1=σ(q1),σ(x,y,z)=(x,y,z). Для близких q0 и q1 существует единственная геодезическая γ, проходящая через q0 и q1. Из нашего предположения следует, что она проходит и через q1. Из единственности σ(γ)=γ, и поэтому касательная к γ в точке q0 ортогональна Oxy. Следовательно, γ проходит через q0 в определенном направлении и, таким образом, γ не зависит от q1. Это означает, что γ совпадает с нашей плоской кривой и, следовательно, не может быть геодезической.

3. Дополнительные замечания к доказательству. Недавно П. Дейфту удалось получить ответ на вопрос, совпадает ли дискретный аналог вращающегося волчка (формула (1.4) раздела 1) с отображением «за время τ » для некоторого τ>0 непрерывного потока, заданного уравнением (1.5). Даже хотя обе системы имеют одинаковые интегралы, ответ на этот вопрос отрицательный (как и следовало ожидать). Используя формализм [32], Дейфт построил интерполирующий поток, описываемый уравнением
M˙=[M,B],B=B(M),

для которого отображение «за время 1» приводит к дискретной системе (1.4). Сравнивая (3.15) и (1.5), он обнаружил, что для малых |M| система (3.15) имеет вид
M˙=[M,B]=[M,Ω]+K(M)+O(|M|5),

где K(M) — полином четвертой степени, не равный тождественно нулю. Он показал, что потоки не совпадают; но дискретная система (1.4) может рассматриваться как дискретизация системы (1.5), совпадающая с непрерывным потоком с точностью до третьего порядка.

1
Оглавление
email@scask.ru