1. Геодезический поток на эллипсоиде.
В этой части мы обсудим две классические интегрируемые системы, которые играют центральную роль в обратной спектральной тео-

рии (см. раздел 5). Первая из них — это геодезический поток на эллипсоиде ${}^1$
$$\{x\in {\mathbb{R}}^n,⟨A^{-1}x,x⟩=1\},$$

где $A=A^T$ — положительно определенная симметричная матрица с различными собственными значениями $0<{\alpha }_1<{\alpha }_2<\dots <{\alpha }_n$. Дифференциальные уравнения имеют вид
$$\frac{d^{2}x}{d{s}^2}=-u{A}^{-1}x$$

где коэффициент $u$ определяется так, чтобы
$$\begin{array}{c}0=\frac{1}{2}{\left(\frac{d}{ds}\right)}^2⟨A^{-1}x,x⟩=⟨A^{-1}x,x^{\prime \prime }⟩+⟨A^{-1}{x}^{\prime },x^{\prime }⟩=\\ =-u{\left|A^{-1}x\right|}^2+⟨A^{-1}{x}^{\prime },x^{\prime }⟩,\end{array}$$
T. e.
\[

u=\left|A^{-1} x\right|^{-2}\left\langle A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime}\right\rangle .
\]

Покажем, что эта система интегрируема и что интегралы могут быть записаны как полиномы четвертой степени от $x,x^{\prime }=dx/ds$.

Для этого полезно представить эту систему, ограничивая «свободный» гамильтониан $H=\frac{1}{2}|y{|}^2$ на касательное расслоение эллипсоида
$$⟨A^{-1}x,x⟩=1,⟨A^{-1}x,y⟩=0.$$

Используя формулы предыдущего раздела, находим
$$H^{\ast }=\frac{1}{2}|y{|}^2-{\lambda }_1(⟨A^{-1}x,x⟩-1)-{\lambda }_2⟨A^{-1}x,y⟩,$$

где
$${\lambda }_1=-\frac{1}{2}{\left|A^{-1}x\right|}^{-2}⟨A^{-1}y,y⟩;{\lambda }_2=-{\left|A^{-1}x\right|}^{-2}⟨A^{-1}x,y⟩,$$

или
$$H^{\ast }=\frac{1}{2}|y{|}^2+\frac{\mu }{2}{\mathrm{\Phi }}_0(x,y)-\frac{\mu }{2}{⟨A^{-1}x,y⟩}^2,$$

где
$$\begin{array}{c}\mu ={\left|A^{-1}x\right|}^{-2};\\ {\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=(⟨A^{-1}x,x⟩-1)⟨A^{-1}y,y⟩-{⟨A^{-1}x,y⟩}^2.\end{array}$$

Отбросим последний член в (3.2), т. к. он исчезает со своими производными на касательном расслоении эллипсоида. Легко проверить, что ограниченная система имеет вид
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{ds}=H_y^{\ast }=y,\\ \frac{dy}{ds}=-H_x^{\ast }=-\mu <A^{-1}y,y>A^{-1}x,\end{array}$$

и, следовательно, совпадает с (3.1).
Преимущество такого расширения системы от потока на касательном расслоении эллипсоида до ${\mathbb{R}}^{2n}$ состоит в том, что мы не используем неудобные локальные координаты на эллипсоиде. Кроме того, расширенная система $X_H$ имеет интересную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим значение функции ${\mathrm{\Phi }}_0(x,y)$ из (3.3). Легко проверить, что конус
$$\{y\in {\mathbb{R}}^n\mid {\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=0\}$$

при сдвиге по $x$ представляет конус векторов, касательных к эллипсоиду и проходящих через $x$.
При рассмотрении векторного поля
$$X_{H^{\ast }}=\frac{1}{2}{X}_{|y{|}^2}+\frac{\mu }{2}{X}_{{\mathrm{\Phi }}_0}$$

полезно заметить, что два составляющих его слагаемых коммутируют, т. к.
$$\{|y{|}^2,{\mathrm{\Phi }}_0\}=0,$$

поэтому достаточно рассмотреть два векторных поля отдельно. Первое слагаемое описывает свободный поток
$$(x,y)\to (x+\varkappa y,y),$$

а второе задается соотношением
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=\mu {\mathrm{\Phi }}_{0y},\\ \dot{y}=-\mu {\mathrm{\Phi }}_{0x},\end{array}$$

которое мы ограничим на изоэнергетическую поверхность ${\mathrm{\Phi }}_0=0$. В силу замечания, приведенного после соотношения (3.5), с $(x,y)$ можно связать касательную к эллипсоиду, проходящую через $x$ в направлении $y$.

Уравнение (3.6) на поверхности ${\mathrm{\Phi }}_0=0$ описывает движение касательных к эллипсоиду, когда точка касания движется вдоль геодезической, а точка $x$ движется перпендикулярно к касательной; первое слагаемое сдвигает точку $x$ вдоль касательной, например, сдвигая ее назад к точке касания. Поэтому достаточно изучить (3.6) и с помощью замены переменных можно приравнять $\mu$ к единице. Более полное обсуждение см. $[23]$.

2. Конфокальные квадрики, построение интегралов.
Основой для понимания геодезических на эллипсоиде служит семейство конфокальных квадрик $Q_z$
$$⟨(zI-A{)}^{-1}x,x⟩+1=0,z\in \mathbb{R},zeq{\alpha }_k,$$

которые содержат рассматриваемый эллипсоид при $z=0$. Для краткости положим
$$Q_z(x,y)=⟨(zI-A{)}^{-1}x,y⟩;Q_z(x)=Q_z(x,x),$$

и по аналогии с (3.3) введем
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=(1+Q_z(x))Q_z(y)-Q_z^2(x,y).$$

Конус касательных к квадрике $Q_z$, проходящих через точку $x$, определяется из соотношения $\{y\in {\mathbb{R}}^n,{\mathrm{\Phi }}_z=0\}$. Функции ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ — полиномы четвертой степени относительно $x,y$ и рациональные функции от $z$ с простыми полюсами в собственных значениях ${\alpha }_k$ матрицы $A$. Разложение на простые дроби имеет вид
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\sum _{k=1}^n\frac{F_k(x,y)}{z-{\alpha }_k},$$

где
$$F_k(x,y)=y_k^2+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ jeqk\end{array}}^n\frac{{(x_j{y}_k-x_k{y}_j)}^2}{{\alpha }_k-{\alpha }_j}.$$

Интегрируемость нашей системы зависит от того замечательного факта, состоящего в том, что эти функции коммутируют в смысле скобки Пуассона
$$\{F,G\}=\sum _{j=1}^n(F_{z_j}{G}_{y_j}-F_{y_j}{G}_{z_j}).$$

Предложение 3.1. Для любых двух чисел $z_1,z_2$ для функций ${\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}$, определенных соотношением (3.7), выполняется тождество
$$\{{\mathrm{\Phi }}_{z_1},{\mathrm{\Phi }}_{z_2}\}=0,$$

следовательно, для (3.9) также
$$\{F_j,F_k\}=0.$$

Это предложение проверяется непосредственными вычислениями (см. также Мозер [20], [21]). Следовательно, $F_j$ — интегралы системы (3.6). Поскольку
$$\sum _{k=1}^n{F}_k=|y{|}^2$$

также коммутирует с $F_k$, то $F_k$ являются интегралами для (3.2), и, следовательно, ограничения $F_k$ на касательное расслоение эллипсоида $Q_0$ — интегралы задачи о геодезических. В силу предложения 3.1 , они коммутируют друг с другом. Более того, $d{F}_j$ линейно независимы на некотором открытом множестве в ${\mathbb{R}}^{2n}$. То же самое, конечно, нельзя сказать об ограничении $F_j$ на касательное расслоение. В самом деле, выполняется равенство
$$\sum _{j=1}^n{\alpha }_j^{-1}{F}_j=-{\mathrm{\Phi }}_0(x,y)=0,$$

и в точке общего положения имеется $n-1$ независимых коммутирующих интегралов.

Это показывает, что задача о геодезических (3.1) интегрируема (на некотором открытом и плотном множестве касательного расслоения) и интегралы задаются через ограничения функций (3.9).

3. Изоспектральные деформации.
Интересно, что система
$$x_j^{\prime }=\frac{\partial }{\partial y_j}{\mathrm{\Phi }}_0,y_j^{\prime }=-\frac{\partial }{\partial x_j}{\mathrm{\Phi }}_0$$

может быть интерпретирована как изоспектральная деформация. Трудность состоит в том, чтобы найти матрицы $L$ и $B$, с которыми вышеприведенные уравнения могут быть записаны в виде (2.10). Находим
$$L=L(x,y)=P_y(A-x\otimes x)P_y,|y|>0,$$

где $(x\otimes x{)}_{ij}=x_i{x}_j$ — тензорное произведение и
$${\left(P_y\right)}_{ij}={\delta }_{ij}-y_i{y}_j|y{|}^{-2}$$
— проекция на ортогональное дополнение $y$. Следовательно, $L$ — симметричная матрица с $Ly=0$, т. е. $y$ — собственный вектор для $\lambda =0$. Пусть
$$B=-\left(\frac{x_i{y}_j-x_j{y}_i}{{\alpha }_i{\alpha }_j}\right),$$

кососимметричная матрица, диагональные элементы которой равны 0 , тогда дифференциальное уравнение $L^{\prime }=[B,L]$ действительно совпадает с (3.10). Необходимые вычисления см. в $[23,1]$.

Следовательно, собственные значения $L$ — интегралы для (3.10). Они связаны с уже построенными полиномами $F_k$ и ${\mathrm{\Phi }}_z$. Действительно,
$$\frac{|y{|}^2}{z}\cdot \frac{\det (z-L)}{\det (z-A)}={\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\sum _{k=1}^n\frac{F_k}{z-{\alpha }_k}.$$

Следовательно, собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n-1}({\lambda }_n=0)$ и $|y{|}^2$ можно рассматривать как функции от $F_k$, и поэтому они также коммутируют. Разумеется, эти функции хорошо определены не везде, а только на множествах, где ${\lambda }_j$ различны.

Листы слоения $F_k=c_k$ могут также быть определены следующим образом
$$|y{|}^2=\sum _{k=1}^n{c}_k;{\lambda }_j(x,y)={\beta }_j(j=1,\dots ,n-1)$$

где ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n-1}$ — нули функции
$$\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{z-{\alpha }_k}.$$

Другими словами, если ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n-1}$ различны, то эти листы задаются соотношениями
$$\{x,{y||y|}^2=\sum _{k=1}^n{c}_k;{\mathrm{\Phi }}_{{\beta }_1}=\dots ={\mathrm{\Phi }}_{{\beta }_{n-1}}=0\}.$$

Величины $(x,y)$ соответствуют прямым $x+sy$, которые являются общими касательными к квадрикам $Q_{{\beta }_j}(j=1,2,\dots ,n-1)$.

Рассмотрим систему (3.10), соответствующую геодезическому потоку на $Q_0$, когда $L$ имеет дополнительное нулевое собственное значение, например, ${\lambda }_{n-1}={\beta }_{n-1}=0$.

В этом случае можно взять $|y{|}^2,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n-2}$ в качестве $n-1$ коммутирующих интегралов на касательном расслоении эллипсоида. Можно ограничиться случаем $|y|=1$, т. е. единичной скоростью.

То, что ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n-1}$ являются интегралами, интерпретируется следующим образом: под действием потока (3.10) прямые, являющиеся общими касательными к $Q_{\beta 1},\dots ,Q_{{\beta }_{n-1}},{\beta }_{n-1}=0$ в начальный момент времени, остаются общими касательными в течение всего времени.

Легко проверить, что собственные векторы $L$ задаются нормалями $u_j$ к $Q_{{\beta }_j},j=1,\dots ,n-1$ в точках касания прямой $x+sy$ с $u_n=y$. Так как $L$ симметрична, мы получаем геометрический факт, что нормали к общей касательной к $Q_{{\beta }_j}(j=1,\dots ,n-1)$ взаимно перпендикулярны. Этот факт составляет хорошо известную теорему Шаля ${}^1$.

Ясно, что приведенные выше рассуждения применимы так же хорошо к геодезическому потоку на любой конфокальной квадрике. Дело в том, что продолжения этих потоков на ${\mathbb{R}}^{2n}$, как следует из предложения 3.1, коммутируют между собой.

4. Механическая задача К. Неймана.
Рассматриваемая здесь система описывает движение материальной точки на сфере
$$S^{n-1}=\{q\in {\mathbb{R}}^n,|q|=1\}$$

под влиянием силы $-Aq$, где $A$ — симметричная матрица с различными собственными значениями. Дифференциальные уравнения имеют вид
$$\frac{d^2}{d{t}^2}q=-Aq+uq$$

где $uq$ — нормальная сила, действующая так, чтобы $y$ оставалась на сфере, где
\[

u=\langle A q, q\rangle-|\dot{q}|^{2} .
\]

Эта система также является интегрируемой, и ее также можно рассматривать, продолжив до системы в ${\mathbb{R}}^{2n}$. В конце раздела 2 (см. (2.16), (2.17)) мы показали, что эти уравнения получаются при ограничении $X_H$ с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}⟨Aq,q⟩+\frac{1}{2}(|q{|}^2|p{|}^2-⟨q,p{⟩}^2)$$

на касательное расслоение $S^{n-1}$, поэтому достаточно показать, что общая система интегрируема.

Для этого мы снова можем использовать предложение 3.1. Разлагая рациональную функцию ${\mathrm{\Phi }}_z$ в ряд при $z=\mathrm{\infty }$, мы находим из (3.7)
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)=\frac{|y{|}^2}{z}+\frac{1}{z^2}\{⟨Ay,y⟩+|x{|}^2|y{|}^2-⟨x,y{⟩}^2\}+\dots ,$$

или
$${\mathrm{\Phi }}_z(p,q)=\frac{|q{|}^2}{z}+\frac{2H(q,p)}{z^2}+\dots .$$

Сравнивая это с (3.8), находим, что
$$H=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{F}_k(p,q).$$

Слсдоватсльно, фушции $F_k(p,q)$, опрсдслспис в (3.9) с точностью до замены $(x,y)$ на $(p,q)$ являются искомыми интегралами системы (3.13). Поскольку $|q{|}^2=\sum _{j=1}^n{F}_j$ также коммутирует с $F_k$, то система также интегрируема в силу аргументов, приведенных в конце раздела 2.

5. Связь между двумя системами через отображение Гаyeca.

Из приведенных выше формул видно, что геодезический поток на эллипсоиде $⟨A^{-1}x,x⟩=1$ и задача Неймана тесно связаны. Другая, более геометрическая, связь между этими задачами была найдена Г. Кнёррером [13], и здесь мы представим его результат.

Для связи задач Кнёррер использовал отображение Гаусса эллипсоида $Q_0$ на единичную сферу, которое переводит $x\in Q_0$ во внешнюю единичную нормаль
$$q=r{A}^{-1}x,\text{ где }r={\left|A^{-1}x\right|}^{-1}.$$

Помимо замены независимой переменной, это отображение Гаусса переводит решения (3.1) в решения (3.11), где $A$ следует заменить на $A^{-1}$. Для того, чтобы сделать это утверждение более точным, заменим независимую переменную $s$ в уравнении (3.1) на $t$ с помощью замены $s=\psi (t)$, так что система (3.1) примет вид
$$\ddot{x}=-u{\dot{\psi }}^2{A}^{-1}x+\frac{\ddot{\psi }}{\dot{\psi }}\dot{x},$$

где точка означает дифференцирование по $t$. Выберем $\psi (t)$ так, чтобы выполнялось $u{\dot{\psi }}^2=1$. Для краткости введем матрицу
$$B=A^{-1},$$

так что система примет вид
$$\ddot{x}=-Bx+b\dot{x},b=b(t)=\frac{\ddot{\psi }}{\dot{\psi }}.$$

После двух или трех дифференцирований соотношение $⟨Bx,x⟩=1$ для рассмотренного решения получим
$$\frac{⟨B\dot{x},\dot{x}⟩}{|Bx{|}^2}=1;b=2\frac{⟨Bx,B\dot{x}⟩}{|Bx{|}^2}.$$

Следовательно, (3.16) — геодезический поток на эллипсоиде в новой параметризации, а первое соотношение в (3.17) характеризует эту параметризацию, задавая скорость.

Теорема 3.2. Отображение Гаусса $Q_0\leftrightarrow S^{n-1}$ переводит решения (3.16), удовлетворяющие соотношениям
$$⟨Bx,x⟩=1,⟨Bx,\dot{x}⟩=0;⟨B\dot{x},\dot{x}⟩=|Bx{|}^2,$$

в решения задачи Неймана
$$\ddot{q}=-Bq+uq,u=⟨Bq,q⟩-|\dot{q}{|}^2,$$

удовлетворяюшие соотношениям
$$|q{|}^2=1,⟨q,\dot{q}⟩=0,{\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)=0.$$

Здесь ${\mathrm{\Psi }}_z(x,y)$ определена, как ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ в (3.7), но с заменой $A$ на $B=A^{-1}$.

Таким образом, параметризованные геодезические на эллипсоиде соответствуют особому случаю задачи Неймана, удовлетворяющему ограничению ${\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)=0$. Это ограничение естественно, так как ${\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)$ является интегралом движения. Заметьте, что (3.19) отличается от (3.11) тем, что $A$ заменено на $B=A^{-1}$.

Доказательство.
Дифференцирование (3.15) дает
$$\{\begin{array}{l}q=rBx,\\ \dot{q}=rB(\dot{x}+\frac{\dot{r}}{r}x)\frac{\dot{r}}{r}=-\frac{⟨Bx,B\dot{x}⟩}{|Bx{|}^2},\end{array}$$

из (3.16) получаем
$$\begin{array}{c}\ddot{q}=rB\ddot{x}+2\dot{r}B\dot{x}+\ddot{r}Bx=r(-B^{2}x+bB\dot{x})+2\dot{r}B\dot{x}+\ddot{r}Bx=\\ =-Bq+(2\dot{r}+rb)B\dot{x}+\frac{\ddot{r}}{r}q.\end{array}$$

Из выражений для $b$ и $\dot{r}/r$ в (3.17), (3.21) следует, что $2\dot{r}+rb=0$, следовательно
$$\ddot{q}=-Bq+\frac{\ddot{r}}{r}q$$

что и является искомым дифференциальным уравнением.
Отображение $(x,\dot{x})\to (q,\dot{q})$, заданное (3.21), является продолжением отображения Гаусса на касательное расслоение $Q_0$; очевидно, что оно является биекцией.
Вычисления показывают, что
$${\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)=(\frac{⟨B\dot{x},x⟩}{|Bx{|}^2}-1)⟨Aq,q⟩.$$

Таким образом, продолженное отображение взаимнооднозначно отображает область (3.18) на (3.20), что доказывает теорему.

Данная теорема показывает, что решения задачи о геодезических соответствуют решениям задачи Неймана. Обратное не совсем верно из-за ограничения ${\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)=0$. В то время как любая геодезическая после перепараметризации удовлетворяет (3.18), не каждое решение задачи Неймана удовлетворяет (3.20) даже после перепараметризации.

Например, стационарные решения (3.19), которые задаются собственными значениями матрицы $B$ и $\dot{q}=0$, удовлетворяют равенству
$${\mathrm{\Psi }}_0(0,q)=-⟨Aq,q⟩<0,$$

и следовательно, (3.20) не выполняется. Покажем, что тем или иным способом все «невырожденные» решения (3.19) могут быть связаны с геодезическими на квадрике
$$⟨(B-\mu )x,x⟩=1.$$

Назовем решение $q=q(t)$ уравнений (3.19) невырожденным, если
$${\mathrm{\Psi }}_z(\dot{q},q)=\frac{\prod _{j=1}^{n-1}(z-{\mu }_j)}{\det (z-B)}$$

имеет нуль, например ${\mu }_1$, который не является собственным значением $B$. После замены $B$ на $B-{\mu }_{1}I$, условие ${\mathrm{\Psi }}_{{\mu }_1}(\dot{q},q)=0$ принимает вид ${\mathrm{\Psi }}_0(\dot{q},q)=0$, и приведенная выше редукция возможна. Короче говоря, две задачи по смыслу эквивалентны.
Связь между интегралами
Задача о геодезических (3.1) обладает интегралами ${\mathrm{\Phi }}_z(x,y)$ (см. (3.8)), в то время как система (3.19) имеет интегралы ${\mathrm{\Psi }}_z(\dot{q},q)$; поэтому можно ожидать, что между этими выражениями при отображении Гаусса существует зависимость. Кнёррер нашел следующюю интересную связь: если выполняется (3.18) и ( $x,\dot{x}$ ) связаны с $q,\dot{q}$ продолженным отображением Гаусса (3.21), то
$${\mathrm{\Phi }}_z(x,\dot{x})=|Bx{|}^4{\mathrm{\Psi }}_w(\dot{q},q)\text{ где }w=\frac{1}{z}.$$

Используя то, что $y=x^{\prime }=u^{\frac{1}{2}}\dot{x}$ где $u$ берется из (3.1), мы можем записать это равенство также в виде
$$\frac{{\mathrm{\Phi }}_z(x,y)}{{\mathrm{\Phi }}_0^{\prime }(x,y)}={\mathrm{\Psi }}_w(\dot{q},q),w=z^{-1},$$

где штрих означает дифференцирование по $z$.

Для проверки этого соотношения введем сокращенные обозначения
$$P_w(p,q)=⟨(w-B{)}^{-1}p,q⟩,P_w(q)=P_w(q,q),$$

где $B=A^{-1}$. Учитывая, что
$$\rho =-\frac{\dot{r}}{r}=\frac{⟨Bx,B\dot{x}⟩}{|Bx{|}^2},$$

из (3.21) находим
$$q=rBx,\dot{q}+\rho q=rB\dot{x}$$

а из (3.18)
$$\{\begin{array}{l}{P}_0(q)=-⟨Aq,q⟩=-r^2⟨Bx,x⟩=-r^2,\\ P_0(q,\dot{q}+\rho q)=-⟨Aq,\dot{q}+\rho q⟩=-r^2⟨Bx,\dot{x}⟩=0,\\ P_0(\dot{q}+\rho q)=-r^2⟨B\dot{x},\dot{x}⟩=-1.\end{array}$$

Кроме того, равенство
$$(w-B{)}^{-1}-B^{-1}=-(z-A{)}^{-1}{A}^2,\text{ где }B=A^{-1};w=z^{-1}$$

дает
$$\{\begin{array}{l}{P}_w(q)-P_0(q)=-Q_z(Aq)=-r^2{Q}_z(x),\\ P_w(q,\dot{q}+\rho q)-P_0(q,\dot{q}+\rho q)=-r^2{Q}_z(x,\dot{x}),\\ P_w(\dot{q}+\rho q)-P_0(\dot{q}+\rho q)=-r^2{Q}_z(\dot{x}).\end{array}$$

Используя (3.23), имеем
$$\{\begin{array}{l}{P}_w(q)=-r^2(1+Q_z(x))\\ P_w(q,\dot{q}+\rho q)=-r^2{Q}_z(x,\dot{x})\\ P_w(\dot{q}+\rho q)+1=-r^2{Q}_z(\dot{x})\end{array}$$

следовательно,
$$\begin{array}{c}{P}_w(q)(1+P_w(\dot{q}+\rho q))-{(P_w(q,\dot{q}+\rho q))}^2=\\ =r^4\{(1+Q_z(x))Q_z(\dot{x})-Q_z(x,\dot{x}{)}^2\}=r^4{\mathrm{\Phi }}_z(x,\dot{x}),\end{array}$$

что приводит к требуемому соотношению, так как
$${\mathrm{\Psi }}_w(\dot{q},q)=P_w(q)(1+P_w(\dot{q}))-P_w(q,\dot{q}{)}^2={\mathrm{\Psi }}_w(\dot{q}+\rho q,q).$$

6. Риманова поверхность.

Обсудим интегрирование задачи Неймана (3.11), для которой были найдены интегралы
$${\mathrm{\Phi }}_z(\dot{q},q)=\sum _{k=1}^n\frac{F_k(\dot{q},q)}{z-{\alpha }_k}$$

и рассмотрим решения на интегральных многообразиях
$$F_k(\dot{q},q)=c_k$$

при $c_1,c_2,\dots ,c_n$ заданных так, что
$$|q{|}^2=\sum _{k=1}^n{c}_k=1.$$

Кроме того, будем рассматривать только «общий» случай, где рациональная функция
$$\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{z-{\alpha }_k}$$

имеет $n-1$ различных действительных нулей, скажем ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n-1}$. Иначе говоря, ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n-1}$ различны и действительны. Такое рассмотрение не включает только особые орбиты, которые мы рассмотрим позднее. Окажется, что предположение
$${\alpha }_1<{\beta }_1<{\alpha }_2<\dots <{\beta }_{n-1}<{\alpha }_n,$$

или, что эквивалентно, $c_k>0$, в действительности не является ограничением.

Вспоминая условие $⟨q,\dot{q}⟩=0$, рассмотрим поток на ( $n-1$ )-мерном многообразии
$$\mathcal{M}=\{q,\dot{q}\mid <q,\dot{q}>=0;F_k(\dot{q},q)=c_k,k=1,2,\dots ,n\}.$$

Обычно для параметризации сферы используют эллиптические координаты ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_{n-1}$. Они определены как нули функции
$$Q_z(q)=\sum _{j=1}^n\frac{q_j^2}{z-{\alpha }_j}.$$

Полагая
$$m(z)=\prod _{j=1}^{n-1}(z-{\mu }_j);a(z)=\det (z-A),b(z)=\prod _{j=1}^{n-1}(z-{\beta }_j),$$

с учетом равенства $|q|=1$ получаем
$$Q_z(q)=\frac{m(z)}{a(z)}.$$

Применяя вычеты, можно определить
$$q_j^2=\frac{m(\alpha j)}{{\alpha }^{\prime }\left({\alpha }_j\right)}$$
т.е. мы восстанавливаем $q_j$ по ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_{n-1}$ с точностью до знака. Для вычисления $\dot{q}$ используем равенство
$${\mathrm{\Phi }}_z(\dot{q},q)=Q_z(q)(Q_z(\dot{q})+1)-Q_z(\dot{q},q{)}^2=-Q_z(\dot{q},q{)}^2$$

при $z={\mu }_j$, откуда следует,
$$Q_z(\dot{q},q)=\sqrt{-{\mathrm{\Phi }}_z(\dot{q},q)}=\sqrt{-\frac{b(z)}{a(z)}}$$

при $z={\mu }_j,j=1,2,\dots ,n-1$. Таким образом можно построить $n-1$ линейных уравнений по $\dot{q}$, которые вместе с равенством $⟨\dot{q},q⟩=0$ позволяют восстановить $\dot{q}$. Поэтому ${\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_{n-1}$ могут рассматриваться как параметры на многообразии $\mathcal{M}$.

Для Неймана выбор этих переменных был продиктован возможностью разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Это уже обсуждалось раньше (см. [23]), и мы просто заметим, что дифференциальные уравнения принимают неявный вид
$$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{{\mu }_k^{n-j-1}{\dot{\mu }}_k}{2\sqrt{-R\left({\mu }_k\right)}}={\delta }_{j,1}\text{ при }j=1,2,\dots ,n-1$$

где
$$R(z)=a(z)b(z).$$

Эти формулы связаны с отображением Якоби римановой поверхности
$$w^2=-4R(z).$$

Риманова поверхность представляет собой гиперэллиптическую кривую рода $n-1$ с точками ветвления в ${\alpha }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n-1},{\alpha }_n$. Отображение Якоби, задаваемое уравнениями
$$\sum _{k=1}^{n-1}{\int }_{(0,0)}^{({\mu }_k,w_k)}\frac{z^{n-j-1}}{2\sqrt{-R(z)}}dz=s_j,$$

переводит класс дивизоров, определенный выражением $({\mu }_k,2\sqrt{-R\left({\mu }_k\right)})$ $(k=1,2,\dots ,n-1)$, в точку $s\in C^{n-1}/\mathrm{\Gamma }$, где $\mathrm{\Gamma }$ — периодическая решетка дифференциалов первого рода. Поэтому дифференциальные уравнения принимают в этих переменных вид
$${\dot{s}}_j={\delta }_{j,1},\text{ или }{s}_j={\delta }_{j,1}t+s_j(0).$$

В этих переменных получаем линейный поток, который показывает, что линейная структура этой интегрируемой гамильтоновой системы согласуется с линейной структурой теоремы Абеля.

В частности, мы заключаем, что решения в общем случае различных ${\alpha }_j,{\beta }_k$ будут квазипериодическими с самое большее $n-1$ частотами.
Алгебраические аспекты этой и аналогичных задач см. в $[1,2]$.