1. Геодезический поток на эллипсоиде.
В этой части мы обсудим две классические интегрируемые системы, которые играют центральную роль в обратной спектральной тео-

рии (см. раздел 5). Первая из них – это геодезический поток на эллипсоиде ${ }^{1}$
\[
\left\{x \in \mathbb{R}^{n},\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1\right\},
\]

где $A=A^{T}$ — положительно определенная симметричная матрица с различными собственными значениями $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{n}$. Дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}=-
u A^{-1} x
\]

где коэффициент $
u$ определяется так, чтобы
\[
\begin{array}{c}
0=\frac{1}{2}\left(\frac{d}{d s}\right)^{2}\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=\left\langle A^{-1} x, x^{\prime \prime}\right\rangle+\left\langle A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime}\right\rangle= \\
=-
u\left|A^{-1} x\right|^{2}+\left\langle A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime}\right\rangle,
\end{array}
\]
T. e.
\[

u=\left|A^{-1} x\right|^{-2}\left\langle A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime}\right\rangle .
\]

Покажем, что эта система интегрируема и что интегралы могут быть записаны как полиномы четвертой степени от $x, x^{\prime}=d x / d s$.

Для этого полезно представить эту систему, ограничивая «свободный» гамильтониан $H=\frac{1}{2}|y|^{2}$ на касательное расслоение эллипсоида
\[
\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1, \quad\left\langle A^{-1} x, y\right\rangle=0 .
\]

Используя формулы предыдущего раздела, находим
\[
H^{*}=\frac{1}{2}|y|^{2}-\lambda_{1}\left(\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle-1\right)-\lambda_{2}\left\langle A^{-1} x, y\right\rangle,
\]

где
\[
\lambda_{1}=-\frac{1}{2}\left|A^{-1} x\right|^{-2}\left\langle A^{-1} y, y\right\rangle ; \quad \lambda_{2}=-\left|A^{-1} x\right|^{-2}\left\langle A^{-1} x, y\right\rangle,
\]

или
\[
H^{*}=\frac{1}{2}|y|^{2}+\frac{\mu}{2} \Phi_{0}(x, y)-\frac{\mu}{2}\left\langle A^{-1} x, y\right\rangle^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mu=\left|A^{-1} x\right|^{-2} ; \\
\Phi_{0}(x, y)=\left(\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle-1\right)\left\langle A^{-1} y, y\right\rangle-\left\langle A^{-1} x, y\right\rangle^{2} .
\end{array}
\]

Отбросим последний член в (3.2), т. к. он исчезает со своими производными на касательном расслоении эллипсоида. Легко проверить, что ограниченная система имеет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d s}=H_{y}^{*}=y, \\
\frac{d y}{d s}=-H_{x}^{*}=-\mu<A^{-1} y, y>A^{-1} x,
\end{array}\right.
\]

и, следовательно, совпадает с (3.1).
Преимущество такого расширения системы от потока на касательном расслоении эллипсоида до $\mathbb{R}^{2 n}$ состоит в том, что мы не используем неудобные локальные координаты на эллипсоиде. Кроме того, расширенная система $X_{H}$ имеет интересную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим значение функции $\Phi_{0}(x, y)$ из (3.3). Легко проверить, что конус
\[
\left\{y \in \mathbb{R}^{n} \mid \Phi_{0}(x, y)=0\right\}
\]

при сдвиге по $x$ представляет конус векторов, касательных к эллипсоиду и проходящих через $x$.
При рассмотрении векторного поля
\[
X_{H^{*}}=\frac{1}{2} X_{|y|^{2}}+\frac{\mu}{2} X_{\Phi_{0}}
\]

полезно заметить, что два составляющих его слагаемых коммутируют, т. к.
\[
\left\{|y|^{2}, \Phi_{0}\right\}=0,
\]

поэтому достаточно рассмотреть два векторных поля отдельно. Первое слагаемое описывает свободный поток
\[
(x, y) \rightarrow(x+\varkappa y, y),
\]

а второе задается соотношением
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=\mu \Phi_{0 y}, \\
\dot{y}=-\mu \Phi_{0 x},
\end{array}\right.
\]

которое мы ограничим на изоэнергетическую поверхность $\Phi_{0}=0$. В силу замечания, приведенного после соотношения (3.5), с $(x, y)$ можно связать касательную к эллипсоиду, проходящую через $x$ в направлении $y$.

Уравнение (3.6) на поверхности $\Phi_{0}=0$ описывает движение касательных к эллипсоиду, когда точка касания движется вдоль геодезической, а точка $x$ движется перпендикулярно к касательной; первое слагаемое сдвигает точку $x$ вдоль касательной, например, сдвигая ее назад к точке касания. Поэтому достаточно изучить (3.6) и с помощью замены переменных можно приравнять $\mu$ к единице. Более полное обсуждение см. $[23]$.

2. Конфокальные квадрики, построение интегралов.
Основой для понимания геодезических на эллипсоиде служит семейство конфокальных квадрик $Q_{z}$
\[
\left\langle(z I-A)^{-1} x, x\right\rangle+1=0, \quad z \in \mathbb{R}, \quad z
eq \alpha_{k},
\]

которые содержат рассматриваемый эллипсоид при $z=0$. Для краткости положим
\[
Q_{z}(x, y)=\left\langle(z I-A)^{-1} x, y\right\rangle ; \quad Q_{z}(x)=Q_{z}(x, x),
\]

и по аналогии с (3.3) введем
\[
\Phi_{z}(x, y)=\left(1+Q_{z}(x)\right) Q_{z}(y)-Q_{z}^{2}(x, y) .
\]

Конус касательных к квадрике $Q_{z}$, проходящих через точку $x$, определяется из соотношения $\left\{y \in \mathbb{R}^{n}, \Phi_{z}=0\right\}$. Функции $\Phi_{z}(x, y)$ – полиномы четвертой степени относительно $x, y$ и рациональные функции от $z$ с простыми полюсами в собственных значениях $\alpha_{k}$ матрицы $A$. Разложение на простые дроби имеет вид
\[
\Phi_{z}(x, y)=\sum_{k=1}^{n} \frac{F_{k}(x, y)}{z-\alpha_{k}},
\]

где
\[
F_{k}(x, y)=y_{k}^{2}+\sum_{\substack{j=1 \\ j
eq k}}^{n} \frac{\left(x_{j} y_{k}-x_{k} y_{j}\right)^{2}}{\alpha_{k}-\alpha_{j}} .
\]

Интегрируемость нашей системы зависит от того замечательного факта, состоящего в том, что эти функции коммутируют в смысле скобки Пуассона
\[
\{F, G\}=\sum_{j=1}^{n}\left(F_{z_{j}} G_{y_{j}}-F_{y_{j}} G_{z_{j}}\right) .
\]

Предложение 3.1. Для любых двух чисел $z_{1}, z_{2}$ для функций $\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}$, определенных соотношением (3.7), выполняется тождество
\[
\left\{\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}\right\}=0,
\]

следовательно, для (3.9) также
\[
\left\{F_{j}, F_{k}\right\}=0 .
\]

Это предложение проверяется непосредственными вычислениями (см. также Мозер [20], [21]). Следовательно, $F_{j}$ – интегралы системы (3.6). Поскольку
\[
\sum_{k=1}^{n} F_{k}=|y|^{2}
\]

также коммутирует с $F_{k}$, то $F_{k}$ являются интегралами для (3.2), и, следовательно, ограничения $F_{k}$ на касательное расслоение эллипсоида $Q_{0}$ – интегралы задачи о геодезических. В силу предложения 3.1 , они коммутируют друг с другом. Более того, $d F_{j}$ линейно независимы на некотором открытом множестве в $\mathbb{R}^{2 n}$. То же самое, конечно, нельзя сказать об ограничении $F_{j}$ на касательное расслоение. В самом деле, выполняется равенство
\[
\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{-1} F_{j}=-\Phi_{0}(x, y)=0,
\]

и в точке общего положения имеется $n-1$ независимых коммутирующих интегралов.

Это показывает, что задача о геодезических (3.1) интегрируема (на некотором открытом и плотном множестве касательного расслоения) и интегралы задаются через ограничения функций (3.9).

3. Изоспектральные деформации.
Интересно, что система
\[
x_{j}^{\prime}=\frac{\partial}{\partial y_{j}} \Phi_{0}, \quad y_{j}^{\prime}=-\frac{\partial}{\partial x_{j}} \Phi_{0}
\]

может быть интерпретирована как изоспектральная деформация. Трудность состоит в том, чтобы найти матрицы $L$ и $B$, с которыми вышеприведенные уравнения могут быть записаны в виде (2.10). Находим
\[
L=L(x, y)=P_{y}(A-x \otimes x) P_{y}, \quad|y|>0,
\]

где $(x \otimes x)_{i j}=x_{i} x_{j}$ – тензорное произведение и
\[
\left(P_{y}\right)_{i j}=\delta_{i j}-y_{i} y_{j}|y|^{-2}
\]
– проекция на ортогональное дополнение $y$. Следовательно, $L$ – симметричная матрица с $L y=0$, т. е. $y$ – собственный вектор для $\lambda=0$. Пусть
\[
B=-\left(\frac{x_{i} y_{j}-x_{j} y_{i}}{\alpha_{i} \alpha_{j}}\right),
\]

кососимметричная матрица, диагональные элементы которой равны 0 , тогда дифференциальное уравнение $L^{\prime}=[B, L]$ действительно совпадает с (3.10). Необходимые вычисления см. в $[23,1]$.

Следовательно, собственные значения $L$ – интегралы для (3.10). Они связаны с уже построенными полиномами $F_{k}$ и $\Phi_{z}$. Действительно,
\[
\frac{|y|^{2}}{z} \cdot \frac{\operatorname{det}(z-L)}{\operatorname{det}(z-A)}=\Phi_{z}(x, y)=\sum_{k=1}^{n} \frac{F_{k}}{z-\alpha_{k}} .
\]

Следовательно, собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}\left(\lambda_{n}=0\right)$ и $|y|^{2}$ можно рассматривать как функции от $F_{k}$, и поэтому они также коммутируют. Разумеется, эти функции хорошо определены не везде, а только на множествах, где $\lambda_{j}$ различны.

Листы слоения $F_{k}=c_{k}$ могут также быть определены следующим образом
\[
|y|^{2}=\sum_{k=1}^{n} c_{k} ; \quad \lambda_{j}(x, y)=\beta_{j} \quad(j=1, \ldots, n-1)
\]

где $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n-1}$ – нули функции
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{k}}{z-\alpha_{k}} .
\]

Другими словами, если $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}$ различны, то эти листы задаются соотношениями
\[
\left\{x,\left.y|| y\right|^{2}=\sum_{k=1}^{n} c_{k} ; \Phi_{\beta_{1}}=\ldots=\Phi_{\beta_{n-1}}=0\right\} .
\]

Величины $(x, y)$ соответствуют прямым $x+s y$, которые являются общими касательными к квадрикам $Q_{\beta_{j}}(j=1,2, \ldots, n-1)$.

Рассмотрим систему (3.10), соответствующую геодезическому потоку на $Q_{0}$, когда $L$ имеет дополнительное нулевое собственное значение, например, $\lambda_{n-1}=\beta_{n-1}=0$.

В этом случае можно взять $|y|^{2}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-2}$ в качестве $n-1$ коммутирующих интегралов на касательном расслоении эллипсоида. Можно ограничиться случаем $|y|=1$, т. е. единичной скоростью.

То, что $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}$ являются интегралами, интерпретируется следующим образом: под действием потока (3.10) прямые, являющиеся общими касательными к $Q_{\beta 1}, \ldots, Q_{\beta_{n-1}}, \beta_{n-1}=0$ в начальный момент времени, остаются общими касательными в течение всего времени.

Легко проверить, что собственные векторы $L$ задаются нормалями $
u_{j}$ к $Q_{\beta_{j}}, j=1, \ldots, n-1$ в точках касания прямой $x+s y$ с $
u_{n}=y$. Так как $L$ симметрична, мы получаем геометрический факт, что нормали к общей касательной к $Q_{\beta_{j}}(j=1, \ldots, n-1)$ взаимно перпендикулярны. Этот факт составляет хорошо известную теорему Шаля ${ }^{1}$.

Ясно, что приведенные выше рассуждения применимы так же хорошо к геодезическому потоку на любой конфокальной квадрике. Дело в том, что продолжения этих потоков на $\mathbb{R}^{2 n}$, как следует из предложения 3.1, коммутируют между собой.

4. Механическая задача К. Неймана.
Рассматриваемая здесь система описывает движение материальной точки на сфере
\[
S^{n-1}=\left\{q \in \mathbb{R}^{n},|q|=1\right\}
\]

под влиянием силы $-A q$, где $A$ – симметричная матрица с различными собственными значениями. Дифференциальные уравнения имеют вид
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} q=-A q+
u q
\]

где $
u q$ – нормальная сила, действующая так, чтобы $y$ оставалась на сфере, где
\[

u=\langle A q, q\rangle-|\dot{q}|^{2} .
\]

Эта система также является интегрируемой, и ее также можно рассматривать, продолжив до системы в $\mathbb{R}^{2 n}$. В конце раздела 2 (см. (2.16), (2.17)) мы показали, что эти уравнения получаются при ограничении $X_{H}$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\langle A q, q\rangle+\frac{1}{2}\left(|q|^{2}|p|^{2}-\langle q, p\rangle^{2}\right)
\]

на касательное расслоение $S^{n-1}$, поэтому достаточно показать, что общая система интегрируема.

Для этого мы снова можем использовать предложение 3.1. Разлагая рациональную функцию $\Phi_{z}$ в ряд при $z=\infty$, мы находим из (3.7)
\[
\Phi_{z}(x, y)=\frac{|y|^{2}}{z}+\frac{1}{z^{2}}\left\{\langle A y, y\rangle+|x|^{2}|y|^{2}-\langle x, y\rangle^{2}\right\}+\ldots,
\]

или
\[
\Phi_{z}(p, q)=\frac{|q|^{2}}{z}+\frac{2 H(q, p)}{z^{2}}+\ldots .
\]

Сравнивая это с (3.8), находим, что
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} F_{k}(p, q) .
\]

Слсдоватсльно, фушции $F_{k}(p, q)$, опрсдслспис в (3.9) с точностью до замены $(x, y)$ на $(p, q)$ являются искомыми интегралами системы (3.13). Поскольку $|q|^{2}=\sum_{j=1}^{n} F_{j}$ также коммутирует с $F_{k}$, то система также интегрируема в силу аргументов, приведенных в конце раздела 2.

5. Связь между двумя системами через отображение Гаyeca.

Из приведенных выше формул видно, что геодезический поток на эллипсоиде $\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1$ и задача Неймана тесно связаны. Другая, более геометрическая, связь между этими задачами была найдена Г. Кнёррером [13], и здесь мы представим его результат.

Для связи задач Кнёррер использовал отображение Гаусса эллипсоида $Q_{0}$ на единичную сферу, которое переводит $x \in Q_{0}$ во внешнюю единичную нормаль
\[
q=r A^{-1} x, \quad \text { где } \quad r=\left|A^{-1} x\right|^{-1} .
\]

Помимо замены независимой переменной, это отображение Гаусса переводит решения (3.1) в решения (3.11), где $A$ следует заменить на $A^{-1}$. Для того, чтобы сделать это утверждение более точным, заменим независимую переменную $s$ в уравнении (3.1) на $t$ с помощью замены $s=\psi(t)$, так что система (3.1) примет вид
\[
\ddot{x}=-
u \dot{\psi}^{2} A^{-1} x+\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}} \dot{x},
\]

где точка означает дифференцирование по $t$. Выберем $\psi(t)$ так, чтобы выполнялось $
u \dot{\psi}^{2}=1$. Для краткости введем матрицу
\[
B=A^{-1},
\]

так что система примет вид
\[
\ddot{x}=-B x+b \dot{x}, \quad b=b(t)=\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}} .
\]

После двух или трех дифференцирований соотношение $\langle B x, x\rangle=1$ для рассмотренного решения получим
\[
\frac{\langle B \dot{x}, \dot{x}\rangle}{|B x|^{2}}=1 ; \quad b=2 \frac{\langle B x, B \dot{x}\rangle}{|B x|^{2}} .
\]

Следовательно, (3.16) – геодезический поток на эллипсоиде в новой параметризации, а первое соотношение в (3.17) характеризует эту параметризацию, задавая скорость.

Теорема 3.2. Отображение Гаусса $Q_{0} \leftrightarrow S^{n-1}$ переводит решения (3.16), удовлетворяющие соотношениям
\[
\langle B x, x\rangle=1, \quad\langle B x, \dot{x}\rangle=0 ; \quad\langle B \dot{x}, \dot{x}\rangle=|B x|^{2},
\]

в решения задачи Неймана
\[
\ddot{q}=-B q+
u q, \quad
u=\langle B q, q\rangle-|\dot{q}|^{2},
\]

удовлетворяюшие соотношениям
\[
|q|^{2}=1, \quad\langle q, \dot{q}\rangle=0, \quad \Psi_{0}(\dot{q}, q)=0 .
\]

Здесь $\Psi_{z}(x, y)$ определена, как $\Phi_{z}(x, y)$ в (3.7), но с заменой $A$ на $B=A^{-1}$.

Таким образом, параметризованные геодезические на эллипсоиде соответствуют особому случаю задачи Неймана, удовлетворяющему ограничению $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$. Это ограничение естественно, так как $\Psi_{0}(\dot{q}, q)$ является интегралом движения. Заметьте, что (3.19) отличается от (3.11) тем, что $A$ заменено на $B=A^{-1}$.

Доказательство.
Дифференцирование (3.15) дает
\[
\left\{\begin{array}{l}
q=r B x, \\
\dot{q}=r B\left(\dot{x}+\frac{\dot{r}}{r} x\right) \quad \frac{\dot{r}}{r}=-\frac{\langle B x, B \dot{x}\rangle}{|B x|^{2}},
\end{array}\right.
\]

из (3.16) получаем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}=r B \ddot{x}+2 \dot{r} B \dot{x}+\ddot{r} B x=r\left(-B^{2} x+b B \dot{x}\right)+2 \dot{r} B \dot{x}+\ddot{r} B x= \\
=-B q+(2 \dot{r}+r b) B \dot{x}+\frac{\ddot{r}}{r} q .
\end{array}
\]

Из выражений для $b$ и $\dot{r} / r$ в (3.17), (3.21) следует, что $2 \dot{r}+r b=0$, следовательно
\[
\ddot{q}=-B q+\frac{\ddot{r}}{r} q
\]

что и является искомым дифференциальным уравнением.
Отображение $(x, \dot{x}) \rightarrow(q, \dot{q})$, заданное (3.21), является продолжением отображения Гаусса на касательное расслоение $Q_{0}$; очевидно, что оно является биекцией.
Вычисления показывают, что
\[
\Psi_{0}(\dot{q}, q)=\left(\frac{\langle B \dot{x}, x\rangle}{|B x|^{2}}-1\right)\langle A q, q\rangle .
\]

Таким образом, продолженное отображение взаимнооднозначно отображает область (3.18) на (3.20), что доказывает теорему.

Данная теорема показывает, что решения задачи о геодезических соответствуют решениям задачи Неймана. Обратное не совсем верно из-за ограничения $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$. В то время как любая геодезическая после перепараметризации удовлетворяет (3.18), не каждое решение задачи Неймана удовлетворяет (3.20) даже после перепараметризации.

Например, стационарные решения (3.19), которые задаются собственными значениями матрицы $B$ и $\dot{q}=0$, удовлетворяют равенству
\[
\Psi_{0}(0, q)=-\langle A q, q\rangle<0,
\]

и следовательно, (3.20) не выполняется. Покажем, что тем или иным способом все «невырожденные» решения (3.19) могут быть связаны с геодезическими на квадрике
\[
\langle(B-\mu) x, x\rangle=1 .
\]

Назовем решение $q=q(t)$ уравнений (3.19) невырожденным, если
\[
\Psi_{z}(\dot{q}, q)=\frac{\prod_{j=1}^{n-1}\left(z-\mu_{j}\right)}{\operatorname{det}(z-B)}
\]

имеет нуль, например $\mu_{1}$, который не является собственным значением $B$. После замены $B$ на $B-\mu_{1} I$, условие $\Psi_{\mu_{1}}(\dot{q}, q)=0$ принимает вид $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$, и приведенная выше редукция возможна. Короче говоря, две задачи по смыслу эквивалентны.
Связь между интегралами
Задача о геодезических (3.1) обладает интегралами $\Phi_{z}(x, y)$ (см. (3.8)), в то время как система (3.19) имеет интегралы $\Psi_{z}(\dot{q}, q)$; поэтому можно ожидать, что между этими выражениями при отображении Гаусса существует зависимость. Кнёррер нашел следующюю интересную связь: если выполняется (3.18) и ( $x, \dot{x}$ ) связаны с $q, \dot{q}$ продолженным отображением Гаусса (3.21), то
\[
\Phi_{z}(x, \dot{x})=|B x|^{4} \Psi_{w}(\dot{q}, q) \quad \text { где } \quad w=\frac{1}{z} .
\]

Используя то, что $y=x^{\prime}=
u^{\frac{1}{2}} \dot{x}$ где $
u$ берется из (3.1), мы можем записать это равенство также в виде
\[
\frac{\Phi_{z}(x, y)}{\Phi_{0}^{\prime}(x, y)}=\Psi_{w}(\dot{q}, q), \quad w=z^{-1},
\]

где штрих означает дифференцирование по $z$.

Для проверки этого соотношения введем сокращенные обозначения
\[
P_{w}(p, q)=\left\langle(w-B)^{-1} p, q\right\rangle, \quad P_{w}(q)=P_{w}(q, q),
\]

где $B=A^{-1}$. Учитывая, что
\[
\rho=-\frac{\dot{r}}{r}=\frac{\langle B x, B \dot{x}\rangle}{|B x|^{2}},
\]

из (3.21) находим
\[
q=r B x, \quad \dot{q}+\rho q=r B \dot{x}
\]

а из (3.18)
\[
\left\{\begin{array}{l}
P_{0}(q)=-\langle A q, q\rangle=-r^{2}\langle B x, x\rangle=-r^{2}, \\
P_{0}(q, \dot{q}+\rho q)=-\langle A q, \dot{q}+\rho q\rangle=-r^{2}\langle B x, \dot{x}\rangle=0, \\
P_{0}(\dot{q}+\rho q)=-r^{2}\langle B \dot{x}, \dot{x}\rangle=-1 .
\end{array}\right.
\]

Кроме того, равенство
\[
(w-B)^{-1}-B^{-1}=-(z-A)^{-1} A^{2}, \quad \text { где } \quad B=A^{-1} ; \quad w=z^{-1}
\]

дает
\[
\left\{\begin{array}{l}
P_{w}(q)-P_{0}(q)=-Q_{z}(A q)=-r^{2} Q_{z}(x), \\
P_{w}(q, \dot{q}+\rho q)-P_{0}(q, \dot{q}+\rho q)=-r^{2} Q_{z}(x, \dot{x}), \\
P_{w}(\dot{q}+\rho q)-P_{0}(\dot{q}+\rho q)=-r^{2} Q_{z}(\dot{x}) .
\end{array}\right.
\]

Используя (3.23), имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
P_{w}(q)=-r^{2}\left(1+Q_{z}(x)\right) \\
P_{w}(q, \dot{q}+\rho q)=-r^{2} Q_{z}(x, \dot{x}) \\
P_{w}(\dot{q}+\rho q)+1=-r^{2} Q_{z}(\dot{x})
\end{array}\right.
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{c}
P_{w}(q)\left(1+P_{w}(\dot{q}+\rho q)\right)-\left(P_{w}(q, \dot{q}+\rho q)\right)^{2}= \\
=r^{4}\left\{\left(1+Q_{z}(x)\right) Q_{z}(\dot{x})-Q_{z}(x, \dot{x})^{2}\right\}=r^{4} \Phi_{z}(x, \dot{x}),
\end{array}
\]

что приводит к требуемому соотношению, так как
\[
\Psi_{w}(\dot{q}, q)=P_{w}(q)\left(1+P_{w}(\dot{q})\right)-P_{w}(q, \dot{q})^{2}=\Psi_{w}(\dot{q}+\rho q, q) .
\]

6. Риманова поверхность.

Обсудим интегрирование задачи Неймана (3.11), для которой были найдены интегралы
\[
\Phi_{z}(\dot{q}, q)=\sum_{k=1}^{n} \frac{F_{k}(\dot{q}, q)}{z-\alpha_{k}}
\]

и рассмотрим решения на интегральных многообразиях
\[
F_{k}(\dot{q}, q)=c_{k}
\]

при $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ заданных так, что
\[
|q|^{2}=\sum_{k=1}^{n} c_{k}=1 .
\]

Кроме того, будем рассматривать только «общий» случай, где рациональная функция
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{k}}{z-\alpha_{k}}
\]

имеет $n-1$ различных действительных нулей, скажем $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}$. Иначе говоря, $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n-1}$ различны и действительны. Такое рассмотрение не включает только особые орбиты, которые мы рассмотрим позднее. Окажется, что предположение
\[
\alpha_{1}<\beta_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\beta_{n-1}<\alpha_{n},
\]

или, что эквивалентно, $c_{k}>0$, в действительности не является ограничением.

Вспоминая условие $\langle q, \dot{q}\rangle=0$, рассмотрим поток на ( $n-1$ )-мерном многообразии
\[
\mathscr{M}=\left\{q, \dot{q} \mid<q, \dot{q}>=0 ; F_{k}(\dot{q}, q)=c_{k}, k=1,2, \ldots, n\right\} .
\]

Обычно для параметризации сферы используют эллиптические координаты $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n-1}$. Они определены как нули функции
\[
Q_{z}(q)=\sum_{j=1}^{n} \frac{q_{j}^{2}}{z-\alpha_{j}} .
\]

Полагая
\[
m(z)=\prod_{j=1}^{n-1}\left(z-\mu_{j}\right) ; \quad a(z)=\operatorname{det}(z-A), \quad b(z)=\prod_{j=1}^{n-1}\left(z-\beta_{j}\right),
\]

с учетом равенства $|q|=1$ получаем
\[
Q_{z}(q)=\frac{m(z)}{a(z)} .
\]

Применяя вычеты, можно определить
\[
q_{j}^{2}=\frac{m(\alpha j)}{\alpha^{\prime}\left(\alpha_{j}\right)}
\]
т.е. мы восстанавливаем $q_{j}$ по $\mu_{1}, \ldots, \mu_{n-1}$ с точностью до знака. Для вычисления $\dot{q}$ используем равенство
\[
\Phi_{z}(\dot{q}, q)=Q_{z}(q)\left(Q_{z}(\dot{q})+1\right)-Q_{z}(\dot{q}, q)^{2}=-Q_{z}(\dot{q}, q)^{2}
\]

при $z=\mu_{j}$, откуда следует,
\[
Q_{z}(\dot{q}, q)=\sqrt{-\Phi_{z}(\dot{q}, q)}=\sqrt{-\frac{b(z)}{a(z)}}
\]

при $z=\mu_{j}, j=1,2, \ldots, n-1$. Таким образом можно построить $n-1$ линейных уравнений по $\dot{q}$, которые вместе с равенством $\langle\dot{q}, q\rangle=0$ позволяют восстановить $\dot{q}$. Поэтому $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n-1}$ могут рассматриваться как параметры на многообразии $\mathscr{M}$.

Для Неймана выбор этих переменных был продиктован возможностью разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Это уже обсуждалось раньше (см. [23]), и мы просто заметим, что дифференциальные уравнения принимают неявный вид
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\mu_{k}^{n-j-1} \dot{\mu}_{k}}{2 \sqrt{-R\left(\mu_{k}\right)}}=\delta_{j, 1} \quad \text { при } \quad j=1,2, \ldots, n-1
\]

где
\[
R(z)=a(z) b(z) .
\]

Эти формулы связаны с отображением Якоби римановой поверхности
\[
w^{2}=-4 R(z) .
\]

Риманова поверхность представляет собой гиперэллиптическую кривую рода $n-1$ с точками ветвления в $\alpha_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}, \alpha_{n}$. Отображение Якоби, задаваемое уравнениями
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \int_{(0,0)}^{\left(\mu_{k}, w_{k}\right)} \frac{z^{n-j-1}}{2 \sqrt{-R(z)}} d z=s_{j},
\]

переводит класс дивизоров, определенный выражением $\left(\mu_{k}, 2 \sqrt{-R\left(\mu_{k}\right)}\right)$ $(k=1,2, \ldots, n-1)$, в точку $s \in C^{n-1} / \Gamma$, где $\Gamma$ – периодическая решетка дифференциалов первого рода. Поэтому дифференциальные уравнения принимают в этих переменных вид
\[
\dot{s}_{j}=\delta_{j, 1}, \quad \text { или } s_{j}=\delta_{j, 1} t+s_{j}(0) .
\]

В этих переменных получаем линейный поток, который показывает, что линейная структура этой интегрируемой гамильтоновой системы согласуется с линейной структурой теоремы Абеля.

В частности, мы заключаем, что решения в общем случае различных $\alpha_{j}, \beta_{k}$ будут квазипериодическими с самое большее $n-1$ частотами.
Алгебраические аспекты этой и аналогичных задач см. в $[1,2]$.