Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Геодезический поток на эллипсоиде. рии (см. раздел 5). Первая из них — это геодезический поток на эллипсоиде ${ }^{1}$ где $A=A^{T}$ — положительно определенная симметричная матрица с различными собственными значениями $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{n}$. Дифференциальные уравнения имеют вид где коэффициент $ u=\left|A^{-1} x\right|^{-2}\left\langle A^{-1} x^{\prime}, x^{\prime}\right\rangle . Покажем, что эта система интегрируема и что интегралы могут быть записаны как полиномы четвертой степени от $x, x^{\prime}=d x / d s$. Для этого полезно представить эту систему, ограничивая «свободный» гамильтониан $H=\frac{1}{2}|y|^{2}$ на касательное расслоение эллипсоида Используя формулы предыдущего раздела, находим где или где Отбросим последний член в (3.2), т. к. он исчезает со своими производными на касательном расслоении эллипсоида. Легко проверить, что ограниченная система имеет вид и, следовательно, совпадает с (3.1). при сдвиге по $x$ представляет конус векторов, касательных к эллипсоиду и проходящих через $x$. полезно заметить, что два составляющих его слагаемых коммутируют, т. к. поэтому достаточно рассмотреть два векторных поля отдельно. Первое слагаемое описывает свободный поток а второе задается соотношением которое мы ограничим на изоэнергетическую поверхность $\Phi_{0}=0$. В силу замечания, приведенного после соотношения (3.5), с $(x, y)$ можно связать касательную к эллипсоиду, проходящую через $x$ в направлении $y$. Уравнение (3.6) на поверхности $\Phi_{0}=0$ описывает движение касательных к эллипсоиду, когда точка касания движется вдоль геодезической, а точка $x$ движется перпендикулярно к касательной; первое слагаемое сдвигает точку $x$ вдоль касательной, например, сдвигая ее назад к точке касания. Поэтому достаточно изучить (3.6) и с помощью замены переменных можно приравнять $\mu$ к единице. Более полное обсуждение см. $[23]$. 2. Конфокальные квадрики, построение интегралов. которые содержат рассматриваемый эллипсоид при $z=0$. Для краткости положим и по аналогии с (3.3) введем Конус касательных к квадрике $Q_{z}$, проходящих через точку $x$, определяется из соотношения $\left\{y \in \mathbb{R}^{n}, \Phi_{z}=0\right\}$. Функции $\Phi_{z}(x, y)$ — полиномы четвертой степени относительно $x, y$ и рациональные функции от $z$ с простыми полюсами в собственных значениях $\alpha_{k}$ матрицы $A$. Разложение на простые дроби имеет вид где Интегрируемость нашей системы зависит от того замечательного факта, состоящего в том, что эти функции коммутируют в смысле скобки Пуассона Предложение 3.1. Для любых двух чисел $z_{1}, z_{2}$ для функций $\Phi_{z_{1}}, \Phi_{z_{2}}$, определенных соотношением (3.7), выполняется тождество следовательно, для (3.9) также Это предложение проверяется непосредственными вычислениями (см. также Мозер [20], [21]). Следовательно, $F_{j}$ — интегралы системы (3.6). Поскольку также коммутирует с $F_{k}$, то $F_{k}$ являются интегралами для (3.2), и, следовательно, ограничения $F_{k}$ на касательное расслоение эллипсоида $Q_{0}$ — интегралы задачи о геодезических. В силу предложения 3.1 , они коммутируют друг с другом. Более того, $d F_{j}$ линейно независимы на некотором открытом множестве в $\mathbb{R}^{2 n}$. То же самое, конечно, нельзя сказать об ограничении $F_{j}$ на касательное расслоение. В самом деле, выполняется равенство и в точке общего положения имеется $n-1$ независимых коммутирующих интегралов. Это показывает, что задача о геодезических (3.1) интегрируема (на некотором открытом и плотном множестве касательного расслоения) и интегралы задаются через ограничения функций (3.9). 3. Изоспектральные деформации. может быть интерпретирована как изоспектральная деформация. Трудность состоит в том, чтобы найти матрицы $L$ и $B$, с которыми вышеприведенные уравнения могут быть записаны в виде (2.10). Находим где $(x \otimes x)_{i j}=x_{i} x_{j}$ — тензорное произведение и кососимметричная матрица, диагональные элементы которой равны 0 , тогда дифференциальное уравнение $L^{\prime}=[B, L]$ действительно совпадает с (3.10). Необходимые вычисления см. в $[23,1]$. Следовательно, собственные значения $L$ — интегралы для (3.10). Они связаны с уже построенными полиномами $F_{k}$ и $\Phi_{z}$. Действительно, Следовательно, собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}\left(\lambda_{n}=0\right)$ и $|y|^{2}$ можно рассматривать как функции от $F_{k}$, и поэтому они также коммутируют. Разумеется, эти функции хорошо определены не везде, а только на множествах, где $\lambda_{j}$ различны. Листы слоения $F_{k}=c_{k}$ могут также быть определены следующим образом где $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n-1}$ — нули функции Другими словами, если $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}$ различны, то эти листы задаются соотношениями Величины $(x, y)$ соответствуют прямым $x+s y$, которые являются общими касательными к квадрикам $Q_{\beta_{j}}(j=1,2, \ldots, n-1)$. Рассмотрим систему (3.10), соответствующую геодезическому потоку на $Q_{0}$, когда $L$ имеет дополнительное нулевое собственное значение, например, $\lambda_{n-1}=\beta_{n-1}=0$. В этом случае можно взять $|y|^{2}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-2}$ в качестве $n-1$ коммутирующих интегралов на касательном расслоении эллипсоида. Можно ограничиться случаем $|y|=1$, т. е. единичной скоростью. То, что $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n-1}$ являются интегралами, интерпретируется следующим образом: под действием потока (3.10) прямые, являющиеся общими касательными к $Q_{\beta 1}, \ldots, Q_{\beta_{n-1}}, \beta_{n-1}=0$ в начальный момент времени, остаются общими касательными в течение всего времени. Легко проверить, что собственные векторы $L$ задаются нормалями $ Ясно, что приведенные выше рассуждения применимы так же хорошо к геодезическому потоку на любой конфокальной квадрике. Дело в том, что продолжения этих потоков на $\mathbb{R}^{2 n}$, как следует из предложения 3.1, коммутируют между собой. 4. Механическая задача К. Неймана. под влиянием силы $-A q$, где $A$ — симметричная матрица с различными собственными значениями. Дифференциальные уравнения имеют вид где $ u=\langle A q, q\rangle-|\dot{q}|^{2} . Эта система также является интегрируемой, и ее также можно рассматривать, продолжив до системы в $\mathbb{R}^{2 n}$. В конце раздела 2 (см. (2.16), (2.17)) мы показали, что эти уравнения получаются при ограничении $X_{H}$ с гамильтонианом на касательное расслоение $S^{n-1}$, поэтому достаточно показать, что общая система интегрируема. Для этого мы снова можем использовать предложение 3.1. Разлагая рациональную функцию $\Phi_{z}$ в ряд при $z=\infty$, мы находим из (3.7) или Сравнивая это с (3.8), находим, что Слсдоватсльно, фушции $F_{k}(p, q)$, опрсдслспис в (3.9) с точностью до замены $(x, y)$ на $(p, q)$ являются искомыми интегралами системы (3.13). Поскольку $|q|^{2}=\sum_{j=1}^{n} F_{j}$ также коммутирует с $F_{k}$, то система также интегрируема в силу аргументов, приведенных в конце раздела 2. 5. Связь между двумя системами через отображение Гаyeca. Из приведенных выше формул видно, что геодезический поток на эллипсоиде $\left\langle A^{-1} x, x\right\rangle=1$ и задача Неймана тесно связаны. Другая, более геометрическая, связь между этими задачами была найдена Г. Кнёррером [13], и здесь мы представим его результат. Для связи задач Кнёррер использовал отображение Гаусса эллипсоида $Q_{0}$ на единичную сферу, которое переводит $x \in Q_{0}$ во внешнюю единичную нормаль Помимо замены независимой переменной, это отображение Гаусса переводит решения (3.1) в решения (3.11), где $A$ следует заменить на $A^{-1}$. Для того, чтобы сделать это утверждение более точным, заменим независимую переменную $s$ в уравнении (3.1) на $t$ с помощью замены $s=\psi(t)$, так что система (3.1) примет вид где точка означает дифференцирование по $t$. Выберем $\psi(t)$ так, чтобы выполнялось $ так что система примет вид После двух или трех дифференцирований соотношение $\langle B x, x\rangle=1$ для рассмотренного решения получим Следовательно, (3.16) — геодезический поток на эллипсоиде в новой параметризации, а первое соотношение в (3.17) характеризует эту параметризацию, задавая скорость. Теорема 3.2. Отображение Гаусса $Q_{0} \leftrightarrow S^{n-1}$ переводит решения (3.16), удовлетворяющие соотношениям в решения задачи Неймана удовлетворяюшие соотношениям Здесь $\Psi_{z}(x, y)$ определена, как $\Phi_{z}(x, y)$ в (3.7), но с заменой $A$ на $B=A^{-1}$. Таким образом, параметризованные геодезические на эллипсоиде соответствуют особому случаю задачи Неймана, удовлетворяющему ограничению $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$. Это ограничение естественно, так как $\Psi_{0}(\dot{q}, q)$ является интегралом движения. Заметьте, что (3.19) отличается от (3.11) тем, что $A$ заменено на $B=A^{-1}$. Доказательство. из (3.16) получаем Из выражений для $b$ и $\dot{r} / r$ в (3.17), (3.21) следует, что $2 \dot{r}+r b=0$, следовательно что и является искомым дифференциальным уравнением. Таким образом, продолженное отображение взаимнооднозначно отображает область (3.18) на (3.20), что доказывает теорему. Данная теорема показывает, что решения задачи о геодезических соответствуют решениям задачи Неймана. Обратное не совсем верно из-за ограничения $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$. В то время как любая геодезическая после перепараметризации удовлетворяет (3.18), не каждое решение задачи Неймана удовлетворяет (3.20) даже после перепараметризации. Например, стационарные решения (3.19), которые задаются собственными значениями матрицы $B$ и $\dot{q}=0$, удовлетворяют равенству и следовательно, (3.20) не выполняется. Покажем, что тем или иным способом все «невырожденные» решения (3.19) могут быть связаны с геодезическими на квадрике Назовем решение $q=q(t)$ уравнений (3.19) невырожденным, если имеет нуль, например $\mu_{1}$, который не является собственным значением $B$. После замены $B$ на $B-\mu_{1} I$, условие $\Psi_{\mu_{1}}(\dot{q}, q)=0$ принимает вид $\Psi_{0}(\dot{q}, q)=0$, и приведенная выше редукция возможна. Короче говоря, две задачи по смыслу эквивалентны. Используя то, что $y=x^{\prime}= где штрих означает дифференцирование по $z$. Для проверки этого соотношения введем сокращенные обозначения где $B=A^{-1}$. Учитывая, что из (3.21) находим а из (3.18) Кроме того, равенство дает Используя (3.23), имеем следовательно, что приводит к требуемому соотношению, так как 6. Риманова поверхность. Обсудим интегрирование задачи Неймана (3.11), для которой были найдены интегралы и рассмотрим решения на интегральных многообразиях при $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ заданных так, что Кроме того, будем рассматривать только «общий» случай, где рациональная функция имеет $n-1$ различных действительных нулей, скажем $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}$. Иначе говоря, $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n-1}$ различны и действительны. Такое рассмотрение не включает только особые орбиты, которые мы рассмотрим позднее. Окажется, что предположение или, что эквивалентно, $c_{k}>0$, в действительности не является ограничением. Вспоминая условие $\langle q, \dot{q}\rangle=0$, рассмотрим поток на ( $n-1$ )-мерном многообразии Обычно для параметризации сферы используют эллиптические координаты $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n-1}$. Они определены как нули функции Полагая с учетом равенства $|q|=1$ получаем Применяя вычеты, можно определить при $z=\mu_{j}$, откуда следует, при $z=\mu_{j}, j=1,2, \ldots, n-1$. Таким образом можно построить $n-1$ линейных уравнений по $\dot{q}$, которые вместе с равенством $\langle\dot{q}, q\rangle=0$ позволяют восстановить $\dot{q}$. Поэтому $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n-1}$ могут рассматриваться как параметры на многообразии $\mathscr{M}$. Для Неймана выбор этих переменных был продиктован возможностью разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Это уже обсуждалось раньше (см. [23]), и мы просто заметим, что дифференциальные уравнения принимают неявный вид где Эти формулы связаны с отображением Якоби римановой поверхности Риманова поверхность представляет собой гиперэллиптическую кривую рода $n-1$ с точками ветвления в $\alpha_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n-1}, \alpha_{n}$. Отображение Якоби, задаваемое уравнениями переводит класс дивизоров, определенный выражением $\left(\mu_{k}, 2 \sqrt{-R\left(\mu_{k}\right)}\right)$ $(k=1,2, \ldots, n-1)$, в точку $s \in C^{n-1} / \Gamma$, где $\Gamma$ — периодическая решетка дифференциалов первого рода. Поэтому дифференциальные уравнения принимают в этих переменных вид В этих переменных получаем линейный поток, который показывает, что линейная структура этой интегрируемой гамильтоновой системы согласуется с линейной структурой теоремы Абеля. В частности, мы заключаем, что решения в общем случае различных $\alpha_{j}, \beta_{k}$ будут квазипериодическими с самое большее $n-1$ частотами.
|
1 |
Оглавление
|