Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Пусть где мы не указываем в явном виде зависимость от $t$. Это будет $(n \times n)$-матрица, в которой выделим элемент в последней строке и в последнем столбце и таким образом определим функцию $f(\lambda)$. Поскольку $L$ – симметричная матрица, $f(\lambda)$ – аналитическая функция при $\operatorname{Im} \lambda Эта функция также является рациональной и обладает простыми полюсами в собственных значениях $\lambda_{k}$ и, следовательно, допускает разложение в виде элементарных дробей с положительным вычетом $r_{k}^{2}$. Кроме того, при $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеем $\lambda f(\lambda) \rightarrow 1$ и Таким образом, отображение $\phi$ ставит в соответствие каждой точке в области точку в области Мы утверждаем, что это отображение $\phi: D \rightarrow \Lambda$ взаимно однозначно и является отображением на. Рассмотрим его как замену координат и запишем дифференциальные уравнения в новых переменных. То, что отображение $\phi$ имеет обратное $\phi^{-1}: \Lambda \rightarrow D$, соответствует обратному методу спектральной теории, который в простой форме, описанной здесь, восходит к Стилтьесу [3]. Он основывается на том, что $f(\lambda)$ допускает разложение в цепную дробь где $a_{k}, b_{k}$ в точности совпадают с соответствующими величинами в $L$. где $\Delta_{n}$ – характеристический полином матрицы $(\lambda I-L)$, см. (2.8), а $\Delta_{k}-(k \times k)$-минор, получаемый вычеркиванием последних $n-k$ строк и столбцов матрицы $(\lambda I-L)$. Раскладывая $\Delta_{k}$ по последней строке, находим при $k=3,4, \ldots, n$. Это утверждение справедливо также при $k=1,2$, если положить Следовательно, отношения $s_{k}=\Delta_{k} / \Delta_{k-1}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению которое приводит к конечной цепной дроби для $s_{n}=\frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}}=f^{-1}(\lambda)$. Таким образом, представление (3.5) следует из (3.6), которое мы сейчас докажем. Для этого вычислим последний столбец Можно показать, что Действительно, $z$ является решением уравнения и, используя рекуррентное соотношение, легко проверить (3.8). Таким образом, что и требовалось доказать. Мы подошли к «обратной задаче», решение которой требуется для нахождения отображения $\phi^{-1}$. При помощи представления (3.2) каждой точке в $\Lambda$ сопоставим функцию $f(\lambda)$. Тогда $\operatorname{Im} f>0$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и $\lambda f(\Lambda) \rightarrow 1$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Таким образом, где $A$ – вещественная константа, а $g(\lambda)$ – рациональная функция, которая удовлетворяет соотношению Следовательно, $g(\lambda)$ имеет только простые полюса на вещественной оси, и их число равно $n-1$. Легко вычислить, что $-A=\sum_{1} \lambda_{k} r_{k}^{2}, \lambda g(\lambda) \rightarrow$ $\rightarrow \sum \lambda_{k}^{2} r_{k}^{2}-\left(\sum \lambda_{k} r_{k}^{2}\right)^{2}>0$. Таким образом, $g=B f_{n-1}$ с $B>0$, и $\lambda f_{n-1} \rightarrow 1$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Отсюда по индукции можно получить цепную дробь вида (3.5) с $A=-b_{n}$, $B=a_{n-1}^{2}>0$, и т.д. Это показывает, что $\phi-$ взаимнооднозначное отображение $D$ на $\Lambda$. Наконец, выразим дифференциальные уравнения (2.2) в новых переменных. Для этого из (2.7) получим уравнение Для последнего элемента $R_{n n}=f$ в $R$ найдем уравнение Поскольку $R_{n, n-1}$ совпадает с $z_{n-1}$ в (3.8), то будем иметь Эта формула позволяет определить искомые дифференциальные уравнения. Поскольку мы уже установили, что $d \lambda_{k} / d t=0$, имеем Сравнивая вычеты последних двух выражений, можно получить Используя также рекуррентное соотношение (3.7), имеем или, так как $\Delta_{n}\left(\lambda_{k}\right)=0$, следовательно, Аналогичное сравнение вычетов функций дает отсюда Так как $\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1$, можно показать, что и учитывая, как мы видели выше, $b_{n}=\sum \lambda_{k} r_{k}^{2}$, имеем которое дает дифференциальное уравнение (1.4) из первого раздела. Эти дифференциальные уравнения представляют векторное поле, определенное градиентом функции $V(r)$ (см. (1.4 $\left.{ }^{\prime}\right)$ ) и ограниченное на часть единичной сферы, лежащей в положительном квадранте. Таким образом, каждое решение при $t \rightarrow+\infty$ приближается к минимуму: $r(t) \rightarrow e_{1}$, а при $t \rightarrow-\infty$ к максимуму: $r(t) \rightarrow e_{n}$. Конечно, можно дать также аналитическое представление и для решений, поскольку они получаются проецированием линейных дифференциальных уравнений $\dot{r}_{k}=-\lambda_{k} r_{k}$ на единичную сферу. Таким образом, получим Чтобы обобщить наш результат, рассмотрим $r_{k}$ как однородные положительные переменные и положим, соответственно, Из (3.5) и явного представления для цепных дробей очевидно, что $a_{k}^{2}$, $b_{k}$ – рациональные функции от $r_{j}, \lambda_{j}$ степени 0 по $r_{j}$. Легко проверить также, что $a_{k}, b_{k}$ имеют первый порядок по $\lambda_{j}$. Тогда имеем следующее рациональное преобразование множества $\lambda_{1}<\ldots<\lambda_{n} ; r_{k}>0$ в область $D$. Если мы отождествим два пропорциональных вектора, то это отображение будет взаимнооднозначным. В однородных координатах $r_{k}$ дифференциальные уравнения становятся линейными Таким образом, решения системы (2.2) могут быть представлены как рациональные функции от $n$ констант $\lambda_{j}$ и $n$ показательных функций $e^{-\lambda_{j} t}$. Как мы уже упоминали в разделе 1, в рассматриваемом случае поток будет особенно простым, поскольку отсутствуют периодические, или рекуррентные, решения. В более интересном случае периодических граничных условий имеются квазипериодические решения, и задача нахождения координат на интегральных поверхностях, которые являются торами, значительно сложнее. Основная проблема – это «обратная задача», которая состоит в восстановлении матрицы $L$, являющейся циклической, по ее собственным значениям и соответствующе выбранным другим значениям. Эта проблема, по-видимому, пока в полной мере не решена.
|
1 |
Оглавление
|