Пусть
\[
R(\lambda)=(\lambda I-L)^{-1},
\]

где мы не указываем в явном виде зависимость от $t$. Это будет $(n \times n)$-матрица, в которой выделим элемент в последней строке и в последнем столбце
\[
R_{n n}(\lambda)=\left(R(\lambda) e_{n}, e_{n}\right)=f(\lambda), \quad \text { где } \quad e_{n}=(0,0, \ldots, 0,1),
\]

и таким образом определим функцию $f(\lambda)$. Поскольку $L$ — симметричная матрица, $f(\lambda)$ — аналитическая функция при $\operatorname{Im} \lambda
eq 0$. Кроме того,
\[
\operatorname{Im} f(\lambda)>0 \quad \text { при } \quad \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]

Эта функция также является рациональной и обладает простыми полюсами в собственных значениях $\lambda_{k}$ и, следовательно, допускает разложение в виде элементарных дробей
\[
f(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}}, \quad r_{k}>0,
\]

с положительным вычетом $r_{k}^{2}$. Кроме того, при $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеем $\lambda f(\lambda) \rightarrow 1$ и
\[
\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1 .
\]

Таким образом, отображение $\phi$ ставит в соответствие каждой точке в области
\[
D=\left\{a_{1}, \ldots, a_{n-1}, b_{1}, \ldots, b_{n} \quad \text { с } \quad a_{k}>0\right\}
\]

точку в области
\[
\begin{array}{rll}
\Lambda=\left\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, r_{1}, \ldots, r_{n} \quad\right. \text { с } & \lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{n}, \\
& \left.\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1, r_{k}>0\right\} .
\end{array}
\]

Мы утверждаем, что это отображение $\phi: D \rightarrow \Lambda$ взаимно однозначно и является отображением на. Рассмотрим его как замену координат и запишем дифференциальные уравнения в новых переменных. То, что отображение $\phi$ имеет обратное $\phi^{-1}: \Lambda \rightarrow D$, соответствует обратному методу спектральной теории, который в простой форме, описанной здесь, восходит к Стилтьесу [3]. Он основывается на том, что $f(\lambda)$ допускает разложение в цепную дробь

где $a_{k}, b_{k}$ в точности совпадают с соответствующими величинами в $L$.
Для доказательства установим тождество
\[
f(\lambda)=\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}},
\]

где $\Delta_{n}$ — характеристический полином матрицы $(\lambda I-L)$, см. (2.8), а $\Delta_{k}-(k \times k)$-минор, получаемый вычеркиванием последних $n-k$ строк и столбцов матрицы $(\lambda I-L)$. Раскладывая $\Delta_{k}$ по последней строке, находим
\[
\Delta_{k}=\left(\lambda-b_{k}\right) \Delta_{k-1}-a_{k-1}^{2} \Delta_{k-2}
\]

при $k=3,4, \ldots, n$. Это утверждение справедливо также при $k=1,2$, если положить
\[
\Delta_{-1}=0, \quad \Delta_{0}=1 .
\]

Следовательно, отношения $s_{k}=\Delta_{k} / \Delta_{k-1}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению
\[
s_{k}=\lambda-b_{k}-\frac{a_{k-1}^{2}}{s_{k-1}} \quad \text { при } \quad k=2,3, \ldots, n
\]

которое приводит к конечной цепной дроби для $s_{n}=\frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}}=f^{-1}(\lambda)$.

Таким образом, представление (3.5) следует из (3.6), которое мы сейчас докажем. Для этого вычислим последний столбец
\[
R e_{n}=z \quad \text { в } \quad R=R(\lambda) .
\]

Можно показать, что
\[
\left\{\begin{aligned}
z_{k+1} & =\frac{\Delta_{k}}{\Delta_{n}} a_{k+1} \ldots a_{n-1} \quad \text { при } \quad k=0,1, \ldots, n-2, \\
z_{n} & =\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}} .
\end{aligned}\right.
\]

Действительно, $z$ является решением уравнения
\[
(\lambda I-L) z=e_{n},
\]

и, используя рекуррентное соотношение, легко проверить (3.8). Таким образом,
\[
f(\lambda)=R_{n n}=z_{n}=\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}},
\]

что и требовалось доказать.
Для данной матрицы $L$ мы можем вычислить рациональную функцию $f(\lambda)$, которая имеет $n$ действительных простых полюсов с положительным вычетом, так как $\operatorname{Im} f(\lambda)>0$ при $\lambda>0$. Упорядочивая эти полюса по величине, мы определим отображение $\phi$, переводящее $D$ в $\Lambda$ (см. (3.3), (3.4)).

Мы подошли к «обратной задаче», решение которой требуется для нахождения отображения $\phi^{-1}$. При помощи представления (3.2) каждой точке в $\Lambda$ сопоставим функцию $f(\lambda)$. Тогда $\operatorname{Im} f>0$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и $\lambda f(\Lambda) \rightarrow 1$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Таким образом,
\[
\frac{1}{f(\lambda)}=\lambda+A-g(\lambda)
\]

где $A$ — вещественная константа, а $g(\lambda)$ — рациональная функция, которая удовлетворяет соотношению
\[
\operatorname{Im} g(\lambda)=\operatorname{Im} \lambda+\frac{\operatorname{Im} f}{|f|^{2}}>0 \text { при } \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]

Следовательно, $g(\lambda)$ имеет только простые полюса на вещественной оси, и их число равно $n-1$. Легко вычислить, что $-A=\sum_{1} \lambda_{k} r_{k}^{2}, \lambda g(\lambda) \rightarrow$ $\rightarrow \sum \lambda_{k}^{2} r_{k}^{2}-\left(\sum \lambda_{k} r_{k}^{2}\right)^{2}>0$. Таким образом, $g=B f_{n-1}$ с $B>0$, и $\lambda f_{n-1} \rightarrow 1$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Отсюда
\[
f(\lambda)=\frac{1}{\lambda+A-B f_{n-1}},
\]

по индукции можно получить цепную дробь вида (3.5) с $A=-b_{n}$, $B=a_{n-1}^{2}>0$, и т.д. Это показывает, что $\phi-$ взаимнооднозначное отображение $D$ на $\Lambda$.

Наконец, выразим дифференциальные уравнения (2.2) в новых переменных. Для этого из (2.7) получим уравнение
\[
\frac{d}{d t} R=R \frac{d L}{d t} R=B R-R B .
\]

Для последнего элемента $R_{n n}=f$ в $R$ найдем уравнение
\[
\frac{d f}{d t}=\left(e_{n},(B R-R B) e_{n}\right)=-2\left(e_{n}, R a_{n-1} e_{n-1}\right)=-2 a_{n-1} R_{n, n-1} .
\]

Поскольку $R_{n, n-1}$ совпадает с $z_{n-1}$ в (3.8), то будем иметь
\[
\frac{d f}{d t}=-2 a_{n-1}^{2} \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n}} .
\]

Эта формула позволяет определить искомые дифференциальные уравнения. Поскольку мы уже установили, что $d \lambda_{k} / d t=0$, имеем
\[
\frac{d f}{d t}=\sum_{k=1}^{n} \frac{2 r_{k} \dot{r}_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

Сравнивая вычеты последних двух выражений, можно получить
\[
2 r_{k} \dot{r}_{k}=-\left.2 a_{n-1}^{2} \frac{\Delta_{n-2}}{\Delta_{n}^{\prime}}\right|_{\lambda=\lambda_{k}} .
\]

Используя также рекуррентное соотношение (3.7), имеем
\[
\Delta_{n}=\left(\lambda-b_{n}\right) \Delta_{n-1}-a_{n-1}^{2} \Delta_{n-2}
\]

или, так как $\Delta_{n}\left(\lambda_{k}\right)=0$,
\[
\Delta_{n-2}\left(\lambda_{k}\right)=\frac{\lambda_{k}-b_{n}}{a_{n-1}^{2}} \Delta_{n-1}\left(\lambda_{k}\right),
\]

следовательно,
\[
2 r_{k} \dot{r}_{k}=-\left.2\left(\lambda_{k}-b_{n}\right) \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}^{\prime}}\right|_{\lambda=\lambda_{k}} .
\]

Аналогичное сравнение вычетов функций
\[
f(\lambda)=\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}}
\]

дает
\[
\left.\frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n}^{\prime}}\right|_{\lambda=\lambda_{k}}=r_{k}^{2},
\]

отсюда
\[
2 r_{k} \dot{r}_{k}=-2\left(\lambda_{k}-b_{n}\right) r_{k}^{2} .
\]

Так как $\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}=1$, можно показать, что
\[
0=\sum r_{k} \dot{r}_{k}=-\sum \lambda_{k} r_{k}^{2}+b_{n},
\]

и учитывая, как мы видели выше, $b_{n}=\sum \lambda_{k} r_{k}^{2}$, имеем
\[
\dot{r}_{k}=-\left(\lambda_{k}-\sum \lambda_{j} r_{j}^{2}\right) r_{k},
\]

которое дает дифференциальное уравнение (1.4) из первого раздела. Эти дифференциальные уравнения представляют векторное поле, определенное градиентом функции $V(r)$ (см. (1.4 $\left.{ }^{\prime}\right)$ ) и ограниченное на часть единичной сферы, лежащей в положительном квадранте. Таким образом, каждое решение при $t \rightarrow+\infty$ приближается к минимуму: $r(t) \rightarrow e_{1}$, а при $t \rightarrow-\infty$ к максимуму: $r(t) \rightarrow e_{n}$. Конечно, можно дать также аналитическое представление и для решений, поскольку они получаются проецированием линейных дифференциальных уравнений

$\dot{r}_{k}=-\lambda_{k} r_{k}$ на единичную сферу. Таким образом, получим
\[
\left\{\begin{array}{c}
\lambda_{k}(t)=\lambda_{k}(0) \\
r_{k}^{2}(t)=\frac{r_{k}^{2}(0) e^{-2 \lambda_{k} t}}{\sum_{j=1}^{n} r_{j}^{2}(0) e^{-2 \lambda_{j} t}}
\end{array}\right.
\]

Чтобы обобщить наш результат, рассмотрим $r_{k}$ как однородные положительные переменные и положим, соответственно,
\[
f(\lambda)=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{r_{k}^{2}}{\lambda-\lambda_{k}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}\right)^{-1} .
\]

Из (3.5) и явного представления для цепных дробей очевидно, что $a_{k}^{2}$, $b_{k}$ — рациональные функции от $r_{j}, \lambda_{j}$ степени 0 по $r_{j}$. Легко проверить также, что $a_{k}, b_{k}$ имеют первый порядок по $\lambda_{j}$. Тогда имеем следующее рациональное преобразование
\[
\begin{aligned}
a_{k}^{2} & =A_{k}(r, \lambda), & k & =1,2, \ldots, n-1 \\
b_{k}^{2} & =B_{k}(r, \lambda), & k & =1,2, \ldots, n
\end{aligned}
\]

множества $\lambda_{1}<\ldots<\lambda_{n} ; r_{k}>0$ в область $D$. Если мы отождествим два пропорциональных вектора, то это отображение будет взаимнооднозначным.

В однородных координатах $r_{k}$ дифференциальные уравнения становятся линейными
\[
\frac{d \lambda_{k}}{d t}=0 ; \quad \frac{d r_{k}}{d t}=-\lambda_{k} r_{k} .
\]

Таким образом, решения системы (2.2) могут быть представлены как рациональные функции от $n$ констант $\lambda_{j}$ и $n$ показательных функций $e^{-\lambda_{j} t}$.

Как мы уже упоминали в разделе 1, в рассматриваемом случае поток будет особенно простым, поскольку отсутствуют периодические, или рекуррентные, решения. В более интересном случае периодических граничных условий имеются квазипериодические решения, и задача нахождения координат на интегральных поверхностях, которые

являются торами, значительно сложнее. Основная проблема — это «обратная задача», которая состоит в восстановлении матрицы $L$, являющейся циклической, по ее собственным значениям и соответствующе выбранным другим значениям. Эта проблема, по-видимому, пока в полной мере не решена.