Пусть
$$R(\lambda )=(\lambda I-L{)}^{-1},$$

где мы не указываем в явном виде зависимость от $t$. Это будет $(n\times n)$-матрица, в которой выделим элемент в последней строке и в последнем столбце
$$R_{nn}(\lambda )=(R(\lambda )e_n,e_n)=f(\lambda ),\text{ где }{e}_n=(0,0,\dots ,0,1),$$

и таким образом определим функцию $f(\lambda )$. Поскольку $L$ — симметричная матрица, $f(\lambda )$ — аналитическая функция при $\mathrm{Im}\lambda eq0$. Кроме того,
$$\mathrm{Im}f(\lambda )>0\text{ при }\mathrm{Im}\lambda >0.$$

Эта функция также является рациональной и обладает простыми полюсами в собственных значениях ${\lambda }_k$ и, следовательно, допускает разложение в виде элементарных дробей
$$f(\lambda )=\sum _{k=1}^n\frac{r_k^2}{\lambda -{\lambda }_k},r_k>0,$$

с положительным вычетом $r_k^2$. Кроме того, при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ имеем $\lambda f(\lambda )\to 1$ и
$$\sum _{k=1}^n{r}_k^2=1.$$

Таким образом, отображение $\varphi$ ставит в соответствие каждой точке в области
$$D=\{a_1,\dots ,a_{n-1},b_1,\dots ,b_n\text{ с }{a}_k>0\}$$

точку в области
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }=\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,r_1,\dots ,r_n\text{ с }& {\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n,\\ & \sum _{k=1}^n{r}_k^2=1,r_k>0\}.\end{array}$$

Мы утверждаем, что это отображение $\varphi :D\to \mathrm{\Lambda }$ взаимно однозначно и является отображением на. Рассмотрим его как замену координат и запишем дифференциальные уравнения в новых переменных. То, что отображение $\varphi$ имеет обратное ${\varphi }^{-1}:\mathrm{\Lambda }\to D$, соответствует обратному методу спектральной теории, который в простой форме, описанной здесь, восходит к Стилтьесу [3]. Он основывается на том, что $f(\lambda )$ допускает разложение в цепную дробь

где $a_k,b_k$ в точности совпадают с соответствующими величинами в $L$.
Для доказательства установим тождество
$$f(\lambda )=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n},$$

где ${\mathrm{\Delta }}_n$ — характеристический полином матрицы $(\lambda I-L)$, см. (2.8), а ${\mathrm{\Delta }}_k-(k\times k)$-минор, получаемый вычеркиванием последних $n-k$ строк и столбцов матрицы $(\lambda I-L)$. Раскладывая ${\mathrm{\Delta }}_k$ по последней строке, находим
$${\mathrm{\Delta }}_k=(\lambda -b_k){\mathrm{\Delta }}_{k-1}-a_{k-1}^2{\mathrm{\Delta }}_{k-2}$$

при $k=3,4,\dots ,n$. Это утверждение справедливо также при $k=1,2$, если положить
$${\mathrm{\Delta }}_{-1}=0,{\mathrm{\Delta }}_0=1.$$

Следовательно, отношения $s_k={\mathrm{\Delta }}_k/{\mathrm{\Delta }}_{k-1}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению
$$s_k=\lambda -b_k-\frac{a_{k-1}^2}{s_{k-1}}\text{ при }k=2,3,\dots ,n$$

которое приводит к конечной цепной дроби для $s_n=\frac{{\mathrm{\Delta }}_n}{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}=f^{-1}(\lambda )$.

Таким образом, представление (3.5) следует из (3.6), которое мы сейчас докажем. Для этого вычислим последний столбец
$$R{e}_n=z\text{ в }R=R(\lambda ).$$

Можно показать, что
$$\{\begin{array}{rl}{z}_{k+1}& =\frac{{\mathrm{\Delta }}_k}{{\mathrm{\Delta }}_n}{a}_{k+1}\dots a_{n-1}\text{ при }k=0,1,\dots ,n-2,\\ z_n& =\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n}.\end{array}$$

Действительно, $z$ является решением уравнения
$$(\lambda I-L)z=e_n,$$

и, используя рекуррентное соотношение, легко проверить (3.8). Таким образом,
$$f(\lambda )=R_{nn}=z_n=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n},$$

что и требовалось доказать.
Для данной матрицы $L$ мы можем вычислить рациональную функцию $f(\lambda )$, которая имеет $n$ действительных простых полюсов с положительным вычетом, так как $\mathrm{Im}f(\lambda )>0$ при $\lambda >0$. Упорядочивая эти полюса по величине, мы определим отображение $\varphi$, переводящее $D$ в $\mathrm{\Lambda }$ (см. (3.3), (3.4)).

Мы подошли к «обратной задаче», решение которой требуется для нахождения отображения ${\varphi }^{-1}$. При помощи представления (3.2) каждой точке в $\mathrm{\Lambda }$ сопоставим функцию $f(\lambda )$. Тогда $\mathrm{Im}f>0$ при $\mathrm{Im}\lambda >0$ и $\lambda f(\mathrm{\Lambda })\to 1$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$. Таким образом,
$$\frac{1}{f(\lambda )}=\lambda +A-g(\lambda )$$

где $A$ — вещественная константа, а $g(\lambda )$ — рациональная функция, которая удовлетворяет соотношению
$$\mathrm{Im}g(\lambda )=\mathrm{Im}\lambda +\frac{\mathrm{Im}f}{|f{|}^2}>0\text{ при }\mathrm{Im}\lambda >0.$$

Следовательно, $g(\lambda )$ имеет только простые полюса на вещественной оси, и их число равно $n-1$. Легко вычислить, что $-A=\sum _1{\lambda }_k{r}_k^2,\lambda g(\lambda )\to$ $\to \sum {\lambda }_k^2{r}_k^2-{(\sum {\lambda }_k{r}_k^2)}^2>0$. Таким образом, $g=B{f}_{n-1}$ с $B>0$, и $\lambda f_{n-1}\to 1$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$. Отсюда
$$f(\lambda )=\frac{1}{\lambda +A-B{f}_{n-1}},$$

по индукции можно получить цепную дробь вида (3.5) с $A=-b_n$, $B=a_{n-1}^2>0$, и т.д. Это показывает, что $\varphi -$ взаимнооднозначное отображение $D$ на $\mathrm{\Lambda }$.

Наконец, выразим дифференциальные уравнения (2.2) в новых переменных. Для этого из (2.7) получим уравнение
$$\frac{d}{dt}R=R\frac{dL}{dt}R=BR-RB.$$

Для последнего элемента $R_{nn}=f$ в $R$ найдем уравнение
$$\frac{df}{dt}=(e_n,(BR-RB)e_n)=-2(e_n,R{a}_{n-1}{e}_{n-1})=-2a_{n-1}{R}_{n,n-1}.$$

Поскольку $R_{n,n-1}$ совпадает с $z_{n-1}$ в (3.8), то будем иметь
$$\frac{df}{dt}=-2a_{n-1}^2\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-2}}{{\mathrm{\Delta }}_n}.$$

Эта формула позволяет определить искомые дифференциальные уравнения. Поскольку мы уже установили, что $d{\lambda }_k/dt=0$, имеем
$$\frac{df}{dt}=\sum _{k=1}^n\frac{2r_k{\dot{r}}_k}{\lambda -{\lambda }_k}.$$

Сравнивая вычеты последних двух выражений, можно получить
$$2r_k{\dot{r}}_k=-{2a_{n-1}^2\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-2}}{{\mathrm{\Delta }}_n^{\prime }}|}_{\lambda ={\lambda }_k}.$$

Используя также рекуррентное соотношение (3.7), имеем
$${\mathrm{\Delta }}_n=(\lambda -b_n){\mathrm{\Delta }}_{n-1}-a_{n-1}^2{\mathrm{\Delta }}_{n-2}$$

или, так как ${\mathrm{\Delta }}_n\left({\lambda }_k\right)=0$,
$${\mathrm{\Delta }}_{n-2}\left({\lambda }_k\right)=\frac{{\lambda }_k-b_n}{a_{n-1}^2}{\mathrm{\Delta }}_{n-1}\left({\lambda }_k\right),$$

следовательно,
$$2r_k{\dot{r}}_k=-{2({\lambda }_k-b_n)\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n^{\prime }}|}_{\lambda ={\lambda }_k}.$$

Аналогичное сравнение вычетов функций
$$f(\lambda )=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n}=\sum _{k=1}^n\frac{r_k^2}{\lambda -{\lambda }_k}$$

дает
$${\frac{{\mathrm{\Delta }}_{n-1}}{{\mathrm{\Delta }}_n^{\prime }}|}_{\lambda ={\lambda }_k}=r_k^2,$$

отсюда
$$2r_k{\dot{r}}_k=-2({\lambda }_k-b_n)r_k^2.$$

Так как $\sum _{k=1}^n{r}_k^2=1$, можно показать, что
$$0=\sum r_k{\dot{r}}_k=-\sum {\lambda }_k{r}_k^2+b_n,$$

и учитывая, как мы видели выше, $b_n=\sum {\lambda }_k{r}_k^2$, имеем
$${\dot{r}}_k=-({\lambda }_k-\sum {\lambda }_j{r}_j^2)r_k,$$

которое дает дифференциальное уравнение (1.4) из первого раздела. Эти дифференциальные уравнения представляют векторное поле, определенное градиентом функции $V(r)$ (см. (1.4 ${}^{\prime })$ ) и ограниченное на часть единичной сферы, лежащей в положительном квадранте. Таким образом, каждое решение при $t\to +\mathrm{\infty }$ приближается к минимуму: $r(t)\to e_1$, а при $t\to -\mathrm{\infty }$ к максимуму: $r(t)\to e_n$. Конечно, можно дать также аналитическое представление и для решений, поскольку они получаются проецированием линейных дифференциальных уравнений

${\dot{r}}_k=-{\lambda }_k{r}_k$ на единичную сферу. Таким образом, получим
$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_k(t)={\lambda }_k(0)\\ r_k^2(t)=\frac{r_k^2(0)e^{-2{\lambda }_{k}t}}{\sum _{j=1}^n{r}_j^2(0)e^{-2{\lambda }_{j}t}}\end{array}$$

Чтобы обобщить наш результат, рассмотрим $r_k$ как однородные положительные переменные и положим, соответственно,
$$f(\lambda )=\left(\sum _{k=1}^n\frac{r_k^2}{\lambda -{\lambda }_k}\right){\left(\sum _{k=1}^n{r}_k^2\right)}^{-1}.$$

Из (3.5) и явного представления для цепных дробей очевидно, что $a_k^2$, $b_k$ — рациональные функции от $r_j,{\lambda }_j$ степени 0 по $r_j$. Легко проверить также, что $a_k,b_k$ имеют первый порядок по ${\lambda }_j$. Тогда имеем следующее рациональное преобразование
$$\begin{array}{rlrl}{a}_k^2& =A_k(r,\lambda ),& k& =1,2,\dots ,n-1\\ b_k^2& =B_k(r,\lambda ),& k& =1,2,\dots ,n\end{array}$$

множества ${\lambda }_1<\dots <{\lambda }_n;r_k>0$ в область $D$. Если мы отождествим два пропорциональных вектора, то это отображение будет взаимнооднозначным.

В однородных координатах $r_k$ дифференциальные уравнения становятся линейными
$$\frac{d{\lambda }_k}{dt}=0;\frac{d{r}_k}{dt}=-{\lambda }_k{r}_k.$$

Таким образом, решения системы (2.2) могут быть представлены как рациональные функции от $n$ констант ${\lambda }_j$ и $n$ показательных функций $e^{-{\lambda }_{j}t}$.

Как мы уже упоминали в разделе 1, в рассматриваемом случае поток будет особенно простым, поскольку отсутствуют периодические, или рекуррентные, решения. В более интересном случае периодических граничных условий имеются квазипериодические решения, и задача нахождения координат на интегральных поверхностях, которые

являются торами, значительно сложнее. Основная проблема — это «обратная задача», которая состоит в восстановлении матрицы $L$, являющейся циклической, по ее собственным значениям и соответствующе выбранным другим значениям. Эта проблема, по-видимому, пока в полной мере не решена.