В течение последних пятнадцати лет появились многочисленные публикации по интегрируемым гамильтоновым системам, солитонам, уравнению Кортевега-де Фриза. Интегрируемье гамильтоновы системы – это нелинейные дифференциальные уравнения, которые имеют достаточное количество симметрий и в большей или меньшей степени допускают явные решения (отсюда и название). Оказалось, что эти системы находят приложения в различных областях физики, в таких, как механика жидкости, физика плазмы, нелинейная оптика и т.д. Математическая теория раскрыла глубокие связи таких систем с дифференциальной геометрией, теорией алгебр Ли и алгебраической геометрией, спектральной теорией линейных операторов в гильбертовом пространстве, однако последнее слово еще не сказано.

Наша задача состоит не в том, чтобы дать обзор этой интересной области, а скорее описать несколько интегрируемых гамильтоновых систем классической механики, таких, как геодезический поток на $n$-мерном эллипсоиде, восходящий к Якоби, и их тесную связь с обратной спектральной теорией одномерного уравнения Шредингера.

Что такое обратная спектральная задача? Обычная задача спектральной теории – это нахождение спектра оператора, например, оператора Шредингера
\[
-\left(\frac{d}{d x}\right)^{2}+q(x),
\]

который может быть определен как самосопряженный оператор в плотной области в $L^{2}(-\infty,+\infty)$, если $q(x)$ – непрерывная ограниченная функция. Соответствующая теория для этой задачи была разработана Г. Вейлем в 1910 г. [30], на основе более ранней работы Гильберта и Хеллингера. Этот оператор играет центральную роль в квантовой теории,

где обычно принято, что функция $q(x)$ некоторым образом стремится к нулю. В этом случае оператор имеет непрерывный спектр в промежутке $(0,+\infty)$ и несколько собственных значений на отрицательной оси. Обратная спектральная задача – это нахождение потенциалов $q(x)$, приводящих к заданному спектру. Так как знания спектра недостаточно для восстановления $q(x)$, обычно также задают сдвиг фазы; это ведет к теории рассеяния, которой мы не будем заниматься (см. [5, 7]). Вместо этого мы предполагаем, что потенциал $q(x)$ периодический или почти периодический, которые связаны с различными типами спектров. Например, если $q(x)$ – периодическая функция, то дискретных собственных значений нет и непрерывный спектр в общем случае состоит из бесконечного числа интервалов на действительной оси (так называемый зонный спектр). В особых случаях – таких, как случай постоянного потенциала или эллиптической $p$-функции (уравнение Ламе), имеется только конечное число интервалов, один из которых продолжается до бесконечности. В этом случае говорят о конечнозонном спектре.

В обратной спектральной теории задается спектр, например, последовательность отдельных интервалов, и требуется найти соответствующий потенциал. A priori не ясно, является ли любой набор интервалов допустимым. В самом деле, необходимым условием является продолжалжение спектра до $+\infty$. При периодических потенциалах положения интервалов должны удовлетворять другим условиям; в случае конечнозонного спектра задается только на одном конце интервала (см. Мак Кин-Мёрбеке [17]). Тем не менее, если интервалы заданы произвольно, то есть существует конечное число пересекающихся интервалов и один бесконечный полуинтервал, возможно построить почти периодические потенциалы $q=q(x)$, для которых оператор (1.1) имеет в качестве спектра заданный набор интервалов.

Во-вторых, в общем случае является несправедливым утверждение, что потенциал однозначно задается спектром. В самом деле, $q(x)$ и его трансляция $q(x+t)$ имеют один и тот же спектр. Однако в общем случае потенциалы, принадлежащие заданному спектру, образуют бесконечномерное многообразие. Следовательно, обратная спектральная задача состоит в описании замкнутых множеств на действительной оси, которые подходят в качестве спектра, и в определении всех потенциалов, допускающих такой спектр.
Мы опишем полные решения этой задачи в случае конечнозонного

спектра, когда задано конечное число интервалов $I_{0}, I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{g-1}$ и полубесконечный интервал $I_{g}$, продолжающийся до $+\infty$. Если $I_{0}, I_{1}, \ldots, I_{g}$ не пересекаются, то множество соответствующих потенциалов образует $g$-мерный тор $T^{g}$ и $q(x)$ задаются как гиперэллиптические функции. Тор $T^{g}$ – является действительной частью многообразия Якоби, принадлежащего римановой поверхности, которая получается расщеплением двух копий комплексных плоскостей вдоль спектра $I_{0}, I_{2}, \ldots, I_{g}$ и их склеиванием обычным образом. Эти красивые связи между спектральной теорией и комплексным анализом были открыты независимо Мак Кином, Мёрбеке [17] и Новиковым и др. [6].

В предлагаемых вниманию читателя лекциях мы представим другой способ получения этих результатов, сводя нахождение конечнозонных потенциалов к изучению геодезических на эллипсоиде. Было известно, что геодезические на эллипсоиде могут быть выражены через абелевы интегралы, как открыл Якоби в 1838 г., и они действительно могут быть связаны с конечнозонными потенциалами. Это наблюдение было сделано Трубовицем совместно с автором и было представлено в краткой форме в работе Мозера (1980) [22], Альбера (1981) [3], Веселова (1980) [29]. Здесь мы дадим независимый вывод и опишем близкие вопросы, такие, как потенциалы Баргманна, которые получаются как предельные случаи, когда интервалы $I_{0}, I_{1}, \ldots, I_{g-1}$ стягиваются в $g$ различных точек.

В действительности конечнозонные потенциалы оказываются связанными с различными механическими задачами, а именно, с движением материальной точки на $n$-мерной сфере $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=1$ под воздействием силы, созданной квадратичным потенциалом. Эта задача также может быть решена через абелевы интегралы, как было показано К.Нейманом в 1859 г. Он использовал ту же технику разделения переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби, которая была развита Якоби и использована им для нахождения геодезических на эллипсоиде. Однако только недавно Кнёррером [13] было обнаружено, что задача Неймана может быть сведена к геодезической задаче Якоби с помощью отображения Гаусса. Это будет описано в 3 части.

Мы хотим кратко показать, как осуществляется связь между спектральной и механической задачами. Эта связь действительно довольно неожиданна и полностью отличается от знакомого квазиклассического предела, который также связывает квантовую механическую задачу с классической. Напомним, что множество потенциалов, принадлежащих

конечнозонному спектру $I_{0}, I_{2}, \ldots, I_{g}$ является $g$-мерным тором $T^{g}$. Более того, если функция $q=q(x)$ принадлежит $T^{g}$, то $T^{g}$ также принадлежат трансляции $q(x+t)$ для любого действительного $t$. Это задает поток на торе, переводящий $q(x)$ в $q(x+t)$, который определяет функцию $q(t)$ через $q(0)$. Это приводит к тому, что тор $T^{g}$ вместе с этим потоком можно отобразить на интегральную поверхность механической задачи вместе с потоком задачи Неймана. Таким образом, обратная задача полностью сводится к механической задаче и могут быть получены формулы для конечнозонных потенциалов. В общем случае они задаются почти периодическими функциями, представимыми степенными рядами относительно $\exp \left( \pm i \omega_{1} x\right), \exp \left( \pm i \omega_{2} x\right), \ldots, \exp \left( \pm i \omega_{g} x\right)$.

Эта процедура применима к другим, не почти периодическим потенциалам, также полученным из механических задач. В этом случае система допускает равновесные решения, обладающие устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Орбиты на этих инвариантных многообразиях экспоненциально стремятся к равновесным решениям и поэтому не являются почти периодическими. Они приводят к потенциалам, экспоненциально убывающим на бесконечности, которые задаются рациональными функциями действительных экспонент $\exp \left(\varkappa_{1}, x\right), \exp \left(\varkappa_{2}, x\right), \ldots, \exp \left(\varkappa_{g} x\right)$ и являются ничем иным, как конечнозонными потенциалами
\[
q(x)=-2\left(\frac{d}{d x}\right)^{2} \log \Delta,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Delta=\operatorname{det}\left(\delta_{i j}-\frac{\eta_{i} \eta_{j}}{\varkappa_{i}+\varkappa_{j}}\right)_{i, j=1, \ldots, g} \\
\eta_{j}=a_{j} \exp \left(-\varkappa_{i} x\right) ; \quad 0<\varkappa_{1}<\varkappa_{2}<\ldots<\varkappa_{g} .
\end{array}
\]

Эта форма при постоянных $\varkappa_{1}, \varkappa_{2}, \ldots, \varkappa_{g}$ является $g$-мерным многообразием потенциалов с непрерывным спектром от 0 до $+\infty$ и $g$ точечными собственными значениями $\lambda=-\varkappa_{j}^{2}$. Они могут рассматриваться как предельные случаи почти периодических потенциалов, когда интервалы $I_{j}-1(j=1,2, \ldots, g)$ стягиваются в точки $-\varkappa_{j}^{2}$.

Однако существуют и другие предельные случаи, когда только некоторые интервалы стягиваются в точки. Эти случаи соответствуют устойчивым и неустойчивым многообразиям периодических орбит или инвариантным торам меньшей размерности в механической задаче. Соответствующие потенциалы асимптотически периодические или почти

периодические, когда $x \rightarrow \pm \infty$. Поэтому эта связь между спектральной теорией и некоторой механической задачей порождает новые задачи на собственные значения с известным спектром.

За исключением этих предельных случаев конечнозонные потенциалы для заданного спектра $I_{0}, I_{1}, \ldots, I_{g}$ почти периодические и образуют тор $T^{g}$. Кроме трансляции $q(x) \rightarrow q(x+t)$, есть $g-1$ других потоков на $T^{g}$, оставляющих спектр неподвижным.

Подобно тому, как трансляция порождается дифференциальным уравнением
\[
\frac{\partial q}{\partial t}=\frac{\partial q}{\partial x}
\]

один из других потоков порождается нелинейным уравнением
\[
\frac{\partial q}{\partial t}-6 q \frac{\partial q}{\partial x}+\frac{\partial^{3} q}{\partial x^{3}}=0
\]

которое является хорошо известным уравнением Кортевега-де Фриза. Оно обладает тем отличительным свойством, что для любого решения $q=q(x, t)$ спектр оператора $-\left(d^{2} / d x^{2}\right)+q(x, t)$ не зависит от $t$. В этом случае говорят об изоспектральных деформациях. Действительно, изучение уравнения Кортевега-де Фриза, начало которому было положено М. Крускалом и его соавторами [10], во многом основано на построении сохраняющихся величин посредством интерпретации потока порожденного уравнением КдФ как изоспектральной деформации уравнения Шредингера.

Оказывается, что к классическим задачам Якоби и Неймана можно подойти и разрешить их с помощью метода изоспектральных деформаций некоторых классов матриц – вместо разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

В следующих двух разделах мы дадим определение и свойства гамильтоновых систем в рамках классической механики и опишем с этой точки зрения геодезический поток на эллипсоиде и задачу Неймана. В разделе 4 мы рассмотрим оператор Шредингера для почти периодических потенциалов. В этом случае хорошо известная теория Флоке периодических систем дифференциальных уравнений не работает, но мы найдем некоторую замену для мультипликатора Флоке $\mu=\mu(\lambda)$ для почти периодической задачи на собственные значения
\[
-\varphi^{\prime \prime}+q \varphi=\lambda \varphi
\]

Эта величина связана с так называемой плотностью состояний $\alpha=\alpha(\lambda)$ – монотонно возрастающей непрерывной функцией на действительной оси, которая определяет спектр оператора. При этом носитель меры $d \alpha$ соответствует спектру.

С другой стороны, как будет показано в разделе 4 , мультипликатор Флоке может быть также использован для определения законов сохранения уравнения Кд $Ф$.

Наконец, в разделе 5 мы обсудим конечнозонные потенциалы и их связь с классическими задачами Якоби и Неймана. В разделе 6 мы изучим предельные случаи, связь мультипликатора Флоке с отображением Кристоффеля-Шварца верхней полуплоскости на область с разрезом, а также потенциалы Баргмана.