Мы приступаем к изучению динамики систем материальных точек.

СВОБОДНАЯ СИСТЕМА

считается заданной, когда в некоторой системе отсчета $(x, y, z, t)$ имеется $N$ точек с массами $m_{i}$ и радиусами-векторами $\mathbf{r}_{i}=$ $=x_{i} \mathbf{e}_{x}+y_{i} \mathbf{e}_{y}+z_{i} \mathbf{e}_{z}$, а движением системы называется всякий набор функций $\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)$, удовлетворяющий заданным дифференциальным уравнениям вида
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=\mathbf{F}_{i}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{\tilde{N}}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right), \quad i=1, \ldots, N .
\]

Функция $\mathbf{F}_{i}=X_{i} \mathbf{e}_{x}+Y_{i} \mathbf{e}_{b}+Z_{i} \mathbf{e}_{z}$ называется силой, действующей на точку $m_{i}$. Условия существования, единственности и достаточной гладкости решений системы уравнений (1) считаются выполненными. На практике выражения $\mathbf{F}_{i}$ подбираются так, чтобы не слишком громоздко и вместе с тем возможно более точно учесть взаимодействия между точками и воздействия на них других объектов. За этой краткой формулировкой кроется следующее:
1) мы умеем достаточно точно отделять мысленно один движущийся объект от другого и распознавать различные типы взаимодействия между движущимися объектами; существуют объекты, размерами которых с достаточной точностью можно пренебречь (материальные точки);
2) существуют так называемые инерциальные системы отсчета, в которых с достаточной точностью можно считать, что материальная точка, не подвергающаяся никаким воздействиям, движется с нулевым ускорением (первый закон Ньютона);
3) материальные точки имеют измеряемую характеристику, называемую массой; суммарное воздействие на точку характеризуется силой $\mathbf{F}$ так, что $m \ddot{r}=\mathbf{F}$ (второй и главный закон Ньютона);
4) движущаяся материальная точка может не только испытывать воздействие, но и сама воздействовать на другие тела и материальные точки; мы говорим, что имеется система материальных точек, если с достаточной точностью можно выделить взаимодействия между точками и заодно считать, что известно изменение состояния других воздействующих на них объектов с течением времени (т. е. эти объекты воздействию со стороны точек не подвергаются);
5) воздействия распространяются мгновенно: силы определяются тем, где находятся точки и какую имеют скорость именно в текущий момент времени.

В силу вышесказанного закон Ньютона для $i$-й точки получает вид (1).

Қак уже отмечалось в теме 5 , учет взаимодействий возможен не только в форме явного задания силы, но и в форме задания связей. Для нас это будут соотношения вида
\[
f_{\alpha}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)=0, \quad \alpha=1, \ldots, m
\]
(эти соотношения не включают скоростей точек системы и называются голономными связями; мы будем рассматривать только такие). Всегда предполагается, что связи функционально независимы, т. е. ранг матрицы Якоби
\[
\operatorname{rang} \frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)}{\partial\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}, y_{N}, z_{N}\right)}=\left.m\right|_{f_{\alpha}=0} .
\]

Говорят, что задана идеализированная механическая

СИСТЕМА Со связями,

если имеется $N$ точек с массами $m_{i}$ и радиусами-векторами $\mathbf{r}_{i}$, заданы силы $\mathbf{F}_{i}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)$ и связи (2), удовлетворяющие (3); при этом набор функций $\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)$ называется движением системы, если он удовлетворяет связям и для него существуют такие функции $\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{m}(t)$, что
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}:=\mathbf{F}_{i}+\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{i} f_{\alpha} .
\]

Вектор-функция
\[
\mathbf{R}_{\alpha i}=\lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{i} f_{\alpha}=\lambda_{\alpha}\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}} \\
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{i}} \\
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial z_{i}}
\end{array}\right)
\]

называется реакцией на точку $m_{i}$ связи $f_{\alpha}=0$, а
\[
\mathbf{R}_{i}=\sum_{\alpha} \mathbf{R}_{\alpha i}
\]

называется суммарной реакцией связей, действующей на $m_{i}$. Таким образом, уравнения (7.4) имеют смысл законов Ньютона:
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}_{i}}=\mathbf{F}_{i}+\mathbf{R}_{i} .
\]

Можно сказать, что силы $\mathbf{R}_{i}$ нам известны не до конца. Хотя в принципе существует способ явно вычислить их как функции $\mathbf{r}_{1}, \ldots$, $\ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t$, основная идея развиваемого подхода состоит как раз в том, чтобы подольше обойтись без таких вычислений, и мы не раз убедимся в этом ниже.

Теперь следует объяснить, почему употребляется слово «идеализированная» или, что то же самое, почему выражение для $\mathbf{R}_{i}$ дано именно на основе (7.5), а не как-нибудь еще.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРИНЯТЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ поясним на примерах.
1. Точка $m_{k}$ обязана находиться на некоторой поверхности: связь –
\[
f_{\alpha}\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right)=0
\]

а соответствующая сила реакции
\[
\mathbf{R}_{\alpha k}=\lambda_{\alpha} \operatorname{grad}_{k} f_{\alpha}
\]

ортогональна поверхности, так что при взаимодействии с ней точки $m_{k}$ не возникает никакого трения.
2. Расстояние $l_{i j}$ между двумя точками $m_{i}, m_{j}$ постоянно (как в твердом теле): тогда связь имеет вид
\[
f_{\alpha}=\left(x_{i}-x_{i}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{i}\right)^{2}-l_{i j}{ }^{2}=0,
\]

откуда
\[
\mathbf{R}_{\alpha i}=2 \lambda_{\alpha}\left(\begin{array}{c}
x_{i}-x_{i} \\
y_{i}-y_{i} \\
z_{i}-z_{j}
\end{array}\right), \quad \mathbf{R}_{\alpha j}=2 \lambda_{\alpha}\left(\begin{array}{c}
x_{j}-x_{i} \\
y_{i}-y_{i} \\
z_{j}-z_{i}
\end{array}\right) .
\]

Получается, что
\[
\mathbf{R}_{\alpha i}=-\mathbf{R}_{\alpha j} \|\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right) .
\]

Априори это не очевидно. Если мы представим себе, что связь реализована в виде нити, связывающей точки, то легко сможем согласиться, что вдоль нее на точки действуют противоположные силы натяжения. Нашей физической интуиции это не противоречит. Но если мы имеем настоящее, да еще неоднородное твердое тело, в котором точки удерживаются на постоянных расстояниях (причем приблизительно) отнюдь не нитями, то уверенность в свойстве (7) уменьшится. На деле согласие с (6) и (7) оправдывается не умозрительными размышлениями, а тем, что практическое применение концепции идеализированной системы хорошо показывает себя. Но и это применение имеет свои границы, о которых мы расскажем в разделе «динамика твердого тела».

Понятие идеализированной системы со связями есть обобщение понятия свободной системы. Уравнения Ньютона (1) и (4)

объединим единообразной записью
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}_{i}}=\mathscr{F}_{i},
\]

подразумевая, что силы $\mathscr{F}_{i}$ не обязательно полностью заданы явно. Теперь допустим, что силы представлены в виде
\[
\mathcal{F}_{i}=\boldsymbol{\Phi}_{i}+\sum_{j
eq i} \mathbf{f}_{i j}
\]

где
\[
\mathbf{f}_{i j}=-\mathbf{f}_{j i}
\]
(третий закон Ньютона). Тогда по определению
\[
\boldsymbol{\Phi}_{i} \text { – внешняя сила, }
\]

действующая на $i$-ю точку системы,
\[
\mathbf{f}_{i j} \text { – внутренняя сила, }
\]

с которой на $i$-ю точку действует масса $m_{i}$. Ясно, что никакой единственности разложения вида (9) доказать нельзя. Поэтому при выписывании этого разложения существенны физические соображения.

Опыт показывает, что разложение (9) возможно и удобно. Например, реакции связей типа постоянного расстояния (пример 2) относятся к внутренним силам. То же касается и сил гравитационного взаимодействия.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА.
При движении системы ее импульс $\mathbf{P}=\sum_{i} m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}$ изменяется так, что его производная по времени
\[
\frac{d \mathbf{P}}{d t}=\sum_{i} \Phi_{i},
\]
т. е. равна векторной сумме всех внешних сил.
Доказательство:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \sum m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}=\sum m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=\sum \mathbf{F}_{i}=\sum_{i}\left(\boldsymbol{\Phi}_{i}+\sum_{i
eq i} \mathbf{f}_{i j}\right)= \\
=\sum_{i} \boldsymbol{\Phi}_{i}+\sum_{\substack{i, j \\
i
eq j}} \mathbf{f}_{i j}=\sum \boldsymbol{\Phi}_{i}+\sum_{\substack{i, j \\
i<i}}\left(\mathbf{f}_{i j}+\mathbf{f}_{i j}\right)=\sum_{i} \boldsymbol{\Phi}_{i} .
\end{array}
\]

Қаждая система материальных точек имеет свой центр масс точку $S$, радиус-вектор которой
\[
\overline{O S}=\mathbf{s}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r}_{i}}{\sum m_{i}} .
\]

Это определение корректно (не зависит от выбора $O$ ):
\[
\frac{\sum m_{i}\left(1+\mathbf{r}_{i}\right)}{\sum m_{i}} 1=+\frac{\Sigma m_{i} \mathbf{r}_{i}}{\sum m_{i}} .
\]

Следствие теоремы. Пусть $M=\Sigma m_{i}$ – полна масса системы. Тогда

Если $\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{s}, \mathbf{s}, t)$, то имеем уравнение Ньютона для одной точки. Таким образом, при определенных условиях центр масс можно рассматривать как материальную точку, мысленно сосредоточив в ней всю массу системы и приложив к ней формальную сумму всех внешних сил (мы не называем эту сумму силой, так как этот вектор не является характеристикой какого-либо «суммарного воздействия»; здесь нет сложения сил по принципу суперпозиции, ибо $\boldsymbol{\Phi}_{i}$ являются характеристиками воздействий на разные точки). Даже если в рамках принятой модели движения размерами системы пренебречь нельзя, центр масс все равно является геометрической точкой. Таким образом, модель материальной точки получает здесь как бы самое точное свое воплощение.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Пусть наряду с инерциальной системой отсчета $O x y z$ есть система координат $A \xi \eta \zeta$, движущаяся поступательно (оси ее не вращаются). В этом случае $d / d t=\delta / \delta t$. Обозначим $\overline{O A}=1, \boldsymbol{\rho}_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{l}$.

Кинетическим моментом системы относительно системы координат $A \xi \eta \zeta$ называется вектор
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{A}=\sum_{i} m_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right]:
\]

Моментом сил относительно этой системы – вектор
\[
\mathbf{G}_{A}=\sum_{i}\left[\rho_{i} \times \mathcal{F}_{i}\right] .
\]

Производная кинетического момента $\boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{A}}$ при движении равна моменту сил $\mathbf{G}_{A}$, т. е.
\[
\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{A}}{d t}=\mathbf{G}_{A}
\]

в следующих случаях:
1) $\mathrm{i}=\mathbf{0}$, т. е. система $A \xi \eta \zeta$ – тоже инерциальная (как и $O x y z$ );
2) $A S \equiv 0$, т. е. начало координат постоянно находится в центре масс (так называемые оси Кенига; соответствующий момент $\Lambda_{S}$ именуется собственным кинетическим моментом системы);
3) $\ddot{\mathrm{i}}
eq 0, \overline{A S}
eq 0$, но $\ddot{\mathrm{i}} \mathrm{A} \overline{A S}$.
Доказательство. В системе координат $A \xi \eta \zeta$ к силе $\mathscr{F}_{i}$ прибавляется еще сила инерции $\boldsymbol{\Phi}_{i}{ }^{\text {nep }}=-m_{i} \mathrm{i}$ :
\[
m_{i} \ddot{\Theta}_{i}=\mathscr{F}_{i}-m_{i} \ddot{i},
\]

поэтому

\[
=\sum\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \mathcal{F}_{i}\right]-\sum m_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \ddot{\mathrm{i}}\right]=\mathbf{G}_{A}-M[\overline{A S} \times \ddot{\mathrm{i}}] .
\]

Должно быть
\[
\overline{A S} \times \mathrm{i}]=\mathbf{0},
\]

что и реализуется в перечисленных трех случаях.
Последний случай не столь важен, как первые два, но и он иногда реализуется, например, когда точки с массами $m_{1}, m_{2}$ притягивают друг друга: $\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2} \|\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right)$. Тогда и силы направлены по прямой, соединяющей точки, и центр масс $S$ на ней лежит. Поэтому в качестве $A$ можно взять любую из точек.

Мы очень кстати вспомнили о силах, направленных от одной точки к другой. Воспользуемся (9) и заметим, что
\[
\left.\sum_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \mathcal{F}_{i}\right]=\sum_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \boldsymbol{\Phi}_{i}\right]+\sum_{i<i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i}-\boldsymbol{\rho}_{i}\right) \times \mathbf{f}_{i j}\right] .
\]

Следовательно, если внутренние силы удовлетворяют условию
\[
\mathbf{f}_{i j} \|\left(\boldsymbol{\rho}_{i}-\boldsymbol{\rho}_{i}\right),
\]

как это обычно сразу принимается при формулировании третьего закона Ньютона, то получится, что при вычислении момента сил можно брать только внешние силы.
теорема об изменении кинетической энергии.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В тех же подвижных осях, что и в теореме об изменении кинетического момента, введем относительную кинетическую энергию:
\[
T_{A}=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\rho}_{i}^{2}
\]

и продифференцируем ее:
\[
\begin{aligned}
\frac{d T_{A}}{d t}= & \sum m_{i}\left(\dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}, \ddot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right)=\sum\left(\dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}, \mathscr{F}_{i}-m_{i} \ddot{\mathrm{i}}\right)= \\
& =\sum\left(\mathscr{F}_{i}, \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right)-M(\dot{\overline{A S}}, \ddot{\mathrm{I}}) .
\end{aligned}
\]

Вывод: полная производная кинетической энергии
\[
\frac{d T_{A}}{d t}=\sum_{i}\left(\mathscr{F}_{i}, \dot{\rho_{i}}\right)
\]

если, как и в предыдущей теореме,
1) $\ddot{i} \equiv 0$ (инерциальная система отсчета) или
2) $A \equiv S$ (оси Кенига; величина $T_{S}$ называется собственной кинетической энергией системы).
Другие возможности нам не потребуются.

Выясним, когда вместо $\mathscr{F}_{i}$ в (15) можно подставить только внешние силы. Имеем
\[
\sum_{i}\left(\mathcal{F}_{i}, \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right)=\sum_{i}\left(\boldsymbol{\Phi}_{i}, \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right)+\sum_{i<j}\left(\mathbf{f}_{i j}, \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}-\dot{\boldsymbol{\rho}}_{j}\right) .
\]

Если, согласно (14),
\[
\mathbf{f}_{i j}=\varphi_{i j} \cdot\left(\boldsymbol{\rho}_{i}–\boldsymbol{\rho}_{j}\right),
\]

то последняя сумма равна
\[
\sum_{i<j} \varphi_{i j} \frac{d}{d t} \frac{\left(p_{i}-p_{j}\right)^{2}}{2} .
\]

Она должна обратиться в нуль. В частности, это происходит в случае, когда попарные расстояния между точками не меняются, т. е. мы имеем твердое тело.