Пусть $\mathfrak{M}$-одномерное подмногообразие в $\mathbf{R}^{2}$. Оно может быть задано двумя способами:
1) уравнением $f(x, y)=0$, причем $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left.\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right|_{\mathfrak{M}}
eq 0$.
2) параметрически: $x=x(q), y=y(q)$, причем $\left(\frac{d x}{d q}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d q}\right)^{2}
eq$ $
eq 0$.
Эти способы локально равносильны теореме о неявной функции. Задание в виде графика функции, например, $y=\varphi(x)$ относится к обоим способам сразу ( $y-\varphi(x)=0$ или $y=\varphi(q), x=q)$.

Особую роль играет натуральный параметр $s$ (алгебраическая длина дуги). Если $r(q)$ – некоторая параметризация, то
\[
s(q)=\int_{q_{0}}^{q}\left|\mathbf{r}^{\prime}(q)\right| d q=\int_{q_{0}}^{q} \sqrt{d x^{2}+d y^{2}}
\]

монотонная функция $q$. Она имеет обратную $q(s)$; зависимость $\mathbf{r}=\mathbf{r}(q(s))$ называется натуральной параметризацией $\mathfrak{m}$.

В каждой точке $\mathfrak{M}$ определен репер Френе (естественный реnep):
\[
\mathbf{e}_{\tau}=\frac{d \mathbf{r}}{d s}, \quad \mathbf{e}_{v}=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d s^{2}} \cdot\left|\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d s^{2}}\right|^{-1} .
\]

Очевидно, $\left\{\mathbf{e}_{\tau}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{v}}\right\}$-ортонормированный репер (в ортогональности $\mathbf{e}_{\tau}$ и $\mathbf{e}_{v}$ можно убедиться, продифференцировав тождество ( $\mathbf{e}_{\tau}$, $\left.\mathbf{e}_{\tau}\right)=1$ ). Величина $\left|d^{2} \mathbf{r} / d s^{2}\right|=k(s)$ называется кривизной в точке $\mathbf{r}(s)$, величина $\rho=1 / k$ называется радиусом кривизны. При перемещении по кривой скорость и ускорение
\[
\mathbf{v}=\frac{d s}{d t} \mathbf{e}_{\tau}, \quad \mathbf{a}=\frac{d^{2} s}{d t^{2}} \mathbf{e}_{\tau}+\frac{v^{2}}{\rho} \mathbf{e}_{\mathrm{v}} .
\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ. Пусть $\mathfrak{R}$ – некоторая кривая, заданная в $\mathbf{R}^{2}$ уравнением $f(x, y)=0$. Допустим, что точка обязана двигаться только по $\mathfrak{M}$ (говорят, что на нее наложена связь). Пусть в окрестности $\mathfrak{M}$ или только вдоль $\mathfrak{R}$ задана сила $\mathbf{F}(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r}$, $t)$. Отображение $\mathbf{r}(t) \rightarrow \mathfrak{M}$ называется движением, если для него существует переменный вектор $\mathbf{R}(t)$, ортогональный к кривой в точке $\mathbf{r}(t)$ такой, что выполняется тождество (закон Ньютона)
\[
m \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+\mathbf{R} .
\]

Вектор $\mathbf{R}$ называется силой реакции связи при движении $\mathbf{r}(t)$. Эквивалентное определение составляет принцип Даламбера-Лагранжа: перемещение $\mathbf{r}(t)$ есть движение тогда и только тогда, когда для любого касательного к кривой вектора $\tau$ в точке $\mathbf{r}(t)$
\[
(m \ddot{\mathbf{r}}-\mathbf{F}, \boldsymbol{\tau})=0 .
\]

Вместо (1) можно написать уравнения с множителем Лаграна:
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X+x \frac{\partial f}{\partial x}, \\
m \ddot{y}=Y+x \frac{\partial f}{\partial y} ;
\end{array}
\]
$\kappa$ этой системе надо присоединить уравнение $f(x, y)=0$, и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями времени $x(t), y(t), x(t)$. Движение не изменится, если к $\mathbf{F}$ прибавить некоторую силу, ортогональную к кривой.

Разложив векторное равенство (1) по векторам естественного репера, можно найти формулу движения $s=s(t)$ из уравнения
\[
m \ddot{s}=F_{\tau}(\dot{s}, s, t),
\]
a потом вычислить силу реакции из
\[
m \frac{\dot{s}^{2}}{p}=F_{v}+R\left(R=R e_{v}\right) .
\]

Заметим, что, даже не решая уравнение (3), $R$ всегда можно вычислить как функцию состояния: $R=-F_{v}+\frac{m v^{2}}{\rho}$ (зависимость от скорости квадратичная, если $\left.F_{\mathrm{v}}=F_{\mathrm{v}}(s)\right)$.
ЕСЛИ СИЛА ПОТЕНЦИАЛЬНА, имеется интеграя энергии
\[
H=1 / 2 m v^{2}+V=h
\]

как для свободных движений в плоскости, так и для движения при наличии связи. В последнем случае $V$ обозначает сужение потенциала $V(x, y)$ на кривую: $V(s)=V(x(s), y(s))$. Тогда
\[
F_{\tau}(s)=\left(\mathbf{F}, \mathbf{e}_{\tau}\right)=-\frac{\partial V}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}-\frac{\partial V}{\partial y} \frac{d y}{d s}=-\frac{d V}{d s} .
\]

Реакция вычисляется как функция энергии и положения:
\[
R^{h}(s)=-F_{v}(s)+\frac{2}{\rho}(h-V(s)) .
\]
3.адача 5. Рассмотрим движение точки, подвешенной на нити. Начальное условие: точка находится в крайнем нижнем положении, начальная скорость горизонтальна и по модулю равна $v_{0}$. Определить границы возможности движения.

Это задача на движение с односторонней связью $x^{2}+y^{2}-$ $-r^{2} \leqslant 0$ ( $r$ – длина нити). Другими словами, нить не может порваться, но может ослабнуть. Граница возможности движения определяется следующими условиями:
a) либо скорость обратится в нуль и точка пойдет назад;
б) либо тем, что ослабнет нить и точка покинет окружность.

Иначе говоря, надо выписать и решить два неравенства:
\[
\text { (*) } V \leqslant h,(* *) R_{h} \geqslant 0 \text {, }
\]

где $h$ определяется начальными условиями. Имеем: радиус кривизны $\rho=r$, натуральный параметр $s=r_{\varphi}$ (рис. 5). Ответ:
1) если $v_{0} \leqslant \sqrt{2 g r}$, то неравенство (*) сильнее, чем (**): в результате будут колебания в нижней полуокружности;
2) если $v_{0} \in(\sqrt{2 g r}, \sqrt{5 g r})$, то (**) сильнее, чем (*), т. е. нить ослабнет в верхней полуокружности;
3) если $v_{0}>\sqrt{5 g r}$, то получим вращение точки по окружности.
Вопрос. Что будет при $v_{0}=\sqrt{5 g r}$ ?
Задача 6. Выписать и решить уравнение $m \ddot{s}=F_{\tau}(s)$ для движения точки в поле силы тяжести по циклоиде (рис. 29):
\[
x=\frac{a}{2}(\varphi+\sin \varphi), \quad y=-\frac{a}{2}(1+\cos \varphi) .
\]

Ответ: $\ddot{s}=-g / 2 a$ (гармонические колебания).
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА. Пусть $q(t)$-закон движения точки по кривой $r(q)$. Кинетическая энергия
\[
T=\frac{1}{2} A(q) \dot{q^{2}}, \quad A(q)=m\left(\left(\frac{d x}{d q}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d q}\right)^{2}\right)=m\left(\frac{d s}{d q}\right)^{2} .
\]

Пусть поле силы $F$ потенциальни, вдоль кривой потенциал $V(q)=V(x(q), y(q))$. Составим функцию Лагранжа
\[
L(q, \dot{q})=\frac{1}{2} A(q) \dot{q}^{2}-V(q)
\]

и предложим своему вниманию осколок общей теории (см. §16).
Теорема. Зависимость $q=q(t)$ для движения по кривой в потенциальном поле сил удовлетворяет уравнению Лагранжа вида
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 .
\]

Имеет место интеграл энергии
\[
H(q, \dot{q})=\frac{1}{2} A(q) \dot{q}^{2}+V(q) .
\]

Доказательство. На левую часть (7) надо смотреть, как на процедуру выписывания некоторого дифференциального уравнения второго порядка, а именно (после выкладок в случае (6)) такого:
\[
A(q) \ddot{q}+\frac{1}{2} A^{\prime}(q) \dot{q}^{2}+V^{\prime}(q)=0 .
\]

Это уравнение эквивалентно $m \ddot{s}=F_{\tau}$, поскольку
\[
\dot{s}=\sqrt{\frac{A(q)}{m}} \dot{q}, \quad \ddot{s}=\frac{A^{\prime}(q) \dot{q}^{2}}{2 \sqrt{m A(q)}}+\sqrt{\frac{A(q)}{m}} \ddot{q}, \quad F_{\tau}=-\sqrt{\frac{m}{A(q)}} \frac{d V}{d q} .
\]

Уже известный факт существования интеграла энергии ((8) есть (5), выраженное через $\dot{q}, q$ ) можжно получить заново ((9), умноженное на $\dot{q}$, есть $d H(d t)$. Отметим, что интеграл энергии $H$ отличается от лагранжиана $L$ знаком перед $V(q)$.

ОКРЕСТНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. Точка $q_{0}$ называется положением равновесия, если движение с начальным состоянием $q_{0}, \dot{q}_{0}=0$ имеет вид $q(t) \equiv q_{0}$.

Лемма. Точка $q_{0}$ – положение равновесия тогда и только тогда, когда $V^{\prime}\left(q_{0}\right)=0$, т. е. $q_{0}$-критическая точка, см. (9).

Не уменьшая общности, можно считать $q_{0}=0$. Осуществим линеаризацию уравнения Лагранжа. Дія простоты сделаем это нестрого (но правильно). Будем считать, что функции $q(t), \dot{q}(t)$, $\ddot{q}(t)$ малы одновременно, а их квадратами, попарными произведениями (и так далее) можно пренебречь. Тогда средний член в (9) отбросится сразу, а с учетом разложений Тейлора
\[
A(q)=A(0)+\alpha(q) q, V^{\prime}(q)=V^{\prime \prime}(0) q+\beta(q) q^{2},
\]

получим линеаризованное уравнение в виде
\[
A(0) \ddot{q}+V^{\prime \prime}(0) q=0 \text {. }
\]

Если $V^{\prime \prime}(0)>0$, т. е. $V$ имеет минимум в положении равновесия, то
\[
q(t)=C_{1} \cos \omega t+C_{2} \sin \omega t, \omega=\sqrt{\frac{V^{\prime \prime}(0)}{A(0)}} .
\]

Это – «малые колебания» с частотой $\omega$.
Если $V^{\prime \prime}(0)<0$, т. е. $V$ имеет максимум, то
\[
q(t)=C_{1} e^{\lambda t}+C_{2} e^{-\lambda t}, \quad \lambda=\sqrt{-\frac{V^{\prime \prime}(0)}{A(0)}} .
\]

Это – «экспоненциальный уход» с показателем $\lambda$.
Если $V^{\prime \prime}(0)=0$, то первое приближение не представляет ценности и не позволяет судить о поведении точных решений уравнений Лагранжа (ср. с теоремами о линеаризации в курсе дифференциальных уравнений).
3адача 7. Доказать, что частота малых колебаний в окрестности нижней точки вертикальной кривой (в поле силы тяжести) равна $\sqrt{g / \rho}$, где $\rho$-радиус кривизны кривой в этой точке.