Система координат и часы на практике всегда опираются (и в переносном, и в буквальном смысле слова) на некоторое тело отсчета.

Это может быть Земля, корабль, вагон, спутник. Системы отсчета многочисленны: отсюда задача уяснить, насколько отличается описание движения с точки зрения разных систем. Уяснить значит разработать удобную систему понятий, сопряженную с экспериментом и измерениями.

Пусть имеется некоторая система отсчета, которую условимся называть неподвижной. Множество точек $P_{i}$ образует

ТВЕРДОЕ ТЕЛО,

если рассматриваются только такие непрерывные перемещения $P_{i}(t)$ этого множества, при которых расстояния между точками не изменяются: $\left|\overline{P_{i}\left(t_{1}\right) P_{j}\left(t_{1}\right)}\right|=\left|\overline{P_{i}\left(t_{2}\right) P_{j}\left(t_{2}\right)}\right|$ для любых $t_{1}, t_{2}$. Легко доказать, что всякое конечное перемещение твердого тела (т. е. переход от $P_{i}\left(t_{1}\right)$ к $P_{i}\left(t_{2}\right)$ ) можно представить как результат его параллельного переноса и поворота вокруг произвольно отмеченной в теле точки: фактически речь идет об описании изометрий трехмерного евклидова пространства, сохраняющих ориентацию. Впредь условимся считать, что тело невырожденно, подразумевая под этим, что все его точки не расположены на однойединственной прямой: тогда при каждой нетождественной изометрии хотя бы одна из точек тела будет изменять свое положение.

Начнем с изучения изометрий частного вида – поворотов, при которых отмеченная точка $O$ остается неподвижной.

Любой поворот вокруг точки $O$ имеет инвариантную прямую с направляющим единичным вектором i (все точки этой прямой остаются неподвижными). Поворот можно представить как результат вращения тела вокруг вектора і на некоторый угол $\chi \bmod 2 \pi$, который определен с точностью до $2 \pi n$ и отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть вдоль прямой навстречу i. Произвольная точка $P$ с радиусом-вектором $\mathrm{r}=\overline{O P}$ после поворота перейдет в новую точку $P^{\prime}$ с радиусом-вектором $\mathrm{r}^{\prime}=\overline{O P^{\prime}}$. Положим
\[
\mathbf{r}=(\mathbf{r}, \mathbf{i}) \mathbf{i}+\mathbf{p},
\]

где вектор р перпендикулярен прямой (рис. 8):
\[
\mathbf{p}=-[\mathbf{i} \times[\mathbf{i} \times r]] .
\]

Тогда
\[
P P^{\prime}=\mathbf{p}^{\prime}-\mathbf{p}=\mathbf{p} \cos \chi+[\mathbf{i} \times \mathbf{p}] \sin \chi-\mathbf{p},
\]

откуда, наконец, получается
формула конечного поворота
\[
\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}+\sin \chi[\mathbf{i} \times \mathbf{r}]+(1-\cos \chi)[\mathbf{i} \times[\mathbf{i} \times \mathbf{r}]] .
\]

Из нее вытекает, что
\[
\sin \chi=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r},[\mathrm{i} \times \mathbf{r}]\right)}{|[\mathrm{i} \times \mathrm{r}]|^{2}}, 1-\cos \chi=\frac{\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r},[\mathrm{i} \times[\mathrm{i} \times \mathbf{r}]]\right)}{|[\mathrm{i} \times \mathbf{r}]|^{2}} .
\]

Теперь рассмотрим не отдельный поворот, а вращение – процесс, в ходе которого все точки тела совершают гладкое движение (элементы матрицы поворота в репере $\mathbf{e}_{x} \mathbf{e}_{y} \mathbf{e}_{z}$ – гладкие функции времени). Пусть из положения в мгновение $t$ в в положение в мгновение $t+\tau$ тело можно перевести поворотом вокруг вектора $\mathbf{i}_{t}(\tau)$ на угол $\chi_{t}(\tau)$. При $\tau=0$ этот поворот является тождественным.

Из формул (2) вытекает, что при $\tau \rightarrow 0$ стремится к нулю сам угол $\chi(\tau)$. Поэтому (1) приобретает вид
\[
\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)=\chi[\mathbf{i} \times \mathbf{r}(t)]+O\left(\chi^{2}\right) .
\]

Более того, из (2) следует, что $|\chi(\tau)| \leqslant C|\tau|$, так как вектор $[\mathrm{i} \times \mathrm{r}]$ ограничен по модулю и не обращается в нуль. Разделив (3) на $\tau$ и устремляя $\tau$ к нулю, получаем $O\left(\chi^{2}\right)=O\left(\tau^{2}\right)$, так что
\[
\mathbf{v}_{P}=[\boldsymbol{\omega} \times \overline{O P}],
\]

где
\[
\omega=\lim _{\tau \rightarrow 0} \frac{\chi(\tau) \mathbf{i}(\tau)}{\tau} .
\]

Предел существует (так как предел имеет левая часть (3), причем $\mathbf{v}_{P}$ заведомо линейно зависит от $\mathbf{r}$ ) и представляет собой вектор угловой скорости рассматриваемого твердого тела в мгновение $t$. Происхождение термина объясняется следующим частным случаем: пусть тело поворачивается вокруг неподвижной оси $\mathbf{i}=$ const на угол $\varphi(t)$; тогда
\[
\chi(\tau)=\varphi(t+\tau)-\varphi(t) \Rightarrow \boldsymbol{\omega}=\lim _{\tau \rightarrow 0} \frac{\varphi(t+\tau)-\varphi(t)}{\tau} \mathbf{i} .
\]

Короче говоря,
\[
\mathbf{i}=\text { const } \Rightarrow \boldsymbol{\omega}=\frac{d \varphi}{d t} \mathbf{i} .
\]

Еще раз подчеркнем: это частный случай, а не общее определение. Здесь в выражении о участвует скорость изменения угла $\varphi$, т. е. угловая скорость в буквальном смысле термина.

В случае произвольного движения твердого тела мы можем как угодно отметить в нем точку и в каждое мгновение параллельным переносом мысленно смещать тело так, чтобы эта точка оказалась в начале координат. Угловой скоростью движущегося тела назовем угловую скорость получающегося мысленного вращения; от выбора отмечаемой точки результат не зависит.
Введем новое понятие: ПОДВИЖНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА.

Формально это всякая система отсчета, отличающаяся от той, которую мы облюбовали и назвали неподвижной. На деле это понятие богаче. Начнем с того, что подвижную систему координат $\xi, \eta, \zeta$ можно трактовать как твердое тело, состоящее из некоторой движущейся (относительно неподвижной системы отсчета) точки $A$ и приложенных к ней векторов $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{n}$, $\mathbf{e}_{\xi}$, которые все

время образуют правый ортонормированный репер, в общем случае вращающийся. Обратно, если имеется (движущееся) твердое тело, то к нему можно жестко присоединить (подвижный) репер так, что в совокупности снова получится твердое тело. Обобщая, подвижную систему координат условимся мыслить как объемное твердое тело, в котором как бы нарисованы оси координат.

Будем считать, что в неподвижной и подвижной системах отсчета часы имеют одинаковые показания.

В каждое мгновение любой вектор Ф можно разложить и по неподвижному, и по подвижному реперу:
\[
\Phi=\Phi_{x} \mathbf{e}_{\boldsymbol{x}}+\Phi_{y} \mathbf{e}_{y}+\Phi_{z} \mathbf{e}_{z}=\Phi_{\xi} \mathbf{e}_{\xi}+\Phi_{\eta} \mathbf{e}_{\eta}+\Phi_{\zeta} \mathbf{e}_{\xi} .
\]

Если вектор $\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Phi}(t)$, то могут быть вычислены его
абсолютная производная: $\frac{d \Phi}{d t}=\frac{d \Phi_{x}}{d t} \mathbf{e}_{x}+\frac{d \Phi_{y}}{d t} \mathbf{e}_{y}+\frac{d \Phi_{z}}{d t} \mathbf{e}_{z}$;
относительная производная: $\frac{\delta \Phi}{\delta t}=\frac{d \Phi_{\xi}}{d t} \mathrm{e}_{\xi}+\frac{d \Phi_{\eta}}{d t} \mathrm{e}_{\eta}+\frac{d \Phi_{\zeta}}{d t} \mathrm{e}_{\zeta}$.

Эти два вектора связывает

ФОРМУЛА АБСОЛЮТНО-ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:
\[
\frac{d \Phi}{d t}=[\omega \times \Phi]+\frac{\delta \Phi}{\delta t},
\]

в которой $\boldsymbol{\omega}(t)$ – угловая скорость подвижного репера $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}$. Доказательство опирается на формулы Пуассона
\[
\frac{d \mathrm{e}_{\xi}}{d t}=\left[\omega \times \mathrm{e}_{\xi}\right], \frac{d \mathrm{e}_{\eta}}{d t}=\left[\omega \times \mathrm{e}_{\eta}\right], \frac{d \mathrm{e}_{\zeta}}{d t}=\left[\omega \times \mathrm{e}_{\xi}\right],
\]

легко вытекающие из (4) (в качестве точки $P$ поочередно берутся концы векторов $\mathbf{e}_{\xi}, e_{\eta}, e_{\xi}$ ). Дифференцируем тождество (7):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \Phi}{d t}=\frac{d \Phi_{\xi}}{d t} \mathrm{e}_{\xi}+\frac{d \Phi_{\eta}}{d t} \mathrm{e}_{\eta}+\frac{\llbracket d \Phi_{\zeta}}{d t} \mathrm{e}_{\zeta}+ \\
+\Phi_{\xi} \frac{d \mathrm{e}_{\xi}}{d t}+\Phi_{\eta} \frac{d \mathrm{e}_{\eta}}{d t}+\Phi_{\zeta} \frac{d \mathrm{e}_{\zeta}}{d t}=
\end{array}
\]
(подставляем формулы Пуассона)
\[
\begin{array}{c}
=\frac{\delta \Phi}{\delta t}+\Phi_{\xi}\left[\omega \times \mathbf{e}_{\xi}\right]+\Phi_{\eta}\left[\omega \times \mathbf{e}_{\eta}\right]+\Phi_{\zeta}\left[\omega \times \mathbf{e}_{\zeta}\right]= \\
=\frac{\delta \Phi}{\delta t}+\left[\omega \times\left(\dot{\Phi}_{\xi} \mathbf{e}_{\xi}+\Phi_{\eta} \mathbf{e}_{\eta}+\Phi_{\xi} \mathbf{e}_{\zeta}\right)\right]
\end{array}
\]

что и требовалось.
Угловую скорость подвижного репера принято раскладывать по нему самому:
\[
\boldsymbol{\omega}=p \mathbf{e}_{5}+q \mathbf{e}_{n}+r \mathbf{e}_{5} ;
\]

Мы не раз убедимся в том, что так удобнее. Вектор
\[
\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{d \omega}{d t}
\]

называется угловым ускорением подвижного репера и связанного с ним твердого тела. Заметим, что
\[
\frac{d \omega}{d t}=[\omega \times \omega]+\frac{\delta \omega}{\delta t}=\frac{\delta \omega}{\delta t} .
\]
т. е. абсолютная и относительная производные угловой скорости совпадают. Поэтому
\[
\boldsymbol{\varepsilon}=\dot{p} \mathrm{e}_{\xi}+\dot{q} \mathrm{e}_{\eta}+\dot{r}_{\xi},
\]

а запись $\varepsilon=\dot{\omega}$ недвусмысленна.
Технический аппарат описан и сейчас будет использован для изложения центрального вопроса данной темы:

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ СОПОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ ОТСЧЕТА.
Пусть движение некоторой точки $P(t)$ рассматривается с точки зрения двух систем координат: неподвижной $O x y z$ и подвижной $A \xi \eta \zeta$ (рис. 10). Движение последней назовем переносом и потому угловую скорость $\omega$ иногда будем обозначать $\omega_{\text {пер }}$. Пусть
\[
\mathbf{r}=\overline{O P}=x \mathrm{e}_{x}+y \mathrm{e}_{b^{\prime}}+z \mathrm{e}_{z}, \rho=\overline{A P}=\xi \mathrm{e}_{\xi}+\eta \mathrm{e}_{\eta}+\zeta \mathrm{e}_{\xi} .
\]

Один наблюдатель регистрирует функции $x(t), y(t), z(t)$, другой – функции $\xi(t), \eta(t), \zeta(t)$. Соответственно для точки $P$ вычисляются
\[
\begin{array}{ll}
\text { абсолютная скорость: } & \mathbf{v}_{\text {асс }}=\dot{x} \mathrm{e}_{x}+\dot{y} \mathrm{e}_{y}+\dot{z} \mathrm{e}_{z}, \\
\text { относительная скорость: } & \mathbf{v}_{\text {отн }}=\dot{\xi} \mathrm{e}_{\xi}+\dot{\eta} \mathrm{e}_{\eta}+\dot{\zeta} \mathrm{e}_{\zeta}, \\
\text { абсолютное ускорение: } & \mathrm{a}_{\text {абс }}=\ddot{x} \mathrm{e}_{x}+\ddot{y} \mathrm{e}_{y}+\ddot{z} \mathrm{e}_{2}, \\
\text { относительное ускорение: } & \mathrm{a}_{\text {отн }}=\ddot{\xi} \mathrm{e}_{\xi}+\ddot{\eta} \mathrm{e}_{\eta}+\ddot{\zeta} \mathrm{e}_{\zeta} .
\end{array}
\]

Чтобы связать их, будем дифференцировать по $t$ тождество
\[
\overline{O P}=\bar{O} \bar{A}+\overline{A P} \text {. }
\]

Первый раз получим

Итак, абсолютная скорость – сумма относительной и переносной:
\[
\mathbf{v}_{\text {абс }}=\mathbf{v}_{\text {пер }}+\mathbf{v}_{\text {отн }},
\]

где
переносная скорость $\mathbf{v}_{\text {пер }}=\mathbf{v}_{A}+[\omega \times \overline{\mathrm{AP}}]$.
Дифференцируем второй раз:

\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \overline{O P}=\mathbf{a}_{A}+ \\
\int \frac{d \mathrm{v} A}{d t} \\
+[\varepsilon \times \overline{A P}]+[\omega \times[\omega \times A P]]+ \\
\mathbf{a}_{\text {aбc }} \quad \mathrm{a}_{\text {пер }} \\
] \frac{d}{d t}[\omega \times \overline{A P}] \\
+\left[\boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta}{\delta t} \overline{A P}\right]+ \\
+\underbrace{\left[\boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta}{\delta t} A P\right]}_{\mathbf{a}_{\text {кор }}}+\underbrace{\left.\frac{\delta^{2}}{\delta t^{2}} \overline{A P}\right]}_{\mathbf{a}_{\text {отн }}} \frac{d}{d t} \frac{\delta}{\delta t} \overline{A P} \\
\end{array}
\]

так что абсолютное ускорение слагается из относительного, переносного и кориолисова (формула Кориолиса):
\[
\mathbf{a}_{\text {абс }}=\mathbf{a}_{\text {пер }}+\mathbf{a}_{\text {отн }}+\mathbf{a}_{\text {кор }},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\text { переносное ускорение } \mathbf{a}_{\text {прp }} & =\mathbf{a}_{A}+[\varepsilon \times \overline{A P}]+[\omega \times[\omega \times \overline{A P}]], \\
\text { кориолисово ускорение } \mathbf{a}_{\text {кср }} & =2\left[\omega_{\text {пер }} \times \mathbf{v}_{\text {отн }}\right] .
\end{aligned}
\]

Теперь надо осмыслить то, что мы получили формально.
Рассмотрим случай, когда оказалось, что точка $P$ все время совпадает с некоторой точкой $B$ того объемного твердого тела, которое мы условились мысленно присоединять к подвижной $\cdot$ системе координат. В этом случае $\mathbf{v}_{\text {отн }} \equiv \mathbf{0}, \mathbf{v}_{\text {абс }}=\mathbf{v}_{B}$; получается
\[
\begin{array}{c}
\text { формула Эйлера } \\
\mathbf{v}_{B}=\mathbf{v}_{A}+[\omega \times \overline{A B}] .
\end{array}
\]

Она гласит: чтобы вычислить скорость точки $B$-произвольной точки тела, достаточно знать скорость $\mathbf{v}_{A}$ некоторой отмеченной точки $A$ и угловую скорость тела . Иначе говоря, формула Эйлера выражает распределение скоростей в твердом теле. Для ускорений справедлива
формула Ривальса
\[
\mathbf{a}_{B}=\mathbf{a}_{A}+[\varepsilon \times \overline{A B}]+[\omega \times[\omega \times \overline{A B}]],
\]

получающаяся из (12) также в предположении $P \equiv B$. Она выражает распределение ускорений в твердом теле (слагаемые в ней называются отмеченным, вращательным и осестремительным ускорениями).

Вернувшись к общему случаю, когда $P$ перемещается относительно несущего тела, увидим, что переносная скорость (переносное ускорение) в каждое мгновение является абсолютной ско-

ростью (абсолютным ускорением) той очередной точки $B$ несущего тела подвижной системы координат, в которой в это мгновение оказалась точка $P$. Чтобы предупредить те многочисленные ошибки, которые связаны с применением понятий переносной скорости и переносного ускорения, обратим внимание в первую очередь на то, что $\mathbf{v}_{\text {пер }}$, $\mathbf{a}_{\text {пер }}$ в общем случае не являются скоростью и ускорением начала координат:
\[
\mathbf{v}_{\text {пер }}
eq \mathbf{v}_{A}, \mathbf{a}_{\text {пер }}
eq \mathbf{a}_{A}
\]

во вторую очередь на то, что $\mathbf{v}_{\text {пер }}$, $\mathbf{a}_{\text {пер }}$ вообще не являются скоростью и ускорением какой-либо одной движущейся точки: в каждое мгновение это скорость и ускорение, вообще говоря, некоторой новой точки, нового следа, который точка $P$ оставляет на твердом теле, связанном с подвижной системой координат.

Қориолисово ускорение также доставляет много хлопот. В нем странно все: и множитель 2 , и векторные сомножители, один из которых – переносная угловая скорость тела, другой, наоборот,-относительная линейная скорость точки (добавим на всякий случай, что выражения «угловая скорость точки» и «скорость тела» в равной степени некорректны).
«Сравнительная» кинематика точки нами построена. Заодно мы установили распределение скоростей и ускорений в произвольном твердом теле. В дальнейшем нам потребуется
обращение формулы Эйлера.

Пусть $\boldsymbol{\Omega}$ – угловая скорость непрямолинейного тела $\mathscr{C}$, и распределение скоростей в этом теле дается формулой
\[
\mathbf{v}_{Q}=\mathbf{v}_{P}+[\boldsymbol{\Omega} \times \overline{P Q}] .
\]

Допустим, что то же самое распределение скоростей дается другой формулой аналогичного вида:
\[
\mathbf{v}_{Q}=\mathbf{u}+[\boldsymbol{\Psi} \times \overline{S Q]}, S \in \mathscr{C} .
\]

Тогда
\[
\mathbf{u}=\mathbf{v}_{s}, \boldsymbol{\Psi}=\mathbf{\Omega} .
\]

Первое утверждение тривиально (подставить $Q=S$ ). Теперь
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{v}_{Q}=\mathbf{v}_{P}+[\boldsymbol{\Omega} \times \overline{P S}]+[\boldsymbol{\Psi} \times \overline{S Q}]=\mathbf{v}_{P}+[\boldsymbol{\Omega} \times \overline{P Q}], \\
{[\boldsymbol{\Psi} \times \overline{S Q}]=[\boldsymbol{\Omega} \times(\overline{P Q}+\overline{S P})]} \\
{[(\boldsymbol{\Psi}-\boldsymbol{\Omega}) \times \overline{S Q}] \equiv 0 .}
\end{array}
\]

Если $\Psi-\boldsymbol{\Omega}
eq 0$, то существует такая точка $Q$, что $S Q
eq 0, S Q$ ঋ स $\boldsymbol{\Psi}-\boldsymbol{\Omega}$. Тогда $[(\boldsymbol{\Psi}-\boldsymbol{\Omega}) \times \overline{S Q]}=0$. Противоречие.

Кстати, из обращения формулы Эйлера снова следует, что угловая скорость тела не зависит от выбора отмеченной точки.

Допустим теперь, что тело $\mathscr{C}$ имеет абсолютную угловую скорость $\boldsymbol{\Omega}_{\text {абс }}$ в неподвижной системе отсчета и относительную угловую скорость $\boldsymbol{\Omega}_{\text {тт в }}$ в подвижной системе отсчета (см. рис. 10).

В свою очередь подвижная система координат, напомним, имеет угловую скорость $\boldsymbol{\omega}=\omega_{\text {пер }}$ относительно неподвижной. Покажем, что
\[
\boldsymbol{\Omega}_{\text {абс }}=\boldsymbol{\omega}_{\text {пер }}+\boldsymbol{\Omega}_{\text {отt }},
\]
т. е. абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной (звучит аналогично (11)). Действительно, пусть $P$, $Q$ – отмеченная и произвольная точки нашего тела $\mathscr{\mathscr { C }}$. Тогда по формуле Эйлера
\[
\mathbf{v}_{Q}^{\text {отн }}=\mathbf{v}_{P}^{\text {отн }}+\left[\boldsymbol{\Omega}_{\text {отн }} \times \overline{P Q}\right] .
\]

Кроме того,
\[
\mathbf{v}_{Q}^{\text {nep }}=\mathbf{v}_{A}+\left[\omega_{\text {nep }} \times \overline{A Q}\right]=\mathbf{v}_{A}+\left[\omega_{\text {nep }} \times \overline{A P}\right]+\left[\omega_{\text {nep }} \times \overline{P Q}\right] .
\]

В силу (11)
\[
\mathbf{v}_{Q}^{\text {абс }}=\mathbf{v}_{Q}^{\text {пер }}+\mathbf{v}_{Q}^{\text {отн. }} .
\]

После подстановки сюда предшествующих формул получим
\[
\mathbf{v}_{Q}^{\text {aбс }}=\mathbf{u}+\left[\left(\boldsymbol{\Omega}_{\text {отн }}+\boldsymbol{\omega}_{\text {пер }}\right) \times \overline{P Q}\right],
\]

и осталось сослаться на обращение формулы Эйлера.
Формула (15) вместе с частным выражением для угловой скорости (6) является важным средством вычисления угловых скоростей в задачах.
Коротко об угловых ускорениях. Продифференцируем (15):
\[
\frac{d}{d t} \Omega_{\text {абс }}=\dot{\omega}_{\text {пер }}+\frac{\delta}{\delta t} \Omega_{\text {отн }}+\left[\omega_{\text {пср }} \times \Omega_{\text {отн }}\right] .
\]

Смысл слагаемых ясен.
Формулы (11), (12), (15), (16) называются формулами сложения. Во всех формулах, относящихся к скоростям,–(11), (13), (15) – по два слагаемых, а относящихся к ускорениям – (12), (14), (16) – по три. При этом в формуле для ускорения есть два слагаемых, по смыслу аналогичных членам в формуле для скоростей, а третье слагаемое имеет вид «странного» векторного произведения.

В заключение покажем, как от векторных формул (11)-(16) перейти к соотношениям в координатах. Пусть $Q(t)$ – матрица перехода от репера $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ к реперу $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}$ (по столбцам стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе). Тогда формуле (7) можно придать вид
\[
\left(\begin{array}{l}
\Phi_{x} \\
\Phi_{y} \\
\Phi_{z}
\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{l}
\Phi_{\xi} \\
\Phi_{\eta} \\
\Phi_{\xi}
\end{array}\right)
\]

Если в формуле (10) мы обозначим $\overline{O A}=1$, то
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
l_{x} \\
l_{y} \\
l_{z}
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{l}
l_{\xi}+\xi \\
l_{\eta}+\eta \\
l_{\zeta}+\zeta
\end{array}\right) .
\]

Аналогично (11) приобретает вид
\[
\left(\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\dot{l}_{x} \\
\dot{l}_{y} \\
\dot{l}_{z}
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{l}
q \xi-r \xi \\
r \xi-p \xi \\
p \eta-q \xi
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\eta \\
\dot{\zeta}
\end{array}\right)
\]

и так далее.
Следующим этапом для нас будет

ДИНАМИЧЕСКОЕ СОПОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ ОТСЧЕТА.
Систему координат $O x y z$ будем считать инерциальной, т. е. примем, что материальная точка, не подвергающаяся никаким воздействиям, двигается в этой системе координат с нулевым ускорением. Это– допущение, которое на практике можно проверить лишь с точностью, присущей принятому способу измерений и в рамках, определяемых нашим умением распознавать воздействия. Коль скоро воздействия описаны (в рамках некоторой модели или сочетания моделей), мы можем дать выражения для силы, действующей на точку, и выписать уравнение движения
\[
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=\mathbf{F}(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r}, t) .
\]

Посмотрим, какой вид примет это уравнение, если мы перейдем в подвижную систему координат $A \xi \eta \zeta$. Во-первых, мы должны разложить вектор $F$ по векторам $\mathbf{e}_{5}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}$ и в выражении его сделать подстановку, выражая $(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r})=(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z)$ через $(\mathbf{\varrho}, \mathbf{\varrho})=$ $=(\dot{\xi}, \eta, \xi, \xi, \eta, \zeta)$ по формулам (18) и (19). Во-вторых, мы должны заменить вектор $\ddot{\mathbf{r}}$ его представлением по формуле сложения ускорений. В результате придем к
\[
m \frac{\delta^{2} \dot{\rho}}{\delta t^{2}}+m\left(\mathbf{a}_{\text {пер }}+\mathbf{a}_{\text {кор }}\right)=\mathbf{F}^{*}(\dot{\boldsymbol{\rho}}, \boldsymbol{\rho}, t) .
\]

Если мы уберем внешние воздействия, т. е. обратим силу $\mathbf{F}$ в нуль, то получим, что в подвижной системе координат ускорение при этом вовсе не обязано быть равным нулю, т. е. подвижная система отсчета, вообще говоря, не является инерциальной. Тот факт, что
\[
m \frac{\delta^{2} \rho}{\delta t^{2}}
eq \mathbf{F}^{*}(\dot{\boldsymbol{\rho}}, \boldsymbol{\rho}, t),
\]

означает попросту, что закон Ньютона в подвижной системе координат места не имеет. С тем, чтобы все-таки сохранить его, примем, что после замены системы отсчета на точку начинают действовать
\[
\text { силы инерции }\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Phi}_{\text {пер }}=-m \mathbf{a}_{\text {пер }}, \\
\boldsymbol{\Phi}_{\text {кор }}=-m \mathbf{a}_{\text {кор }},
\end{array}\right.
\]

называемые соответственно переносной и кориолисовой. Теперь
\[
m \frac{\delta^{2} \rho}{\delta t^{2}}=\mathbf{F}^{*}+\boldsymbol{\Phi}_{\text {пер }}+\boldsymbol{\Phi}_{\text {кор }} .
\]

В качестве примера рассмотрим
ПАДЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ЗЕМЛЮ.

Будем считать, что Земля – однородный шар, равномерно вращающийся ( $\omega=\omega \mathrm{e}_{t}=\overline{\text { const }}$ вокруг неподвижного своего центра $(A=0)$. Тогда
\[
\boldsymbol{\Phi}_{\text {пер }}=-m[\boldsymbol{\omega} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]], \boldsymbol{\Phi}_{\text {кор }}=-2 m\left[\boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta \rho}{\delta t}\right] .
\]

Уясним сначала, что такое сила тяжести. Ясно, что это та сила, которая уравновешивается натяжением нити у маятника, покоящегося относительно Земли. Следовательно, сила тяжести есть векторная сумма гравитационного тяготения и переносной силы инерции (кориолисова обращается в нуль) и вовсе не направлена в центру Земли, как мы привыкли думать (рис. 21):
\[
m g=-\frac{f M m}{\rho} \mathbf{e}_{\rho}-m \omega^{2}\left[\mathrm{e}_{\zeta} \times\left[\mathrm{e}_{\zeta} \times \rho\right]\right] .
\]

В пределах небольшой окрестности любого места $Q$ вблизи поверхности Земли ускорение силы тяжести $g$ можно считать постоянным. Положим $\boldsymbol{\varrho}=\overline{O Q}+\boldsymbol{\sigma}$; закон Ньютона принимает вид
\[
\frac{\delta^{2} \sigma}{\delta t^{2}}=\mathbf{g}-2\left[\omega \times \frac{\delta \sigma}{\delta t}\right] .
\]

Рассмотрим падение точки с нулевой начальной скоростью. Для этого нецелесообразно выписывать точное решение уравнений движения (которые линейны), так как рассмотрение имеет смысл только в течение небольшого промежутка времени, пока точка не упадет на поверхность Земли. Поэтому разложим решение в ряд Тейлора по $t$ :
\[
\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}_{0}+\sigma_{1} t+\frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma}_{2} t^{2}+\frac{1}{6} \sigma_{3} t^{3}+O\left(t^{4}\right) .
\]

Здесь $\sigma_{0}=\sigma_{1}=0$ в силу начальных условий и
\[
\begin{array}{c}
\frac{\delta \sigma}{\delta t}=\sigma_{2} t+\frac{1}{2} \sigma_{3} t^{2}+O\left(t^{3}\right), \\
\frac{\delta^{2} \sigma}{\delta t^{2}}=\sigma_{2}+\sigma_{3} t+O\left(t^{2}\right) .
\end{array}
\]

После подстановки в уравнение движения получаем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\sigma}_{2}+\sigma_{3} t=\mathbf{g}-2\left[\omega \times \sigma_{2} t\right]+O\left(t^{2}\right), \\
\boldsymbol{\sigma}_{2}=\mathbf{g}, \boldsymbol{\sigma}_{3}=-2[\omega \times \mathbf{g}] .
\end{array}
\]

Вывод: в соответствующем приближении точка будет падать вниз с ускорением $\mathrm{g}$, одновременно отклоняясь на восток. Это легко понять «на пальцах»: пока скорость мала, мала и сила Кориолиca, и действует только сила $m \mathbf{g}$, так что точка падает практически равноускоренно. При этом, однако, скорость падения растет,

и в конце концов появляется ощутимая боковая сила Кориолиса, которая отклоняет точку от вертикали в направлении своего действия. Конечно, это рассуждение не есть доказательство. (В частности, оно неявно использует так называемый принцип независимости действия сил, который, вообще говоря, неверен и представляет собой ошибочную трактовку принципа суперпозиции.)
Обратим внимание на следующую формальную аналогию: сила
\[
\boldsymbol{\Phi}_{\text {кор }}=\left[\mathbf{v}_{\text {отн }} \times(-2 m \omega)\right]
\]

по структуре тождественна силе Лоренца, действующей на заряд в однородном магнитном поле:
\[
\mathbf{F}=\left[\mathbf{v} \times \frac{q \mathbf{B}}{c}\right]
\]
(ассоциировать переносную силу инерции с электрической составляющей силы Лоренца не стоит, так как $\operatorname{div} \boldsymbol{\Phi}_{\text {пер }}
eq 0$ ).
В качестве первого приложения этой аналогии рассмотрим

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГОЙ СИЛЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

Пусть в системе координат $O \xi \eta \zeta$ на точку действует сила
\[
\mathbf{F}_{1}=-K_{\mathbf{e}} \text {, }
\]

причем она может быть и отталкивающей (при $K<0$ ). Кроме того, действует сила Лоренца
\[
\mathbf{F}_{2}=[\mathbf{v} \times \mathbf{C}], \quad \mathbf{C}=q \mathbf{B} / c=C \mathbf{e}_{2} .
\]

Будем рассматривать движение в плоскости $O \xi \eta$. Указанная аналогия позволяет интерпретировать силу Лоренца как силу Кориолиса, возникшую за счет того, что система координат $O \xi \eta \xi$ вращается относительно «неподвижной» системы координат $O_{x y z}$ вокруг оси $O_{2}=O_{5}$ с угловой скоростью
\[
\boldsymbol{\omega}=-\frac{q \mathbf{B}}{2 m c} .
\]

В системе $O x y z$ на точку действовала сила
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}_{0} & =\mathbf{F}_{1}-\boldsymbol{\Phi}_{\text {пер }}=\mathbf{F}_{1}+m[\omega \times[\omega \times \boldsymbol{\rho}]]= \\
& =-K \boldsymbol{\rho}-m \omega^{2} \boldsymbol{\rho}=-\left(K+m \omega^{2}\right) \mathbf{r}
\end{aligned}
\]
(здесь $\boldsymbol{\varrho}=\mathrm{r}$ ). Это снова упругая сила:
\[
\mathrm{F}_{0}=-\boldsymbol{x r}, \quad \boldsymbol{x}=K+m \omega^{2} .
\]

Может статься, что $K<0$, а $x>0$. Тогда в системе $O x y$ траектории суть эллипсы, а в системе $O \eta \xi$ точка движется как бы по вращающемуся эллипсу: траектория ограничена, система устойчива. Если мы выключим магнитное поле, то будет $\omega=0$, останется только отталкивающая сила, и система станет неустойчивой.

Коротко можно сделать такой вывод: наложение сильного магнитного поля на отталкивающую упругую силу может превратить

неустойчивую систему в плоскости в устойчивую (эффект Кельвина). Здесь важно, что движение плоское. Неустойчивость по координате $z$, если мы выйдем из плоскости, компенсировать не удастся, так как сила Лоренца в направлении $O z$ не действует $(m \ddot{z}=-K z)$.

За этой модельной задачей стоит теорема из теории устойчивости. Еще одну теорему проиллюстрирует другой пример:

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГОЙ СИЛЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛЫ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ.

Пусть к $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ из предыдущего примера добавилась сила
\[
\mathbf{F}_{3}=-c \boldsymbol{} .
\]

Рассмотрим наиболее интересный случай, когда $K<0$, но система тем не менее устойчива. В теме 2 мы видели, что наложение вязкого трения на устойчивый гармонический осциллятор превращает систему в асимптотически устойчивую. Здесь же, как это ни удивительно на первый взгляд, добавление вязкого трения превратит систему снова в неустойчивую (второй эффект Кельвина). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим собственные числа получающейся линейной системы уравнений движения: ее можно представить в виде
\[
\left(\begin{array}{cc}
m & 0 \\
0 & m
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\ddot{\xi} \\
\eta
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
c & C \\
-C & c
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\dot{\eta}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
K & 0 \\
0 & K
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta
\end{array}\right)=0 .
\]

Характеристическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
m \lambda^{2}+c \lambda+K & C \lambda \\
-C \lambda & m \lambda^{2}+c \lambda+K
\end{array}\right|=\left(m \lambda^{2}+c \lambda+K\right)^{2}+C^{2} \lambda^{2}=0 .
\]

Для устойчивости линейной системы необходимо, чтобы все корни этого уравнения лежали в левой полуплоскости. Тогда и их сумма, и сумма тройных произведений (равная коэффициенту при $\lambda$ с обратным знаком) должны быть неположительны. Последняя, однако, равна – $2 c K>0$, что и доказывает неустойчивость.

Отмеченной аналогии между силой Кориолиса и силой Лоренца можно поручить более серьезную роль.

Если мы посмотрим, как были введены силы инерции, то увидим, что это было сделано искусственно, с целью сохранить закон Ньютона, и что мы не указали никаких внешних воздействий на точку, которым отвечали бы силы инерции. По этой причине силы инерции часто называют псевдосилами. Логически – в узких рамках классической механики – это оправдано, но все же звучание термина вызывает некоторый протест. Қак на практике отличить псевдосилы от подлинных? Силу Кориолиса от силы Лоренца? Строго говоря, отклонение падающего камня от вертикали еще не доказывает вращения Земли, так как это отклонение

может быть вызвано сильным электромагнитным полем. Разумеется, последнее можно опровергнуть, но средствами, лежащими вне механики: например, проверить, что камень электрически нейтрален. И даже при этом более широком взгляде на вещи мы должны быть уверены, что наш каталог воздействий достаточно полон, в силу чего пресловутое отклонение не вызывается никакой третьей :причиной.

Таким образом, трактовка сил инерции как фиктивных не может возводиться в абсолют: она имеет смысл лишь постольку, поскольку мы какие-то системы отсчета согласились считать инерциальными и лишь в той мере, в какой классическая механика применима вообще.

Нам осталось описать системы отсчета ( $\xi, \eta, \zeta, \tau)$, при переходе к которым ,силы инерции не появляются, т. е. описать

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ.
Сначала посмотрим, нельзя ли пользоваться разными часами. Если мы положим $t=f(\tau)$, то получим
\[
\frac{d \mathbf{r}}{d \tau}=f^{\prime} \frac{d \mathbf{r}}{d t}, \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d \tau^{2}}=f^{\prime 2} \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}+f^{\prime \prime} \frac{d \mathbf{r}}{d t} .
\]

Таким образом, перед ускорением появляется множитель и прибавляется еще дополнительное слагаемое. Если мы хотим сохранить закон Ньютона, то должны потребовать
\[
f^{\prime} \equiv 1, \quad t=\tau+\text { const. }
\]

Более общие замены времени (например, вида $t=f(\tau, \xi, \eta, \zeta)$ ), не будем рассматривать, так как они противоречат постулату об универсальности времени.

Теперь представим замену системы отсчета аналитически и вспомним, что силы инерции равны нулю в том случае, если начало подвижной системы – точка $A$ – движется с нулевым ускорением, а оси не вращаются ( $\left.\omega_{\text {пер }} \equiv 0\right)$. Получим частный вариант формул (18) вида
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a+u \tau \\
b+v \tau \\
c+\omega \tau
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right), \quad t=t_{0}+\tau,
\]

в котором все буквенные параметры и ортогональная матрица $Q$ постоянны. Если имеется замена системы отсчета вида (21), то уравнение Ньютона остается инвариантным. Это значит, что если силу выразить через $\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\xi}, \xi, \eta, \xi, \tau$, разложить по векторам е $\mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{6}$ :
\[
\mathbf{F}=F_{\xi} \mathbf{e}_{\xi}+F_{\eta} \mathrm{e}_{\eta}+F_{\zeta} \mathbf{e}_{\xi}
\]

и написать уравнения
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{\xi}=F_{\xi}(\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \xi, \eta, \zeta, \tau), \\
m \ddot{\eta}=F_{\eta}(\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \xi, \eta, \zeta, \tau), \\
m \ddot{\zeta}=F_{\zeta}(\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}, \xi, \eta, \zeta, \tau),
\end{array}
\]

то они снова будут правильными (система ( $\varsigma, \eta, \zeta ; \tau$ ) – тоже инерциальная). Преобразования вида (21) образуют группу, которая называется группой Галилея. Коротко говорят так: вид закона Ньютона сохраняется при преобразованиях Галилея.
Добавление к теме 4.

ЕЩЕ О КИНЕМАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В движущемся твердом теле (если считать его сколь угодно большим) всегда существуют такие точки $C$, скорость которых $\mathbf{v}_{o}$ параллельна вектору угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$. При $\boldsymbol{\omega}
eq 0$ достаточно взять, например, точку $C$ такую, что
\[
\overline{A C}=\frac{\left[\omega \times \mathbf{v}_{A}\right]}{\omega^{2}} .
\]

Легко видеть, что если $C^{\prime}$ – другая точка с тем же свойством, то $\overline{C C^{\prime}}=\lambda \omega$ и $\mathbf{v}_{C}=\mathbf{v}_{C^{\prime}}$. Прямая, образуемая точками $C$, называет: ся осью мгновенно-винтового движения, или винтовой осью (смысл термина в том, что по распределению скоростей в данное мгновение невозможно установить, совершает ли тело постоянное винтовое или более сложное движение).

В случае, когда $\mathbf{v}_{C}=0$, говорят о мгновенном вращении и его оси. Обычно точку с нулевой скоростью можно усмотреть, когда
a) одна точка тела просто все время неподвижна;
б) движение плоское: $C$ – точка пересечения мгновенной оси вращения с плоскостью, называемая мгновенным центром скоростей или мгновенным центром вращения; его легко построить геометрически (рис. 9), исходя из $\mathbf{v}_{A} \perp \overline{C A},\left|\mathbf{v}_{A}\right|=\omega|\overline{C A}|$;
в) происходит качение (без проскальзывания) тела по неподвижной поверхности. Пусть $C$ – точка касания. Скорость той точки $P$ тела, которая оказалась в $C$, по определению равна нулю, т. е.
\[
\mathbf{v}_{A}=[\boldsymbol{\omega} \times \overline{C A}] .
\]

Однако сама точка $C$ как видимый образ (рис. 11, 12) имеет, вообще говоря, ненулевую скорость:
\[
\mathbf{u}_{C}=\frac{d}{d t} \overline{O C} .
\]

После дифференцирования тождества (4.22) получаем
\[
\mathbf{a}_{A}=\left[\omega \times\left(\mathbf{v}_{A}-\mathbf{u}_{C}\right)\right]+[\varepsilon \times \overline{C A}] .
\]

Точка $A$ была отмечена произвольно, и в частности, может совпасть с точкой $C$. Отсюда ускорение в точке касания:
\[
\mathbf{a}_{P=C}=-\left[\omega \times \mathbf{u}_{C}\right] .
\]

Эта малоизвестная формула бывает полезной при решении задач о распределении ускорений в твердом теле.