Симплектической единицей называется матрица размером $2 n \times 2 n:$
\[
I=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E_{n} \\
E_{n} & 0
\end{array}\right),
\]

где $E_{n}$ – единичная матрица $n \times n$. Легко проверить, что $I^{2}=-E_{2 n}$, откуда $I^{-1}=-I=I^{*}$.

В пространстве $\mathbf{R}^{2 n}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}, z_{n+1}, \ldots, z_{2 n}\right)$ введем кососкалярное произведение по формуле
\[
\mathbf{x}, \mathbf{y}^{\top}=\mathbf{x} \cdot I \mathbf{y}
\]

где – формальное (покомпонентное) скалярное произведение. В координатной записи
\[
\backslash \mathbf{x}, \mathbf{y} \backslash=\sum_{i}\left(-x_{i} y_{n+i}+y_{i} x_{n+i}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{2 n}\right) I\left(\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2 n}
\end{array}\right),
\]

где
\[
\mathbf{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{2 n}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{2 n}\right),
\]

Свойства кососкалярного произведения:
(а) кососимметричность: $\backslash \mathbf{x}, \mathbf{y}=-\backslash \mathbf{y}, \mathbf{x}$ 〉;
( $\beta)$ билинейность: $\backslash \mathbf{z}, \alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y} \backslash=\alpha \backslash \mathbf{z}, \mathbf{x} \backslash+\beta \backslash \mathbf{z}, \mathbf{y} \backslash$;
( $\gamma$ ) невырожденность: $\backslash \mathbf{x}, \mathbf{y} \backslash 0_{\forall \mathbf{x}} \Leftrightarrow \mathbf{y}=\mathbf{0}$.
Лемма 0 (следствие невырожденности). Если (f $\mathbf{f}_{1}, \ldots, \mathbf{f}_{2 n}$ ) базис $\mathbf{R}^{2 n}$, то матрица $\left\|\backslash \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{j} \backslash\right\|$ имеет ненулевой определитель.

Доказательство. Пусть ее строки (или столбцы) линейно зависимы, т. е. $\sum_{i} \lambda_{i} \backslash \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{j} \backslash=0$, или $\left|\sum_{i} \lambda_{i} \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{i}\right|=0$ в силу линейности кососкалярного произведения. Поскольку $\mathbf{f}_{i}$ составляют базис, по свойству $(\gamma)$ имеем $\Sigma \lambda_{i} \mathbf{f}_{i}=0 \Rightarrow \lambda_{i}=0$ для всех $i$.

Определение. Базис $\mathbf{f}_{1}, \ldots, \mathbf{f}_{2 n}$ называется симплектическим (каноническим), если $\left\|\backslash \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{j} \backslash\right\|=I$.

Такие базисы существуют; в частности, базис $\mathbf{e}_{i}=(0, \ldots, 0,1$, $0, \ldots, 0)$ – симплектический.

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

Линейное отображение $\mathrm{z} \rightarrow \zeta=S \mathbf{z}$ называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет кососкалярное произведение, т. е.
\[
\backslash \mathbf{x}, \mathbf{y} \backslash=\backslash \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \backslash=\backslash S \mathbf{x}, S \mathbf{y} \backslash .
\]

Матрица $S$ называется в этом случае симплектической. Ясно, что она непременно невырождена.

теорема. Матрица $S$ является симплектической тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
(А) симплектический базис переходит в симплектический;

(5) $S^{*} I S=I$
(B) $S I S^{*}=I$;
(Г) $S^{-1}=-I S^{*} I$
(Д) $S^{*}=-I S^{-1} I$.

Пусть
\[
S=\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
B & D
\end{array}\right),
\]

где $A, B, C, D$-матрицы $n$-го порядка. Должно быть
(E) $A^{*} B-B^{*} A=0, C^{*} D-D^{*} C=0, A D-B^{*} C=E$;
(Ж) $A C^{*}-C A^{*}=0, B D^{*}-D B^{*}=0, A D^{*}-C B^{*}=E$;
3) $S^{-1}=\left(\begin{array}{cc}D^{*} & -C^{*} \\ -B^{*} & A^{*}\end{array}\right)$.
Доказательство. Выпишем тождество (2) подробно:
\[
\backslash \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \backslash=\boldsymbol{\xi} \cdot I \boldsymbol{\eta}=S \mathbf{x} \cdot I S \mathbf{y}=\mathbf{x} \cdot S^{*} I S \mathbf{y}=\mathbf{x} \cdot I \mathbf{y}=\backslash \mathbf{x}, \mathbf{y} \backslash .
\]

Из последней строчки следует (Б). Умножая это равенство на $S^{-1}$ справа и $I^{-1}=-I$ слева, получаем ( $\Gamma$ ), из которого умножением справа на $S$ и слева на $I^{-1}=-I$ получается (В). Для доказательства (Е) вычислим
\[
\begin{array}{c}
S^{*} I S=\left(\begin{array}{cc}
A^{*} & B^{*} \\
C^{*} & D^{*}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & -E \\
+E & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
B & D
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
A^{*} & B^{*} \\
C^{*} & D^{*}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-B & -D \\
A & C
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
B^{*} A-A^{*} B & -A^{*} D+B^{*} C \\
D^{*} A-C^{*} B & D^{*} C-C^{*} D
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

В силу (Б) получаем условия на матрицы $A, B, C, D$ :
\[
\begin{array}{c}
A^{*} B-B^{*} A=0, \\
C^{*} D-D^{*} C=0, \\
A^{*} D-B^{*} C=E, \\
C^{*} B-D^{*} A=-E .
\end{array}
\]

Последние два условия равносильны (первые два условия означают, что матрицы $A^{*} B$ и $C^{*} D$ – симметрические).

Пример. Пусть $n=1$. Тогда симплектическим пространством будет плоскость $\mathbf{R}^{2}\left(z_{1} z_{2}\right)$. Пусть каноническое отображение задается матрицей
\[
S=\left(\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right) .
\]

Выполнение первых двух условий критерия (E) очевидно: $a b-b a=c d-d c=0$. Последнее условие: $a d-b c=1$ означает, что $\operatorname{det} S=1$. Этому удовлетворяют, в частности,
a) собственные ортогональные матрицы (матрицы поворотов);
б) матрицы вида
\[
\left(\begin{array}{ll}
\lambda & 0 \\
0 & 1 / \lambda
\end{array}\right), \quad \lambda
eq 0,
\]

которые задают гиперболические повороты:
\[
\zeta_{1}=\lambda z_{1}, \zeta_{2}=\frac{1}{\lambda} z_{2} .
\]

Очевидно, что $\zeta_{1} \zeta_{2}=z_{1} z_{2}$, так что векторы-образы с изменением $\lambda$ как будто скользят по гиперболе (при обычном повороте сохраняются окружности, при гиперболическом – гиперболы).

ЛИНЕИНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. Пусть имеются уравнения Гамильтона:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\]

Положим $z_{i}=p_{i}, z_{n+i}=q_{i}$; нашу систему можно переписать в виде
\[
\left(\begin{array}{c}
\frac{d p_{1}}{d t} \\
\cdot \\
\cdot \\
\frac{d p_{n}}{d t} \\
\frac{d q_{1}}{d t} \\
\cdot \\
\frac{d q_{n}}{d t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E_{n} \\
E_{n} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \\
\cdot \\
\cdot \\
\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \\
\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \\
\cdot \\
\frac{\partial H}{\partial q_{n}}
\end{array}\right) .
\]

Слева у нас стоит вектор $\frac{d z}{d t}$, справа симплектическая единица умножается на вектор $\frac{\partial H}{\partial \mathbf{z}}=\left(\frac{\partial H}{\partial z_{1}}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial z_{2 n}}\right)$. Итак,
\[
\frac{d \mathbf{z}}{d t}=I \frac{\partial H}{\partial \mathbf{z}}-
\]

другое представление системы Гамильтона. Она линейна тогда и только тогда, когда (с точностью до константы) $H$ – квадратичная форма своих аргументов, т. е. $H=\frac{1}{2} \mathbf{z} \cdot \mathbf{H z}$, где $\mathbf{H}$ – симметрическая матрица. В таком случае система (3) примет вид
\[
\dot{\mathbf{z}}=I \mathrm{~Hz} .
\]

Поскольку $I \mathbf{H}$ – постоянная матрица, общее решение здесь
\[
\mathbf{z}=e^{I \mathbf{H} t} \mathbf{z}_{0} .
\]

Матричный ряд
\[
e^{A}=E+A+\frac{A^{2}}{2}+\ldots+\frac{A^{n}}{n !}+\ldots
\]

абсолютно сходится. Нетрудно показать, что
1) $\left(e^{A}\right)^{*}=e^{A^{*}}$
2) $e^{A+B}=e^{A} e^{B}$, если $A B=B A$;
3) $\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}$;
4) $\left(e^{A(t)}\right)=\dot{A}(t) e^{A(t)}$, если $\dot{A} A=A \dot{A}$.
Определение. Назовем фазовым потоком $g_{H}{ }^{t}$ группу сдвигов за время $t$ вдоль решений системы (4):
\[
\mathbf{z}_{0} \rightarrow g_{H}^{t} \mathbf{z}_{0}=\mathbf{z}\left(\mathbf{z}_{0}, t\right)=e^{l H t} \mathbf{z}_{0} .
\]

Задача 54. Пусть $n=1$ и $H=\frac{1}{2}\left(\alpha p^{2}+\beta q^{2}\right), \alpha>0$. Тогда
a) при $\beta>0$ (эллиптический тип фазового потока)
\[
e^{I \mathrm{H} t}=\left(\begin{array}{lc}
\cos v t & -\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \sin v t \\
+\sqrt{\frac{\alpha}{\beta} \sin v t} & \cos v t
\end{array}\right), v=\sqrt{\alpha \beta} ;
\]
б) при $\beta=0$ (промежуточный вырожденный случай)
\[
e^{I H t}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\alpha t & 0
\end{array}\right)
\]
в) при $\beta<0$ (гиперболический тип)
\[
e^{I H t}=\left(\begin{array}{cc}
\text { ch } v t & \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \operatorname{sh} v t \\
\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \operatorname{sh} v t & \text { ch } v t
\end{array}\right), v=V \overline{-\alpha \beta} .
\]

Доказать. Изобразить фазовый портрет во всех случаях.
Лемма 1. Матрица $e^{I \text { H } t}$ – симплектическая, т. е. фазовый поток состоит из канонических (симплектических) отображений.

Докажем, что если Н – симметрическая, то $e^{\mathbf{H}}$ – каноническая (обратное неверно, т. е. не каждая каноническая матрица так представима):
\[
S^{*}=\left(e^{I \boldsymbol{H}}\right)^{*}=e^{\boldsymbol{H}^{*} I^{*}}=e^{-\boldsymbol{H I}}=\sum \frac{1}{n !}(-1)^{n}(\boldsymbol{H} I)^{n} .
\]

Ho
\[
(\boldsymbol{H} I)^{n}=\boldsymbol{H} I \boldsymbol{H} I \ldots \boldsymbol{H} I=I^{-1}(I \boldsymbol{H} I \boldsymbol{H} \ldots I \boldsymbol{H}) I=I^{-1}(I \boldsymbol{H})^{n} I .
\]

Следовательно,
\[
\sum \frac{1}{n !}(-1)^{n}(\mathbf{H} I)^{n}=I^{-1} \sum \frac{1}{n !}(-I \mathbf{H})^{n} I=I^{-1} e^{-I \mathbf{H}} I .
\]

Таким образом, $S^{*}=I^{-1} S^{-1} I$, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть $\lambda_{i}$ – собственные числа матрицы $I \mathbf{H}$, а $\mathbf{f}_{i}$ ее собственные векторы (вообще говоря, комплексные). Тогда либо $\backslash \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{i} \backslash=0$, либо $\lambda_{i}+\lambda_{j}=0$.
Доказательство исходит из симметричности матрицы $\mathbf{H}$ :
\[
\mathbf{f}_{i} \cdot \mathbf{H} f_{j}-\mathbf{H} \mathbf{f}_{i} \cdot \mathbf{f}_{i}=0 .
\]

Первое слагаемое
\[
f_{i} \cdot \mathbf{H}_{i}=-f_{i} \cdot I^{2} \mathbf{H f}_{j}=\backslash I \mathbf{H f}_{j}, \mathbf{f}_{i} \backslash=\lambda_{j} \backslash \mathbf{f}_{j} . \mathbf{f}_{i} \backslash
\]

и аналогично второе:
\[
-H \mathbf{f}_{i} \cdot \mathbf{f}_{j}=\lambda_{i} \backslash \mathbf{f}_{j}, \mathbf{f}_{i} \backslash \text {. }
\]

В итоге $\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) \wedge \mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{j} \backslash=0$.
Лемма 3 (о распределении собственных чисел). Если $\lambda$ собственное, то
(a) общий факт: и $\bar{\lambda}-$ собственное;
(б) специфический факт: $-\lambda$-тоже собственное.
Второе следует из цепочки равенств:
\[
\begin{array}{c}
0=\operatorname{det}(I \mathbf{H}-\lambda E)=\operatorname{det}(I \mathbf{H}-\lambda E)^{*}=\operatorname{det}(-\mathbf{H} I-\lambda E)= \\
=\operatorname{det}[I(I \mathbf{H}+\lambda E) I]=(\operatorname{det} I)^{2} \operatorname{det}(I \mathbf{H}+\lambda E)=\operatorname{det}(I \mathbf{H}+\lambda E) .
\end{array}
\]

Таким образом, расположение ненулевых собственных чисел на комплексной плоскости С характеризуется разбиением их на пары (в случае чисто мнимых и действительных) и четверки (рис. 70). Всюду ниже будем считать, что все собственные числа матрицы различны, следовательно, ни одно не равно нулю.

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ.

Пусть $\dot{\mathbf{z}}=I \mathbf{H z}$, и есть каноническое отображение $\zeta=S \mathbf{z}$, тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \xi}{d t}=S \frac{d \mathbf{z}}{d t}=S I \mathbf{H z}=S I \mathbf{H} S^{-1} \xi=S I S^{*}\left(S^{*}\right)^{-1} \mathbf{H} S^{-1} \xi= \\
=I\left(S^{-1}\right)^{*} \mathbf{H} S^{-1} \xi=I \mathbf{H}^{\prime} \xi
\end{array}
\]
(причем $\mathbf{H}^{\prime}=\left(S^{-1}\right) * \mathbf{H} S^{-1}$ – симметрическая матрица): преобразованная система снова линейная каноническая. Ее гамильтониан
\[
\begin{aligned}
H^{\prime}(\boldsymbol{\zeta})=-\frac{1}{2} \boldsymbol{\zeta} \cdot H^{\prime} \boldsymbol{\xi} & =\frac{1}{2} \boldsymbol{\zeta} \cdot\left(S^{-1}\right)^{*} \mathbf{H} S^{-1} \boldsymbol{\xi}=\frac{1}{2} S^{-1} \boldsymbol{\xi} \cdot H S^{-1} \boldsymbol{\xi}= \\
& =\frac{1}{2} \mathbf{z} \cdot H \mathbf{z}=H\left(S^{-1} \boldsymbol{\xi}\right) .
\end{aligned}
\]

Канонические преобразования призваны упрощать системы.
Задача 55. Пусть $n=1$ и $H=\frac{1}{2}\left(\alpha p^{2}+2 \gamma p q+\beta q^{2}\right) \equiv 0$.

Показать, что существует симплектическое преобразование
\[
\left(\begin{array}{l}
P \\
Q
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right)\left(\frac{p}{q}\right),
\]

такое, что $H^{\prime}= \pm \frac{1}{2}\left(P^{2}+\mu Q^{2}\right.$ ) (вспомним примеры симплектических матриц при $n=1$ ). Чему равно $\mu$ ? В каком смысле мож-

но сказать, что существуют два варианта эллиптического типа фазового потока и только один вариант гиперболического типа?

Теорема о полном разделении. Если собственные значения матрицы IН различные чисто мнимые или действительные числа, то существует каноническое преобразование $\zeta=S \mathrm{z}$ такое, что
\[
H^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} \pm \frac{1}{2}\left(P_{i}^{2}+\mu_{i} Q_{i}{ }_{i}\right),
\]
т. е. переменные полностью разделяются. Здесь $\zeta=\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right.$, $\left.Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right)$.
Доказательство проводится в три этапа.
1. Следствие леммы 2. Можно так занумеровать числа $\lambda_{i}$ и выбрать векторы $\mathbf{f}_{i}$, чтобы выполнялось следующее:
a) для $\alpha=1, \ldots, m$ – числа $\lambda_{\alpha}, \lambda_{n+\alpha}=-\lambda_{\alpha}$ – действительные, а для $\rho=m+1, \ldots, n$ числа $\lambda_{\rho}, \lambda_{n+\rho}=\bar{\lambda}_{\rho}$ – чисто мнимые;
б) симплектическим является базис:
\[
\left\{\tilde{\mathbf{f}}_{i}\right\}=\left\{\tilde{\mathbf{f}}_{\alpha}=\mathbf{f}_{\alpha}, \tilde{\mathbf{f}}_{p}=\operatorname{Re} \mathbf{f}_{p}, \tilde{\mathbf{f}}_{n+\alpha}=\mathbf{f}_{n+\alpha}, \tilde{\mathbf{f}}_{n+p}=\operatorname{Im} \mathbf{f}_{\rho}\right\}
\]
(как известно,
\[
\lambda_{\rho} \longleftrightarrow \mathbf{f}_{\rho}=\tilde{\mathbf{f}}_{\rho}+i \tilde{\mathbf{f}}_{n+\rho}, \lambda_{n+\rho}=\tilde{\lambda}_{\rho} \longleftrightarrow \mathbf{f}_{n+p}=\tilde{\mathbf{f}}_{\rho}-i \tilde{\mathbf{f}}_{n+\rho},
\]
т. е. сопряженным собственным числам отвечают сопряженные собственные векторы). Положим $\lambda_{\rho}=-i \lambda_{\rho}^{\prime}, \lambda_{n+\rho}=i \lambda_{\rho}^{\prime}, \lambda_{n+\alpha}=\lambda_{\alpha}^{\prime}$.
2. Предложение. Пусть $S$ – отображение, переводящее $\mathbf{е}_{i}$ в $\tilde{\mathfrak{f}}_{i}$. Тогда в новых переменных $w=\left(r_{1}, \ldots, r_{n}, s_{1}, \ldots, s_{n}\right)$
\[
\widetilde{H}=\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{\prime} r_{\alpha} s_{\alpha}+\sum_{p} \frac{1}{2} \lambda_{p}^{\prime}\left(r_{p}^{2}+s_{p}^{2}\right) .
\]
3. Замечание. От $\tilde{H}$ можно перейти к $H^{\prime}$, указанному в формулировке теоремы. По каждой паре переменных надо действовать независимо. Если есть две переменные $r, s$, то
\[
\begin{array}{c}
\left.\widetilde{H}=\lambda r s \rightarrow H^{\prime \prime}=\frac{\lambda}{2} \overline{\left(r^{2}\right.}-\bar{s}^{2}\right) \rightarrow H^{\prime}=\frac{1}{2}\left(P^{2}+\mu Q^{2}\right), \mu<0, \\
\tilde{H}=\frac{\lambda}{2}\left(r^{2}+s^{2}\right) \rightarrow H^{\prime}= \pm \frac{1}{2}\left(P^{2}+\mu Q^{2}\right), \quad \mu>0,
\end{array}
\]

при соответствующем линейном каноническом преобразовании (см. примеры линейных канонических отображений при $n=1$ ).
Доказательство следствия. Занумеруем $\lambda_{i}$ так, чтобы
\[
\lambda_{\alpha}=-\lambda_{n+\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, m, \quad \text { и } \lambda_{\rho}=\bar{\lambda}_{n+\rho}, \quad \rho=m+1, \ldots, n,
\]

где $\lambda_{\alpha}$ чисто действительны, $\lambda_{\rho}$ чисто мнимы. Так как все $\lambda_{i}$ различны, существует собственный базис f. Перейдем к вещественному базису $\widetilde{f}$ по формуле (6) и сведем все векторы в пары вида $\pi_{i}=\left\{\widetilde{\mathfrak{f}}_{i}, \widetilde{\mathbf{f}}_{n+i}\right\}$.

А. Покажем, что векторы из разных пар $\pi_{i}$ и $\pi_{j}(i
eq j)$ попарно косоортогональны. Рассмотрим, например, случай $i=\alpha, j=\rho$. Так как $\lambda_{\alpha}$ вещественны, а $\lambda_{p}$ мнимы, то
\[
\lambda_{\alpha}+\lambda_{\mathrm{p}}
eq 0, \lambda_{\alpha}+\lambda_{n+\rho}
eq 0, \lambda_{n+\alpha}+\lambda_{\rho}
eq 0, \lambda_{n+\alpha}+\lambda_{n+\rho}
eq 0 .
\]

Отсюда по лемме 3
\[
\backslash \mathbf{f}_{n+\alpha}, \tilde{\mathbf{f}}_{p} \pm i \tilde{\mathbf{f}}_{n+p} \backslash=\backslash \tilde{\mathbf{f}}_{\alpha}, \tilde{\mathbf{f}}_{\alpha} \pm \tilde{\mathbf{f}}_{n+\rho} \backslash=0,
\]

или, отделяя действительные и мнимые части,
\[
\backslash \tilde{f}_{\alpha}, \tilde{f}_{p} \backslash=\backslash \tilde{f}_{\alpha}, \tilde{f}_{n+p} \backslash=\backslash \tilde{f}_{n+\alpha}, \tilde{f}_{p} \backslash=\backslash \tilde{f}_{n+\alpha}, \tilde{f}_{n+p} \backslash=0 .
\]

Упіражнение. Остальные случаи разобрать самостоятельно.
Б. Итак, в репере $\left\{\tilde{f}_{i}\right\}$ все $\backslash \tilde{\mathbf{f}}_{i}, \tilde{\mathbf{f}}_{k} \backslash=0$ за исключением $\backslash \tilde{\mathfrak{f}}_{k}, \tilde{\mathfrak{f}}_{n+k} \backslash=-\backslash \tilde{\mathfrak{f}}_{n+k}, \tilde{\mathfrak{f}}_{k} \backslash=c_{k}
eq 0$ (если бы хоть одно из $c_{k}=0$, то матрица попарных кососкалярных произведений векторов базиса была бы вырождена, что противоречит лемме 0 ).

Осталось сделать $c_{k} \equiv 1$. Во-первых, можно считать $c_{i}>0$, поменяв, если надо, местами $\lambda_{k}$ и $\lambda_{n+k}$ (если $k=\alpha$, то поменяются местами $\widetilde{\mathfrak{f}}_{\alpha}$ и $\widetilde{\mathfrak{f}}_{n+\alpha}$, если $k=\rho$, то $\widetilde{\mathfrak{f}}_{k}$ не изменит направление, $\widetilde{\mathbf{f}}_{n+\rho}$ изменит). Теперь, если $c_{k}
eq 1$, то возьмем вместо $\mathbf{f}_{k}$ и $\mathbf{f}_{n+k}$ векторы $\frac{1}{\sqrt{c_{k}}} f k \frac{1}{\sqrt{c_{k}}} f_{n+k}$.

Доказательство предложения. Пусть $\lambda_{k}$ – собственные числа линейной системы $z=C \mathbf{z}$ (каноничность пока не используется) и вектор $z$ разложен по собственному реперу $z=\Sigma z_{i} f_{i}$, тогда
а) система приобретает вид $\dot{z}_{k}=\lambda_{k} z_{k}$;
б) если $\lambda_{j}=\bar{\lambda}_{k}$, то $z_{j}=\bar{z}_{k}$; если $\lambda_{k}$ – действительное число, то и $z_{k}$ – действительная координата.

Применим эти общие сведения к каноническим системам. Для пары собственных значений $\lambda_{\alpha}, \lambda_{n+\alpha}=-\lambda_{\alpha}$ имеем
\[
\frac{d z_{a}}{d t}=\lambda_{\alpha} z_{\alpha}, \quad \frac{d z_{n+\alpha}}{d t}=\lambda_{n+\alpha} z_{n+\alpha},
\]

или, обозначив $z_{\alpha}=r_{\alpha}, z_{n+\alpha}=s_{\alpha}$ и учитывая $\lambda_{n+\alpha}=-\lambda_{\alpha}$, приходим к
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r_{\alpha}}{d t}=-\lambda_{n+\alpha} r_{\alpha}=-\frac{\partial}{\partial s_{\alpha}}\left(\lambda_{n+\alpha} r_{\alpha} s_{\alpha}\right), \\
\frac{d s_{\alpha}}{d t}=\lambda_{n+\alpha} s_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial r_{\alpha}}\left(\lambda_{n+\alpha} r_{\alpha} s_{\alpha}\right) .
\end{array}
\]

Для пары собственных значений $\lambda_{\rho}=-i \lambda_{\rho}^{\prime}, \lambda_{n+\rho}=i \lambda_{\rho}^{\prime}$ обозначим
\[
z_{\mathrm{\rho}}=\frac{1}{2}\left(r_{\mathrm{\rho}}-i s_{\mathrm{\rho}}\right), \quad z_{n+\mathrm{\rho}}=\frac{1}{2}\left(r_{\mathrm{\rho}}+i s_{\mathrm{\rho}}\right),
\]

тогда
\[
\frac{d z_{\mathrm{\rho}}}{d t}=\lambda_{\mathrm{p}} z_{\mathrm{\rho}} \Leftrightarrow \frac{d}{d t}\left(r_{\mathrm{p}}-i s_{\mathrm{p}}\right)=-i \lambda_{\mathrm{\rho}}^{\prime}\left(r_{\mathrm{p}}-i s_{\mathrm{p}}\right),
\]

а после отделения действительной и мнимой частей
\[
\begin{array}{c}
\frac{d r_{p}}{d t}=-\lambda^{\prime}{ }_{p} s_{p}=-\frac{\partial}{\partial s_{p}}\left(\frac{\lambda_{p}^{\prime}}{2}\left(r_{p}^{2}+s_{p}^{2}\right)\right), \\
\frac{d s_{p}}{d t}=\lambda^{\prime}{ }_{\rho} r_{p}=\frac{\partial}{\partial r_{p}}\left(\frac{\lambda_{p}^{\prime}}{2}\left(r_{p}^{2}+s_{p}^{2}\right)\right) .
\end{array}
\]

Итак, в переменных $r_{k}, s_{k}$ уравнения Гамильтона разделяются на независимые системы. Суммарный гамильтониан и есть искомый.
Задача 56. Доказать, что каноническая система $\mathrm{z}=I \mathrm{~Hz}$
a) имеет вполне-линейный интеграл $F=\mathbf{z} \cdot I \mathbf{u}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{H u}=0$, так что существует $\lambda=0$;
б) имеет вполне-квадратичный интеграл $G=\frac{1}{2} \mathbf{z} \cdot \mathbf{G z}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{G} / \mathbf{H}=\mathbf{H} I \mathbf{G}$ (т. е. $\left.\mathbf{G} / \mathbf{H}=-(\mathbf{G} / \mathbf{H})^{*}\right)$;
в) фазовые потоки систем $\dot{\mathbf{z}}=I \mathbf{H z}, \dot{\mathbf{z}}^{\prime}=I \mathbf{G z}$ коммутируют, т. е. (рис. 71$) \mathbf{z}_{H}\left(t, \mathbf{z}_{G}\left(s, \mathbf{z}_{0}\right)\right)=\mathbf{z}_{G}\left(s, \mathbf{z}_{H}\left(t, \mathbf{z}_{0}\right)\right)$;
г) при полном разделении переменных квадратичный интеграл приводится к виду
\[
G=\sum \frac{\delta_{i}}{2}\left(P_{i}^{2}+\mu Q^{2}\right) .
\]