Симплектической единицей называется матрица размером $2n\times 2n:$
$$I=\left(\begin{array}{cc}0& -E_n\\ E_n& 0\end{array}\right),$$

где $E_n$ — единичная матрица $n\times n$. Легко проверить, что $I^2=-E_{2n}$, откуда $I^{-1}=-I=I^{\ast }$.

В пространстве ${\mathbf{R}}^{2n}(z_1,\dots ,z_n,z_{n+1},\dots ,z_{2n})$ введем кососкалярное произведение по формуле
$$\mathbf{x},{\mathbf{y}}^{\mathrm{\top }}=\mathbf{x}\cdot I\mathbf{y}$$

где — формальное (покомпонентное) скалярное произведение. В координатной записи
$$\mathrm{\setminus }\mathbf{x},\mathbf{y}\mathrm{\setminus }=\sum _i(-x_i{y}_{n+i}+y_i{x}_{n+i})=(x_1,\dots ,x_{2n})I\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_{2n}\end{array}\right),$$

где
$$\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_{2n}),\mathbf{y}=(y_1,\dots ,y_{2n}),$$

Свойства кососкалярного произведения:
(а) кососимметричность: $\mathrm{\setminus }\mathbf{x},\mathbf{y}=-\mathrm{\setminus }\mathbf{y},\mathbf{x}$ 〉;
( $\beta )$ билинейность: $\mathrm{\setminus }\mathbf{z},\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}\mathrm{\setminus }=\alpha \mathrm{\setminus }\mathbf{z},\mathbf{x}\mathrm{\setminus }+\beta \mathrm{\setminus }\mathbf{z},\mathbf{y}\mathrm{\setminus }$;
( $\gamma$ ) невырожденность: $\mathrm{\setminus }\mathbf{x},\mathbf{y}\mathrm{\setminus }{0}_{\mathrm{\forall }\mathbf{x}}\iff \mathbf{y}=\mathbf{0}$.
Лемма 0 (следствие невырожденности). Если (f ${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_{2n}$ ) базис ${\mathbf{R}}^{2n}$, то матрица $\Vert \mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_j\mathrm{\setminus }\Vert$ имеет ненулевой определитель.

Доказательство. Пусть ее строки (или столбцы) линейно зависимы, т. е. $\sum _i{\lambda }_i\mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_j\mathrm{\setminus }=0$, или $|\sum _i{\lambda }_i{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_i|=0$ в силу линейности кососкалярного произведения. Поскольку ${\mathbf{f}}_i$ составляют базис, по свойству $(\gamma )$ имеем $\mathrm{\Sigma }{\lambda }_i{\mathbf{f}}_i=0\Rightarrow {\lambda }_i=0$ для всех $i$.

Определение. Базис ${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_{2n}$ называется симплектическим (каноническим), если $\Vert \mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_j\mathrm{\setminus }\Vert =I$.

Такие базисы существуют; в частности, базис ${\mathbf{e}}_i=(0,\dots ,0,1$, $0,\dots ,0)$ — симплектический.

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

Линейное отображение $\mathrm{z}\to \zeta =S\mathbf{z}$ называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет кососкалярное произведение, т. е.
$$\mathrm{\setminus }\mathbf{x},\mathbf{y}\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }\mathit{\xi },\mathit{\eta }\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }S\mathbf{x},S\mathbf{y}\mathrm{\setminus }.$$

Матрица $S$ называется в этом случае симплектической. Ясно, что она непременно невырождена.

теорема. Матрица $S$ является симплектической тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
(А) симплектический базис переходит в симплектический;

(5) $S^{\ast }IS=I$
(B) $SI{S}^{\ast }=I$;
(Г) $S^{-1}=-I{S}^{\ast }I$
(Д) $S^{\ast }=-I{S}^{-1}I$.

Пусть
$$S=\left(\begin{array}{ll}A& C\\ B& D\end{array}\right),$$

где $A,B,C,D$-матрицы $n$-го порядка. Должно быть
(E) $A^{\ast }B-B^{\ast }A=0,C^{\ast }D-D^{\ast }C=0,AD-B^{\ast }C=E$;
(Ж) $A{C}^{\ast }-C{A}^{\ast }=0,B{D}^{\ast }-D{B}^{\ast }=0,A{D}^{\ast }-C{B}^{\ast }=E$;
3) $S^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{D}^{\ast }& -C^{\ast }\\ -B^{\ast }& A^{\ast }\end{array}\right)$.
Доказательство. Выпишем тождество (2) подробно:
$$\mathrm{\setminus }\mathit{\xi },\mathit{\eta }\mathrm{\setminus }=\mathit{\xi }\cdot I\mathit{\eta }=S\mathbf{x}\cdot IS\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot S^{\ast }IS\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot I\mathbf{y}=\mathrm{\setminus }\mathbf{x},\mathbf{y}\mathrm{\setminus }.$$

Из последней строчки следует (Б). Умножая это равенство на $S^{-1}$ справа и $I^{-1}=-I$ слева, получаем ( $\mathrm{\Gamma }$ ), из которого умножением справа на $S$ и слева на $I^{-1}=-I$ получается (В). Для доказательства (Е) вычислим
$$\begin{array}{c}{S}^{\ast }IS=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\ast }& B^{\ast }\\ C^{\ast }& D^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -E\\ +E& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}A& C\\ B& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{A}^{\ast }& B^{\ast }\\ C^{\ast }& D^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-B& -D\\ A& C\end{array}\right)=\\ =\left(\begin{array}{cc}{B}^{\ast }A-A^{\ast }B& -A^{\ast }D+B^{\ast }C\\ D^{\ast }A-C^{\ast }B& D^{\ast }C-C^{\ast }D\end{array}\right).\end{array}$$

В силу (Б) получаем условия на матрицы $A,B,C,D$ :
$$\begin{array}{c}{A}^{\ast }B-B^{\ast }A=0,\\ C^{\ast }D-D^{\ast }C=0,\\ A^{\ast }D-B^{\ast }C=E,\\ C^{\ast }B-D^{\ast }A=-E.\end{array}$$

Последние два условия равносильны (первые два условия означают, что матрицы $A^{\ast }B$ и $C^{\ast }D$ — симметрические).

Пример. Пусть $n=1$. Тогда симплектическим пространством будет плоскость ${\mathbf{R}}^2\left(z_1{z}_2\right)$. Пусть каноническое отображение задается матрицей
$$S=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right).$$

Выполнение первых двух условий критерия (E) очевидно: $ab-ba=cd-dc=0$. Последнее условие: $ad-bc=1$ означает, что $\det S=1$. Этому удовлетворяют, в частности,
a) собственные ортогональные матрицы (матрицы поворотов);
б) матрицы вида
$$\left(\begin{array}{ll}\lambda & 0\\ 0& 1/\lambda \end{array}\right),\lambda eq0,$$

которые задают гиперболические повороты:
$${\zeta }_1=\lambda z_1,{\zeta }_2=\frac{1}{\lambda }{z}_2.$$

Очевидно, что ${\zeta }_1{\zeta }_2=z_1{z}_2$, так что векторы-образы с изменением $\lambda$ как будто скользят по гиперболе (при обычном повороте сохраняются окружности, при гиперболическом — гиперболы).

ЛИНЕИНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. Пусть имеются уравнения Гамильтона:
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}.$$

Положим $z_i=p_i,z_{n+i}=q_i$; нашу систему можно переписать в виде
$$\left(\begin{array}{c}\frac{d{p}_1}{dt}\\ \cdot \\ \cdot \\ \frac{d{p}_n}{dt}\\ \frac{d{q}_1}{dt}\\ \cdot \\ \frac{d{q}_n}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -E_n\\ E_n& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial p_1}\\ \cdot \\ \cdot \\ \frac{\partial H}{\partial p_n}\\ \frac{\partial H}{\partial q_1}\\ \cdot \\ \frac{\partial H}{\partial q_n}\end{array}\right).$$

Слева у нас стоит вектор $\frac{dz}{dt}$, справа симплектическая единица умножается на вектор $\frac{\partial H}{\partial \mathbf{z}}=(\frac{\partial H}{\partial z_1},\dots ,\frac{\partial H}{\partial z_{2n}})$. Итак,
$$\frac{d\mathbf{z}}{dt}=I\frac{\partial H}{\partial \mathbf{z}}-$$

другое представление системы Гамильтона. Она линейна тогда и только тогда, когда (с точностью до константы) $H$ — квадратичная форма своих аргументов, т. е. $H=\frac{1}{2}\mathbf{z}\cdot \mathbf{H}\mathbf{z}$, где $\mathbf{H}$ — симметрическая матрица. В таком случае система (3) примет вид
$$\dot{\mathbf{z}}=I\mathrm{Hz}.$$

Поскольку $I\mathbf{H}$ — постоянная матрица, общее решение здесь
$$\mathbf{z}=e^{I\mathbf{H}t}{\mathbf{z}}_0.$$

Матричный ряд
$$e^A=E+A+\frac{A^2}{2}+\dots +\frac{A^n}{n!}+\dots$$

абсолютно сходится. Нетрудно показать, что
1) ${\left(e^A\right)}^{\ast }=e^{A^{\ast }}$
2) $e^{A+B}=e^A{e}^B$, если $AB=BA$;
3) ${\left(e^A\right)}^{-1}=e^{-A}$;
4) $\left(e^{A(t)}\right)=\dot{A}(t)e^{A(t)}$, если $\dot{A}A=A\dot{A}$.
Определение. Назовем фазовым потоком $g_H{}^t$ группу сдвигов за время $t$ вдоль решений системы (4):
$${\mathbf{z}}_0\to g_H^t{\mathbf{z}}_0=\mathbf{z}({\mathbf{z}}_0,t)=e^{lHt}{\mathbf{z}}_0.$$

Задача 54. Пусть $n=1$ и $H=\frac{1}{2}(\alpha p^2+\beta q^2),\alpha >0$. Тогда
a) при $\beta >0$ (эллиптический тип фазового потока)
$$e^{I\mathrm{H}t}=\left(\begin{array}{lc}\cos vt& -\sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}\sin vt\\ +\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }\sin vt}& \cos vt\end{array}\right),v=\sqrt{\alpha \beta };$$
б) при $\beta =0$ (промежуточный вырожденный случай)
$$e^{IHt}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\alpha t& 0\end{array}\right)$$
в) при $\beta <0$ (гиперболический тип)
$$e^{IHt}=\left(\begin{array}{cc}\text{ ch }vt& \sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}\mathrm{sh}vt\\ \sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}\mathrm{sh}vt& \text{ ch }vt\end{array}\right),v=V\overline{-\alpha \beta }.$$

Доказать. Изобразить фазовый портрет во всех случаях.
Лемма 1. Матрица $e^{I\text{ H }t}$ — симплектическая, т. е. фазовый поток состоит из канонических (симплектических) отображений.

Докажем, что если Н — симметрическая, то $e^{\mathbf{H}}$ — каноническая (обратное неверно, т. е. не каждая каноническая матрица так представима):
$$S^{\ast }={\left(e^{I\mathit{H}}\right)}^{\ast }=e^{{\mathit{H}}^{\ast }{I}^{\ast }}=e^{-\mathit{H}\mathit{I}}=\sum \frac{1}{n!}(-1{)}^n(\mathit{H}I{)}^n.$$

Ho
$$(\mathit{H}I{)}^n=\mathit{H}I\mathit{H}I\dots \mathit{H}I=I^{-1}(I\mathit{H}I\mathit{H}\dots I\mathit{H})I=I^{-1}(I\mathit{H}{)}^{n}I.$$

Следовательно,
$$\sum \frac{1}{n!}(-1{)}^n(\mathbf{H}I{)}^n=I^{-1}\sum \frac{1}{n!}(-I\mathbf{H}{)}^{n}I=I^{-1}{e}^{-I\mathbf{H}}I.$$

Таким образом, $S^{\ast }=I^{-1}{S}^{-1}I$, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть ${\lambda }_i$ — собственные числа матрицы $I\mathbf{H}$, а ${\mathbf{f}}_i$ ее собственные векторы (вообще говоря, комплексные). Тогда либо $\mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_i\mathrm{\setminus }=0$, либо ${\lambda }_i+{\lambda }_j=0$.
Доказательство исходит из симметричности матрицы $\mathbf{H}$ :
$${\mathbf{f}}_i\cdot \mathbf{H}{f}_j-\mathbf{H}{\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_i=0.$$

Первое слагаемое
$$f_i\cdot {\mathbf{H}}_i=-f_i\cdot I^2{\mathbf{H}\mathbf{f}}_j=\mathrm{\setminus }I{\mathbf{H}\mathbf{f}}_j,{\mathbf{f}}_i\mathrm{\setminus }={\lambda }_j\mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_j.{\mathbf{f}}_i\mathrm{\setminus }$$

и аналогично второе:
$$-H{\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_j={\lambda }_i\mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_j,{\mathbf{f}}_i\mathrm{\setminus }\text{. }$$

В итоге $({\lambda }_i+{\lambda }_j)\wedge {\mathbf{f}}_i,{\mathbf{f}}_j\mathrm{\setminus }=0$.
Лемма 3 (о распределении собственных чисел). Если $\lambda$ собственное, то
(a) общий факт: и $\overline{\lambda }-$ собственное;
(б) специфический факт: $-\lambda$-тоже собственное.
Второе следует из цепочки равенств:
$$\begin{array}{c}0=\det (I\mathbf{H}-\lambda E)=\det (I\mathbf{H}-\lambda E{)}^{\ast }=\det (-\mathbf{H}I-\lambda E)=\\ =\det [I(I\mathbf{H}+\lambda E)I]=(\det I{)}^2\det (I\mathbf{H}+\lambda E)=\det (I\mathbf{H}+\lambda E).\end{array}$$

Таким образом, расположение ненулевых собственных чисел на комплексной плоскости С характеризуется разбиением их на пары (в случае чисто мнимых и действительных) и четверки (рис. 70). Всюду ниже будем считать, что все собственные числа матрицы различны, следовательно, ни одно не равно нулю.

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ.

Пусть $\dot{\mathbf{z}}=I\mathbf{H}\mathbf{z}$, и есть каноническое отображение $\zeta =S\mathbf{z}$, тогда
$$\begin{array}{c}\frac{d\xi }{dt}=S\frac{d\mathbf{z}}{dt}=SI\mathbf{H}\mathbf{z}=SI\mathbf{H}{S}^{-1}\xi =SI{S}^{\ast }{\left(S^{\ast }\right)}^{-1}\mathbf{H}{S}^{-1}\xi =\\ =I{\left(S^{-1}\right)}^{\ast }\mathbf{H}{S}^{-1}\xi =I{\mathbf{H}}^{\prime }\xi \end{array}$$
(причем ${\mathbf{H}}^{\prime }=\left(S^{-1}\right)\ast \mathbf{H}{S}^{-1}$ — симметрическая матрица): преобразованная система снова линейная каноническая. Ее гамильтониан
$$\begin{array}{rl}{H}^{\prime }(\mathit{\zeta })=-\frac{1}{2}\mathit{\zeta }\cdot H^{\prime }\mathit{\xi }& =\frac{1}{2}\mathit{\zeta }\cdot {\left(S^{-1}\right)}^{\ast }\mathbf{H}{S}^{-1}\mathit{\xi }=\frac{1}{2}{S}^{-1}\mathit{\xi }\cdot H{S}^{-1}\mathit{\xi }=\\ & =\frac{1}{2}\mathbf{z}\cdot H\mathbf{z}=H\left(S^{-1}\mathit{\xi }\right).\end{array}$$

Канонические преобразования призваны упрощать системы.
Задача 55. Пусть $n=1$ и $H=\frac{1}{2}(\alpha p^2+2\gamma pq+\beta q^2)\equiv 0$.

Показать, что существует симплектическое преобразование
$$\left(\begin{array}{l}P\\ Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\frac{p}{q}\right),$$

такое, что $H^{\prime }=\pm \frac{1}{2}(P^2+\mu Q^2$ ) (вспомним примеры симплектических матриц при $n=1$ ). Чему равно $\mu$ ? В каком смысле мож-

но сказать, что существуют два варианта эллиптического типа фазового потока и только один вариант гиперболического типа?

Теорема о полном разделении. Если собственные значения матрицы IН различные чисто мнимые или действительные числа, то существует каноническое преобразование $\zeta =S\mathrm{z}$ такое, что
$$H^{\prime }=\sum _{i=1}^n\pm \frac{1}{2}(P_i^2+{\mu }_i{Q}_i{}_i),$$
т. е. переменные полностью разделяются. Здесь $\zeta =(P_1,\dots ,P_n$, $Q_1,\dots ,Q_n)$.
Доказательство проводится в три этапа.
1. Следствие леммы 2. Можно так занумеровать числа ${\lambda }_i$ и выбрать векторы ${\mathbf{f}}_i$, чтобы выполнялось следующее:
a) для $\alpha =1,\dots ,m$ — числа ${\lambda }_{\alpha },{\lambda }_{n+\alpha }=-{\lambda }_{\alpha }$ — действительные, а для $\rho =m+1,\dots ,n$ числа ${\lambda }_{\rho },{\lambda }_{n+\rho }={\overline{\lambda }}_{\rho }$ — чисто мнимые;
б) симплектическим является базис:
$$\left\{{\tilde{\mathbf{f}}}_i\right\}=\{{\tilde{\mathbf{f}}}_{\alpha }={\mathbf{f}}_{\alpha },{\tilde{\mathbf{f}}}_p=\mathrm{Re}{\mathbf{f}}_p,{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+\alpha }={\mathbf{f}}_{n+\alpha },{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+p}=\mathrm{Im}{\mathbf{f}}_{\rho }\}$$
(как известно,
$${\lambda }_{\rho }⟷{\mathbf{f}}_{\rho }={\tilde{\mathbf{f}}}_{\rho }+i{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+\rho },{\lambda }_{n+\rho }={\tilde{\lambda }}_{\rho }⟷{\mathbf{f}}_{n+p}={\tilde{\mathbf{f}}}_{\rho }-i{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+\rho },$$
т. е. сопряженным собственным числам отвечают сопряженные собственные векторы). Положим ${\lambda }_{\rho }=-i{\lambda }_{\rho }^{\prime },{\lambda }_{n+\rho }=i{\lambda }_{\rho }^{\prime },{\lambda }_{n+\alpha }={\lambda }_{\alpha }^{\prime }$.
2. Предложение. Пусть $S$ — отображение, переводящее ${\mathbf{е}}_i$ в ${\tilde{\mathfrak{f}}}_i$. Тогда в новых переменных $w=(r_1,\dots ,r_n,s_1,\dots ,s_n)$
$$\tilde{H}=\sum _{\alpha }{\lambda }_{\alpha }^{\prime }{r}_{\alpha }{s}_{\alpha }+\sum _p\frac{1}{2}{\lambda }_p^{\prime }(r_p^2+s_p^2).$$
3. Замечание. От $\tilde{H}$ можно перейти к $H^{\prime }$, указанному в формулировке теоремы. По каждой паре переменных надо действовать независимо. Если есть две переменные $r,s$, то
$$\begin{array}{c}\tilde{H}=\lambda rs\to H^{\prime \prime }=\frac{\lambda }{2}\overline{(r^2}-{\overline{s}}^2)\to H^{\prime }=\frac{1}{2}(P^2+\mu Q^2),\mu <0,\\ \tilde{H}=\frac{\lambda }{2}(r^2+s^2)\to H^{\prime }=\pm \frac{1}{2}(P^2+\mu Q^2),\mu >0,\end{array}$$

при соответствующем линейном каноническом преобразовании (см. примеры линейных канонических отображений при $n=1$ ).
Доказательство следствия. Занумеруем ${\lambda }_i$ так, чтобы
$${\lambda }_{\alpha }=-{\lambda }_{n+\alpha },\alpha =1,\dots ,m,\text{ и }{\lambda }_{\rho }={\overline{\lambda }}_{n+\rho },\rho =m+1,\dots ,n,$$

где ${\lambda }_{\alpha }$ чисто действительны, ${\lambda }_{\rho }$ чисто мнимы. Так как все ${\lambda }_i$ различны, существует собственный базис f. Перейдем к вещественному базису $\tilde{f}$ по формуле (6) и сведем все векторы в пары вида ${\pi }_i=\{{\tilde{\mathfrak{f}}}_i,{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+i}\}$.

А. Покажем, что векторы из разных пар ${\pi }_i$ и ${\pi }_j(ieqj)$ попарно косоортогональны. Рассмотрим, например, случай $i=\alpha ,j=\rho$. Так как ${\lambda }_{\alpha }$ вещественны, а ${\lambda }_p$ мнимы, то
$${\lambda }_{\alpha }+{\lambda }_{\mathrm{p}}eq0,{\lambda }_{\alpha }+{\lambda }_{n+\rho }eq0,{\lambda }_{n+\alpha }+{\lambda }_{\rho }eq0,{\lambda }_{n+\alpha }+{\lambda }_{n+\rho }eq0.$$

Отсюда по лемме 3
$$\mathrm{\setminus }{\mathbf{f}}_{n+\alpha },{\tilde{\mathbf{f}}}_p\pm i{\tilde{\mathbf{f}}}_{n+p}\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }{\tilde{\mathbf{f}}}_{\alpha },{\tilde{\mathbf{f}}}_{\alpha }\pm {\tilde{\mathbf{f}}}_{n+\rho }\mathrm{\setminus }=0,$$

или, отделяя действительные и мнимые части,
$$\mathrm{\setminus }{\tilde{f}}_{\alpha },{\tilde{f}}_p\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }{\tilde{f}}_{\alpha },{\tilde{f}}_{n+p}\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }{\tilde{f}}_{n+\alpha },{\tilde{f}}_p\mathrm{\setminus }=\mathrm{\setminus }{\tilde{f}}_{n+\alpha },{\tilde{f}}_{n+p}\mathrm{\setminus }=0.$$

Упіражнение. Остальные случаи разобрать самостоятельно.
Б. Итак, в репере $\left\{{\tilde{f}}_i\right\}$ все $\mathrm{\setminus }{\tilde{\mathbf{f}}}_i,{\tilde{\mathbf{f}}}_k\mathrm{\setminus }=0$ за исключением $\mathrm{\setminus }{\tilde{\mathfrak{f}}}_k,{\tilde{\mathfrak{f}}}_{n+k}\mathrm{\setminus }=-\mathrm{\setminus }{\tilde{\mathfrak{f}}}_{n+k},{\tilde{\mathfrak{f}}}_k\mathrm{\setminus }=c_{k}eq0$ (если бы хоть одно из $c_k=0$, то матрица попарных кососкалярных произведений векторов базиса была бы вырождена, что противоречит лемме 0 ).

Осталось сделать $c_k\equiv 1$. Во-первых, можно считать $c_i>0$, поменяв, если надо, местами ${\lambda }_k$ и ${\lambda }_{n+k}$ (если $k=\alpha$, то поменяются местами ${\tilde{\mathfrak{f}}}_{\alpha }$ и ${\tilde{\mathfrak{f}}}_{n+\alpha }$, если $k=\rho$, то ${\tilde{\mathfrak{f}}}_k$ не изменит направление, ${\tilde{\mathbf{f}}}_{n+\rho }$ изменит). Теперь, если $c_{k}eq1$, то возьмем вместо ${\mathbf{f}}_k$ и ${\mathbf{f}}_{n+k}$ векторы $\frac{1}{\sqrt{c_k}}fk\frac{1}{\sqrt{c_k}}{f}_{n+k}$.

Доказательство предложения. Пусть ${\lambda }_k$ — собственные числа линейной системы $z=C\mathbf{z}$ (каноничность пока не используется) и вектор $z$ разложен по собственному реперу $z=\mathrm{\Sigma }{z}_i{f}_i$, тогда
а) система приобретает вид ${\dot{z}}_k={\lambda }_k{z}_k$;
б) если ${\lambda }_j={\overline{\lambda }}_k$, то $z_j={\overline{z}}_k$; если ${\lambda }_k$ — действительное число, то и $z_k$ — действительная координата.

Применим эти общие сведения к каноническим системам. Для пары собственных значений ${\lambda }_{\alpha },{\lambda }_{n+\alpha }=-{\lambda }_{\alpha }$ имеем
$$\frac{d{z}_a}{dt}={\lambda }_{\alpha }{z}_{\alpha },\frac{d{z}_{n+\alpha }}{dt}={\lambda }_{n+\alpha }{z}_{n+\alpha },$$

или, обозначив $z_{\alpha }=r_{\alpha },z_{n+\alpha }=s_{\alpha }$ и учитывая ${\lambda }_{n+\alpha }=-{\lambda }_{\alpha }$, приходим к
$$\begin{array}{l}\frac{d{r}_{\alpha }}{dt}=-{\lambda }_{n+\alpha }{r}_{\alpha }=-\frac{\partial }{\partial s_{\alpha }}\left({\lambda }_{n+\alpha }{r}_{\alpha }{s}_{\alpha }\right),\\ \frac{d{s}_{\alpha }}{dt}={\lambda }_{n+\alpha }{s}_{\alpha }=\frac{\partial }{\partial r_{\alpha }}\left({\lambda }_{n+\alpha }{r}_{\alpha }{s}_{\alpha }\right).\end{array}$$

Для пары собственных значений ${\lambda }_{\rho }=-i{\lambda }_{\rho }^{\prime },{\lambda }_{n+\rho }=i{\lambda }_{\rho }^{\prime }$ обозначим
$$z_{\rho }=\frac{1}{2}(r_{\rho }-i{s}_{\rho }),z_{n+\rho }=\frac{1}{2}(r_{\rho }+i{s}_{\rho }),$$

тогда
$$\frac{d{z}_{\rho }}{dt}={\lambda }_{\mathrm{p}}{z}_{\rho }\iff \frac{d}{dt}(r_{\mathrm{p}}-i{s}_{\mathrm{p}})=-i{\lambda }_{\rho }^{\prime }(r_{\mathrm{p}}-i{s}_{\mathrm{p}}),$$

а после отделения действительной и мнимой частей
$$\begin{array}{c}\frac{d{r}_p}{dt}=-{\lambda }^{\prime }{}_p{s}_p=-\frac{\partial }{\partial s_p}\left(\frac{{\lambda }_p^{\prime }}{2}(r_p^2+s_p^2)\right),\\ \frac{d{s}_p}{dt}={\lambda }^{\prime }{}_{\rho }{r}_p=\frac{\partial }{\partial r_p}\left(\frac{{\lambda }_p^{\prime }}{2}(r_p^2+s_p^2)\right).\end{array}$$

Итак, в переменных $r_k,s_k$ уравнения Гамильтона разделяются на независимые системы. Суммарный гамильтониан и есть искомый.
Задача 56. Доказать, что каноническая система $\mathrm{z}=I\mathrm{Hz}$
a) имеет вполне-линейный интеграл $F=\mathbf{z}\cdot I\mathbf{u}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{H}\mathbf{u}=0$, так что существует $\lambda =0$;
б) имеет вполне-квадратичный интеграл $G=\frac{1}{2}\mathbf{z}\cdot \mathbf{G}\mathbf{z}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{G}/\mathbf{H}=\mathbf{H}I\mathbf{G}$ (т. е. $\mathbf{G}/\mathbf{H}=-(\mathbf{G}/\mathbf{H}{)}^{\ast })$;
в) фазовые потоки систем $\dot{\mathbf{z}}=I\mathbf{H}\mathbf{z},{\dot{\mathbf{z}}}^{\prime }=I\mathbf{G}\mathbf{z}$ коммутируют, т. е. (рис. 71$){\mathbf{z}}_H(t,{\mathbf{z}}_G(s,{\mathbf{z}}_0))={\mathbf{z}}_G(s,{\mathbf{z}}_H(t,{\mathbf{z}}_0))$;
г) при полном разделении переменных квадратичный интеграл приводится к виду
$$G=\sum \frac{{\delta }_i}{2}(P_i^2+\mu Q^2).$$