Рассмотрим уравнения Лагранжа
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,$$

порожденные функцией
$$L=\frac{1}{2}(E{\dot{q}}_1^2+2F{\dot{q}}_1{\dot{q}}_2+G{\dot{q}}_2^2)-V.$$

Определение. В системе координат ( $q_1{q}_2$ ) (на $\mathfrak{M}$ ) координата $q_2$ называется игнорируемой (циклической), если
$$\frac{\partial L}{\partial q_2}=0.$$

Тогда из (1) вытекает наличие первого интеграла этих уравнений:
$$J=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_2}=c,$$

который называется циклическим, или кинестеническим. Условие (3) для лагранжиана вида (2) эквивалентно равенствам
$$\frac{\partial E}{\partial q_2}=\frac{\partial F}{\partial q_2}=\frac{\partial G}{\partial q_2}=\frac{\partial V}{\partial q_2}=0,$$

а интеграл
$$J=F{\dot{q}}_1+G{\dot{q}}_2$$

получается линейным по скоростям ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2$.

ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ЛАГРАНЖИАН. Рассмотрим семейство отображений многообразия $\mathfrak{M}$ в себя, при которых
$$(q_1,q_2)\to (q_1,q_2+s),$$
т. е. точка $P$ с координатами $(q_1,q_2$ ) переходит в точку $P^s$ с координатами ( $q_1,q_2+s)$ (рис. 46 ). Если точка $P$ перемещается по закону $P=P(t)$, то ее скорость в рассматриваемой системе координат имеет компоненты $({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2)$. Те же компоненты будут, очевидно, и у скорости точки $P^s(t)$. Поскольку $L$ не зависит от $q_2$, мпжно написать
$$L(\frac{d{q}_1}{dt};\frac{d}{dt}(q_2+s),q_1,q_2+s,t)=L(\frac{d{q}_1}{dt},\frac{d{q}_2}{dt},q_1,q_2,t),$$

или условно
$$L({\dot{P}}^s,Ps,t)=L(\dot{P},P,t).$$

Это и означает сохраняемость лагранжиана. Заметим, что факт сохраняемости $L$ при преобразованиях $P\to P^s$ не обязательно устанавливать в системе координат, из которых одна-игнорируемая. Лемма об эквивалентности из $\mathrm{\S }7$ позволяет записывать. лагранжиан в любой системе координат; при движении по поверхности достаточно проверить, что ${\left|{\dot{P}}^s\right|}^2=|P{|}^2,V\left(P^s\right)=V(P)$, так как лагранжиан дается инвариантной формулой $L=T-V$.

Под эту теорию подпадают, например, системы, рассмотренные в задачах 8 и 9 и вообще интегралы типа А и Б из $\mathrm{\$}5$ и 1 . С каждым из них можно ассоциировать некоторое семейство отображений (для типа А это группа сдвигов вдоль оси $x$, для типа Б-группа поворотов вокруг оси $z$ ), при которых сохраняется поверхность (и, следовательно, индуцированная метрика) и потенциал. Например, для того чтобы поверхность $\mathfrak{R}=\{f(x,y$, $z)=0\}$ сохранялась группой поворотов (на угол $s$ вокруг оси $z$ ):
$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x\cos s-y\sin s\\ x\sin s+y\cos s\\ z\end{array}\right),$$

необходимо и достаточно, чтобы
$$f(x\cos s-y\sin s,x\sin s+y\cos s,z)\equiv f(x,y,z)=0;$$

дифференцируя по $s$, получаем (достаточно положить $s=0$ )
$$\frac{\partial f}{\partial x}y-\frac{\partial f}{\partial y}x\equiv 0$$

Это и есть одно из условий существования интеграла момента.
3 амечание об интегрируемости. Наличие двух интегралов движения (интеграла энергии и циклического) в системе с двумя же степенями свободы позволяет решить уравнения движений и проанализировать их качественно. Соответствующие общие теоремы будут даны позднее, а пока приведем пример.

СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Точка движется по сфере в поле тяжести: $\mathfrak{P}=\{x^2+y^2+z^2=r^2\},\mathbf{F}=-mg{\mathbf{e}}_2$. В сферических координатах $\theta$ и $\psi$ (рис. 13)
$$\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \psi ,y=r\sin \theta \sin \psi ,z=r\cos \theta ,\\ L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+z^2)-mgz=T-V=\\ =\frac{m{r}^2}{2}({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\psi }^2)-mgr\cos \theta .\end{array}$$

Интеграл энергии $H=T+V=mgr{h}_1$. В выражении $L$ переменная: $\psi$ отсутствует. Отсюда
$$J=m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\psi }=m{r}^2{c}_1$$

циклический интеграл. Видно, что при $c_{1}eq0$ функция $\psi (t)$ моно-

тониа. Найдем облаеть возможности движенпя ме ${}^h$, для эгого неключим $\downarrow$ из интегралов $J$ и $H$ :
$$\begin{array}{l}\frac{m{r}^2}{2}({\dot{\theta }}^2+\frac{e^2}{{\sin }^2\theta })+mgr\cos =mgr{h}_1,\\ {\mathfrak{M}}_{ϵ}^h=\{\frac{m{r}^2}{2}\frac{c_1^2}{{\sin }^2\theta }+mgr\cos \theta <mgr{h}_1\}.\end{array}$$

В левой частк неравенства стоит так называемый приведенный потенциал, в правой — энергия. Нарисуем график приведенного потенциала $V_e$ (рис. 60). Неравенство $V_c⩽h$ высекает отрезок по $\theta$ (который может выродиться в точку либо пустое множество), а угол $\psi$-любой. Из (8) вытекает, что
$$\frac{d\theta }{dt}=\pm \sqrt{\frac{2g}{r}(h_1-\cos \theta )-\frac{c^2}{{\sin }^2\theta }}.$$

Подкоренное выражение неотрицательно в точности на ${\mathfrak{R}}_c{}^h$. При движении $\phi$ растет, а $\theta$ колеблется в предписанных заданными $c$ и $h$ пределах. Траектория, вообще говоря, не замкнется. Ситуация здесь очень напоминает ту, которую мы наблюдали в случае центрального поля сил.
3адача 13. Будем задавать траектории движения в виде $\theta (\phi )$.
1) Доказать, что
$$\frac{d\theta }{d\phi }=\pm \sqrt{\frac{2g}{r{c}_1^2}(h_1-\cos \theta ){\sin }^4\theta -{\sin }^2\theta }.$$
2) Из уравнения Лагранжа и интегралов получить уравнение 2 -го порядка относительно $\theta (\phi )$ и показать, что оно эквивалентнө уравнению вида
$$\frac{d}{d\theta }\frac{\partial F}{\partial {\theta }^{\prime }}-\frac{\partial F}{\partial \beta }=0,$$

где
$$F=\frac{{\mathit{\theta }}^{\prime 2}}{2{\sin }^4\theta }-\frac{m{r}^2}{c^2}{V}_c(\theta ).$$
3) Сделать замену переменных $\chi =\chi (\theta )$, которая приводит $\mathbf{x}$ виду $F=\frac{1}{2}{x}^{\prime 2}+\dots$
4) Сопоставить эти результаты с формулой
(6) и леммої 2 из $\mathrm{\S }2$.
5) Доказать, что траектории не имеют точек перегиба.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕИНОГО ИНТЕГРАЛА. ММ знаем, что любой линейный интеграл на плоскости имеет один ва двух типов А или Б. На поверхности, вообще говоря, это неверно.

Наблюдение. Интегралы типов А и Б на поверхности суть скалярные произведения импульса $m\vee$ с полем скоростей $u$ соответствующей однопараметрической группы. Напрнмер, тип Б:
$${\hat{ȷ}}_{\mathbf{2}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=({\mathbf{e}}_z,m[\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{r}}])=(m\dot{\mathbf{r}},[{\mathbf{e}}_z\times \mathbf{r}]),$$

$$\mathbf{u}=[{\mathbf{e}}_z\times \mathbf{r}]=-y{\mathbf{e}}_x+x{\mathbf{e}}_y=\left(\begin{array}{r}-y\\ x\\ 0\end{array}\right).$$

С другой стороны, поле скоростей группы поворотов
$$\frac{d}{ds}\left(\begin{array}{ccc}\cos s& -\sin s& 0\\ \sin s& \cos s& 0\\ \theta & 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y\\ x\\ 0\end{array}\right)=\mathbf{u}.$$

Общее утверждение. Линейный интеграл (4)
$$J=(m\dot{\mathbf{r}},\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2}),$$

причем поле $\mathbf{u}=\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2}$ есть поле скоростей при действии (локальной, вообще говоря) группы ${\mathrm{\Pi }}^{\ast }:(q_1,q_2)\to (q_1,q_2+s)$. В самом деле,
$$\frac{d{\mathbf{r}}^{\ast }}{ds}(q_1,q_2+s)=\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2}=\mathbf{u},$$

а с учетом соглашения в конце $\mathrm{\S }5$
$$(m\mathbf{v},\mathbf{u})=m(\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_1}{\dot{q}}_1+\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2}{\dot{q}}_2,\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2})=(F{\dot{q}}_1+G{\dot{q}}_2)=J,$$

что и требовалось.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ИГНОРИРУЕМОЙ КООРДИНАТЫ. Изложенная выше концепция циклических интегралов и доказываемая ниже теорема без труда обобщаются на многомерный случай, т. е. на произвольные механические системы, которые будут рассматриваться гораздо позднее.

Теорема. Пусть имеется интеграл движения $Jeq0$, линейный по скоростям в системе координат ( ${\xi }_1,{\xi }_2$ ) на $\mathfrak{R}$. Тогда на $\mathfrak{p}$ существует система координат $(q_1,q_2)$, в которой $q_2$ — циклическая и $J=\partial L/\partial {\dot{q}}_2$.
Доказательство. Пусть в «плохих» координатах ${\xi }_1,{\xi }_2$
$$\begin{array}{r}J=(a_1{\dot{\xi }}_1+a_2{\dot{\xi }}_2),a_1{}^2+a_2{}^{2}eq0,\\ L=\frac{1}{2}(E{\dot{\xi }}_1^2+2F{\dot{\xi }}_1{\dot{\xi }}_2+G_2^{\dot{2}})-V.\end{array}$$

Положим
\[
\left(\begin{array}{l}

u_{1} \
v_{2}
\end{array}\right)=\left($$\begin{array}{ll}E& F\\ F& G\end{array}$$\right)^{-1}\left($$\begin{array}{l}{a}_1\\ a_2\end{array}$$\right) .
\]

Тогда
$$J=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\xi }}_1}{\mathit{v}}_1+\frac{\partial L}{\partial {\dot{\xi }}_2}{\mathit{v}}_2.$$

Лемма 1. Если в повой системе хоордннат $и=\frac{\partial r^{\ast }}{\partial q_2}$, то

эта система — искомая. Действительно, в ней аналогично (10)
$$J=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}{u}_1+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_2}{u}_2,$$

причем $u_1=0,u_2=1$ по предположению.
Л ем а 2. Если после замены координат $\xi =\xi (q)$
$$\mathbf{u}=u_1\frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_1}+u_2\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}^{\ast }}{\partial q_2},$$

то по формуле сложной производной
$$\left(\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial q_1}& \frac{\partial {\xi }_1}{\partial q_2}\\ \frac{\partial {\xi }_2}{\partial q_1}& \frac{\partial {\xi }_2}{\partial q_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{u}_1\\ u_2\end{array}\right).$$

Заготовив эти опорные утверждения, рассмотрим общее решение системы дифференциальных уравнений $\frac{d{\xi }_i}{ds}=v_i(\xi )$ :
$${\xi }_1={\overline{\xi }}_1(s,{\xi }_1^0,{\xi }_2^0),{\xi }_2={\overline{\xi }}_2(s,{\xi }_1^0,{\xi }_2^0).$$

Зафиксируем произвольно ${\xi }_2^0$ и положим $q_1={\xi }_1^0,q_2=s$. Это и будут искомые координаты, поскольку
$$\left(\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial q_1}& \frac{\partial {\xi }_1}{\partial q_2}\\ \frac{\partial {\xi }_2}{\partial q_1}& \frac{\partial {\xi }_2}{\partial q_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial {\xi }_1}{\partial q_1}& v_1\\ \frac{\partial {\xi }_2}{\partial q_1}& v_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{u}_1\\ u_2\end{array}\right),$$

откуда $u_1=0,u_2=1$.
Вопрос. Почему мы уверены, что матрица $\left(\frac{\partial \xi }{\partial q}\right)$ невырождена?
Задача 14. Исходя из интегралов
$$J=m(\mathbf{u},\mathbf{v})=c,K=\frac{m}{2}(\mathbf{v},\mathbf{v})+V=h,$$

доказать, что
$${\mathfrak{R}}^h{}_c=\{\frac{c^2}{2m(\mathbf{u},\mathbf{u})}+V⩽h\}.$$

Здесь (u, u) — определенная функция точки $P\in \mathfrak{M}$. Формула
$$V_c=\frac{c^2}{2m(u,u)}+V$$

есть инвариантное представление приведенного потенциала.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. Для дальнейшего напомним некоторые факты из внутренней геометрии поверхностей.

1. Если $Ф(q_1,q_2)$ — гладкая функция, то ее внутренний гради-

ент есть векторное поле $\mathbf{w}=\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }$ с компонентами
$$\left(\begin{array}{l}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=\frac{1}{EG-F^2}\left(\begin{array}{rr}G& -F\\ -F& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\\ \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\end{array}\right),$$

причем
$$|\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }{|}^2=\frac{1}{EG-F^2}(G{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\right)}^2-2F\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}+E{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\right)}^2).$$

Эту функцию обозначим через ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$. Далее, внутренней дивергенцией векторного поля $\mathbf{w}$ называется функция

где $g=EG-F^2$. В частности, введем функцию ${\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }=\mathrm{Div}\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }-$ оператор Лапласа от $\mathrm{\Phi }$ (обычное обозначение $-\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Phi })$ ).
Замечание: ${\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }eq{\left({\mathrm{\Phi }}^{\prime }\right)}^{\prime }$.
2. Гауссова кривизна многообразия:
$$\mathrm{\Gamma }=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

выражается через $E,F,G$ и их производные.
3. Будем говорить, что функции $Ф,\mathrm{\Psi }$ зависимы $(d\mathrm{\Phi }\Vert d\mathrm{\Psi })$, если
$$\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}& \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\\ \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_1}& \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_2}\end{array}\right|=0,$$

что равносильно $\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }\Vert \mathrm{Grad}\mathrm{\Psi }$. Если это свойство выполняется в некоторой области, то по теореме о неявной функции локально $\mathrm{\Phi }(q)=f(\mathrm{\Psi }(q))$, где $f=f(\chi )$ — некоторая функция одного переменного. Обратное очевидно.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛИНЕИНОГО ИНТЕГРАЛА.

Нижеследующие построения являются специфически двумерными. Будет показано, что по коэффициентам $E,F,G,V$ лагранжиана можно определить, есть ли у задачи линейный интеграл. Предполагается, что все рассматриваемые функции — аналитические (если аналитическая функция не равна нулю в одной точке, то ни в какой области она не равна тождественно нулю).

Необходимое условие: функции $V,V^{\prime },V^{\prime \prime },\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime \prime }$ зависимы. (В самом деле, пусть $q_1$-циклическая координата в системе $(q_1,q_2)$. Тогда $V,E,F,G$ и их производные суть функции только от $q_1$.) Это условие можно проверить в любой системе координат, поскольку функции $V$ и $\mathrm{\Gamma }$ модуль градиента, оператор Лапласа и свойство зависимости не зависят от выбора системы координат.

Если обе функции $\mathrm{\Gamma },V$ постоянны, то мы имеем движение по инерции либо по сфере, либо по плоскости, либо по плоскости Лобачевского (локально). Такое движение всегда обладает лимейным интегралом.

Теорема Бьянки-Синга. Пусть $d\mathrm{\Gamma }\Vert dV,и\mathrm{\Phi }-таиз$ функций Г и $V$, которая не постоянна. Тогда если
$$d\mathrm{\Phi }|d{\mathrm{\Phi }}^{\prime },d\mathrm{\Phi }|d{\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime },$$

то существует система координат $(x_1,x_2)$, в которой
$$L=\frac{1}{2}(A\left(x_1\right){\dot{x}}_1^2+B\left(x_1\right){\dot{x}}_2^2)+V\left(x_1\right)$$
(таким образом, необходимое условие также и достаточно).
Доказательство. Идея состоит в том, бо базисные векторы системы координат направить по вектору $\mathbf{w}=\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }$ и ортогонально ему. Начнем с того, что положим
$$x_1=\mathrm{\Phi }(q_1,q_2)\text{. }$$

Заметим, что вектор с компонентами — $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}$ ортогонален $\mathbf{w}=\mathrm{Grad}\mathrm{\Phi }$. Если он коллинеарен $\mathrm{Grad}\mathrm{\Psi }$, то
$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_1}\\ \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_2}\end{array}\right)\Vert \left(\begin{array}{ll}E& F\\ F& G\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\\ \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\end{array}\right)\Vert \left(\begin{array}{c}-w_2\\ w_1\end{array}\right).$$

Итак, должно быть
$$d\mathrm{\Psi }=\mu \sqrt{g}(-w_{2}d{q}_1+w_{1}d{q}_2),$$

где $\mu$-неизвестный пока интегрирующий множитель. Коэффициент $\sqrt{g}$ добавлен в это равенство для удобства. Условие того, что правая часть есть полный дифференциал, приобретает вид
$$\frac{\partial }{\partial q_2}(-\mu \sqrt{g}{w}_2)\equiv \frac{\partial }{\partial q_1}\left(\mu \sqrt{g}{w}_1\right),$$

или $\mathrm{div}(\mu \mathbf{w})\equiv 0$, или, более подробно,
$$\frac{\partial \mu }{\partial q_1}{w}_1+\frac{\partial \mu }{\partial q_2}{w}_2+\frac{\mu }{\sqrt{g}}(\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\sqrt{g}{w}_1\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\sqrt{g}{w}_2\right))=0.$$

Если мы хотим, чтобы было $\mu =\mu \left(x_1\right)$, то должно быть
$$\frac{d\mu }{d{x}_1}(w_1\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}+w_2\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2})+\frac{\mu }{\sqrt{g}}(\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\sqrt{g}{w}_1\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\sqrt{g}{w}_2\right))=0,$$

или
$$\frac{d\mu }{d{x}_1}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }+\mu {\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }=0.$$

Но в предположениях теюремы ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }={\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(x_1\right),{\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }={\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }\left(x_1\right)$, так что
$$\mu ={\mathrm{e}}^{[-\int \frac{{\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }\left(x_1\right)}{{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(x_1\right)}d{x}_1]}=\mu \left(x_1\right).$$

Следовательно, коэффициент $\mu$ существует и зависим с Ф. Положим $x_2=\mathrm{\Psi }(q_1,q_2)$. Легко увидеть, что
$$d{x}_1^2+\frac{d{x}^{2}i}{{\mu }^2}={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(Ed{q}_1^2+2Fd{q}_{1}d{q}_2+G\cdot t{q}_2^2),$$

так что в новых координатах
$$L=\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(x_1\right)}({\dot{x}}_1^2+\frac{{\dot{x}}_2^2}{{\mu }^2\left(x_1\right)})+V\left(x_1\right).$$

Теорема доказана.