Рассмотрим уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0,
\]

порожденные функцией
\[
L=\frac{1}{2}\left(E \dot{q}_{1}^{2}+2 F \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+G \dot{q}_{2}^{2}\right)-V .
\]

Определение. В системе координат ( $q_{1} q_{2}$ ) (на $\mathfrak{M}$ ) координата $q_{2}$ называется игнорируемой (циклической), если
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{2}}=0 .
\]

Тогда из (1) вытекает наличие первого интеграла этих уравнений:
\[
J=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}}=c,
\]

который называется циклическим, или кинестеническим. Условие (3) для лагранжиана вида (2) эквивалентно равенствам
\[
\frac{\partial E}{\partial q_{2}}=\frac{\partial F}{\partial q_{2}}=\frac{\partial G}{\partial q_{2}}=\frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0,
\]

а интеграл
\[
J=F \dot{q}_{1}+G \dot{q}_{2}
\]

получается линейным по скоростям $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}$.

ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ЛАГРАНЖИАН. Рассмотрим семейство отображений многообразия $\mathfrak{M}$ в себя, при которых
\[
\left(q_{1}, q_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}, q_{2}+s\right),
\]
т. е. точка $P$ с координатами $\left(q_{1}, q_{2}\right.$ ) переходит в точку $P^{s}$ с координатами ( $\left.q_{1}, q_{2}+s\right)$ (рис. 46 ). Если точка $P$ перемещается по закону $P=P(t)$, то ее скорость в рассматриваемой системе координат имеет компоненты $\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}\right)$. Те же компоненты будут, очевидно, и у скорости точки $P^{s}(t)$. Поскольку $L$ не зависит от $q_{2}$, мпжно написать
\[
L\left(\frac{d q_{1}}{d t} ; \frac{d}{d t}\left(q_{2}+s\right), q_{1}, q_{2}+s, t\right)=L\left(\frac{d q_{1}}{d t}, \frac{d q_{2}}{d t}, q_{1}, q_{2}, t\right),
\]

или условно
\[
L\left(\dot{P}^{s}, P s, t\right)=L(\dot{P}, P, t) .
\]

Это и означает сохраняемость лагранжиана. Заметим, что факт сохраняемости $L$ при преобразованиях $P \rightarrow P^{s}$ не обязательно устанавливать в системе координат, из которых одна-игнорируемая. Лемма об эквивалентности из $\S 7$ позволяет записывать. лагранжиан в любой системе координат; при движении по поверхности достаточно проверить, что $\left|\dot{P}^{s}\right|^{2}=|P|^{2}, V\left(P^{s}\right)=V(P)$, так как лагранжиан дается инвариантной формулой $L=T-V$.

Под эту теорию подпадают, например, системы, рассмотренные в задачах 8 и 9 и вообще интегралы типа А и Б из $\$ 5$ и 1 . С каждым из них можно ассоциировать некоторое семейство отображений (для типа А это группа сдвигов вдоль оси $x$, для типа Б-группа поворотов вокруг оси $z$ ), при которых сохраняется поверхность (и, следовательно, индуцированная метрика) и потенциал. Например, для того чтобы поверхность $\mathfrak{R}=\{f(x, y$, $z)=0\}$ сохранялась группой поворотов (на угол $s$ вокруг оси $z$ ):
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}
x \cos s-y \sin s \\
x \sin s+y \cos s \\
z
\end{array}\right),
\]

необходимо и достаточно, чтобы
\[
f(x \cos s-y \sin s, x \sin s+y \cos s, z) \equiv f(x, y, z)=0 ;
\]

дифференцируя по $s$, получаем (достаточно положить $s=0$ )
\[
\frac{\partial f}{\partial x} y-\frac{\partial f}{\partial y} x \equiv 0
\]

Это и есть одно из условий существования интеграла момента.
3 амечание об интегрируемости. Наличие двух интегралов движения (интеграла энергии и циклического) в системе с двумя же степенями свободы позволяет решить уравнения движений и проанализировать их качественно. Соответствующие общие теоремы будут даны позднее, а пока приведем пример.

СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Точка движется по сфере в поле тяжести: $\mathfrak{P}=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}, \mathbf{F}=-m g \mathbf{e}_{2}$. В сферических координатах $\theta$ и $\psi$ (рис. 13)
\[
\begin{array}{c}
x=r \sin \theta \cos \psi, y=r \sin \theta \sin \psi, z=r \cos \theta, \\
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+z^{2}\right)-m g z=T-V= \\
=\frac{m r^{2}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \psi^{2}\right)-m g r \cos \theta .
\end{array}
\]

Интеграл энергии $H=T+V=m g r h_{1}$. В выражении $L$ переменная: $\psi$ отсутствует. Отсюда
\[
J=m r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}=m r^{2} c_{1}
\]

циклический интеграл. Видно, что при $c_{1}
eq 0$ функция $\psi(t)$ моно-

тониа. Найдем облаеть возможности движенпя ме ${ }^{h}$, для эгого неключим $\downarrow$ из интегралов $J$ и $H$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{m r^{2}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\frac{e^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)+m g r \cos =m g r h_{1}, \\
\mathfrak{M}_{\epsilon}^{h}=\left\{\frac{m r^{2}}{2} \frac{c_{1}^{2}}{\sin ^{2} \theta}+m g r \cos \theta<m g r h_{1}\right\} .
\end{array}
\]

В левой частк неравенства стоит так называемый приведенный потенциал, в правой – энергия. Нарисуем график приведенного потенциала $V_{e}$ (рис. 60). Неравенство $V_{c} \leqslant h$ высекает отрезок по $\theta$ (который может выродиться в точку либо пустое множество), а угол $\psi$-любой. Из (8) вытекает, что
\[
\frac{d \theta}{d t}= \pm \sqrt{\frac{2 g}{r}\left(h_{1}-\cos \theta\right)-\frac{c^{2}}{\sin ^{2} \theta}} .
\]

Подкоренное выражение неотрицательно в точности на $\mathfrak{R}_{c}{ }^{h}$. При движении $\varphi$ растет, а $\theta$ колеблется в предписанных заданными $c$ и $h$ пределах. Траектория, вообще говоря, не замкнется. Ситуация здесь очень напоминает ту, которую мы наблюдали в случае центрального поля сил.
3адача 13. Будем задавать траектории движения в виде $\theta(\varphi)$.
1) Доказать, что
\[
\frac{d \theta}{d \varphi}= \pm \sqrt{\frac{2 g}{r c_{1}^{2}}\left(h_{1}-\cos \theta\right) \sin ^{4} \theta-\sin ^{2} \theta} .
\]
2) Из уравнения Лагранжа и интегралов получить уравнение 2 -го порядка относительно $\theta(\varphi)$ и показать, что оно эквивалентнө уравнению вида
\[
\frac{d}{d \theta} \frac{\partial F}{\partial \theta^{\prime}}-\frac{\partial F}{\partial \beta}=0,
\]

где
\[
F=\frac{\boldsymbol{\theta}^{\prime 2}}{2 \sin ^{4} \theta}-\frac{m r^{2}}{c^{2}} V_{c}(\theta) .
\]
3) Сделать замену переменных $\chi=\chi(\theta)$, которая приводит $\mathbf{x}$ виду $F=\frac{1}{2} x^{\prime 2}+\ldots$
4) Сопоставить эти результаты с формулой
(6) и леммої 2 из $\S 2$.
5) Доказать, что траектории не имеют точек перегиба.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕИНОГО ИНТЕГРАЛА. ММ знаем, что любой линейный интеграл на плоскости имеет один ва двух типов А или Б. На поверхности, вообще говоря, это неверно.

Наблюдение. Интегралы типов А и Б на поверхности суть скалярные произведения импульса $m \vee$ с полем скоростей $u$ соответствующей однопараметрической группы. Напрнмер, тип Б:
\[
\widehat{\jmath}_{\mathbf{2}}=m(x \dot{y}-y \dot{x})=\left(\mathbf{e}_{z}, m[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]\right)=\left(m \dot{\mathbf{r}},\left[\mathbf{e}_{z} \times \mathbf{r}\right]\right),
\]

\[
\mathbf{u}=\left[\mathbf{e}_{z} \times \mathbf{r}\right]=-y \mathbf{e}_{x}+x \mathbf{e}_{y}=\left(\begin{array}{r}
-y \\
x \\
0
\end{array}\right) .
\]

С другой стороны, поле скоростей группы поворотов
\[
\frac{d}{d s}\left(\begin{array}{ccc}
\cos s & -\sin s & 0 \\
\sin s & \cos s & 0 \\
\theta & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-y \\
x \\
0
\end{array}\right)=\mathbf{u} .
\]

Общее утверждение. Линейный интеграл (4)
\[
J=\left(m \dot{\mathbf{r}}, \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right),
\]

причем поле $\mathbf{u}=\frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}$ есть поле скоростей при действии (локальной, вообще говоря) группы $\Pi^{*}:\left(q_{1}, q_{2}\right) \rightarrow\left(q_{1}, q_{2}+s\right)$. В самом деле,
\[
\frac{d \mathbf{r}^{*}}{d s}\left(q_{1}, q_{2}+s\right)=\frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}=\mathbf{u},
\]

а с учетом соглашения в конце $\S 5$
\[
(m \mathbf{v}, \mathbf{u})=m\left(\frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}, \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right)=\left(F \dot{q}_{1}+G \dot{q}_{2}\right)=J,
\]

что и требовалось.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ИГНОРИРУЕМОЙ КООРДИНАТЫ. Изложенная выше концепция циклических интегралов и доказываемая ниже теорема без труда обобщаются на многомерный случай, т. е. на произвольные механические системы, которые будут рассматриваться гораздо позднее.

Теорема. Пусть имеется интеграл движения $J
eq 0$, линейный по скоростям в системе координат ( $\xi_{1}, \xi_{2}$ ) на $\mathfrak{R}$. Тогда на $\mathfrak{p}$ существует система координат $\left(q_{1}, q_{2}\right)$, в которой $q_{2}$ – циклическая и $J=\partial L / \partial \dot{q}_{2}$.
Доказательство. Пусть в «плохих» координатах $\xi_{1}, \xi_{2}$
\[
\begin{array}{r}
J=\left(a_{1} \dot{\xi}_{1}+a_{2} \dot{\xi}_{2}\right), a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}
eq 0, \\
L=\frac{1}{2}\left(E \dot{\xi}_{1}^{2}+2 F \dot{\xi}_{1} \dot{\xi}_{2}+G_{2}^{\dot{2}}\right)-V .
\end{array}
\]

Положим
\[
\left(\begin{array}{l}

u_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2}
\end{array}\right) .
\]

Тогда
\[
J=\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}_{1}} \boldsymbol{v}_{1}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}_{2}} \boldsymbol{v}_{2} .
\]

Лемма 1. Если в повой системе хоордннат $и=\frac{\partial r^{*}}{\partial q_{2}}$, то

эта система – искомая. Действительно, в ней аналогично (10)
\[
J=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}} u_{1}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}} u_{2},
\]

причем $u_{1}=0, u_{2}=1$ по предположению.
Л ем а 2. Если после замены координат $\xi=\xi(q)$
\[
\mathbf{u}=u_{1} \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{1}}+u_{2} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}},
\]

то по формуле сложной производной
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{2}} \\
\frac{\partial \xi_{2}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \xi_{2}}{\partial q_{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2}
\end{array}\right) .
\]

Заготовив эти опорные утверждения, рассмотрим общее решение системы дифференциальных уравнений $\frac{d \xi_{i}}{d s}=v_{i}(\xi)$ :
\[
\xi_{1}=\bar{\xi}_{1}\left(s, \xi_{1}^{0}, \xi_{2}^{0}\right), \xi_{2}=\bar{\xi}_{2}\left(s, \xi_{1}^{0}, \xi_{2}^{0}\right) .
\]

Зафиксируем произвольно $\xi_{2}^{0}$ и положим $q_{1}=\xi_{1}^{0}, q_{2}=s$. Это и будут искомые координаты, поскольку
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{2}} \\
\frac{\partial \xi_{2}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \xi_{2}}{\partial q_{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \xi_{1}}{\partial q_{1}} & v_{1} \\
\frac{\partial \xi_{2}}{\partial q_{1}} & v_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2}
\end{array}\right),
\]

откуда $u_{1}=0, u_{2}=1$.
Вопрос. Почему мы уверены, что матрица $\left(\frac{\partial \xi}{\partial q}\right)$ невырождена?
Задача 14. Исходя из интегралов
\[
J=m(\mathbf{u}, \mathbf{v})=c, K=\frac{m}{2}(\mathbf{v}, \mathbf{v})+V=h,
\]

доказать, что
\[
\mathfrak{R}^{h}{ }_{c}=\left\{\frac{c^{2}}{2 m(\mathbf{u}, \mathbf{u})}+V \leqslant h\right\} .
\]

Здесь (u, u) – определенная функция точки $P \in \mathfrak{M}$. Формула
\[
V_{c}=\frac{c^{2}}{2 m(u, u)}+V
\]

есть инвариантное представление приведенного потенциала.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. Для дальнейшего напомним некоторые факты из внутренней геометрии поверхностей.

1. Если $Ф\left(q_{1}, q_{2}\right)$ – гладкая функция, то ее внутренний гради-

ент есть векторное поле $\mathbf{w}=\mathrm{Grad} \Phi$ с компонентами
\[
\left(\begin{array}{l}
w_{1} \\
w_{2}
\end{array}\right)=\frac{1}{E G-F^{2}}\left(\begin{array}{rr}
G & -F \\
-F & E
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \\
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}}
\end{array}\right),
\]

причем
\[
|\operatorname{Grad} \Phi|^{2}=\frac{1}{E G-F^{2}}\left(G\left(\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}\right)^{2}-2 F \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}}+E\left(\frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}}\right)^{2}\right) .
\]

Эту функцию обозначим через $\Phi^{\prime}$. Далее, внутренней дивергенцией векторного поля $\mathbf{w}$ называется функция

где $g=E G-F^{2}$. В частности, введем функцию $\Phi^{\prime \prime}=\operatorname{Div} \operatorname{Grad} \Phi-$ оператор Лапласа от $\Phi$ (обычное обозначение $-\Delta(\Phi)$ ).
Замечание: $\Phi^{\prime \prime}
eq\left(\Phi^{\prime}\right)^{\prime}$.
2. Гауссова кривизна многообразия:
\[
\Gamma=\frac{L N-M^{2}}{E G-F^{2}}
\]

выражается через $E, F, G$ и их производные.
3. Будем говорить, что функции $Ф, \Psi$ зависимы $(d \Phi \| d \Psi)$, если
\[
\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \\
\frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}} & \frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}
\end{array}\right|=0,
\]

что равносильно $\operatorname{Grad} \Phi \| \mathrm{Grad} \Psi$. Если это свойство выполняется в некоторой области, то по теореме о неявной функции локально $\Phi(q)=f(\Psi(q))$, где $f=f(\chi)$ – некоторая функция одного переменного. Обратное очевидно.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛИНЕИНОГО ИНТЕГРАЛА.

Нижеследующие построения являются специфически двумерными. Будет показано, что по коэффициентам $E, F, G, V$ лагранжиана можно определить, есть ли у задачи линейный интеграл. Предполагается, что все рассматриваемые функции – аналитические (если аналитическая функция не равна нулю в одной точке, то ни в какой области она не равна тождественно нулю).

Необходимое условие: функции $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \Gamma^{\prime \prime}$ зависимы. (В самом деле, пусть $q_{1}$-циклическая координата в системе $\left(q_{1}, q_{2}\right)$. Тогда $V, E, F, G$ и их производные суть функции только от $q_{1}$.) Это условие можно проверить в любой системе координат, поскольку функции $V$ и $\Gamma$ модуль градиента, оператор Лапласа и свойство зависимости не зависят от выбора системы координат.

Если обе функции $\Gamma, V$ постоянны, то мы имеем движение по инерции либо по сфере, либо по плоскости, либо по плоскости Лобачевского (локально). Такое движение всегда обладает лимейным интегралом.

Теорема Бьянки-Синга. Пусть $d \Gamma \| d V, и \Phi-т а и з$ функций Г и $V$, которая не постоянна. Тогда если
\[
d \Phi\left|d \Phi^{\prime}, d \Phi\right| d \Phi^{\prime \prime},
\]

то существует система координат $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, в которой
\[
L=\frac{1}{2}\left(A\left(x_{1}\right) \dot{x}_{1}^{2}+B\left(x_{1}\right) \dot{x}_{2}^{2}\right)+V\left(x_{1}\right)
\]
(таким образом, необходимое условие также и достаточно).
Доказательство. Идея состоит в том, бо базисные векторы системы координат направить по вектору $\mathbf{w}=\mathrm{Grad} \Phi$ и ортогонально ему. Начнем с того, что положим
\[
x_{1}=\Phi\left(q_{1}, q_{2}\right) \text {. }
\]

Заметим, что вектор с компонентами – $\frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}}, \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}$ ортогонален $\mathbf{w}=\operatorname{Grad} \Phi$. Если он коллинеарен $\operatorname{Grad} \Psi$, то
\[
\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}} \\
\frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}
\end{array}\right)\left\|\left(\begin{array}{ll}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \\
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}
\end{array}\right)\right\|\left(\begin{array}{c}
-w_{2} \\
w_{1}
\end{array}\right) .
\]

Итак, должно быть
\[
d \Psi=\mu \sqrt{g}\left(-w_{2} d q_{1}+w_{1} d q_{2}\right),
\]

где $\mu$-неизвестный пока интегрирующий множитель. Коэффициент $\sqrt{g}$ добавлен в это равенство для удобства. Условие того, что правая часть есть полный дифференциал, приобретает вид
\[
\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(-\mu \sqrt{g} w_{2}\right) \equiv \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\mu \sqrt{g} w_{1}\right),
\]

или $\operatorname{div}(\mu \mathbf{w}) \equiv 0$, или, более подробно,
\[
\frac{\partial \mu}{\partial q_{1}} w_{1}+\frac{\partial \mu}{\partial q_{2}} w_{2}+\frac{\mu}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\sqrt{g} w_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\sqrt{g} w_{2}\right)\right)=0 .
\]

Если мы хотим, чтобы было $\mu=\mu\left(x_{1}\right)$, то должно быть
\[
\frac{d \mu}{d x_{1}}\left(w_{1} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}}+w_{2} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}}\right)+\frac{\mu}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\sqrt{g} w_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\sqrt{g} w_{2}\right)\right)=0,
\]

или
\[
\frac{d \mu}{d x_{1}} \Phi^{\prime}+\mu \Phi^{\prime \prime}=0 .
\]

Но в предположениях теюремы $\Phi^{\prime}=\Phi^{\prime}\left(x_{1}\right), \Phi^{\prime \prime}=\Phi^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)$, так что
\[
\mu=\mathrm{e}^{\left[-\int \frac{\Phi^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)}{\Phi^{\prime}\left(x_{1}\right)} d x_{1}\right]}=\mu\left(x_{1}\right) .
\]

Следовательно, коэффициент $\mu$ существует и зависим с Ф. Положим $x_{2}=\Psi\left(q_{1}, q_{2}\right)$. Легко увидеть, что
\[
d x_{1}^{2}+\frac{d x^{2} i}{\mu^{2}}=\Phi^{\prime}\left(E d q_{1}^{2}+2 F d q_{1} d q_{2}+G \cdot t q_{2}^{2}\right),
\]

так что в новых координатах
\[
L=\frac{1}{\Phi^{\prime}\left(x_{1}\right)}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\frac{\dot{x}_{2}^{2}}{\mu^{2}\left(x_{1}\right)}\right)+V\left(x_{1}\right) .
\]

Теорема доказана.