Следуя Якоби, будем говорить, что имеется система уравнений первого порядка в канонической форме, если имеется $2 n$ независимых переменных:

задана функция
\[
\begin{array}{c}
\left(z_{1}, \ldots, z_{2 n}\right)=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \\
H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right),
\end{array}
\]

обладающая тем свойством, что правые части уравнений из нашей системы суть частные производные от функции $H$ :
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, i=1, \ldots, n .
\]

Таким образом, переменные $z$ разбиваются на так называемые пары сопряженных переменных ( $\left.p_{i}, q_{i}\right)$; скорость изменения каждой переменной есть частная производная по ей сопряженной, причем в одном случае со знаком минус, в другом – со знаком плюс.

Уравнения такого вида впервые применялись в работах Лагранжа и Пуассона по небесной механике. Трактовка их как общей формы уравнений движения механических систем под действием потенциальных сил была дана позднее Гамильтоном (для систем свободных точек), Якоби (для систем со стационарными связями), Остроградским и Донкином (для систем с нестационарными, вообще говоря, связями). Для нас основой такой трактовки послужит
Теорема. Пусть имеется регулярная функция $L(\dot{q}, q, t)$ :
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}
eq 0 .
\]

Тогда система уравнений Эйлера – Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0
\]

эквивалентна системе уравнений в канонической форме (1), где
\[
H=\left.\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-L\right)\right|_{\dot{q}_{i}=f_{i}(p, q, t)},
\]

причем лагранжевы скорости $\dot{q}_{i}$ выражены через обобщенные

импульсы
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}
\]

путем обращения последних формул при фиксированных $q, t$ (обращение возможно в силу регулярности). Таким образом, эта теорема носит локальный характер.

Функция $\Sigma p_{i} \dot{q}_{t}-L$ и есть та самая, которая была интегралом типа энергии в случае, когда $\partial L / \partial t \equiv 0$. Будучи выраженной через $p, q, t$, она называется гамильтонианом или функцией Гамильтона. В частности,

ГАМИЛЬТОНИАН КЛАССИЧЕСКОИ НАТУРАЛЬНОИ СИСТЕМЫ
\[
H=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)\left(\begin{array}{ccc}
a^{11} & \ldots & a^{1 n} \\
\cdots & \cdots & \cdot \\
a^{n 1} & \ldots & a^{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}
\end{array}\right)+V,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\left\|a^{i j}\right\|=\left\|a_{i j}^{r}\right\|^{-1}, \\
L \sum_{i, j} a_{i j}(q, t) \dot{q_{i}} \dot{q}_{j}-V(q, t) .
\end{array}
\]

При вычислении конкретных гамильтонианов надо пользоваться не общей формулой (4), а частным результатом (6) (или хотя бы (11.56)), так как в противном случае придется каждый раз проводить одни и те же приведения подобных членов, повторяя схему вывода формулы (6). Вот этот вывод:
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\sum_{j} a_{i j} \dot{q}_{j} \Rightarrow \dot{q}_{i}=\sum_{k} a^{i k} p_{k} \Rightarrow H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+V= \\
=\sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}-\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+V=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+ \\
+V=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} a^{i k} a^{j l} p_{k} p_{l}+V=\frac{1}{2} \sum_{k, l} a^{k l} p_{k} p_{l}+V .
\end{array}
\]

В данном случае обращение формул (5) производится не локально, а сразу на всей области определения $\mathbf{R}^{n}(\dot{q})$ и значений $\mathbf{R}^{n}(p)$. Для точки в трехмерном пространстве в консервативном поле
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-V(x, y, z), \\
A=\left\|\begin{array}{ccc}
m & 0 & 0 \\
0 & m & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right\|, \quad A^{-1}=\left\|\begin{array}{ccc}
1 / m & 0 & 0 \\
0 & 1 / m & 0 \\
0 & 0 & 1 / m
\end{array}\right\|, \\
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+V(x, y, z) .
\end{array}
\]

С динамической точки зрения $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ – компоненты обычного импульса:
\[
p_{x}=m \dot{x}, p_{y}=m \dot{y}, p_{z}=m \dot{z} .
\]

Разумеется, подставлять эти формулы в (17.8) не следует. Существо формализма канонических уравнений состоит именно в пользовании только переменными $p, q, t$.

Доказательство теоремы. Уравнения Лагранжа в силу регулярности лагранжиана можно привести к системе первого порядка (темы 11):
\[
\frac{d q}{d t}=\dot{q}, \frac{d \dot{q}}{d t}=X(\dot{q}, q, t) .
\]

Согласно центральной лемме (там же),
\[
\frac{d^{X}}{d t} p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}} .
\]

Кроме того,
\[
\frac{d^{X}}{d t} q_{i}=\frac{d q_{i}}{d t}=q_{i} \text {. }
\]

От переменных $\dot{q}, q$ мы переходим к переменным $p, q$. Поэтому правые части уравнений (11), (12) выразим через них:
\[
\frac{d^{X} p_{i}}{d t}=\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)_{\dot{q}_{i}=f_{i}(p, q, t)^{\prime}} \frac{d q_{i}}{d t}=f_{i}(p, q, t) .
\]

Осталось показать, что
\[
\begin{array}{c}
\left.\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)\right|_{\dot{q}=i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} . \\
f_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\end{array}
\]

В самом деле,
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\sum_{k} p_{k} f_{k}-\left.L\right|_{q=f}\right)=\sum_{k} p_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}+ \\
+\left(-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \frac{\partial f k}{\partial q_{i}}\right)_{\dot{q}=f}=-\left.\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right|_{\dot{q}=f^{\prime}} \\
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{\partial}{\partial p_{i}}\left(\sum_{k} p_{k} f_{k}-\left.L\right|_{\dot{q}=f}\right)=f_{i}+\sum_{k} p_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial p_{i}}-\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \frac{\partial f_{k}}{\partial p_{i}}=f_{i} .
\end{array}
\]

Теорема доказана. Попутно получена полезная формула (14). Она позволяет сначала выписать гамильтониан (по формуле (6)), а потом установить связь определяющих скоростей $\dot{q}_{i}$ с импульсами $p_{i}$. Эта связь одновременно составляет половину уравнений Гамильтона (1).

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ

Пусть имеется функция $F\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right)$. Ее производная в силу системы уравнений (1) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{H}}{d t} F=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{d p_{i}}{\partial t}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}= \\
=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{i}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right) .
\end{array}
\]

Oпределение. Говорят, что в выражении функции $H$ переменные $p_{1}, \ldots, p_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}$ отделяются, если существуют функции
\[
\chi=f\left(p_{1}, \ldots, p_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}\right)
\]
(от времени $t$ не зависит!) и
\[
\tilde{H}\left(\chi, p_{k+1}, \ldots, p_{n}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}, t\right)
\]

такие, что
\[
\begin{array}{c}
H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right)= \\
=H\left(f\left(p_{1}, \ldots, p_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}\right), p_{k+1}, \ldots, p_{n}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}, t\right) .
\end{array}
\]

Теорема. В этом случае функция $f$ является первым интегралом уравнения Гамильтона.
Доказательство. Учитывая структуру $f$ и $H$, имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{H}}{d t} f=\sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right)= \\
=\sum_{i=1}^{k}\left(-\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \chi} \frac{\partial f}{\partial q_{i}}+\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \chi} \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\right) \equiv 0 .
\end{array}
\]

Следствия.
1) Если $f=H$ (при этом $H$ не зависит от времени), то функция $H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right.$ ) есть первый интеграл (это – обобщение интеграла энергии).
2) Если $\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \equiv 0$, то положим $f\left(p_{n}, q_{n}\right)=p_{n}$ и получим, что $p_{n}=$ const – первый интеграл. Это – обобщение кинестенического (циклического) интеграла. Разумеется, его можно получить и просто из
\[
\frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \equiv 0 .
\]

Формулы (4), (5), (13) показывают, что $\frac{\partial H}{\partial t} \equiv 0$ или $\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \equiv 0$ тогда и только тогда, когда $\frac{\partial L}{\partial t} \equiv 0$ или соответственно $\frac{\partial L}{\partial q_{n}} \equiv 0$. Поэтому в конкретных задачах интеграл типа энергии

или кинестенический интеграл одинаково легко получить как при помощи формализма Эйлера – Лагранжа, так и при помощи канонического формализма. Получать интегралы иного происхождения удобнее (намного удобнее) на основе канонического формализма. Приведем пример:

ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ПЛОСКОГО ДИПОЛЯ

Потенциальная энергия дается формулой (3.11). Выпишем лагранжиан в полярных и декартовых координатах:
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right)-\frac{k \cos \theta}{r^{2}}, \\
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)-\frac{k x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} .
\end{array}
\]

Он не зависит от времени, так что интеграл энергии у нас есть. Есть ли еще один интеграл? Циклической координаты ни в системе определяющих координат $r, \varphi$, ни в системе $x, y$ нет. Выпишем гамильтониан:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta}^{2 !}}{r^{2}}\right)+\frac{k \cos \theta}{r^{2}}, \\
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{k x}{\sqrt{x^{2}+y^{23}}} .
\end{array}
\]

Первый вариант можно привести к виду:
\[
H=\frac{p_{r}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2 r^{2}}\left(\frac{p_{\theta}^{2}}{m}+k \cos \theta\right) .
\]

Видно, что переменные $\theta$ и $p_{\theta}$ отделились, а функция
\[
f=p_{\theta}^{2} / m+k \cos \theta
\]

является первым интегралом. Поскольку
\[
p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m r^{2} \dot{\theta},
\]

этот интеграл можно представить в эквивалентных формах:
\[
\begin{array}{c}
f=m r^{4} \dot{\theta}^{2}+k \cos \theta=\text { const, } \\
f=m(x \dot{y}-y \dot{x})^{2}+k x / \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\text { const. }
\end{array}
\]

Получается интеграл уравнений Эйлера – Лагранжа, не являющийся кинестеническим ни в каких координатах, так как кинестенический интеграл всегда линеен по определяющим скоростям (например, при движении в центральном поле сил $V=V(r)$ сохраняется $p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}$ ).

СКОБКА ПУАССОНА

функций $F(p, q, t)$ и $G(p, q, t)$ задается формулой
\[
(F, G)=\sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Таким образом,
\[
\frac{d^{H} F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+(F, H) .
\]

В частности, имеет место интересное операторное представление уравнений Гамильтона:
\[
\dot{p}_{i}=\left(p_{i}, H\right), \quad \dot{q}_{i}=\left(q_{i}, H\right) .
\]

С его помощью легко вычисляются базисные скобки Пуассона:
\[
\left(q_{i}, q_{j}\right)=\left(p_{i}, p_{i}\right) \equiv 0,\left(q_{i}, p_{i}\right)=\left\{\begin{array}{l}
1, i=j \\
0, i
eq j
\end{array} .\right.
\]
( например, $\left(q_{i}, q_{j}\right)=\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial q_{i}}{\partial p_{i}} \equiv 0$ при $H=q_{i}$ ).
Перечислим свойства скобок Пуассона, вытекающие из определения, но вместе с (19) более удобные при вычислениях:
1. Антисимметричность: $(F, G)=-(G, F)$;
2. Операторное свойство: если $F=\varphi\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$, то
\[
(F, G)=\sum_{l=1}^{m} \frac{\partial \varphi}{\partial f_{l}}\left(f_{l}, G\right) .
\]

Это легко видно из
\[
\begin{aligned}
(F, G) & =\frac{d^{G}}{d t} F-\frac{\partial F}{\partial t}=\sum_{l} \frac{\partial \varphi}{\partial f_{l}} \frac{d^{G}}{d t} f_{l}-\sum_{l} \frac{\partial \varphi}{\partial f_{l}} \frac{\partial f_{l}}{\partial t}= \\
& =\sum_{l} \frac{\partial \varphi}{\partial f_{t}}\left(\frac{d^{G}}{d t} f_{i}-\frac{\partial f_{i}}{\partial t}\right)=\sum_{l} \frac{\partial \varphi}{\partial f_{l}}\left(f_{l}, G\right) .
\end{aligned}
\]

В частности,
\[
\begin{array}{c}
(\alpha F, G)=\alpha(F, G), \\
\left(F_{1}+F_{2}, G\right)=\left(F_{1}, G\right)+\left(F_{2}, G\right) . \\
\left(F_{1} F_{2}, G\right)=F_{1}\left(F_{2}, G\right)+F_{2}\left(F_{1}, G\right) .
\end{array}
\]

Другими словами, взятие скобки Пуассона с заданной функцией $G$ является дифференциальным оператором.
3. Тождество Пуассона:
\[
((F, G), H)+((H, F), G)+((G, H), F) \equiv 0 .
\]

Его можно доказать прямой выкладкой, которую мы опустим.
4. Правило дифференцирования по параметру:
\[
\frac{\partial}{\partial \alpha}(F, G)=\left(\frac{\partial F}{\partial \alpha}, G\right)+\left(F, \frac{\partial G}{\partial \alpha}\right) .
\]

Здесь $\boldsymbol{a}$ – переменная, не входящая в список $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. В частности, может быть, $\alpha=t$.

Теорема Пуассона. Если $F(p, q, t), G(p, q, t)$ – первые интегралы канонических уравнений с функцией $H(p, q, t)$, то их скобка Пуассона $(F, G)$ – тоже интеграл тех же уравнений.

Доказательство основывается на всех свойствах 1-4. Имеем
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+(F, H) \equiv 0, \frac{\partial G}{\partial t}+(G, H) \equiv 0,
\]

поскольку $F, G$ – первые интегралы. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial t}(F, G)+((F, G), H)= \\
=\left\{+\begin{array}{l}
\left(F, \frac{\partial G}{\partial t}\right)-((G, H), F) \\
\left(\frac{\partial F}{\partial t}, G\right)-((H, F), G)
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
\left(F, \frac{\partial G}{\partial t}+(G, H)\right) \\
\left(\frac{\partial F}{\partial t}+(F, H), G\right)
\end{array}\right\} \equiv 0,
\end{array}
\]

что и требовалось.
Эффективным способом получать новые первые интегралы теорема Пуассона не является, так как скобка Пуассона редко выводит за пределы заданного класса функций. Примером будут

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА

для движения точки в трехмерном пространстве. Наряду с гамильтонианом (8) рассмотрим также функции $x, y, z$ (координаты) $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ (импульсы) и
\[
\Lambda_{x}=y p_{z}-z p_{y}, \Lambda_{y}=z p_{x}-x p_{z}, \Lambda_{z}=x p_{y}-y p_{x}
\]
(моменты импульсов). Требуется вычислить попарные скобки Пуассона всех перечисленных десяти функций. Базисные скобки Пуассона в данном случае суть
\[
\begin{array}{l}
\left(x, p_{x}\right)=1,\left(x, p_{y}\right)=0,\left(x, p_{z}\right)=0, \\
\left(y, p_{x}\right)=0,\left(y, p_{y}\right)=1,\left(y, p_{z}\right)=0, \\
\left(z, p_{x}\right)=0,\left(z, p_{y}\right)=0,\left(z, p_{z}\right)=0
\end{array}
\]
(заодно это – часть фундаментальных скобок). После вычислений, в частности, получается
\[
\begin{array}{c}
\left(p_{x}, H\right)=-\frac{\partial V}{\partial x},\left(\Lambda_{z}, H\right)=-x \frac{\partial V}{\partial y}+y \frac{\partial V}{\partial x}, \\
\left(\Lambda_{z}, p_{z}\right)=0,\left(\Lambda_{z}, p_{x}\right)=p_{y},\left(\Lambda_{z}, p_{y}\right)=-p_{x}, \\
\left(\Lambda_{z}, z\right)=0,\left(\Lambda_{z}, x\right)=y,\left(\Lambda_{z}, y\right)=-x, \\
\left(\Lambda_{x}, \Lambda_{y}\right)=\Lambda_{z}
\end{array}
\]

и аналогично для других комбинаций индексов.
Выкладку приведем только для последней скобки:
\[
\left(y p_{z}-z p_{y}, z p_{x}-x p_{z}\right)=
\]

\[
\begin{array}{c}
=\left(y p_{z}, z p_{x}\right)-\left(z p_{y}, z p_{x}\right)-\left(y p_{z}, x p_{z}\right)+\left(z p_{y}, x p_{z}\right)= \\
=y p_{x}\left(p_{z}, z\right)-0-0+x p_{y}\left(z, p_{z}\right)=x p_{y}-y p_{x} .
\end{array}
\]

Видим, что вычисление попарных скобок взятых функций (с естественным физическим содержанием) почти не вывело нас за пределы заданного списка. Исключение составляют первые скобки, но как раз их надо приравнивать к нулю, чтобы $p_{x}$ или $\Lambda_{z}$ были бы первыми интегралами.

TЕОРЕМА ЛИ

Функция $F(p, q)$ есть первый интеграл канонических уравнений $c$ функцией $H(p, q)$ тогда и только тогда, когда функция $H(p, q)$ инвариантна относительно фазового потока системы кинетических уравнений с гамильтонианом $F$.
Доказательство. Поскольку $\quad \frac{\partial F}{\partial t} \equiv 0, \quad$ мы имеем $(F, H) \equiv 0$.

Пусть зависимости
\[
p=\bar{p}\left(p^{0}, q^{0}, s\right), q=\bar{q}\left(p^{0}, q^{0}, s\right)
\]

представляют собой общее решение канонических уравнений
\[
\frac{d p}{d s}=-\frac{\partial F}{\partial q}, \frac{d q}{d s}=\frac{\partial F}{\partial p} .
\]

Инвариантность функции $H$ означает, что
\[
H\left(\bar{p}\left(p^{0}, q^{0}, s\right), \bar{q}\left(p^{0}, q^{0}, s\right)\right)=H\left(p^{0}, q^{0}\right),
\]

что после дифференцирования по $s$ эквивалентно
\[
\frac{d H}{d s}=\sum_{i}\left(-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial F}{\partial q_{i}}+\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\right)=(H, F) \equiv 0 .
\]

Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим случай, когда движение точки в трехмерном пространстве имеет первый интеграл $\Lambda_{z}=x p_{y}-y p_{x}$. Каков смысл потока, порождаемого этим интегралом? Уравнения (27) будут:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p_{x}}{d s}=-\frac{\partial \Lambda_{z}}{\partial x} \equiv-p_{y}, \frac{d p_{y}}{d s}=-\frac{\partial \Lambda_{z}}{\partial y} \equiv p_{x}, \frac{d p_{z}}{d t}=-\frac{\partial \Lambda_{z}}{\partial z} \equiv 0, \\
\frac{d x}{d s}=-y, \frac{d y}{d s}=x, \frac{d z}{d s}=0 ;
\end{array}
\]

из последних трех уравнений вытекает, что
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos s-\sin s 0 \\
\sin s & \cos s 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
y_{0} \\
z_{0}
\end{array}\right),
\]

так что поток (26) здесь отвечает группе поворотов вокруг оси $z$. Вообще, линейному по импульсам интегралу
\[
F=\Sigma \varphi_{i}(q) p_{i}
\]

соответствует поток, который можно сузить на пространство переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}$, так как система уравнений
\[
\frac{d q_{i}}{d s}=\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \equiv \varphi_{i}(q), \quad i=1, \ldots, n,
\]

интегрируется независимо. Смысла остальных уравнений касаться не будем.

Обсудим возможность обобщить теорему Ли так, чтобы $H, F$ могли зависеть от времени.

Первое, что приходит в голову, – считать, что группа симметрий будет действовать теперь в пространстве $p, q, t$. Это заставляет присоединить к порождающей группу системе (27) с $F=$ $=F(p, q, t)$ еще одно уравнение
\[
\frac{d t}{d s}=\chi(p, q, t)
\]

с неизвестной пока правой частью. В силу такой расширенной системы
\[
\frac{d H}{d s}=\frac{\partial H}{\partial t} \chi+(H, F)
\]

и одновременно
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+(F, H) \equiv 0,
\]

поскольку $F$ – первый интеграл. Следовательно,
\[
\frac{d H}{d s}=\frac{\partial H}{\partial t} \chi+\frac{\partial F}{\partial t} .
\]

Потребуем, чтобы $d H / d s \equiv 0$. Какую функцию $\chi$ ни взять, при $\partial H / \partial t \equiv 0$ обязательно должно быть $\partial F / \partial t \equiv 0$, т. е. применительно к автономным системам обобщением будут охвачены только интегралы, не зависящие от времени. Уже это противоречит поставленной цели. Более того. Даже если мы явно предположим, что $\partial H / \partial t
eq 0$, то обязаны будем потребовать, что
\[
\chi=-\frac{\partial F}{\partial t} / \frac{\partial H}{\partial t},
\]

так что группа симметрий будет зависеть не только от функции $F$, как раньше, но и от функции $H$.

Приходится отказаться от идеи инвариантности функции $H$. Тогда можно попросту положить $\chi \equiv 0$, иначе говоря, рассматривать $t$ как параметр. Теперь
\[
\frac{d H}{d s}=-\frac{\partial F}{\partial t},
\]
т. е. в неавтономном случае гамильтониан не инвариантен, $а$ предписанным об.разом изменяется под действием потока (26), зависящего от параметра $t$.

В случае, когда интеграл $F$ линеен по импульсам, можно произвести сравнение с теоремой Ли-Нетер. Соответствующий интеграл
\[
J=\Sigma \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial s}=\Sigma p_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial s}
\]

может зависеть от времени. Таким образом, лагранжиан $L$ в этом случае инвариантен, а гамильтониан – нет.

На практике лагранжианы, гамильтонианы и первые интегралы редко зависят от времени, поэтому принято всегда ассоциировать существование интеграла с инвариантностью гамильтониана (хотя, строго говоря, как мы видели, это не совсем оправдано). Эта трактовка восходит к Ли. Изложенной только что теоремы точно в том виде, как она здесь дана, сам Ли не формулировал, поскольку оперировал, главным образом, не с обыкновенными дифференциальными уравнениями в канонической форме, а с некоторым тесно связанным с ними уравнением в частных производных, к. изучению которого мы приступаем в следующей теме.