СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Пусть $x, y, z$-декартовы координаты точки $P$,
\[
\mathbf{a}=a_{x} \mathbf{e}_{x}+a_{y} \mathbf{e}_{y}+a_{z} \mathbf{e}_{z}
\]

разложение вектора а по соответствующему ортонормированному реперу, приложенному в начале координат $O$. Вектор
\[
\mathbf{r}=O P=x \mathbf{e}_{x}+y \mathbf{e}_{y}+z \mathbf{e}_{z}
\]

называется радиусом-вектором точки $P$. Он всегда приложен в точке $O$. В каких точках приложены остальные векторы, пока роли не играет.

Скалярное произведение двух векторов а и $\mathbf{~ в ы ч и с л я е т с я ~ п о ~}$ формулам
\[
(\mathbf{a}, \mathbf{b})=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}=a b \cos \psi,
\]

где $\psi$ — угол между векторами, $a, b$ — их модули.
Зафиксируем ориентацию нашего трехмерного евклидова пространства $\mathbf{R}^{3}$. Наглядно говоря, это значит, что отныне действует соглашение применять только правые реперы — такие, что базисные векторы, глядя им навстречу, можно по порядку осмотреть против часовой стрелки. Формальное определение можно предложить такое: ориентация пространства задана, когда отмечен один репер $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, e_{z}$ и принято тройку векторов $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, с считать правой, если
\[
\left|\begin{array}{lll}
a_{x} & b_{x} & c_{x} \\
a_{y} & b_{y} & c_{y} \\
a_{z} & b_{z} & c_{z}
\end{array}\right| \geqslant 0 .
\]

В частности, матрица перехода от правого репера к правому имеет положительный детерминант.

Векторное произведение $[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]$ ортогонально сомножителям $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, его модуль $|[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]|=a b|\sin \psi|$, тройка векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b},[\mathbf{a} \times$ $\times \mathbf{b}$ ] есть правая. Векторное произведение можно записать в виде формального определителя:
\[
[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]=\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{e}_{x} & a_{x} & b_{x} \\
\mathbf{e}_{y} & a_{y} & b_{y} \\
\mathbf{e}_{z} & a_{z} & b_{z}
\end{array}\right| .
\]

Векторное произведение невырождено в том смысле, что для каждого ненулевого вектора а существует такой $\boldsymbol{b}$, что их векторное произведение отлично от нуля. Более точно, $[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]=0$ тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.

Обратим внимание, что и скалярное и векторное произведения имеют два эквивалентных определения и соответственно два способа вычисления: геометрический (с использованием модулей векторов и угла между ними) и аналитический (оперирующий с компонентами векторов в ортонормированном репере). На практике приходится пользоваться обоими, причем от выбора удачного способа часто зависит если не сам успех в решении задачи, то быстрота его достижения. В общих чертах справедливо следующее наблюдение: в тех случаях, когда векторы удобно расположены, в частности, когда достаточно ясен угол между ними, эффективнее геометрический способ; и если же в расположении векторов нет никакой очевидной специфики, то лучше, не торопясь, применить аналитический способ.

Когда заведомо известно направление вектора а, например $\mathbf{a} \| \mathrm{e}_{z}$, то появляется соблазн написать $\mathrm{a}=a \mathrm{e}_{z}$. В этом случае $a$ не модуль, а, как иногда говорят, алгебраическое значение модуля — модуль со знаком. Короче, возможна вольность речи, к которой надо быть готовым.
Операции с участием трех векторов: смешанное произведение
\[
(\mathbf{a},[\mathbf{b} \times \mathbf{c}])=(\mathbf{b},[\mathbf{c} \times \mathbf{a}])=(\mathbf{c},[\mathbf{a} \times \mathbf{b}])=\left|\begin{array}{lll}
a_{x} & b_{x} & c_{x} \\
a_{y} & b_{y} & c_{y} \\
a_{z} & b_{z} & c_{z}
\end{array}\right| ;
\]

двойное векторное произведение (дважды применить (2))
\[
[\mathbf{a} \times[\mathbf{b} \times \mathbf{c}]]=\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) .
\]

Коэффициенты здесь в нарушении общего правила написаны после векторов. Это позволяет легко запомнить формулу, прочитав ее как «бац минус цап».

Скалярное произведение билинейно, симметрично и положительно определено; векторное — билинейно, антисимметрично и удовлетворяет тождеству $[\mathbf{a} \times[\mathbf{b} \times \mathbf{c}]]+[\mathbf{b} \times[\mathbf{c} \times \mathbf{a}]]+[\mathbf{c}[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]] \equiv \mathbf{0}$.

Если сомножители зависят от времени, то при дифференцировании действует правило Лейбница:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \varphi \mathbf{a}=\frac{d \varphi}{d t} \mathbf{a}+\varphi \frac{d \mathbf{a}}{d t}, \\
\frac{d}{d t}(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\left(\frac{d \mathbf{a}}{d t}, \mathbf{b}\right)+\left(\mathbf{a}, \frac{d \mathbf{b}}{d t}\right), \\
\frac{d}{d t}[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]=\left[\frac{d \mathbf{a}}{d t} \times \mathbf{b}\right]+\left[\mathbf{a} \times \frac{d \mathbf{b}}{d t}\right] .
\end{array}
\]

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. Для динамики точки в $\mathbf{R}^{3}$ можно повторить все сказанное в начале § 1. Кроме того,

из закона Ньютона выводится важная формула
\[
\frac{d}{d t} m[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]=[\mathbf{r} \times \mathbf{F}] .
\]

Вектор (функция состояния) $\boldsymbol{\Lambda}=m[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]$ называется кинетическим моментом, или моментом количества движения точки (относительно начала координат $O$ ), величина $[\mathbf{r} \times \mathbf{F}]$-моментом силы. Қинетический момент сохраняется, т. е. $m[\mathbf{r} \times \mathbf{r}]=m c=$ const, если $[\mathbf{r} \times \mathbf{F}] \equiv 0$ или, эквивалентно, $\mathbf{F} \| \mathbf{r}$. Сила в этом случае называется центральной. Тогда движение происходит в плоскости, opтогональной вектору с (и было рассмотрено в § 2):
\[
(\mathbf{r}, \mathbf{c})=(\mathbf{r},[\mathbf{r} \times \mathbf{r}]=(\dot{\mathbf{r}},[\mathbf{r} \times \mathbf{r}])=0 .
\]

Если $\mathbf{F}=F(r) \mathrm{e}_{r}$, то интеграл энергии
\[
H=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)=h, V(r)=-\int F(r) d r .
\]

Задача 4. Рассмотрим движение под действием силы $\mathbf{F}=$ $=-\mu \mathrm{m} / \mathrm{r}^{2} \mathbf{e}_{r}$. Введем вектор Лапласа
\[
\boldsymbol{\Phi}=\frac{-\mu \mathbf{r}}{r}+[\dot{\mathbf{r}} \times[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]] .
\]

Доказать, что 0) $r \dot{r} \equiv(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})$; 1) $\boldsymbol{\Phi}$— первый интеграл задачи; 2) Ф ортогонален с, т. е. лежит в плоскости орбиты; 3) $\boldsymbol{\Phi}^{2}=\mu^{2}+$ $+k c^{2}$, где $k=2 h / m$.

Таким образом, в задаче Кеплера сохраняются $H, \boldsymbol{\Lambda}, \mathbf{\Phi}$, т. е., на первый взгляд, имеется семь скалярных интегралов движения $(7=1+2 \cdot 3)$. Утверждения 1 и 2 в последней задаче показывают, что между ними есть две тождественные зависимости:
\[
(\boldsymbol{\Phi}, \boldsymbol{\Lambda}) \equiv 0, \quad \boldsymbol{\Phi}^{2}-\frac{2 H \boldsymbol{\Lambda}^{2}}{m^{3}}-\mu^{2} \equiv 0,
\]

так что независимых интегралов пять. Задача Кеплера выделяется среди других необычно большим числом интегралов, определенных во всем пространстве состояний.

Пусть $\mathbf{r}(t)$ — движение, происходящее при заданных значениях $h, \mathbf{c}, \boldsymbol{\Phi}$, а $\theta$ — угол между Ф и г. Умножим (7) скалярно на $\mathrm{r}$ :
\[
r \Phi \cos \theta=(\mathbf{r}, \mathbf{v} \times \mathbf{c})-\mu r=c^{2}-\mu r,
\]

или
\[
\begin{array}{c}
r=\frac{p}{1+e \cos \theta}, \\
p=\frac{c^{2}}{\mu}, e=\frac{\Phi}{\mu}=\sqrt{1+\frac{c^{2} k}{\mu^{2}}} .
\end{array}
\]

Получили уже известное нам уравнение конического сечения.

Легко видеть, что
\[
r \geqslant r_{\pi}=\frac{p}{1+e} .
\]

причем минимум достигается при $\theta=0$, так что вектор Ф направлен в перицентр орбиты.