ЗАМЕНЫ ВРЕМЕНИ.

Пусть есть система дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=X(x) .
\]

Положим формально $d \tau=\Pi(x) d t$, тогда
\[
\frac{d x}{d \tau}=\frac{1}{\Pi(x)} X(x) \text {. }
\]

Содержание перехода от системы (1) к системе (2) состоит в следующем. Пусть $\bar{x}=x\left(t, x_{0}\right)$ – общее решение системы (1) и задана функция $\Pi(x)$, сохраняющая знак в этой области. Вдоль каждого решения можно вычислить функцию:
\[
\tau=\tau^{*}\left(t, x_{0}\right)=\int_{0}^{t} \Pi\left(x\left(t, x_{0}\right)\right) d t,
\]

которая монотонна на всем интервале определения решения и потому имеет обратную: $t=t_{*}\left(\tau, x_{0}\right)$. Подставим последнюю зависимость в общее решение; тогда
\[
x=\overline{\bar{x}}\left(\tau, x_{0}\right)=\bar{x}\left(t_{\star}\left(\tau, x_{0}\right), x_{0}\right)
\]

есть общее решение системы (2). Действительно

\[
\frac{\overline{\bar{d}}}{d \tau}=\frac{d \bar{x}}{d t} \frac{d t_{*}}{d \tau}=X\left(\overline{\bar{x}}\left(\tau, x_{0}\right)\right) \cdot \frac{1}{\left.\Pi \overline{\bar{x}}\left(\tau, x_{0}\right)\right)} .
\]

ГАМИЛЬТОНОВ СЛУЧАИ.

В случае системы в канонической форме
\[
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}
\]

после замены
\[
\begin{array}{l}
d \tau=\Pi(p, q) d t \quad \text { получим } \\
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d \tau}=\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial p} .
\end{array}
\]

Вообще говоря, правые части не обязаны быть частными производными по $q, p$ некоторой функции $F(p, q)$, так что уравнения (4) не будут каноническими.

УРОВЕНЬ ПРИТЯЗАНИЙ.

Если мы все же хотим остаться в рамках гамильтонова формализма, то придется ограничиться решениями, лежащими на одном фиксированном (хотя и произвольно фиксированном) уровне энергии $H(p, q)=h$. Введем функцию
\[
F(p, q)=\frac{1}{\Pi}(H-h),
\]

и рассмотрим систему с гамильтонианом $F(p, q)$ :
\[
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{\partial F}{\partial q}=-\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial q}-(H-h) \frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{1}{\Pi}\right), \frac{d q}{d \tau}=\ldots
\]

Видим, что во всех точках уровня $H=h$ система (6) совпадает с системой (4). Для системы (6) это уровень $F=0$.

Короче говоря, замену времени в гамильтоновой системе можно сделать только на уровне энергии. Кстати, сложное разделение переменных таким путем сводится к простому.

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В НЕБЕСНОИ МЕХАНИКЕ.

Ограничимся простейшей задачей о движении точки по прямой под действием силы тяготения Ньютона с нулевой начальной скоростью из положения $r_{0}$ в момент $t_{0}=0$. Тогда $h=-1 / r_{0}<0$. Функция $r(t)$ убывает и
\[
\frac{d r}{d t}=-\sqrt{2\left(h+\frac{1}{r}\right)} .
\]

При $r \rightarrow 0$ время $t$ стремится к конечному пределу $\bar{t}$, причем
\[
r(t)=O(\bar{t}-t)^{2 / 3} .
\]

Точка за конечное время достигает $r=0$. Таким образом, фазовый поток в данном случае стеснен, так как движения определены на конечном интервале времени. Попробуем произвести замену
\[
r=s^{2} / 2 \text {. }
\]

Тогда $H=\frac{p^{2} s}{2 s^{2}}-\frac{2}{s^{2}}=h$. Замена времени $d \tau=\frac{2 d t}{s^{2}}=\frac{d t}{r}$ приводит нас к системе с гамильтонианом
\[
F\left(p_{s}, s\right)=\frac{p^{2} s}{4}-\frac{h s^{2}}{2}
\]

на уровне $F=1$. Поскольку $h<0$, это – гамильтониан гармонического осциллятора. Поэтому
\[
s=(-2 / h)^{1 / 2} \cos (-h / 2)^{1 / 2} \tau .
\]

Значение $s=0$ достигается по-прежнему за конечное время $\tau$, однако выражение для $F$ таково, что $F$ продолжается непрерывно, гладко и даже аналитично на множество $s=0$. Фазовый поток системы с гамильтонианом $F$ нестеснен. В силу (8) точка упруго отражается от притягивающего центра (а не проскакивает по другую сторону от него).

Этот прием в небесной механике получил название регуляризации. В задаче многих тел производится аналогичная регуляризация двойных столкновений (когда стремится к нулю расстояние ровно между двумя из $n$ тел): сохраняется и асимптотика (7) и явление упругого отражения.

НЕАВТОНОМНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ.

Будем рассматривать системы канонического вида:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \frac{\partial q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad i=1, \ldots, n,
\]

в которых теперь будем считать $H=H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right)$.
Откуда берутся такие системы? Например, неавтономную гамильтонову систему можно рассматривать как сужение некоторой автономной системы на уровень энергии. Именно, пусть имеем автономную систему
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_{i}}, \frac{d q_{i}}{d t}=+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_{i}}, \quad i=1, \ldots, n+1 .
\]

Зафиксируем произвольно константу энергии:
\[
\mathscr{H}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, p_{n+1}, q_{1}, \ldots, q_{n+1}\right)=h .
\]

Предположим, что в окрестности произвольно взятой
точки, не
являющейся состоянием равновесия, выполнено условие
\[
\frac{d q_{n+1}}{d t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_{n+1}}
eq 0 ;
\]

тогда локально уровень $\mathscr{C}=h$ можно задать в виде графика, выразив $p_{n+1}$ из равенства (12):
\[
p_{n+1}=-H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n+1}, h\right) .
\]

Положив $\tau=q_{n+1}$, по теореме о неявной функции получим
\[
\frac{d p_{i}}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \frac{d q_{i}}{d \tau}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, i=1, \ldots, n,
\]

\[
H=H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, \tau, h\right) .
\]

Это – так называемые уравнения Уиттекера. Понизив порядок системы на две единицы, мы потеряли автономность и получили систему с параметром. С точки зрения практического интегрирования выигрыш, таким образом, незначителен. Однако в теоретических исследованиях прием понижения порядка применяется, и с пользой.

Если же неавтономная система (11) задана сама по себе, то достаточно взять
\[
\mathscr{G}=p_{n+1}+H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{n+1}\right) .
\]

Этот прием потребуется в нижеследующей теореме.
НЕАВТОНОМНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Ограничимся рассмотрением замен переменных. Замена
\[
P=P^{*}(p, q, t), Q=Q^{*}(p, q, t)
\]

называется канонической, если при каждом фиксированном $t$ она является канонической в смысле $§ 20$. Таким образом, мы можем пользоваться аппаратом производящих функций, в которых $t$ будет фигурировать в качестве параметра. Смешанные формулы замены будут:
\[
\begin{array}{c}
p=\frac{\partial S}{\partial q}, Q=\frac{\partial S}{\partial P}, \\
S=S(P, q, t), \operatorname{det} \frac{\partial^{2} S}{\partial P \partial q}
eq 0 .
\end{array}
\]

Теорема. После канонической замены переменных уравнения (11) преобразуются в уравнения
\[
\frac{\partial P}{d t}=-\frac{\partial \widetilde{H}}{\partial Q}, \frac{d Q}{d t}=\frac{\partial \widetilde{H}}{\partial Q},
\]

где функции $H(p, q, t)$ и $F(P, Q, t)$ связаны тождеством
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q, t\right)=\widetilde{H}\left(P, \frac{\partial S}{\partial P}, t\right)
\]
(следует обратить внимание, что это тождество написано в переменных $P, q, t$, а не в переменных $p, q, t$ или $P, Q, t)$.

Комментарий. Если мы захотим, чтобы гамильтониан $\boldsymbol{A}$ тождественно равнялся нулю, то функция $S(P, q, t)$ должна будет удовлетворять условию
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q, t\right)=0 .
\]

Это – уравнение Гамильтона-Якоби в классическом виде.