Говорят, что задана голомомная механическая система, когда
1) в трехмерном пространстве $\mathbf{R}^{3}$ есть $N$ точек с массами $m_{v}$ и радиусами-векторами $\mathbf{r}_{v}$;
2) заданы $r$ равенств
\[
f_{\mathrm{\rho}}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)=0, \quad \rho=1, \ldots, r,
\]

называемых голономными связями;
3) даны выражения сил, действующих на точки:
\[
\mathbf{F}_{v}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right), v=1, \ldots, N .
\]

Положения системы – наборы $\mathbf{r}=\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)$ – в силу нали-

чия связей не произвольны. Многообразие положений системы
\[
\mathfrak{M}_{t}=\left\{\mathrm{r}: f_{\rho}(\mathrm{r}, t)=0, \quad \rho=1, \ldots, r\right\}
\]

есть поверхность в $\mathbf{R}^{3 N}=\mathbf{R}^{3} \times \ldots \times \mathbf{R}^{3}$, зависящая, вообще говоря, от времени. Требуется, чтобы
\[
\left.\operatorname{rang} \frac{\partial\left(f_{1}, \ldots, f_{r}\right)}{\partial\left(r_{1}, \ldots, r_{N}\right)}\right|_{\mathfrak{M}}=r
\]

тогда $\mathfrak{R}_{t}$ не имеет особенностей и $\operatorname{dim} \mathfrak{R}_{t}=3 N-r$ (это – число степеней свободы системы).

Зафиксируем произвольно мгновение $t$. Набор векторов $\boldsymbol{\delta}=$ $=\left\{\boldsymbol{\delta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\delta}_{N}\right\}$ является касательным к многообразию положений $\mathfrak{P}_{t}$ в точке $\mathbf{r} \in \mathbf{R}^{3 N}$, когда
\[
\sum_{
u}\left(\left.\frac{\partial f_{p}}{\partial r_{v}}\right|_{\mathbf{r}}, \quad \delta_{v}\right)=0, p=1, \ldots, r .
\]

Касательный вектор можно трактовать как виртуальную скорость $\boldsymbol{\delta}=\frac{d \mathbf{r}}{d \alpha}$, где $\mathbf{r}(\alpha) \in \mathfrak{m}_{t}$ при фиксированном $t$.
Теперь «пустим часы». Если с течением времени
\[
f(\mathbf{r}(t), t)=0,
\]
т. е. имеется перемещение системы, согласованное со связями, то набор скоростей $\dot{\mathbf{r}}=\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}\right)$ удовлетворяет уравнениям
\[
\sum_{v}\left(\frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial \mathrm{r}_{v}}, \dot{\mathbf{r}}_{v}\right)+\frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial t}=0 .
\]

Сравнивая с (2), видим, что наборы скоростей являются касательными тогда, когда связи стационарны:
\[
\frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial t} \equiv 0 .
\]

При этом многообразие положений не зависит от времени.

ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА.

Определен и Набор функций $\mathbf{r}(t)=\left\{\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)\right\}$ называется движением механической системы, если
1) удовлетворяются связи: $f_{\rho}\left(\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)\right) \equiv 0$;
2) для любого касательного набора в положении $\mathbf{r}(t)$ справедливо
\[
\Sigma\left(m_{v} \ddot{\mathbf{r}}_{v}-\mathbf{F}_{v}, \boldsymbol{\delta}_{v}\right)=0 .
\]

Комментарий. Последнее условие можно интерпретировать как условие ортогональности в $\mathbf{R}^{3 N}$ (ср. с частным случаем динамики точки в §5). Отсюда эквивалентная запись этого условия:
\[
m_{v} \ddot{r}_{v}-\mathbf{F}_{v}=\sum_{\mathrm{p}} \lambda_{\rho} \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial \mathbf{r}_{v}},
\]

или
\[
m_{v} \ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{v}}=\mathbf{F}_{v}+\mathbf{R}_{v},
\]

где векторы
\[
\mathbf{R}_{r}=\sum_{\rho} \lambda_{\rho} \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial \mathbf{r}_{v}}
\]

называются силами реакции связей, или просто реакциями. Они легко могут быть вычислены как функции состояния, квадратичные по скорости (аналогично тому, как это было сделано для точки на поверхности в §5). Если мы захотим постулировать закон Ньютона (5), то дополнительно придется потребовать, чтобы $\boldsymbol{\Sigma}\left(\mathbf{R}_{v}, \boldsymbol{\delta}_{\mathbf{v}}\right)=0$ для любого касательного набора (аксиома идеальности связей).

Обычно касательные наборы называются возможными (или виртуальными) перемещениями и обозначаются $\delta \mathbf{r}=\left(\delta \mathbf{r}_{1}, \ldots, \delta \mathbf{r}_{N}\right)$.

ОДНА ТОЧКА. Допустим, точка находится в плоскости на кривой $f(x, y)=0$. Вектор $\delta=\left(\delta_{x}, \delta_{y}\right)$ будет касательным к кривой тогда и только тогда, когда
\[
\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial x} \delta_{x}+\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial y} \delta_{y}=0 .
\]

Допустим теперь, что мы из положения $(x, y)$ на кривой сместились в положение $x+\delta x, y+\delta y$, т. е. совершили возможное перемещение $(\delta x, \delta y)$ в буквальном смысле термина. Тогда
\[
f(x+\delta x, y+\delta y)=0 .
\]

Будем считать величины $\delta x$, $\delta y$ бесконечно малыми, т. е. стремящимися к нулю. Тогда
\[
f(x+\delta x, y+\delta y)-f(x, y)=\frac{\partial f}{\partial x} \delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \delta y+O\left(\delta x^{2}+\delta y^{2}\right)=0 .
\]

Если мы согласимся вести все вычисления с точностью до бесконечно малых второго порядка, то увидим, что возможное перемещение должно удовлетворять условию
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \delta y=0 .
\]

Это в точности то же самое, что и (6). Таким образом, формально возможное перемещение получилось касательным вектором (или смещением по касательной). Трактуя перемещение по касательной как бесконечно малое, мы с точностью до бесконечно малых более высоких порядков вправе считать, что имеем дело со смещением вдоль самой кривой. Оговорка «с точностью до бесконечно малых более высоких порядков», ненужная на уровне строгости классического анализа, отсутствует, к сожалению, в большинстве современных учебников.

Наряду с возможным обычно рассматривается также и действительное перемещение. В случае одной точки это бесконечно ма-

лый вектор $d \mathbf{r}=\mathbf{v} d t$. Если связь имеет вид $f(x, y, t)=0$, то компоненты $(d x, d y$ ) действительного перемещения за время $d t$ удовтетворяют уравнению
\[
\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial t} d t=0,
\]

что не тождественно с (7), если $\frac{\partial f}{\partial t}
eq 0$. Действительное перемещение отличается от приращения $\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)$ опять-таки на бесконечно малую более высокого порядка (рис. 7 ).

О связи принципа д’Аламбера – Лагранжа и различных видов уравнений движения в динамике точки уже говорилось в § 5 . Проведенные тогда рассуждения можно обобщить, чем (частично) мы займемся ниже.

ТВЕРДОЕ ТЕЛО.

С точки зрения развиваемого формализма твердое тело есть конечная система точек, попарные расстояния между которыми обязаны оставаться неизменными (ясно, что непрерывные распределения масс с любой необходимой точностью могут быть аппроксимированы дискретными – собственно, на практике мы без колебаний поступаем как раз наоборот). Таким образом, наложено много связей вида:
\[
\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}-l_{i j}{ }^{2}=0,
\]

среди которых в принципе еще следует отобрать функционально независимые. Легко согласиться с тем, что выписывать связи такого рода не следует, так как если мы зададим положение трех (в плоском случае – двух) точек тела, то положение всего тела определится полностью. Интересны лишь те связи, которые наложены в дополнение к условиям неизменности расстояний.

Применительно к твердому телу становится совершенно недостаточным представлять себе касательные наборы просто как векторы в пространстве высокой размерности. Будем мыслить касательный набор в виде возможного перемещения:
\[
\delta=\left(\delta r_{1}, \ldots, \delta r_{N}\right) .
\]

Это – именно набор из $N$ векторов, которые лежат в реальном пространстве $\mathbf{R}^{3}$ и приложены, разумеется, в точках $\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}$ соответственно. Примем для простоты, что дополнительные связи, наложенные на тело, не зависят от времени. Это позволит представить касательный набор в виде набора скоростей $\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}$. Поскольку мы имеем дело с твердым телом, лучше в данном случае говорить не о наборе, а о распределении скоростей, которое, как известно, характеризуется скоростью отмеченной точки тела (например, $\mathbf{v}_{1}$ ) и его угловой скоростью $\omega$. Наличие дополнительных связей ведет к тому, что векторы $\mathbf{v}_{1}$ и $\boldsymbol{\omega}$ не могут быть произвольными (как мы уже видели на примерах в предыдущем параграфе). Отсюда вывод: возможное перемещение твердого тела есть специфическое распределение трехмерных векторов, удовлетворяющее некоторым условиям.

Нечто аналогичное можно сказать и о любой системе точек со связями. Подчеркнем, что корректно определены возможные перемещения лишь всей системы точек в совокупности.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Пусть $m=\left(m_{1}, \ldots, m_{N}\right)$. Динамической функцией называется семейство скалярных или векторных функций
\[
\Phi_{m}^{N}(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r})=\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N}}^{N}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right) .
\]

удовлетворяющих следующим естественным условиям:
a) значение $\Phi^{N}$ не изменяется при перенумеровке масс:
\[
\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N}}^{N}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)=\Phi_{m_{i 1}, \ldots, m_{i N}}^{N}\left(\mathbf{r}_{i_{1}}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{i_{N}}, \mathbf{r}_{i_{1}}, \ldots, \mathbf{r}_{i_{N}}\right) ;
\]
б) $\Phi_{\lambda m}^{N}=\lambda \Phi_{m}^{N}$ (однородность);
в) $\Phi_{m_{1}+m_{2}}^{N}=\Phi_{m_{1}}^{N}+\Phi_{m_{2}}^{N}$ (аддитивность);
г) если $m_{N}=0$, то
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N-1}, 0}^{N}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)= \\
=\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N-1}}^{N-1}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N-1}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N-1}\right) .
\end{array}
\]

Лемма. Динамические функции имеют вид
\[
\Phi_{m}^{N}=\sum_{
u} m_{
u} \Phi\left(\dot{\mathbf{r}}_{
u}, \mathbf{r}_{
u}\right),
\]

где $\Phi\left(\dot{\mathbf{r}}_{0}, \mathbf{r}_{0}\right)$ – некоторая функция двух векторных аргументов.
Доказательство проводится индукцией по $N$ :
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N}}^{N}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)= \\
=\Phi_{m_{1}, \ldots, m_{N-1}}^{N-1}\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N-1}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N-1}\right)+m_{N} \Phi\left(\dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{N}\right) .
\end{array}
\]

Детали оставляются в качестве упражнения.
Примеры динамических функци й:
A) импульс
\[
\begin{array}{l}
P_{x}=\sum_{
u} m_{v} \dot{x}_{v}\left(\Phi=\dot{x}_{0}\right), \\
\mathbf{P}=\sum_{
u} m_{
u} \dot{\mathbf{r}}_{v}\left(\boldsymbol{\Phi}=\dot{\mathrm{r}}_{0}\right) ;
\end{array}
\]
Б) кинетический момент
\[
\begin{array}{c}
\Lambda_{O z}=\sum_{v} m_{v}\left(x_{v} \dot{y}_{v}-y_{v} \dot{x}_{v}\right) \quad\left(\Phi=x_{0} \dot{y}_{0}-y_{0} \dot{x}_{0}\right), \\
\boldsymbol{\Lambda}_{O}=\sum_{v} m_{v}\left[\mathbf{r}_{v} \times \dot{\mathbf{r}}_{v}\right] \quad\left(\boldsymbol{\Phi}=\left[\mathbf{r}_{0} \times \dot{\mathbf{r}}_{0}\right]\right) ;
\end{array}
\]
В) кинетическая энереия
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{
u} m_{
u} \dot{\mathbf{r}}_{
u}{ }^{2}\left(\boldsymbol{\Phi}=\frac{1}{2} \dot{\mathbf{r}}^{2}\right) ;
\]
Г) вириал
\[
J=\sum_{v} m_{v}\left(\mathbf{r}_{v}, \dot{\mathbf{r}}_{v}\right) \quad\left(\Phi=\left(\mathbf{r}_{0}, \dot{\mathbf{r}}_{0}\right)\right) ;
\]
Д) полный момент инерции
\[
I=\sum_{
u} m_{v} \mathbf{r}_{
u}^{2}\left(\Phi=\mathbf{r}_{0}{ }^{2}\right)
\]

и т. д.
При движении системы производная динамической функции
\[
\frac{d \Phi_{m}^{N}}{d t}=\sum_{v}\left(m_{
u}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}_{v}}, \dot{\mathbf{r}}_{v}\right)+\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{\mathbf{r}}_{v}}, \mathbf{F}_{v}\right)\right)+\sum_{
u, p} \lambda_{p}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}_{v}}, \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial \mathbf{r}_{v}}\right) .
\]

Если мы потребуем, чтобы для всех $\rho$
\[
\sum_{v}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{r}_{v}}, \frac{\partial f_{p}}{\partial r_{v}}\right) \equiv 0
\]

то производная будет иметь такой же вид, как и в случае движения свободных точек. Сейчас мы реализуем эту идею.

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ.

Следует запомнить, что в качестве посылки в них фигурируют некоторые условия на связи и что силы реакции в их формулировке не участвуют.
Теорем а (об изменении импульса). Если
\[
\sum_{
u} \frac{\partial \mathrm{f}_{\mathrm{p}}}{\partial x_{
u}} \equiv 0
\]

или
\[
\frac{d}{d s} f_{\rho}\left(x_{1}+s, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}+s, y_{N}, z_{N}, t\right)=0,
\]
т. е. связи допускают сдвиг вдоль оси $x$, то
\[
\frac{d P_{x}}{d t}=\sum_{v} X_{v}
\]

Если к тому же $\Sigma X_{v}=0$, то $P_{x}$ – интеграл движения.
Теорема Б (об изменении момента). Если
\[
\sum_{v}\left(x_{v} \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial y_{v}}-y_{v} \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial x_{v}}\right) \equiv 0,
\]
т. е. связи допускают повороты вокруг неподвижной оси $z$ (по-

следнее предлагается проверить), то
\[
\frac{d \Lambda_{z}}{d t}=M_{z}=\sum_{v}\left(x_{v} Y_{v}-y_{v} X_{v}\right) .
\]

Если к тому же $M_{z}=0$, то $\Lambda_{z}$ – первый интеграл.
Теорема В (об изменении кинетической энергии). Если связи стационарны, т. е.
\[
\sum_{
u} \frac{\partial f_{\mathrm{p}}}{\partial \mathrm{r}_{
u}} \dot{\mathrm{r}}_{
u}=-\frac{\partial \dot{p}_{\mathrm{p}}}{\partial t} \equiv 0
\]

тo
\[
\frac{d T}{d t}=\sum_{v}\left(\mathbf{F}_{v}, \dot{r}_{v}\right) .
\]

Если к тому же силы консервативны:
\[
\mathbf{F}_{v}=\frac{\partial V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)}{\partial \mathbf{r}_{v}},
\]

то имеет место интеграл энергии $T+V=$ const.
Теорема $\Gamma$ (об изменении вириала). Если связи допускают произвольную гомотетию с центром в начале координат, т. е.
\[
\frac{d}{d \lambda} f_{p}\left(\lambda r_{1}, \ldots, \lambda r_{N}, t\right)=0,
\]

то производная от вириала равна
\[
\frac{d J}{d t}=2 T+\sum_{
u}\left(\mathbf{F}_{
u}, \mathbf{r}_{
u}\right) .
\]

В частности, если
\[
\mathbf{F}_{v}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_{v}} ; \quad V\left(\lambda \mathbf{r}_{1}, \ldots, \lambda \mathbf{r}_{N}\right)=\lambda^{n} V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right),
\]

To
\[
\frac{d J}{d t}=2 T-n V
\]

Теорема Д (об изменении момента инерции). Всегда
\[
\frac{a I}{d t}=2 J .
\]

Последние две теоремы были использованы в задаче многих тел (см. §10).

Следствие теорем А и Б. Если связи допускают сдвиги вдоль любого направления и любые повороты вокруг неподвижной точки $O$, то
\[
\frac{d \mathbf{P}}{d t}=\Sigma \mathbf{F}_{v}, \frac{d \boldsymbol{\Lambda}}{d t}=\boldsymbol{\Sigma}\left[\mathbf{r}_{v} \times \mathbf{F}_{v}\right],
\]

а также
\[
\frac{d \Lambda_{S}}{d t}=\sum_{
u}\left[\rho_{
u} \times \mathbf{F}_{v}\right\},
\]

где $\boldsymbol{\Lambda}_{S}=\sum m_{\mathrm{v}}\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{v}} \times \dot{\boldsymbol{\rho}}_{\mathrm{v}}\right]$ – собственный кинетический момент (определяется так же, как и в § 10).
Это следствие лежит в основе динамики твердого тела.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИДЕАЛЬНОСТИ СВЯЗЕИ.

Допустим для простоты, что имеем одно плоское тело, а связи стационарны. Рассмотрим сначала случай, когда оно катится без проскальзывания по неподвижной кривой: наложены дополнительные связи. Реакции наложенных связей $\mathbf{R}_{i}$ образуют систему сил, которую элементарными преобразованиями можно привести к силе $\mathbf{R}$, приложенной в точке касания, и паре сил $\boldsymbol{\Phi},-\boldsymbol{\Phi}$, приложенной, например, в отмеченных точках $P_{1}, P_{2}$. Набор скоростей – всегда касательный, поэтому можно написать, что
\[
\boldsymbol{\Sigma}\left(\mathbf{R}_{v}, \dot{\mathbf{r}}_{v}\right)=\left(\mathbf{R}, \mathbf{v}_{P}\right)+\left(\boldsymbol{\Phi}, \mathbf{v}_{P_{\mathrm{i}}}\right)-\left(\boldsymbol{\Phi}, \mathbf{v}_{P_{2}}\right)=0 .
\]

Поскольку $\mathbf{v}_{P}=0$, сила $\mathbf{R}$ может быть направлена как угодно. Ос-

Поэтому момент пары равен нулю. Итак, воздействие сил реакции дополнительных идеальных связей при качении сводится к появлению единственной силы $\mathbf{R}$ в точке касания. Если допускается проскальзывание, то в результате аналогичных рассуждений (качение без проскальзывания по-прежнему возможно) опять момент пары равен нулю. Но, кроме качения, становится возможным также и проскальзывание, при котором $\mathbf{v}_{P}
eq 0$. Следовательно, при проскальзывании должно быть $\left(\mathbf{R}, \mathbf{v}_{P}\right)=0$, т. е. сила $\mathbf{R}$ перпендикулярна кривой.

Аналогичную интерпретацию можно дать и другим способам введения реакций связей, обрисованным в § 12 . В ситуации, когда связи стационарны, а силы $\mathbf{F}$ консервативны, условие идеальности связи приобретает следующий смысл: полная энергия $T+$ $+V$ по-прежнему сохраняется после наложения связей.