Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Серьезное обсуждение основ любой научной дисциплины возможно лишь с позиций, лежащих вне ее, и предполагает определенную общую культуру собеседников – в нашем случае общефизическую и философскую. В рамках этого вводного курса такое обсуждение преждевременно; мы лишь схематически наметим, над чем полезно задуматься. Сначала наше внимание привлекут. понятие геометрической точки – объекта, который не имеет размеров, но тем не менее может быть опознан; Даже с появлением квантовой механики работоспособность этих понятий не уменьшилась. Войдем теперь в пределы классической механики и нанесем на карту этой области знания несколько опорных пунктов. Если мы наблюдаем (не созерцаем, а наблюдаем) движущуюся точку, то это в первую очередь значит, что у нас имеется Следовательно, в окружающем пространстве действует евклидова геометрия во всем ее богатстве (включая векторную алгебру). во-первых, предположение о независимости процедур измерения расстояния и времени: не имеет значения, что измерение расстояния занимает некоторое время, а измерение времени разворачивается в пространстве; во-вторых, предположение о том, что число, обозначающее текущее мгновение времени в одном месте, можно определять по показаниям часов в другом месте; в этом смысле выражение «сейчас» корректно применительно ко всему пространству в целом. Этот исходный тезис механики Ньютона настолько привычен и настолько удобен, что даже отказ от него с позиций специальной теории относительности играет весьма ограниченную роль не только в других разделах физики, но и при применении самой теории относительности для вычислений в конкретных задачах (точные уравнения этой теории заменяются на уравнения Ньютона с поправочными членами). Движение точки в данной системе отсчета задается функциями $x(t), y(t), z(t)$. Их можно интерпретировать как переменные координаты некоторой движущейся геометрической точки $P(t)$, а также как компоненты ее радиуса-вектора $\mathbf{r}=\overline{O P}$, где $O-$ точка с координатами $(0,0,0)$. Итак, где $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ – единичные векторы декартовой системы координат. Они образуют ортонормированный репер. Скорость точки это вектор, который имеет несколько эквивалентных обозначений: Аналогично ускорение Системы отсчета используются для того, чтобы производить Это тело, размеры которого для нас несущественны. Не имея размеров, материальная точка отличается от геометрической тем, что у нее есть масса – харак̈теристика, которую мы умеем измерять в силу того, что материальная точка способна взаимодействовать $\dot{~}$ другими объектами. Массу можно измерять и у протяженных объектов. Основным свойством массы является ее аддитивность: масса объединения двух тел равна сумме масс каждого из них. Воздействия тоже нужно измерять. Поскольку речь идет о движении, для этого необходимо иметь систему отсчета. Далее, предполагается, что используемая нами причем оказалось возможным и удобным измерять ее непосредственно. Таким образом, сила играет роль универсальной характеристики воздействий. Мы говорим: «сила сопротивления вязкой среды», «сила деформации пружины» и так далее. Сила гравитационного воздействия пропорциональна массе. Равенство $\mathbf{F}=$ ma может не только служить определением силы, но и допускать обратное прочтение (второй закон Ньюто- на): можно считать силу $\mathbf{F}$ заданной и тогда подбирать движения так, чтобы равенство $\mathrm{F}=$ mа выполнялось тождественно: если вычисленные движения хорошо совпадают с наблюдаемыми, то мы вправе считать, что заданная сила хорошо выражает имеющееся воздействие. Это – простейшее На этом стоит несколько задержаться. Что значит задать силу и как подобрать движение? Начать придется издалека. В естественных науках действует принцип, согласно которому если условия одного эксперимента с достаточной точностью воспроизводят условия другого, то результаты обоих экспериментов будут одинаковыми. Точность воспроизведения определяется, в частности, точностью измерений. Кроме того (если не в первую очередь), важно знать, какие именно характеристики опыта надлежит воспроизводить с высокой точностью, т. е. важно достичь определенного уровня понимания происходящего. В механике одним из проявлений универсального принципа воспроизводимости экспериментов является Поясним на примере. Если исследуется воздействие заданного объекта на заданную материальную точку, и в мгновение $t$ известно ее положение $\mathbf{r}$ и скорость $\mathbf{v}$, то ее последующее движение может быть только одно. Отсюда вытекает, что скорость $\mathbf{v}(t+\tau)$ определена однозначно; следовательно, ускорение а в мгновение $t$ и сила $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$ также могут принимать единственное значение (рис. 1). Иными словами, сила $\mathbf{F}$ есть функция времени, положения и скорости: Задать силу-значит конкретно указать эту зависимость при помощи явной формулы. После этого второй закон Ньютона принимает вид векторного дифференциального уравнения второго порядка: или в координатах – вид системы дифференциальных уравнений: Подобрать движение – значит найти решение этой системы. В классической динамике имеется некоторый запас моделей движения, с самыми простыми из которых мы вскоре познакомимся. Пока лишь приведем примеры того, как задаются силы: Поскольку реальный мир богаче мысленного, модели постоянно приходится усложнять, и здесь мы опираемся на или правило сложения сил, суть которого в следующем: Резюмируя, силу можно определить как векторную характеристику воздействий на точку, подчиняющуюся принципу суперпозиции; второй закон Ньютона постулирует связь этой характеристики с массой точки и ускорением ее в инерциальной системе отсчета. Опыт показал, что это открывает разнообразнейшие возможности с высокой точностью моделировать движение реальных объектов. и т. д. Будем условно обозначать размерность длины, массы и времени соответственно буквами L, M, T (по Максвеллу). Размерность любой физической величины $X$ будет где $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ – некоторые целые или рациональные числа. Это значит, что если мы изменим единицы измерения и положим Например, для скорости $v$ имеем для ускорения – На формулу (2) будем смотреть как на исходное положение (иначе говоря, размерную величину можно было бы определить как одночлен вида $X L^{x_{1}} M^{x_{2}} T^{x_{3}}$, но мы не хотим становиться на формальную точку зрения). Операции над размерными величинами производятся такие: Только что сказанное составляет наивный уровень соображений размерности и известно каждому. Однако из этого можно извлечь намного более глубокие заключения, составляющие и что, наоборот, размерности если определитель из соответствующих показателей Предложение. Для любой величины $P$ в этом случае где $a, b, c$ – снова некоторые рациональные числа. величина $P$ меняется следующим образом: Величина по определению есть так называемая безразмерная комбинация величин $P, X, Y, Z$. Показатели при $\mathrm{L}, M$, Т для нее равны нулю. Она сохраняет свое численное значение при изменении масштабов. Взятие любой элементарной ( $\sin , \exp , \ln , \operatorname{arctg}$ и т. д.) или иной не полиномиальной функции возможно лишь от безразмерных величин (например, углов в радианной мере) или от безразмерных комбинаций размерных величин. в которой величины $X, Y, Z$ положительны и размерно независимы. Тогда существует эквивалентная зависимость в которой $\Pi_{i}$ – безразмерные комбинации вида (7). Всякий раз получим что и требовалось. Пример. Пусть шар радиуса $R$ движется со скоростью $v$ в тазе плотностью $\rho$. Допустим, что сила сопротивления $F=f(\rho$, $v, R)$. Анализируя размерности видим, что первые три независимы и что $[F]=[\rho][R]^{2}[v]^{2}$. В силу $\Pi$-теоремы $F / \rho R^{2} v^{2}=f(1,1,1)=C$. Хотя значение $C$ установить мы не можем, ясно, что т. е. сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Это – знание. Разумны ли допущения – покажет опыт. Советы на будущее. Формула (8) позволяет нам в случае необходимости действовать по следующей схеме. В уравнениях (каких-то), которые надо решить для получения зависимости $f$, полагаем $X=Y=Z=1$; уравнения становятся проще, и мы довольно скоро приходим к выражению после чего заменяем $P_{0}, \ldots, P_{S}$ их безразмерными комбинациями и в итоге имеем искомое: Если в уравнениях только два размерно независимых параметра, то можно действовать по аналогичной схеме, не обращая внимания на независимую размерность. В классической динамике значение метода безразмерных комбинаций почти целиком сводится к приемам, позволяющим сократить выкладки. Подлинный размах этот метод приобретает в механике сплошных сред.
|
1 |
Оглавление
|