Серьезное обсуждение основ любой научной дисциплины возможно лишь с позиций, лежащих вне ее, и предполагает определенную общую культуру собеседников — в нашем случае общефизическую и философскую. В рамках этого вводного курса такое обсуждение преждевременно; мы лишь схематически наметим, над чем полезно задуматься. Сначала наше внимание привлекут.
ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, ЧИСЛО.
Известно, что ребенка можно научить считать, только прививая ему некоторые моторные навыки — попросту говоря, побуждая его многократно собственными руками перекладывать однородные предметы. Наши представления о пространстве и времени это итог многовекового общечеловеческого опыта ориентирования в окружающем мире, начиная с различения и счета животных, растений, камней, орудий и звезд, осознания мускульных усилий по перемещению предметов и самого себя в пространстве, наблюдения смены дня и ночи и ощущения пульса. Счет шагов и лет открыл список разнообразных способов измерения расстояния и времени; развивались арифметика, геометрия и астрономия. Наблюдения и эксперименты, основанные на измерении, стали началом механики и физики. Выработалась психологическая установка искать и выделять наиболее существенные черты явлений природы и техники; сложился и глубоко укоренился в научном сознании ряд фундаментальных представлений. В их числе

понятие геометрической точки — объекта, который не имеет размеров, но тем не менее может быть опознан;
понятие не имеющего протяженности мгновения времени; понятие непрерывного процесса движения.

Даже с появлением квантовой механики работоспособность этих понятий не уменьшилась.

Войдем теперь в пределы классической механики и нанесем на карту этой области знания несколько опорных пунктов.

Если мы наблюдаем (не созерцаем, а наблюдаем) движущуюся точку, то это в первую очередь значит, что у нас имеется
система координат, в которой положение точки задается тремя действительными числами $x, y, z$. Более того, опыт убеждает в том, что в нашем распоряжении, если потребуется, всегда будет декартова система координат — такая, в которой расстояние между двумя положениями $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и $x_{2}, y_{2}, z_{2}$ равно
\[
\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}} \text {. }
\]

Следовательно, в окружающем пространстве действует евклидова геометрия во всем ее богатстве (включая векторную алгебру).
Независимо от системы координат у нас есть
часы
(на практике это некоторый регулярно повторяющийся процесс), отсчитывающие время $t$. Слово «независимо» здесь очень важно. За ним кроется,

во-первых, предположение о независимости процедур измерения расстояния и времени: не имеет значения, что измерение расстояния занимает некоторое время, а измерение времени разворачивается в пространстве;

во-вторых, предположение о том, что число, обозначающее текущее мгновение времени в одном месте, можно определять по показаниям часов в другом месте; в этом смысле выражение «сейчас» корректно применительно ко всему пространству в целом. Этот исходный тезис механики Ньютона настолько привычен и настолько удобен, что даже отказ от него с позиций специальной теории относительности играет весьма ограниченную роль не только в других разделах физики, но и при применении самой теории относительности для вычислений в конкретных задачах (точные уравнения этой теории заменяются на уравнения Ньютона с поправочными членами).
Система координат вместе с часами — это система отсчета.

Движение точки в данной системе отсчета задается функциями $x(t), y(t), z(t)$. Их можно интерпретировать как переменные координаты некоторой движущейся геометрической точки $P(t)$, а также как компоненты ее радиуса-вектора $\mathbf{r}=\overline{O P}$, где $O-$ точка с координатами $(0,0,0)$. Итак,
\[
\mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{e}_{x}+y(t) \mathbf{e}_{y}+z(t) \mathbf{e}_{z},
\]

где $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ — единичные векторы декартовой системы координат. Они образуют ортонормированный репер. Скорость точки это вектор, который имеет несколько эквивалентных обозначений:
\[
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\dot{\mathbf{r}}=\frac{d x}{d t} \mathbf{e}_{x}+\frac{d y}{d t} \mathbf{e}_{y}+\frac{d z}{d t} \mathbf{e}_{z}=\dot{x} \mathbf{e}_{x}+y \mathbf{e}_{y}+\dot{z} \mathbf{e}_{z} .
\]

Аналогично ускорение
\[
\mathrm{a}=\frac{d \mathrm{v}}{d t}=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=\ddot{\mathbf{r}}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \mathrm{e}_{x}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \mathrm{e}_{y}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \mathrm{e}_{z}=\ddot{x} \mathrm{e}_{x}+\ddot{y} \mathrm{e}_{y}+\ddot{z} \mathrm{e}_{z} .
\]

Системы отсчета используются для того, чтобы производить
ИЗМЕРЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЙ.
Из окружающего нас мира мы умеем мысленно вычленять материальные объекты и давать им наименования. Мы понимаем, что эти объекты разнообразно взаимодействуют друг с другом, умеем различать взаимодействия и давать наименования и им тоже (мы понимаем также, что всякое умение и ограниченно, и постоянно совершенствуется). Далее, в зависимости от обстоятельств мы умеем пренебрегать несущественными взаимодействиями; мы допускаем приближенную точку зрения, согласно которой один объект может действовать на другой и при этом не испытывать обратного воздействия. Все это мы умеем лишь в той мере, в какой владеем физикой.
Основной мысленный образ классической динамики — материальная точка.

Это тело, размеры которого для нас несущественны. Не имея размеров, материальная точка отличается от геометрической тем, что у нее есть масса — харак̈теристика, которую мы умеем измерять в силу того, что материальная точка способна взаимодействовать $\dot{~}$ другими объектами. Массу можно измерять и у протяженных объектов. Основным свойством массы является ее аддитивность: масса объединения двух тел равна сумме масс каждого из них.

Воздействия тоже нужно измерять. Поскольку речь идет о движении, для этого необходимо иметь систему отсчета. Далее, предполагается, что используемая нами
система отсчета — инерциальная,
т. е. с разумной степенью точности мы можем считать, что если материальная точка имеет ненулевое ускорение в нашей системе отсчета, то только в результате воздействия на нее других объектов (первый закон Ньютона). Допустим теперь, что поставлен ряд экспериментов, в которых разные точки подвергались одному и тому же воздействию. Опыт показал, что возможны результаты двух сортов: либо ускорение а оказывалось одним и тем же для всех точек (круг явлений, связанных с фундаментальным гравитационным воздействием), либо ускорение оказывалось обратно пропорциональным массе (круг явлений, имеющих в конечном счете электромагнитную природу). Таким образом, наряду с ускорением важную роль приобрела несколько иная векторная величина:
сила $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$,

причем оказалось возможным и удобным измерять ее непосредственно. Таким образом, сила играет роль универсальной характеристики воздействий. Мы говорим: «сила сопротивления вязкой среды», «сила деформации пружины» и так далее. Сила гравитационного воздействия пропорциональна массе.

Равенство $\mathbf{F}=$ ma может не только служить определением силы, но и допускать обратное прочтение (второй закон Ньюто-

на): можно считать силу $\mathbf{F}$ заданной и тогда подбирать движения так, чтобы равенство $\mathrm{F}=$ mа выполнялось тождественно: если вычисленные движения хорошо совпадают с наблюдаемыми, то мы вправе считать, что заданная сила хорошо выражает имеющееся воздействие. Это — простейшее
моделирование.

На этом стоит несколько задержаться. Что значит задать силу и как подобрать движение? Начать придется издалека. В естественных науках действует принцип, согласно которому

если условия одного эксперимента с достаточной точностью воспроизводят условия другого, то результаты обоих экспериментов будут одинаковыми. Точность воспроизведения определяется, в частности, точностью измерений. Кроме того (если не в первую очередь), важно знать, какие именно характеристики опыта надлежит воспроизводить с высокой точностью, т. е. важно достичь определенного уровня понимания происходящего.

В механике одним из проявлений универсального принципа воспроизводимости экспериментов является
принцип детерминированности.

Поясним на примере. Если исследуется воздействие заданного объекта на заданную материальную точку, и в мгновение $t$ известно ее положение $\mathbf{r}$ и скорость $\mathbf{v}$, то ее последующее движение может быть только одно. Отсюда вытекает, что скорость $\mathbf{v}(t+\tau)$ определена однозначно; следовательно, ускорение а в мгновение $t$ и сила $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$ также могут принимать единственное значение (рис. 1). Иными словами, сила $\mathbf{F}$ есть функция времени, положения и скорости:
\[
\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{v}, \mathbf{r}, t) .
\]

Задать силу-значит конкретно указать эту зависимость при помощи явной формулы. После этого второй закон Ньютона принимает вид векторного дифференциального уравнения второго порядка:
\[
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=\mathbf{F}\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}, \mathbf{r}, t\right),
\]

или в координатах — вид системы дифференциальных уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z, t), \\
m \ddot{y}=Y(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z, t), \\
m \ddot{z}=Z(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z, t) .
\end{array}\right.
\]

Подобрать движение — значит найти решение этой системы. В классической динамике имеется некоторый запас моделей движения, с самыми простыми из которых мы вскоре познакомимся. Пока лишь приведем примеры того, как задаются силы:
1) сила тяжести $m g$, где $g$ — обычно постоянный вектор;
2) сила упругости $\mathbf{F}=-k \mathbf{r}$ (точка привязана за упругую нить, длина которой в ненапряженном состоянии равна нулю);
3) сила вязкого трения $\mathbf{F}=-\boldsymbol{C v}$ (сопротивление среды направлено против скорости и тем сильнее, чем больше величина скорости, в простейшем варианте $C$ — постоянный коэффициент);
4) сила Лоренца $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+(1 / c)[\mathbf{v} \times \mathbf{B}])$ (заряд $q$ находится в электромагнитном поле с электрической напряженностью $\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ и магнитной индукцией $\mathbf{B}(\mathrm{r}, t) ; c$-скорость света; подробности еще впереди).

Поскольку реальный мир богаче мысленного, модели постоянно приходится усложнять, и здесь мы опираемся на
принцип суперпозиции,

или правило сложения сил, суть которого в следующем:
если объект $O_{1}$, будучи в одиночестве, действует на материальную точку с силой $\mathbf{F}_{1}$, а объект $O_{2}$ аналогично — с силой $\mathbf{F}_{2}$, то в совокупности эти объекты действуют на точку с силой $\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}$ (векторная сумма по правилу параллелограмма), см. рис. 1.

Резюмируя, силу можно определить как векторную характеристику воздействий на точку, подчиняющуюся принципу суперпозиции; второй закон Ньютона постулирует связь этой характеристики с массой точки и ускорением ее в инерциальной системе отсчета. Опыт показал, что это открывает разнообразнейшие возможности с высокой точностью моделировать движение реальных объектов.
Теперь нам необходимо вспомнить, что такое
РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
Не будем претендовать на полноту и ограничимся рамками только механики в узком смысле слова. Обратим внимание на то, что измерение или задание разного рода величин всякий раз предполагает осознанный выбор единиц длины, времени и массы. Например, применяются системы СГС (см, с, г), СИ (м, с, кг) и др. Численное значение величины имеет смысл только тогда, когда задана ее размерность: пишут
\[
l=183 \mathrm{cм}, v=60 \mathrm{~km} / ч, g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, m=40 \mathrm{т},
\]

и т. д. Будем условно обозначать размерность длины, массы и времени соответственно буквами L, M, T (по Максвеллу). Размерность любой физической величины $X$ будет
\[
[X]=\mathrm{L}^{x_{1}} \cdot M^{x_{2}} \cdot \mathrm{T}^{x_{3}},
\]

где $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — некоторые целые или рациональные числа. Это значит, что если мы изменим единицы измерения и положим
\[
\mathrm{L}^{\prime}=\lambda \mathrm{L}, \mathrm{M}^{\prime}=\mu \mathrm{M}, \mathrm{T}^{\prime}=\tau \mathrm{T}
\]
(допустим, перейдем от СГС к СИ), то численное значение величины $X$ изменится тоже:
\[
X=\lambda^{x_{1}} \mu^{x_{2}} \tau^{x^{3}} X^{\prime} .
\]

Например, для скорости $v$ имеем
\[
[v]=L / T, 20 \mathrm{~m} / \mathrm{c}=72 \mathrm{~km} / \mathrm{ч},
\]

для ускорения —
\[
[g]=\mathrm{L} / \mathrm{T}^{2}, 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2} \approx 130000 \mathrm{кm} / \mathrm{ч}^{2} .
\]

На формулу (2) будем смотреть как на исходное положение (иначе говоря, размерную величину можно было бы определить как одночлен вида $X L^{x_{1}} M^{x_{2}} T^{x_{3}}$, но мы не хотим становиться на формальную точку зрения). Операции над размерными величинами производятся такие:
a) сложение $X+Y$, если $[X]=[Y]$;
б) умножение $X Y$ : при этом
\[
[X Y]=\mathrm{L}^{x_{1}+y_{1}} \quad M^{x_{2}+y_{2}} T^{x_{2}+y_{3}}=[X][Y] ;
\]
в) возведение в рациональную степень $a$; при этом
\[
\left[X^{a}\right]=\mathrm{L}^{a x_{1}} M^{a x_{2}} \mathrm{~T}^{a x_{3}}=[X]^{a} .
\]

Только что сказанное составляет наивный уровень соображений размерности и известно каждому. Однако из этого можно извлечь намного более глубокие заключения, составляющие
метод безразмерных комбинаций.
Размерности $L, M, T$ будем считать независимыми. Разумно будет сказать, что размерности величин $l, v, g$ зависимы, поскольку
\[
[v]^{2}=\mid[l][g],
\]

и что, наоборот, размерности
\[
[F]=M L / \mathrm{T}^{2},[v]=\mathrm{L} / \mathrm{T},[\rho]=M / \mathrm{L}^{3}
\]
(здесь $\rho$ — плотность массы)
независимы, так как связать их соотношением типа $[F]^{a}=$ $=[v]^{b}[\rho]^{c}$ явно невозможно. Будем говорить, что величины $X, Y, Z$
размерно независимы,

если определитель из соответствующих показателей
\[
\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & y_{1} & z_{1} \\
x_{2} & y_{2} & z_{2} \\
x_{3} & y_{3} & z_{3}
\end{array}\right|
eq 0 .
\]

Предложение. Для любой величины $P$ в этом случае
\[
[P]=[X]^{a}[Y]^{b}[Z]^{c},
\]

где $a, b, c$ — снова некоторые рациональные числа.
В силу (3) и (4) это все равно, что разложить вектор показателей ( $\left.P_{1}, P_{2}, P_{3}\right)$ по новому базису.
Следствие. После изменения масштабов
\[
X=\xi X^{\prime}, Y=\eta Y^{\prime}, Z=\xi Z^{\prime}
\]

величина $P$ меняется следующим образом:
\[
P=\xi^{a} \eta^{b} \zeta^{c} P^{\prime} .
\]

Величина
\[
\Pi=\frac{P]}{X^{a} Y^{b} Z^{c}}
\]

по определению есть так называемая безразмерная комбинация

величин $P, X, Y, Z$. Показатели при $\mathrm{L}, M$, Т для нее равны нулю. Она сохраняет свое численное значение при изменении масштабов.

Взятие любой элементарной ( $\sin , \exp , \ln , \operatorname{arctg}$ и т. д.) или иной не полиномиальной функции возможно лишь от безразмерных величин (например, углов в радианной мере) или от безразмерных комбинаций размерных величин.
П-теорема. Пусть имеется зависимость вида
\[
P_{0}=f\left(X, Y, Z, P_{1}, \ldots ; P_{S}\right),
\]

в которой величины $X, Y, Z$ положительны и размерно независимы. Тогда существует эквивалентная зависимость
\[
\Pi_{0}=\varphi\left(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{S}\right),
\]

в которой $\Pi_{i}$ — безразмерные комбинации вида (7).
Доказательство. После изменения масштабов (5) в силу (6)
\[
\xi^{a_{0}} \eta^{b_{0}} \zeta^{c_{0}} P_{0}=f\left(\xi X, \eta Y, \zeta Z, \xi^{a_{1}} \eta^{b_{1}} \zeta^{c_{1}} P_{1}, \ldots, \xi^{a} s \eta^{b} s \zeta^{c} s P_{S}\right)
\]
(штрихи при $P_{i}, X, Y, Z$ мы убрали). Қаковы бы ни были значения $X, Y, Z$, всегда можно так изменить масштабы, что
\[
\xi=\frac{1}{X}, \quad \eta=\frac{1}{Y}, \quad \zeta=\frac{1}{Z} .
\]

Всякий раз получим
\[
\frac{P_{0}}{X^{a_{0}} Y^{b_{0}} Z^{c_{0}}}=f\left(1,1,1, \frac{P_{1}}{X^{a_{1}} Y^{b_{1}} Z^{c_{1}}}, \ldots, \frac{P_{S}}{X^{a} S^{b} S^{b^{c} S}}\right),
\]

что и требовалось.
Сила П-теоремы (равно как и слабость) в том, что не играет никакой роли источник зависимости $f$.

Пример. Пусть шар радиуса $R$ движется со скоростью $v$ в тазе плотностью $\rho$. Допустим, что сила сопротивления $F=f(\rho$, $v, R)$. Анализируя размерности
\[
[R]=\mathrm{L},[\rho]=M / \mathrm{L}^{3},[v]=\mathrm{L} / \mathrm{T},[F]=M \mathrm{~L} / \mathrm{T}^{2},
\]

видим, что первые три независимы и что $[F]=[\rho][R]^{2}[v]^{2}$. В силу $\Pi$-теоремы $F / \rho R^{2} v^{2}=f(1,1,1)=C$. Хотя значение $C$ установить мы не можем, ясно, что
\[
F=C \rho R^{2} v^{2},
\]

т. е. сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Это — знание. Разумны ли допущения — покажет опыт.

Советы на будущее. Формула (8) позволяет нам в случае необходимости действовать по следующей схеме.

В уравнениях (каких-то), которые надо решить для получения зависимости $f$, полагаем $X=Y=Z=1$; уравнения становятся проще, и мы довольно скоро приходим к выражению
\[
P_{\mathrm{n}}=\varphi\left(P_{1}, \ldots, P_{\mathrm{S}}\right),
\]

после чего заменяем $P_{0}, \ldots, P_{S}$ их безразмерными комбинациями и в итоге имеем искомое:
\[
P_{0}=X^{a_{0}} Y^{b_{0}} Z^{c_{0}} \varphi\left(\frac{P_{1}}{X^{a_{1}} Y^{b_{1}} Z^{c_{1}}}, \ldots, \frac{P_{S}}{X^{a} Y^{b^{b}} Z^{c} S}\right) .
\]

Если в уравнениях только два размерно независимых параметра, то можно действовать по аналогичной схеме, не обращая внимания на независимую размерность.

В классической динамике значение метода безразмерных комбинаций почти целиком сводится к приемам, позволяющим сократить выкладки. Подлинный размах этот метод приобретает в механике сплошных сред.