Мы говорим, что имеется замкнутая система материальных точек, если в ней действуют только внутренние силы:
\[
\begin{array}{c}
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=\sum_{j
eq i} \mathbf{f}_{i j}, \\
\mathbf{f}_{i j}=-\mathbf{f}_{i i} \| \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j} .
\end{array}
\]

У такой системы сохраняется кинетический момент, импульс и очень часто полная энергия (но это не обязательно, так как в числе внутренних сил могут быть силы трения). Первым и очень важным примером является
КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ:
\[
\left\{\begin{array}{l}
m_{1} \ddot{\mathbf{r}}_{1}=-\frac{f m_{1} m_{2}}{\left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|^{3}}\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right), \\
m_{2} \ddot{\mathbf{r}}_{2}=-\frac{f m_{1} m_{2}}{\left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|^{3}}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) .
\end{array}\right.
\]

Она сводится к задаче о движении одной точки в поле тяготения неподвижного центра двумя способами. Первый: разделим уравнения (10.1) на $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно и вычтем; получим
\[
\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{f\left(m_{1}+m_{2}\right)}{|r|^{3}} \mathbf{r}, \quad \mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{\mathbf{1}} .
\]

Это уравнение движения точки единичной массы в поле тяготения точки массы $M=m_{1}+m_{2}$.

Второй способ. Учтем, что центр масс движется равномерно, и перейдем в систему координат с невращающимися осями и началом в $S$. Это – инерциальная система, в которой справедливы уравнения (1) с заменой $\mathbf{r}_{i}$ на $\boldsymbol{\varrho}_{i}$; кроме того,
\[
m_{1} \mathbf{\varrho}_{1}+m_{2} \mathbf{\varrho}_{2} \equiv 0 .
\]

Используя это, получим
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\rho}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{\rho}_{2}= \pm \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1} m_{2}} m_{i} \boldsymbol{\rho}_{i}, \\
\ddot{\boldsymbol{\rho}}_{i}=-f \frac{M m^{3}}{m_{i}^{3}\left|\rho_{i}\right|^{3}} \boldsymbol{\rho}_{i} .
\end{array}
\]

Последнее аналогично (10.3). Величина
\[
m=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

называется приведенной массой системы. Заметим, что (10.3) можно представить в виде
\[
m \ddot{\mathbf{r}}=-\frac{f m_{1} m_{2}}{r^{3}} \mathbf{r}=-\operatorname{grad} \frac{f m_{1} m_{2}}{t^{r}} .
\]

Поэтому проделанные рассуждения легко обобщить: движение двух материальных точек с галилеево-инвариантным потенциалом:
\[
V=\bar{V}\left(\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|\right)
\]

приводится путем исключения интеграла импульса к исследованию движения материальной точки, имеющей приведенную массу $m$ в поле с потенциалом $V=\bar{V}(|\mathbf{r}|)$. Итак, рассмотрим

ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

\[
m \ddot{\mathbf{r}}=-\operatorname{grad} V(|\mathbf{r}|) ;
\]

это движение обладает интегралами кинетического момента:
\[
[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]=\mathbf{c}
\]
(на массу мы сократили) и энергии:
\[
\frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}^{2}}+V(r)=h .
\]

Эти интегралы позволят нам детально исследовать движение. Подчеркнем, что уравнения (8) не потребуются вовсе.
Лемма.
Движение происходит всегда в так называемой плоскости Лапласа, перпендикулярной постоянному вектору кинетического момента с, если с $
eq 0$.
Если же $\mathbf{c}=0$, то движение происходит по прямой.
Действительно, $(\mathbf{r}(t), \mathbf{c})=(\mathbf{r},[\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}]) \equiv 0$. При $\mathbf{c}=0$ начальные условия таковы, что $\mathbf{r}_{0} \| \mathbf{r}_{0}$, и последнее утверждение следует из теоремы о единственности решений: движение может происходить по прямой и потому обязательно будет именно таким.

Итак, при с $=0$ мы непосредственно имеем прямолинейное движение в потенциальном поле (тема 5). Впредь считаем $\mathbf{c
eq 0}$. Не уменьшая общности, мы можем считать, что $\mathbf{c}=c \mathbf{e}_{z}, c>0$, т. е. движение происходит в плоскости $O x y$. Интегралы движения принимают вид
\[
\begin{array}{c}
(x \dot{y}-y \dot{x})=c, \\
\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=h .
\end{array}
\]

Поскольку $V=V(r), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, напрашивается мысль использовать полярные координаты $r>0, \varphi \bmod 2 \pi$;
\[
x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi .
\]

Задать движение можно и при помощи функций $x=x_{*}(t), y=$ $=y_{*}(t)$, и при помощи функций $r=r_{*}(t), \varphi=\varphi_{\star}(t)$; при этом
\[
\dot{x}=\cos \varphi \dot{r}-r \sin \dot{\varphi}, \dot{y}=\sin \varphi \dot{r}+r \cos \varphi \dot{\varphi} .
\]

Подставляя эти зависимости в интегралы движения (11), переписываем последние в новом, более удобном виде:
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)+V(r)=h, \\
r^{2} \dot{\varphi}=c .
\end{array}
\]

Из интеграла момента
\[
\dot{\varphi}=c / r^{2},
\]

так что после подстановки в интеграл энергии получаем
\[
\frac{m \dot{r}^{2}}{2}+\frac{m c^{2}}{2 r^{2}}+V(r)=h
\]
(ниже мы покажем, почему во многих задачах можно заранее быть уверенным, что $r(t)$ никогда не обращается в нуль при $c
eq 0$ ). Видим, что изменение $r(t)$ полностью определяет
приведенная потенциальная энергия:
\[
V_{c}(r)=\frac{m c^{2}}{2 r^{2}}+V(r)
\]

по формулам одномерного движения. Слово «приведение» здесь означает, что исключается из рассмотрения координата $\varphi$.

Пока $r(t)
eq 0$, радиус-вектор поворачивается все время в одну и ту же сторону, заметая при этом равные площади в равные промежутки времени. В самом деле, из (13) видно, что $\dot{\varphi}>0$, т. е. $\varphi(t)$ – монотонная функция. Что касается площади, то известно, что площадь криволинейного сектора (рис. 50)
\[
S=\int_{t_{1} !}^{t_{2}} \frac{1}{2} r^{2} d \varphi=\frac{1}{2} \int_{t_{1}}^{t_{2}} r^{2} \dot{\varphi} d t=\frac{c}{2}\left(t_{2}-t_{1}\right),
\]

что и требовалось. Поскольку $r^{2} \dot{\varphi}=2 d S / d t$, интеграл момента часто называют интегралом площадей.

Находить $r(t)$, а потом $\varphi(t)$ неудобно и не наглядно. Попробуем определять траектории движения, т. е. зависимости $r=r(\varphi)$. Поскольку $\varphi=\varphi_{*}(t)$ – монотонная функция, то она имеет обратную, причем глобально на всей области определения (пока $r(t)
eq$ $
eq 0$ ). Обозначим ее $t=t^{*}(\varphi)$. Подставляя в $r=r^{*}(t)$, получим $r=r^{* *}(\varphi)$. Имеем (опуская звездочки)
\[
\frac{\ell}{d t}=\frac{d r}{d \varphi} \frac{d \varphi}{d t}=\frac{c}{r^{2}} \frac{d r}{d \varphi}=-c \frac{d}{d \varphi} \frac{1}{r} .
\]

Функция $\rho=1 / r$ называется обратным (в алгебраическом смысле слова) радиусом.
Внесем $d r / d t=-c d \rho / d \varphi$ в интеграл энергии:
\[
\frac{m}{2}\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}+\underbrace{\frac{1}{c^{2}} V_{c}\left(\frac{1}{\rho}\right)}_{\Pi_{c}(\rho)}=\frac{h}{c^{2}} .
\]

Последняя зависимость снова имеет такой же вид, как интеграл энергии в одномерном движении. Отсюда вытекает возможность определить $\rho(\varphi)$ (а потом $r(\varphi)$ ) в квадратурах.
Важнейшим примером является
\[
\text { ЗАДАЧА КЕПЛЕРА: } V=-\frac{\mu m}{r} \text {. }
\]

Имеем (рис. 53)
\[
V_{c}=\frac{\Gamma m c^{2}}{2 r^{2}}-\frac{\mu m}{r}, \quad \Pi_{c}=\frac{m \rho^{2}}{2}-\frac{\mu m \rho}{c^{2}} .
\]

Поскольку размерности
\[
[m]=M,[c]=\mathrm{L}^{2} / \mathrm{T},[\mu]=\mathrm{L}^{3} / \mathrm{T}^{2}
\]

независимы, для выкладок примем $m=\mu=c=1$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}=2 h-\rho^{2}+2 \rho, \\
\pm \frac{d \rho}{\sqrt{1+2 h-(\rho-1)^{2}}}=d \varphi, \\
\operatorname{Arccos} \frac{\rho-1}{1+2 h}=\varphi-\varphi_{0} .
\end{array}
\]

Последний шаг надо трактовать так: каждая ветвь многозначной функции Arccos удовлетворяет предшествующему дифференциальному уравнению со знаком плюс или минус. Вместе с тем переход от одной ветви к другой в некотором смысле непрерывен (рис. 41). Итак, оперируя с многозначной функцией, мы избавились от поэтапного интегрирования с чередованием знаков, какое проводили в теме 6. Это вполне соответствует существу дела и показывает, что упомянутую многозначность не следует принимать слишком всерьез. Осталось написать
\[
\rho=1+(1+2 h) \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right) .
\]

В размерных переменных
\[
\frac{c^{2}}{\mu} \rho=1+\left(1+\frac{12 h c^{2}}{m \mu^{2}}\right) \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right),
\]

или
\[
\frac{1}{r}=\frac{1+e \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)}{p}, \quad p=\frac{c^{2}}{\mu}, \quad e=1+\frac{2 h c^{2}}{m \mu^{2}} .
\]

Это – фокальное уравнение конического сечения в полярных координатах, а именно получается
при $0 \leqslant e<1\left(-m \mu^{2} / c^{2} \leqslant h<0\right)$ эллипс,
при $e=1 \quad(h=0)$ парабола, при $e>1$ ( $h>0$ ) гипербола.

Можно попробовать найти $\varphi(t)$. Из интеграла площадей
\[
r^{2} d \varphi=c d t,
\]

\[
t-t_{0}=\frac{1}{c} \int_{\varphi_{0}}^{\varphi} r^{2} d \varphi=\frac{p^{2}}{c} \int_{\varphi_{0}}^{\varphi} \frac{d \varphi}{\left(1+e \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)\right)^{2}} .
\]

Этот интеграл берется подстановкой
\[
\cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)=\frac{\cos E-e}{1-e \cos E},
\]

после чего
\[
t-t_{0}=\frac{p^{3 / 2}}{\sqrt{\mu}\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}}(E-e \sin E) .
\]

Переменная $\theta=\varphi-\varphi_{0}$ называется истинной аномалией, переменная $E$ – эксцентрической аномалией. Она имеет простой геометрический смысл (рис. 55). Выразить $E$ через $t$ в элементарных функциях невозможно.

Найдем период обращения $\tau$ в эллиптическом движении. Площадь эллипса равна, очевидно, $S=c \tau / 2$. С другой стороны, известно, что $S=\pi a b=\pi a^{2} \sqrt{1-e^{2}}$, где $a, b$ большая и малая полуоси эллипса:
\[
a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}\right)=\frac{p}{1-e^{2}}=-\frac{\mu m}{2 h} .
\]

Отсюда
\[
\tau=\frac{2 \pi}{c} a^{2} \sqrt{1-e^{2}}=\frac{2 \pi}{\sqrt{p \mu}} a^{2} \sqrt{1-e^{2}}=\frac{2 \pi a^{3 / 2}}{\sqrt{\mu}} .
\]

Это согласуется с (10.7), если посмотреть, на сколько изменится $t$, когда $E$ изменится на $2 \pi$.

В произвольном поле с потенциалом $V(r)$ аналогом и обобщением эллиптического движения в задаче Кеплера являются

ФИНИТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ.
Если зафиксированы постоянные $c, h$, то из (14) следует, что траектория $r(\varphi)$ лежит в области возможности движения:
\[
\mathfrak{R}_{c}^{h}=\left\{r, \varphi: V_{c}(r) \leqslant h\right\} .
\]

Когда на графике $V_{c}$ получается потенциальная яма, имеем $\mathfrak{M}_{c}^{h}$, вообще говоря, в виде кольца:
\[
\mathfrak{R}_{c}^{h}=\left\{r_{2} \leqslant r \leqslant r_{1}\right\} .
\]

В общем случае таких колец может быть несколько, возможно также, что $r_{2}=0$ или $r_{1}=\infty$. Движение называется финитным, когда оно происходит в замкнутой связной компоненте $\mathfrak{R}_{c}^{h}$ :
\[
0<r_{2} \leqslant r \leqslant r_{1}<\infty,
\]
т. е. не уходит в бесконечность. и не падает в центр силы. Для

обратного радиуса аналогично должно быть
\[
0<\rho_{1} \leqslant \rho \leqslant \rho_{2}<\infty, \rho_{i}=\frac{1}{r_{i}},
\]

а на графике $\Pi_{c}$ также получается потенциальная яма.
Как установлено в теме 6, в этих условиях $\rho(\varphi)$ периодически изменяется от $\rho_{2}$ до $\rho_{1}$ и обратно, а следовательно, $r(\varphi)$ периодически изменяется от $r_{2}$ до $r_{1}$. В итоге имеем качественную картину траекторий, типа изображенной на рис. 52 . Все участки траектории между границами кольца одинаковы. Кстати, можно обратить внимание, что в окрестности меньшего радиуса на рис. 52 сила получается отталкивающей (разложить ее по естественному реперу), а в окрестности большего радиуса – притягивающей. Если имеем только притягивающую силу, то картина должна быть такой, как на рис. 47. Угол Ф между максимумом и минимумом $r(\varphi)$ (это аналог полупериода при движении по прямой) называется апсидальным. Он равен
\[
\Phi(c, h)=\int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}} \frac{d \rho}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{h}{c^{2}}-\Pi_{c}(\rho)\right)}} .
\]

В задаче Кеплера при $h<0$ имеем $\Phi \equiv \pi$ (рис. 54 ), для гармонического осциллятора $\Phi \equiv \pi / 2$.

Критическим точкам функции $V_{c}$ (или $\Pi_{c}$ ) отвечают относительные равновесия:
\[
\begin{array}{c}
\left.r(t) \equiv r_{*} \Leftrightarrow \frac{d}{d r} V_{c}(r)\right|_{r=r_{*}}=0, \\
\left.\rho(\varphi) \equiv \rho_{* j}^{r} \Leftrightarrow \frac{d}{d \rho} \Pi_{c}(\rho)\right|_{\rho=\rho_{*}}=0 .
\end{array}
\]

В этом случае
\[
\dot{\varphi}=\frac{c}{r_{*}^{2}}=\text { const, } h_{*}=\frac{m}{2} r_{*}^{2} \dot{\varphi}^{2}+V\left(r_{*}\right)=\frac{m c^{2}}{2 r^{2}}+V\left(r_{*}\right)=V_{c}\left(r_{*}\right),
\]
т. е. энергия относительного равновесия, отвечающего критической точке приведенной потенциальной энергии $V_{c}$, равна соответствующему критическому значёнию.

Если критическая точка есть минимум, то про соответствующее относительное равновесие говорят, что оно орбитально устойчиво (так как близкие движения лежат в узком кольце), в противном случае – неустойчиво (вспомним асимптотические движения в одномерных системах, аналог которых имеется и здесь). Если $h$ не намного отличается от минимального значения $h *$, то по формуле Линдштедта (тема 6)
\[
\Phi(c, h)=\pi \sqrt{\frac{\Pi_{c}^{\prime \prime}}{m}}\left(1+\frac{5 \Pi_{c}^{\prime \prime 2}-3 \Pi_{c}^{\prime \prime} \Pi_{c}^{\prime \prime \prime}}{24 \Pi_{c}^{\prime \prime}}\left(h-h_{*}\right)\right)+O\left(h-h_{*}\right)^{2},
\]

причем все производные (‘ $\equiv d / d \rho$ ) . вычисляются при $\rho=\rho_{\text {* }}$.

Теорема Бертрана. Предположим, что потенциальная энергия $V(r)$ такова, что
1) существуют нетривиальные (отличные от относительных равновесий) финитные движения;
2) траектории всех финитных движений замкнуты.

тогда
\[
V=-\frac{\mu m}{r}, \mu>0,
\]

или
\[
V=\frac{1}{2} k r^{2}, k>0,
\]
т. е. имеем тяготение Ньютона или упругую силу.

Доказательство. Можно считать $m=1$. Для того чтобы траектория была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\Phi(c, h)=\frac{p}{q} \pi,
\]

где $p, q$ – натуральные числа без общих делителей. Поскольку $\Phi(c, h)$ – непрерывная функция, отсюда следует, что $\Phi(c, h)=$ = const в связной области определения. Но тогда на основании формулы Линдштедта
\[
\Psi(c)=\lim _{h \rightarrow h_{*}} \Phi(c, h)=\pi \sqrt{\Pi_{c}^{\prime \prime}}=\text { const },
\]

и
\[
5 \Pi_{c}^{\prime \prime 2}-\left.3 \Pi_{c}^{\prime \prime} \Pi_{c}^{\prime \prime \prime \prime}\right|_{\rho_{*}}=0
\]

для всех $\rho_{\star}(c)$, определяемых из уравнения
\[
\Pi_{c}^{\prime}=\boldsymbol{\rho}+\frac{1}{c^{2}} W^{\prime}(\rho)=0, W(\rho)=V\left(\frac{1}{\rho}\right) .
\]

Используем первое обстоятельство: имеем
\[
\Pi_{c}^{\prime \prime}=1+\frac{1}{c^{2}} \dot{W}^{\prime \prime}(\rho),
\]

так что
\[
\Psi(c)=\text { const } \Rightarrow \frac{W^{\prime \prime}\left(\rho_{*}(c)\right)}{c^{2}}=\lambda=\text { const. }
\]

Отсюда с учетом (23)
\[
\begin{array}{c}
\rho W^{\prime \prime}+\lambda W^{\prime}=0, \\
W^{\prime}=K \rho^{-\lambda} .
\end{array}
\]

Дифференцируя, получаем
\[
\Pi_{\dot{\epsilon}}^{\prime \prime}=1-K \lambda \rho^{-\lambda-1} .
\]

\[
\begin{array}{c}
\Pi_{c}^{\prime \prime \prime}=K \lambda(\lambda+1) \rho^{-\lambda-2}, \\
\Pi_{c}^{\prime \prime \prime \prime}=-K \lambda(\lambda+1)(\lambda+2) \rho^{-\lambda-3} .
\end{array}
\]

Уравнение (23) приобретает вид
\[
\rho_{*}+K \rho_{*}^{-\lambda}=0,
\]

так что в критической точке
\[
\Pi_{c}^{\prime \prime}=1+\lambda, \Pi_{c}^{\prime \prime \prime}=-\frac{\lambda(1+\lambda)}{\rho_{*}^{*}}, \Pi_{c}^{\prime \prime \prime \prime}=\frac{\lambda(1+\lambda)(2+\lambda)}{\rho_{*}^{2}} .
\]

В итоге
\[
\begin{array}{c}
5 \Pi_{c}^{\prime \prime \prime 2}-3 \Pi_{c}^{\prime \prime} \Pi_{c}^{\prime \prime \prime \prime}=0, \\
5 \lambda^{2}(\lambda+1)^{2}-3 \lambda(1+\lambda)^{2}(\lambda+2)=0,
\end{array}
\]

откуда
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-3, \lambda_{2}=-1 \\
W_{1}^{\prime}=K, W_{2}^{\prime}=K \rho^{-3}, W_{3}^{\prime}=K \rho, \\
W_{1}=K \rho, W_{2}=-\frac{K}{2} \rho^{-2}, W_{3}=\frac{K}{2} \rho^{2}, \\
V_{1}=\frac{K}{r}, V_{2}=-\frac{K}{2} r^{2}, V_{3}=\frac{K}{2 r^{2}},
\end{array}
\]

что и требовалось. Определить знаки $K$, при которых существуют нетривиальные финитные движения, не составляет труда. В случае $V_{3}$ они вообще невозможны.

Детально обсудив задачу двух тел в классическом варианте, когда размерами их пренебрегают, мы теперь сделаем несколько шагов по гути ее обобщения, а именно предположим, что размерами одного из тел пренебречь нельзя.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ «ТЕЛО-ТОЧКА»
В инерциальной системе отсчета $O x y z$ рассматривается гравитационное взаимодействие твердого тела массы $M$ (с центром масс в точке $S$ ) и материальной точки $P$ массы $\mu$. Пусть $A$ – общий центр масс системы $O S=\mathbf{s}, O P=\mathbf{d}, A S=\boldsymbol{\sigma}, A P=\boldsymbol{\delta}$ :
\[
O A=(M \mathrm{~s}+\mu \mathrm{d}) /(M+\mu) .
\]

При малом $\mu / M$ точка $A$ почти совпадает с $S$ (рис. 26). Тело действует на точку с силой $\mathbf{F}$, а воздействие точки на тело приводится к суммарной силе $\boldsymbol{\Phi}$ и моменту $\mathbf{G}_{s}$. Уравнения движения системы «тело-точка» имеют вид
\[
M \ddot{\mathbf{s}}=\boldsymbol{\Phi}, \frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{S}}{d t}=\mathbf{G}_{S}, \mu \ddot{\mathbf{d}}=\mathbf{F} .
\]

Нам надо вычислить векторы $\mathbf{F}, \boldsymbol{\Phi}, \mathbf{G}_{s}$ в зависимости от взаимного расположения тела и точки.

Заметим для этого, что система «тело-точка» является замкнутой, так что сохраняются ее импульс:
\[
\overline{\mathbf{P}}=M \dot{\boldsymbol{s}}+\mu \dot{\mathbf{d}}=\text { const },
\]

и кинетический момент относительного общего центра масс:
\[
\overline{\boldsymbol{\Lambda}}_{A}=M[\boldsymbol{\sigma} \times \dot{\boldsymbol{\sigma}}]+\mu[\boldsymbol{\delta} \times \dot{\boldsymbol{\delta}}]+\boldsymbol{\Lambda}_{S}=\text { const. }
\]

Иными словами,
\[
\begin{array}{c}
\dot{\overline{\mathbf{P}}}=M \ddot{\mathrm{s}}+\mu \ddot{\mathrm{d}}=\boldsymbol{\Phi}+\mathbf{F} \equiv 0, \\
M[\boldsymbol{\sigma} \times \ddot{\boldsymbol{\sigma}}]+\mu[\delta \times \ddot{\delta}]+\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{S}}{d t}=[\boldsymbol{\sigma} \times \boldsymbol{\Phi}]+[\delta \times \mathbf{F}]+\mathbf{G}_{S} \equiv 0 .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\boldsymbol{\Phi}=-\mathbf{F}
\]
(но не обязательно $\boldsymbol{\Phi}, F \| \bar{S} \bar{P} !$ ),
\[
\mathbf{G}_{S}=-[\overline{S P} \times \mathbf{F}] .
\]

Формулы (24) и (25), во-первых, сводят вопрос о вычислении $\mathbf{F}, \boldsymbol{\Phi}, \mathbf{G}_{S}$ к определению только $\mathbf{F}$. Во-вторых, они носят векторный характер, так что их можно раскладывать по любому реперу. Выберем тот, который удобнее всего: главный центральный репер $\mathbf{e}, \mathbf{e}^{\prime}$, $\mathbf{e}^{\prime \prime}$ тела $M$. Тогда нам фактически осталось вычислить силу притяжения массы $\mu$ к неподвижному телу $M$. Эта сила потенциальна. Поэтому вычислим
ГРАВИТАЦИОННЫИ ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛА.

Пусть в репере $\mathbf{e}, \mathbf{e}^{\prime}, \mathbf{e}^{\prime \prime}$ точка $\mu$ имеет радиус-вектор $\mathbf{r}=\overline{S P}$ и координаты
\[
x=r \alpha, y=r \beta, z=r \gamma, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\]

и пусть тело состоит из точек $m_{i}$ с радиусами-векторами @ . $^{\text {. }}$ Тогда (ср. с темой 3)
\[
V=-f \mu \sum_{i} \frac{m_{i}}{\left|\rho_{i}-\mathbf{r}\right|} .
\]

Разложим потенциал по степеням обратного радиуса. Пусть $R$ характерный размер тела. Будем вести разложение по степеням $\mathrm{R} / \mathrm{r}$. Для выкладок положим $\mathrm{f} \mu=M=R=1$, индекс суммирования $i$ опустим и обозначим $\mathrm{e}_{r}=\mathrm{r} / r$ :
\[
\begin{array}{l}
-V=\sum \frac{m}{\sqrt{(\rho-r, \rho-r)}}=\frac{1}{r} \sum \frac{m}{\sqrt{1+\frac{2}{r}\left(\rho, \mathbf{e}_{r}\right)+\frac{\rho^{2}}{r^{2}}}}= \\
\left(\text { поскольку }(1+\chi)^{-1 / 2}=1-\frac{\chi}{2}+\frac{3}{8} \chi^{2}+\ldots\right)
\end{array}
\]

\[
=-\frac{1}{r} \Sigma m\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{r}\left(\rho, \mathbf{e}_{r}\right)+\frac{\rho^{2}}{r^{2}}\right)+\frac{3}{8} 4 \frac{\left(\rho, \mathbf{e}_{r}\right)^{2}}{r^{2}}+\ldots\right]=
\]
(поскольку $\Sigma m \rho=0, \Sigma m=1$ )
\[
\begin{array}{c}
=\frac{1}{r}\left(1+\frac{1}{2 r^{2}} \Sigma m\left(-\rho^{2}+3\left(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{e}_{r}\right)^{2}\right)\right)+\ldots= \\
=\frac{1}{r}\left(1+\frac{1}{r^{2}}\left[\Sigma m \boldsymbol{\rho}^{2}-\frac{3}{2} \Sigma m\left(\boldsymbol{\rho}^{2}-\left(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{e}_{r}\right)\right)^{2}\right]\right)+\ldots=
\end{array}
\]
(вспомним моменты инерции: (9.4) и (9.21))
\[
=\frac{1}{r}\left(1+\frac{1}{r^{2}}\left(I(S)-\frac{3}{2} I_{S}\left(\mathbf{e}_{r}\right)\right)\right)+\ldots .
\]

У читывая, что (см. (9.5))
\[
\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1, I_{S}\left(\mathbf{e}_{r}\right)=A \alpha^{2}+B \beta^{2}+C \gamma^{2},
\]

в общем виде получаем
\[
\begin{array}{c}
V=-\frac{f M \mu}{r}\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{B+C-2 A}{M R^{2}} \alpha^{2}+\frac{C+A-2 B}{M R^{2}} \beta^{2}+\right.\right. \\
\left.\left.+\frac{A+B-2 C}{M R^{2}} \gamma^{2}\right)\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\right]+O\left(\left(\frac{R}{r}\right)^{4}\right) .
\end{array}
\]

В частности, если $A=B$ (например, когда тело имеет ось симметрии $\mathbf{e}^{\prime \prime}$ ) и $\theta$ – угол межди $\mathbf{e}^{\prime \prime}$ и $\mathbf{e}_{r}$, то
\[
\begin{array}{c}
\gamma=\cos \theta, \alpha^{2}+\beta^{2}=\sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta, \\
V=-\frac{f M \mu}{r}\left(1+\frac{A-C}{M R^{2}} \frac{3 \cos ^{2} \theta-1}{2}\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

так что в разложении (3.6)
\[
I_{1}=0, I_{2}=\frac{A-C}{M R^{2}} .
\]

Потенциал $V$ представлен у нас в виде
\[
V=V(r, \alpha, \beta, \gamma)=V\left(r, \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right) .
\]

Учитывая, что
\[
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\alpha, \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}=\beta, \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}=\gamma,
\]

получаем дифференцированием $V$ по $x, y, z$ силу
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{F}=-\left(\frac{\partial V}{\partial r}-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial V}{\partial \alpha} \alpha+\frac{\partial V}{\partial \beta} \beta+\frac{\partial V}{\partial \gamma} \gamma\right)\right) \mathbf{e}_{r}- \\
-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial V}{\partial \alpha} \mathbf{e}+\frac{\partial V}{\partial \beta} \mathbf{e}^{\prime}+\frac{\partial V}{\partial \gamma} \mathbf{e}^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Наконец, момент ее равен
\[
\begin{array}{c}
{[\overline{S P} \times \mathbf{F}]=-\left|\begin{array}{ll}
\mathbf{e} & \alpha \frac{\partial V}{\partial \alpha} \\
\mathbf{e}^{\prime} & \beta \frac{\partial V}{\partial \beta} \\
\mathbf{e}^{\prime \prime} & \gamma \frac{\partial V}{\partial \gamma}
\end{array}\right|=} \\
=\left(\gamma \frac{\partial V}{\partial \beta}-\beta \frac{\partial V}{\partial \gamma}\right) \mathbf{e}+\left(\alpha \frac{\partial V}{\partial \gamma}-\gamma \frac{\partial V}{\partial \alpha}\right) \mathbf{e}^{\prime}+\left(\beta \frac{\partial V}{\partial \alpha}-\alpha \frac{\partial V}{\partial \beta}\right) \mathbf{e}^{\prime \prime}= \\
=-\frac{3 f M \mu}{r^{3}}\left[\beta \gamma(C-B) \mathbf{e}+\gamma \alpha(A-C) \mathbf{e}^{\prime}+\alpha \beta(B-A) \mathbf{e}^{\prime \prime}\right]+O\left(\frac{1}{r^{4}}\right) .
\end{array}
\]

Это интересно само по себе и нужно для (25). Видим, что на практике гравитационный момент $\mathbf{G}_{s}$ имеет тот же порядок малости, что и члены третьей степени по $1 / r$ в потенциале.;
Добавления к теме 10.
1. ПРИЛИВНОЙ ЭФФЕКТ. Рассмотрим систему Земля-Луна. Оба тела будем считать однородными шарами, так что они притягиваются как точки по закону тяготения Ньютона. Луна вокруг Земли движется примерно по окружности. На поверхности Земли имеется мировой океан и материки. Известно, что в океане и на материках наблюдаются приливные волны (рис. 36): одна волна выпячивается в сторону Луны, другая – в противоположную сторону (на деле эти волны отстают от Луны, но это уже более тонкий эффект). Надо объяснить это явление, т. е. ответить на вопрос, по какой причине малая частица на поверхности Земли имеет тенденцию подняться вверх, когда Луна находится над ней (в зените) или с противоположной стороны (в надире).

С этой целью поместим на поверхности Земли, которую для простоты будем считать невращающейся, грузик массы $\mu$ на пружине, и предположим, что натяжение пружины уравновешивает силу тяготения к Земле (рис. 37):
\[
\mathbf{F}_{\text {нат }}=f \frac{M \mu}{r^{2}} \mathbf{e}_{r} .
\]

Вести исследование будем в системе отсчета, начало которой все время находится в центре Земли, а оси не вращаются. Эта система координат неинерциальна. Поэтому на грузик действует сила инерции:
\[
\Phi_{\text {пер }}=-\mu \mathbf{a}_{3}=-\mu f \frac{m}{R^{2}} \mathbf{e}_{R} .
\]

Действует также и сила тяготения к Луне. Ее мы будем для простоты выписывать не в общем случае, а в тех положениях, о которых говорилось выше. Для большей ясности результатов величину $r / R$ будем считать малой.

a) Луна в зените. Тогда имеем в проекции на $\mathbf{e}_{r}$ :
\[
\begin{array}{c}
F_{\text {доп }}=-f \frac{\mu m}{R^{2}}+f \frac{\mu m}{(R-r)^{2}}=\frac{f m \mu}{R^{2}}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{r}{R}\right)^{2}}-1\right) \approx \\
\approx \frac{f m \mu}{R^{2}}\left(1+\frac{2 r}{R}-1\right)=2 f \frac{\mu m}{R^{2}} r ;
\end{array}
\]
б) Луна в надире. Тогда аналогично
\[
\begin{array}{c}
F_{\text {доп }}=f \frac{\mu m}{R^{2}}-f \frac{\mu m}{(R+r)^{2}}= \\
=f \frac{\mu m}{R^{2}}\left(1-\frac{1}{\left(1+\frac{r}{R}\right)^{2}}\right) \approx 2 f \frac{\mu m}{R^{3}} r .
\end{array}
\]

В обоих случаях дополнительная сила направлена вверх и по величине практически одинакова. Фактически мы имеем дело с раз. ностью ускорений, которые Луна сообщает Земле и грузику.
2. ЭФФЕКT ЛAPMOPA. В системе отсчета $O \S \eta \xi$ рассмотрим (не выходя за пределы классической механики) систему «протон-электрон», помещенную в магнитное поле. Поскольку протон много массивнее электрона, будем первый считать неподвижным и поместим его в начало координат. Расстояние между частицами мало, так что магнитное поле можно считать однородным. Если бы поля не было, то электрон двигался бы по некоторому эллипсу, в фокусе которого находится протон. Однако, помимо силы кулонова притяжения, на электрон действует также сила Лоренца:
\[
\mathbf{F}=\frac{q}{c}[\mathbf{v} \times \mathbf{B}] .
\]

Будем трактовать ее как силу Кориолиса, возникшую якобы за счет того, что система $O \xi \eta \xi$ не инерциальна, а вращается с угловой скоростью:
\[
\mathbf{\Omega}=\frac{q}{2 m c} \mathbf{B}
\]

относительно некоторой инерциальной системы Oxyz. Тогда в этой последней на электрон действует также сила
\[
\boldsymbol{\Phi}=m[\boldsymbol{\Omega} \times[\boldsymbol{\Omega} \times r]],
\]

которая при переходе к $O \xi \eta \zeta$ компенсируется переносной силой инерции. Однако эта сила, легко видеть, крайне мала ( $r$ мало) и ею можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что в системе Oxyz электрон движется по эллиптической орбите. Следовательно, с точки зрения исходной системы $O \xi \eta \xi$ движение электрона может быть представлено (рис. 61) как кеплеровское перемещение по эллипсу, вращающемуся вокруг вектора магнитной напряженности В с угловой скоростью $\Omega$ (частота Лармора). Это и требовалось получить.