Объясним, почему именно импульс, кинетический момент и кинетическая энергия заслуживают права фигурировать в общих теоремах динамики. Для этого потребуется

ПОНЯТИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ
функции относительно преобразования. Начнем с примера.
Пусть на плоскости $O x y$ задана функция $\varphi(x, y)$. Допустим, что мы ввели новую декартову систему координат $A \xi \eta$. Надо уяснить, что может значить выражение «функция $\varphi(x, y)$ инвариантна при замене переменных $(x, y) \mapsto(\xi, \eta) »$. Для определенности положим $\varphi_{1}(x, y)=k / 2\left(x^{2}+y^{2}\right)$, $\varphi_{2}=m g y$.
Случай первый: поворот осей
\[
x=\xi \cos \varphi-\eta \sin \varphi, \quad y=\xi \sin \varphi+\eta \cos \varphi .
\]

Подставим эти формулы в выражения $\varphi_{i}$. Получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1}=\frac{k}{2}\left[(\xi \cos \varphi-\eta \sin \varphi)^{2}+(\xi \sin \varphi+\eta \cos \varphi)^{2}\right]=\frac{k}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right), \\
\varphi_{2}=m g(\xi \sin \varphi+\eta \cos \varphi) .
\end{array}
\]

Ясно, что первую функцию разумно назвать инвариантной при повороте системы координат, а вторую – нет.
Случай второй: сдвиг осей
\[
x=\xi+a, \quad y=\eta .
\]

Подставим в выражения $\varphi_{i}$ и получим
\[
\varphi_{1}=\frac{k}{2}(\xi+a)^{2}+\eta^{2}, \quad \varphi_{2}=m g \eta .
\]

Здесь явно следует сделать противоположные выводы.

Определение. Пусть имеется функция $\varphi=\bar{\varphi}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ и замена переменных $q_{i}=q_{i}{ }^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), i=1, \ldots, n$. Тогда функция $\varphi$ в новых переменных приобретает вид
\[
\varphi=\varphi^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=\bar{\varphi}\left(q_{1}^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \ldots, q_{n}^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)\right) .
\]

Функция $\varphi$ называется инвариантной при данной замене, если
\[
\varphi^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=\bar{\varphi}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\]
т. е. вместо того, чтобы подставлять формулы преобразования, достаточно в выражении $\bar{\varphi}$ вместо каждой буквы $q_{1}$ поставить букву $\xi_{1}$, вместо $q_{2}$ поставить $\xi_{2}$ и так далее.

Один из выводов четвертой темы гласит, что общий вид уравнения Ньютона сохраняется при преобразовании Галилея:
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a+u \tau \\
b+v \tau \\
c+v \tau
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right), t=t_{0}+\tau .
\]

Этот вывод дословно переносится в динамику системы. Примеры, с которых мы начали, показывают, что конкретный аналитический зид правых частей уравнения Ньютона в разных инерциальных системах отсчета может быть неодинаковым. Так вот, сейчас мы хотим рассмотреть системы, в которых аналитический вид правых частей, наоборот, остается инвариантным при всех преобразованиях Галилея. Для простоты мы рассмотрим случай, когда силы потенциальны, т. е. существует функция $V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)$ такая, что
\[
\mathrm{F}_{i}=-\operatorname{grad}_{i} V, i=1, \ldots, N,
\]

или, более подробно, в проекциях на оси координат
\[
X_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=-\frac{\partial V}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=-\frac{\partial V}{\partial z_{i}},
\]

и потребуем, чтобы потенциал $V$ был инвариантен при всех преобразованиях Галилея. Выясним, что вытекает из этого свойства, беря по очереди частные преобразования.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СМЕЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ
Инвариантность относительно смещения времени.

Допустим, что сделано преобразование
\[
x=\xi, \quad y=\eta, \quad z=\zeta, \quad t=\tau+t_{0} .
\]

Тогда можно написать равенство типа (1):
\[
V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t_{0}+\tau\right)=V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, \tau\right) .
\]

Дифференцируя по $t_{0}$ и подставляя $t_{0}=0$, получаем
\[
\frac{\partial V}{\partial t} \equiv 0 .
\]

Это – частная производная по времени. Ее не следует путать с

полной производной при движении:
\[
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{i}\left(\operatorname{grad}_{i} V, \dot{r}_{i}\right),
\]

которую мы перепишем с учетом (3) и уравнений Ньютонь
\[
m_{i} \ddot{\mathrm{r}}_{i}=-\operatorname{grad}_{i} V .
\]

Получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d V}{d t}=-\sum_{i}\left(m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}, \dot{\mathbf{r}}_{i}\right)=-\sum_{i} m_{i} \frac{d}{d t} \frac{\left(\dot{\mathbf{r}}_{i}, \dot{\mathrm{r}}_{i}\right)}{2}= \\
=-\frac{d}{d t} \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\mathrm{r}}_{i}^{2}=-\frac{d T}{d t} .
\end{array}
\]

Итак, вдоль решений системы уравнений Ньютона (4)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}(T+V) \equiv 0, \\
H=T+V=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\mathrm{r}}_{i}^{2}+V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)=\text { const. }
\end{array}
\]

Мы пришли к тому, что полная энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ
Инвариантность относительно сдвигов.

Положим, например,
\[
x=\xi+s, \quad y=\eta, \quad z=\zeta, \quad t=\tau .
\]

Тогда имеем по определению инвариантности
\[
\begin{array}{c}
V\left(\xi_{1}+s, \eta_{1}, \zeta_{1}, \ldots, \xi_{N}+s, \eta_{N}, \zeta_{N}\right)= \\
=V\left(\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}, \ldots, \xi_{N}, \eta_{N}, \zeta_{N}\right) .
\end{array}
\]

Дифференцируя по $s$ и подставляя $s=0$, получаем
\[
\sum_{i} \frac{\partial V}{\partial x_{i}}=0
\]

или в силу уравнений Ньютона
\[
\sum_{i} m_{i} \ddot{x}_{i}=\frac{d}{d t} \sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i} \equiv 0,
\]
т. е. функция $P_{x}=\Sigma m_{i} \dot{x}_{i}$ есть первый интеграл движения. Поступая аналогично с координатами $y, z$, получим
\[
\mathbf{P}=\sum_{i} m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}=\text { const. }
\]

Импульс системы сохраняется.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВОРОТОВ
Инвариантность относительно поворотов.
Для начала дадим инвариантности эквивалентную, но несколько иную трактовку. Если выражение потенциала сохраняется при повороте системы координат, то равносильным образом (посмотрим как бы с точки зрения поворачивающихся осей) выражение сохраняется, если систему точек повернуть как твердое тело вокруг начала координат. Вспомним формулу конечного поворота на угол $\chi$ вокруг вектора i:
\[
\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}+\sin \chi[\mathbf{i} \times \mathbf{r}]+(1-\cos \chi)[\mathbf{i} \times[\mathbf{i} \times \mathbf{r}]] .
\]

Мы хотим, чтобы $V\left(\mathbf{r}_{1}{ }^{\prime}, \ldots, \mathbf{r}_{N}{ }^{\prime}\right)=V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)$. Поскольку ясно, что нам предстоит дифференцировать по $\chi$ при $\chi=0$, формулу конечного поворота достаточно записать в виде
\[
\mathbf{r}_{i}{ }^{\prime}=\mathbf{r}_{i}+\chi\left[\mathbf{i} \times \mathbf{r}_{i}\right]+O\left(\chi^{2}\right) .
\]

Теперь действуем по уже привычной схеме:
\[
\begin{array}{c}
V\left(\mathbf{r}_{1}+\chi\left[\mathbf{i} \times \mathbf{r}_{1}\right]+O\left(\chi^{2}\right), \ldots\right)=V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots\right), \\
\sum_{k}\left(\operatorname{grad}_{k} V,\left[\mathbf{i} \times \mathbf{r}_{k}\right]\right)=\sum_{k}\left(\left[\mathbf{r}_{k} \times \operatorname{grad}_{k} V\right], \mathbf{i}\right) \equiv 0 .
\end{array}
\]

Поскольку вектор і может иметь произвольное направление,
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \times \mathbf{F}_{k}\right]=\frac{d}{d t} \sum_{k} m_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \times \dot{\mathbf{r}}_{k}\right] \equiv 0, \\
\boldsymbol{\Lambda}_{0}=\sum_{k} m_{k}\left[\mathbf{r}_{k} \times \dot{\mathbf{r}_{k}}\right]=\text { const. }
\end{array}
\]

Кинетический момент сохраняется.
Итог: импульс, кинетический момент и полная энергия суть величины, сохраняющиеся при движении произвольной свободной системы с галилеево инвариантным потенциалом.
При $N=1$ таких систем всего одна: $V=$ const. При $N=2$
\[
V=\widetilde{V}\left(\left|\mathbf{r}_{1}-\mathrm{r}_{2}\right|\right) .
\]

В самом деле,
\[
\operatorname{grad}_{1} V=-\operatorname{grad}_{2} V \Rightarrow V=V_{1}^{\prime}\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right),
\]
$\left[\mathbf{r}_{1} \times \operatorname{grad}_{1} V\right]+\left[\mathbf{r}_{2} \times \operatorname{grad}_{2} V\right] \equiv 0 \Rightarrow \mathbf{r} \times \frac{\partial V^{\prime}}{\partial \mathbf{r}} \equiv 0 \Rightarrow \operatorname{grad} V^{\prime}(r) \| \operatorname{grad} \frac{r^{2}}{2}$.
Перейдем к рассмотрению систем со связями. Нас интересует

ГАЛИЛЕЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ СВЯЗЕЙ.
Теорема 1 (об изменении кинетической энергии).
Если связи сохраняются при сдвиге времени, т. е.
\[
\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} \equiv 0, \quad \alpha=1, \ldots, m,
\]

то производная от кинетической энергии:
\[
\frac{d T}{d t}=\sum_{i}\left(\mathrm{~F}_{i}, \dot{\mathbf{r}}_{i}\right)
\]

имеет такой же вид, как если бы связей не было.

В частности, если силы консервативны, это значит, что $\mathbf{F}_{i}=$ $=-\operatorname{grad}_{i} V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right.$ ), то имеет место первый интеграл (интеграл. энергии): $H=T+V=h=$ const.

Доказательство. Имеем, согласно общей теореме из динамики свободной системы,
\[
\frac{d T}{d t}=\sum_{i}\left(\mathbf{F}_{i}+\mathbf{R}_{i}, \dot{\mathbf{r}}_{i}\right)=\sum_{i}\left(\mathrm{~F}_{i}, \dot{\mathbf{r}}_{i}\right)+\sum_{i, \alpha} \lambda_{\alpha}\left(\operatorname{grad}_{i} f_{\alpha}, \dot{r}_{i}\right) .
\]

Ho
\[
\sum_{i}\left(\operatorname{grad}_{i} f_{\alpha}, \dot{\mathrm{r}}_{i}\right)=\frac{d}{d t} f_{\alpha}\left(\mathrm{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)\right) \equiv 0,
\]

что и требовалось. Если $\mathbf{F}_{i}=-\operatorname{grad}_{i} V$, то $\Sigma\left(\mathbf{F}_{i}, \mathbf{r}_{i}\right)=-d V / d t$.
Теорема 2 (об изменении импульса).
Если связи сохраняются при сдвигах вдоль оси х, т. е.
\[
\sum_{i} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}} \equiv 0, \quad \alpha=1, \ldots, m,
\]

то производная от импульса вдоль этой оси:
\[
\frac{d P_{x}}{d t}=\sum_{i} X_{i}
\]

имеет такой же вид, как если бы связей не было.
В частности, если $\Sigma X_{i} \equiv 0$, то имеет место интеграл импульса $\mathbf{P}_{x}=$ const.
Доказательство:
\[
\frac{d P_{x}}{d t}=\sum_{i}\left(X_{i}+\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}}\right)=\sum_{i} X_{i}+\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} \sum_{i} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}} .
\]

Теорема 3 (об изменении момента).
Если связи сохраняются при поворотах вокруг оси $O z$, то производная от кинетического момента относительно этой оси:
\[
\frac{d}{d t} \Lambda_{O z}=G_{\mathrm{Oz}},
\]

или подробнее
\[
\frac{d}{d t} \sum_{i} m_{i}\left(x_{i} y_{i}-y_{i} \dot{x}_{i}\right)=\sum_{i}\left(x_{i} Y_{i}-y_{i} X_{i}\right)
\]

имеет такой же вид, как если бы связей не было.
В частности, если $G_{0 z} \equiv 0$, то имеет место интеграл момента относительно этой оси.
Доказательство. Инвариантность связей означает
\[
f_{\alpha}\left(x_{1} \cos \chi-y_{1} \sin \chi, x_{1} \sin \chi+y_{1} \cos \chi, z_{1}, \ldots\right)=f_{x}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots\right) \text {. }
\]

Дифференцируем по $x$ :
\[
\sum_{i}\left[\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}}\left(-x_{i} \sin \chi-y_{i} \cos \chi\right)+\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{i}}\left(x_{i} \cos \chi-y_{i} \sin \chi\right)\right]
\]

и подставляем $\chi=0$ :
\[
\sum_{i}\left(x_{i} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial y_{i}}-y_{i} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial x_{i}}\right) \equiv 0 .
\]

Далее ясно.
Примером системы, у которой связи инвариантны относительно всей группы Галилея, является

СВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО – система точек, на которую наложены все возможные связи типа равенства попарных расстояний и не наложено никаких других (из сказанного формально вытекает, что следует наложить $N(N-1) / 2$ связей; на самом деле, очевидно, достаточно иметь всего
\[
3+3(N-3)=3 N-6-
\]

сохраняются попарные расстояния между тремя отмеченными точками и расстояния от каждой из оставшихся до трех отмеченных).