Начнем с движения по плоскости. Закон Ньютона
\[
m \ddot{x}=X(x, y), m \ddot{y}=Y(x, y) .
\]

Пусть налицо квадратичный интеграл движения
\[
\Phi=\frac{m}{2}\left(P \dot{x}^{2}+2 Q \dot{x} \dot{y}+R \dot{y}^{2}\right)+W(x, y) .
\]

Тогда его полная производная
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Phi}{d t}=\frac{m}{2}\left[\left(\frac{\partial P}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial P}{\partial y} \dot{y}\right) \dot{x}^{2}+2\left(\frac{\partial Q}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial Q}{\partial y} \dot{y}\right) \dot{x} \dot{y}+\right. \\
\left.+\left(\frac{\partial R}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial R}{\partial y} \dot{y}\right) \dot{y}^{2}\right]+P \dot{x} X+Q(\dot{x} Y+\dot{y} X)+R \dot{y} Y+ \\
+\frac{\partial W}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial W}{\partial y} \dot{y}=0 .
\end{array}
\]

Приведем подобные члены: получается линейная и кубическая формы по $\dot{x}, \dot{y}$, коэффициенты которых должны быть равны нулю. Отсюда, во-первых,
\[
\begin{array}{l}
P X+Q Y=-\frac{\partial W}{\partial x}, \\
Q X+R Y=-\frac{\partial W}{\partial y},
\end{array}
\]
т. е. потенциально поле
\[
\left(\begin{array}{cc}
P & Q \\
Q & R
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
X \\
Y
\end{array}\right)
\]

Во-вторых,
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial P}{\partial x}=0, \frac{\partial R}{\partial y}=0, \\
\frac{\partial P}{\partial y}+2 \frac{\partial ?}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial R}{\partial x}+2 \frac{\partial Q}{\partial y}=0,
\end{array}\right.
\]

может быть линейным интегралом в плоскости, т. е.
\[
J(\mathbf{v})=m(a \dot{x}+b \dot{y})
\]

или
\[
J(\mathbf{v})=m((x-a) \dot{y}-(y-b) \dot{x}) .
\]

Квадратичная часть рассматриваемого интеграла имеет вид
\[
x(\mathbf{v}, \mathbf{v})+\lambda J_{1}(\mathbf{v}) J_{2}(\mathbf{v}),
\]

где $х, \lambda$-постоянные, а $J_{1}, J_{2}$-две функции вида (2A) или (2Б), так что $J_{1} J_{2}$ может быть трех качественно различных типов.

Доказательство. Дифференцируя уравнения системы по $x, y$, нетрудно показать, что общее решение ее имеет вид
\[
\begin{array}{c}
P=c y^{2}+2 k y+p, \\
Q=-c x y-k x-l y-q, \\
R=c x^{2}+2 l x+r .
\end{array}
\]

Если $c
eq 0$, то можно считать, что $c=1$. Параллельным переносом координат можно добиться того, что $k=l=0$. Теперь квадратичная часть $Ф$ привелась к
\[
\frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(p \dot{x}^{2}-2 q \dot{x} \dot{y}+r \dot{y}^{2}\right) .
\]

Поворотом осей добьемся того, что $q=0$. Считая $p=r+a^{2}$, получим вместо (3)
\[
\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{I}}{2} p\left(\dot{x}^{2}+y^{2}\right)+\frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x})^{2}-\frac{1}{2} a^{2} \dot{y}^{2}= \\
=\frac{1}{2} p\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{1}{2}((x+a) \dot{y}-y \dot{x})((x-a) \dot{y}-y \dot{x}) .
\end{array}
\]

Это и требовалось.
Упражнение. Случай $c=0$ разобрать самостоятельно.

ЛИУВИЛЛЕВЫ СИСТЕМЫ. Система двух уравнений Лагранжа называется лиувиллевой, если лагранжиан
\[
L=\frac{1}{2}\left(f_{1}\left(q_{1}\right)+f_{2}\left(q_{2}\right)\right)\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right)-\frac{V_{1}\left(q_{1}\right)+V_{2}\left(q_{2}\right)}{f_{1}\left(q_{1}\right)+f_{2}\left(q_{2}\right)} .
\]

Теорем а 2. Лиувиллева система имеет интеграл:
\[
\Phi=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)\left(f_{2} \dot{q}_{1}^{2}-f_{1} \dot{q}^{2}{ }_{2}\right)+\frac{f_{2} V_{1}-f_{1} V_{2}}{f_{1}+f_{2}}=c,
\]

независимый с интегралом энергии $H$.
Доказательство. Уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}-\frac{\partial L}{\partial q_{1}}=0
\]

напишем подробнее:
\[
\frac{d}{d t}\left[\left(f_{1}+f_{2}\right) \dot{q}_{1}\right]-\frac{1}{2} f_{1}^{\prime}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right) \cdot-\frac{V_{1}+V_{2}}{\left(f_{1}+f_{2}\right)^{2}} f_{1}^{\prime}+\frac{V_{1}^{\prime}}{f_{1}+f_{2}}=0 .
\]

Умножим последнее равенство на $f_{1}+f_{2}$ и $\dot{q}_{1}$ :
\[
\left(f_{1}+f_{2}\right) \dot{q}_{1} \frac{d}{d t}\left[\left(f_{1}+f_{2}\right) \dot{q}_{1}\right]-f^{\prime}{ }_{1} K \dot{q}_{1}+V^{\prime}{ }_{1} \dot{q}_{1}=0
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left[\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)^{2} \dot{q}_{1}^{2}-f_{1} K+V_{1}\right]=0 .
\]

Осталось заметить, что $\Phi=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)^{2} \dot{q}_{1}^{2}-f_{1} K+V_{1}$. (Оперируя аналогично со вторым уравнением Лагранжа, получим
\[
\left.-\Phi=\frac{1}{2}\left(f_{2}+f_{2}\right)^{2} \dot{q}_{2}^{2}-f_{2} K+V_{2}=-c .\right)
\]

Следствие. Пусть $c, h$ фиксированы. Тогда область возможности движения
\[
\mathfrak{R}_{h}=\left\{-f_{1} h+V_{1} \leqslant c,-f_{2} h+V_{2} \leqslant-c\right\} .
\]
3амечание. Система с лагранжианом более общего вида:
\[
L=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)\left(a_{1} \dot{q}_{1}^{2}+a_{2} \dot{q}_{2}^{2}\right)-\frac{V_{1}+V_{2}}{f_{1}+f_{2}}
\]

приводится к лиувиллевой при помощи замены координат:
\[
x_{1}=\int \sqrt{a_{1}} d q_{1}, \quad x_{2}=\int \sqrt{a_{2}} d q_{2} .
\]

В частности, это касается систем с линейным интегралом.
Пример 1. Бигармонический осциллятор:
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\alpha x^{2}+\beta y^{2}\right) .
\]

Пример 2. Движение в центральном поле сил:
\[
L=\frac{m r^{2}}{2}\left(\frac{\dot{r}^{2}}{r^{2}}+\dot{\varphi}^{2}\right)-V(r) .
\]

Пример 3. Движение точки массы $m=1$ в поле с потенциалом:
\[
V(x, y)=-\frac{\mu}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+g y .
\]

которое есть сумма гравитационного и однородного. Введем параболические координаты по формулам
\[
x=u v, \quad y=\frac{1}{2}\left(v^{2}-u^{2}\right) ;
\]

тогда
\[
\dot{x}=u \dot{v}+v \dot{u}, \dot{y}=v \dot{v}-u \dot{u}, x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{2},
\]

и лагранжиан
\[
L=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)\left(\dot{u}^{2}+\dot{v}^{2}\right)-\frac{\left(\mu-\frac{g v^{4}}{2}\right)+\left(\mu+\frac{g u^{4}}{2}\right)}{u^{2}+v^{2}}
\]

имеет лиувиллев вид. Второй интеграл по формуле (4)
\[
\Phi=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)\left(v^{2} \dot{u}^{2}-u^{2} \dot{v}^{2}\right)-\mu \frac{v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}-\frac{g}{2} u^{2} v^{2}=C .
\]

С другой стороны, произведение импульса вдоль оси $x$ на момент относительно точки 0 имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}(x \dot{y}-\dot{x} y)=\frac{1}{2}(u \dot{v}-v \dot{u})\left[2 u v(v \dot{v}-u \dot{u})-\left(v^{2}-u^{2}\right) \times\right. \\
\times(u \dot{v}+v \dot{u})]=\frac{1}{2}(u \dot{v}+v \dot{u})\left(u^{2}+v^{2}\right)(u \dot{v}-\dot{u})= \\
=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)\left(u^{2} \dot{v}^{2}-v^{2} \dot{u}^{2}\right),
\end{array}
\]
т. е. в согласии с теоремой 1 совпадает с квадратичной частью интеграла Ф с точностью до знака. Области возможности движения:
\[
\mathfrak{N}_{h}^{C}=\left\{-h u^{2}+\frac{g u^{4}}{2}+\mu \leqslant C,-h v^{2}-\frac{g v^{4}}{2}+\mu \leqslant-C\right\}
\]

суть криволинейные прямоугольники; они ограничены отрезками координатных линий $u=$ const и $v=$ const, которые представляют собой параболы с фокусом в начале координат.

Пример 4. Движение точки в гравитационном поле двух неподвижных центров: пусть для простоты массы $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся на оси $O Y$ в точках $\pm 1$. Потенциал суммарной гравитационной силы, действующей на движущуюся точку единичной массы, равен
\[
V=-\gamma \frac{m_{1}}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}-\gamma \frac{m_{2}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}} .
\]

Введем на плоскости новые координаты $\xi \in[0, \pi], \eta \in \mathbf{R}$ :
\[
x=\operatorname{sh} \eta \sin \xi, \quad y=\operatorname{ch} \eta \cos \xi .
\]

В этих переменных лагранжиан принимает вид $(\gamma=1)$
\[
L=\frac{1}{2}\left(\operatorname{ch}^{2} \eta-\cos ^{2} \xi\right)\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)+\frac{\left(m_{1}+m_{2}\right) \operatorname{ch} \eta-\left(m_{1}-m_{2}\right) \cos \xi}{\operatorname{ch}^{2} \eta-\cos ^{2} \xi} .
\]

Пришли к лиувиллевой системе.
Задача 15. Доказать, что квадратичная часть второго интеграла $\Phi$ с точностью до кинетической энергии равна произведению моментов количества движения относительно притягивающих центров.
3адача 16. Показать, что координатные линии $\eta=$ const и $\xi=$ const являются эллипсами и гиперболами с фокусами в притягивающих центрах. Указать несколько вариантов областей возможности движения $\mathfrak{M}$ (сначала положить $m_{1}=m_{2}$ ).
3адача 17. Найти положение равновесия и исследовать его в линейном приближении. Показать, что в случае равных масс

( $m_{1}=m_{2}$ ) возможно движение но оси $O X$ е частотой малых коле-
Пр ммер 5. Движение по инерции на эллипсоиде
\[
g=\left\{A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1\right\}
\]
(задача Якоби о геодезических на эллипсоиде).
Сначала введем в пространстве эллиптические координаты, ассоциированные с нашим эллипсоидом. Для определенность $A<B<C$. По определению $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ суть корни уравнения
\[
\frac{A x^{2}}{1-A q}+\frac{B y^{2}}{1-B q}+\frac{C z^{2}}{1-C q}=1 \text {. }
\]

Таким образом,
\[
-\infty<q_{3}<1 / C<q_{2}<1 / B<q_{1}<1 / A .
\]

Обратные формулы имеют вид
\[
\begin{array}{l}
x^{2}=\frac{B C}{A} \frac{\left(1-A q_{1}\right)\left(1-A q_{2}\right)\left(1-A q_{1}\right)}{(B-A)(C-A)}, \\
y^{2}=\frac{C A}{B} \frac{\left(1-B q_{1}\right)\left(1-B q_{8}\right)\left(1-B q_{2}\right)}{(C-B)(A-B)}, \\
z^{2}=\frac{A B}{C} \frac{\left(1-C q_{1}\right)\left(1-C q_{2}\right)\left(1-C q_{2}\right)}{(A-C)(B-C)} .
\end{array}
\]

Положив $q_{3}=0$, мы оказываемся на исходном эллипсоиде, где $q_{1}, q_{2}$ будут служить локальными координатами (независимыми внутри каждого октанта).

Задача 18. Показать, что в этих координатах лагранжиан движения по инерции равен
\[
L=\frac{v^{2}}{2}=\frac{A B C}{8}\left(q_{1}-q_{2}\right)\left(\frac{q_{1} \dot{q}_{1}^{2}}{\left(1-A q_{1}\right)\left(1-B q_{1}\right)}-\frac{q_{2} \dot{q}_{2}}{\left(1-A q_{2}\right)\left(1-B q_{2}\right)}\right) .
\]

Задача 19. Доказать, что эллиптическими координатами на плоскости, ассоциированными с эллипсом:
\[
\frac{x^{2}}{n}+\frac{y^{2}}{n+1}=1
\]
(в смысле, аналогичном (5)), будут функции
\[
q_{1}=n+\sin ^{2} \xi, \quad q_{2}=n-\operatorname{sh}^{2} \eta,
\]

где $\eta, \xi$-координаты из примера 4 . Поэтому эти последние иногда называются эллипсоидальными координатами.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри-

мановой метрики на многообразии положений (заметим, что собственные значения интеграла Ф в лиувиллевой метрике равны $+f_{1}$ и – $f_{1}$ и что $q_{1}, q_{2}$ – ортогональные координаты).

Лиувиллевы системы на плоскости также классифицированы: лиувиллевыми могут быть только эллипсоидальные, параболические, полярные и декартовы координаты.