Рассмотрим твердое тело, масса которого распределена по кривой, поверхности или объему $\mathscr{C}$; обозначим через $\rho$ плотность массы, зависящую, вообще говоря, от точки. Введем для краткости элемент массы $d m=\rho d \tau$, где $d \tau$ – элемент дуги, площади или объема соответственно (более общо говорить о мере Лебега $d m$; тогда охватывается и дискретное распределение масс). В произвольной декартовой системе координат Oxyz в случае, например, пространственного распределения масс $d m=\rho(x, y, z) d x d y d z$. Условимся писать сокращенно:
\[
\int_{\mathscr{E}} f(P) d m=\int_{(x, y, z) \in \mathscr{C}} f(x, y, z) p(x, y, z) d x d y d z .
\]

Конкретное выраженне $\rho(x, y, z)$ зависит от того, как твердое тело расположено относительно системы координат. Если система координат связана с телом, то выражение $\rho$ будет одним и тем же во всех положениях тела. Мы будем вычислять интегралы как скалярных, так и векторных функций точки $P \in \mathscr{B}$. Величина
\[
M=\int_{\boldsymbol{\delta}} d m
\]
(интеграл от единицы) называется массой тела, величина
\[
\mathbf{s}=\frac{1}{M} \int_{\mathscr{Z}} \overline{O P} d m
\]

радиус-вектором центра масс тела относительно точки $O$.
ОПЕРАТОР ИНЕРЦИИ. Это узловое понятие, с которым мы будем постоянно оперировать на протяжении всего параграфа. По определению оператор инерции относительно точки $O$ переводит произвольный вектор $\mathbf{u} \in \mathbf{R}^{3}$ в вектор
\[
\mathrm{r}_{o}(\mathbf{u})=\int_{\mathscr{C}}[\overline{O P} \times[\mathbf{u} \times \overline{O P}]] d m
\]

Легко проверить, что этот оператор линеен и самосопряжен (симметричен) :
\[
\left(\mathbf{u}_{1} \Upsilon_{O}\left(\mathbf{u}_{2}\right)\right)=\left(\mathbf{u}_{2}, \Upsilon_{O}\left(\mathbf{u}_{1}\right)\right) .
\]

Определение. Моментом инерции тела относительно прямой $l$ называется число $I(l)=\left(\mathrm{f}, \Upsilon_{o}(\mathrm{f})\right)$, где $O$ – некоторая точка $l, \mathbf{f}$ – единичный направляющий вектор прямой.
Покажем, что $I(l)$ не зависит от выбора точки $O$ на прямой:
\[
\begin{array}{c}
I(l)=\left(\mathbf{f}, \int_{\mathscr{C}}[\overline{O P} \times[\mathbf{f} \times \overline{O P}] \mid d m)=\left(\mathbf{f}, \int_{\mathscr{C}}\left(\mathbf{f} \cdot \overline{O P^{2}}-\overline{O P}(\mathbf{f}, \overline{O P}) d m\right)=\right.\right. \\
=\int_{\mathscr{C}}\left(\left(\overline{O P}^{2}-(\mathbf{f}, \overline{O P})^{2}\right) d m=\int_{\mathscr{C}} d^{2}(P, l) d m \geqslant 0,\right.
\end{array}
\]

здесь $d(P, l)$ – расстояние от точки $P$ до прямой $l$.
Матричное выражение оператора инерции. Пусть $О e_{\xi} e_{\eta} e_{t}$ репер, связанный с телом; тогда
\[
\Upsilon_{O}(\mathbf{u})=\int_{\mathscr{C}}\left\{\overline{O P}^{2} \mathbf{u}-\overline{O P}(\mathbf{u}, \overline{O P})\right\} d m=\left(\begin{array}{ccc}
I_{1} & -J_{3} & -J_{2} \\
-J_{3} & I_{2} & -I_{1} \\
-J_{2} & -J_{1} & I_{3}
\end{array}\right)\left[\begin{array}{l}
u_{\xi} \\
u_{\eta} \\
u_{\zeta}
\end{array}\right],
\]

где
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\int_{\mathscr{C}}\left(\eta^{2}+\zeta^{2}\right) d m, \quad I_{2}=\int_{\mathscr{C}}\left(\xi^{2}+\zeta^{2}\right) d m, \quad I_{3}=\int_{\mathscr{Z}}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) d m, \\
J_{1}=\int_{\mathscr{C}} \eta \zeta d m, \quad J_{2}=\int_{\mathscr{Z}} \xi d m, \quad J_{3}=\int_{\mathscr{Z}} \xi \eta d m .
\end{array}
\]

Можно заметить, что $I_{1}+I_{2} \geqslant I_{3}, \quad I_{3}+I_{1} \geqslant I_{2}, \quad I_{2}+I_{3} \geqslant I_{1}$. Если $I_{1}+I_{2}=I_{3}$, то все тело лежит в плоскости $O \xi \eta$. Если $I_{3}=0$, то все тело лежит на оси $O \zeta$.
3адача 33. Проверить, что выполняются неравенства типа
a) $J_{1}^{2} \leqslant I_{2} I_{3}$
б) $4 J_{1}^{2} \leqslant I_{1}^{2}-\left(I_{2}-I_{3}\right)^{2}$.

Какое из этих неравенств сильнее?

ГЛАВНЫЕ ОСИ.

Собственный репер Оеe’ $\mathbf{e}^{\prime \prime}$ самосопряженного оператора $\Upsilon_{o}$ называется главным в точке $O$. Матрица оператора принимает вид
\[
\left(\begin{array}{ccc}
A_{O} & 0 & 0 \\
0 & B_{O} & 0 \\
0 & 0 & C_{O}
\end{array}\right) .
\]

Числа $A_{O}, B_{O}, C_{O}$ называются главными моментами инерции в точке $O$. Плоскость (прямая) называется главной для некоторой своей точки $O$, если содержит два вектора (один из векторов). главного репера в точке $O$.
3адача 34. Плоскость (ось) симметрии распределения масе тела есть главная для всех своих точек. Доказать.
3адача 35. А. Пусть $S$ – центр масс, $Q$ – произвольная точка, f – единичный вектор, $d$ – расстояние между прямыми $Q \mathrm{f}, S \mathbf{f}$. Тогда $I(Q \mathfrak{f})=I(S \mathfrak{f})+M d^{2}$ (формула Гюйгенса-Штейнера).
Б. Пусть $S x y z$ – декартова система координат с осями, главными в $S$, и $A_{S}=M a^{2}>B_{S}=M b^{2}>C_{S}=M c^{2}$. Показать, что главные направления в точке $P(x, y, z)$ параллельны координатным линиям эллиптических координат, ассоциированных с гирационным эллипсоидом:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
\]

а соответствующие главные моменты инерции суть
\[
A_{P}\left(B_{P}, C_{P}\right)=M\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+M q_{1}\left(M q_{2}, M q_{3}\right) .
\]

ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Имеются в виду импульс, кинетический момент и кинетическая энергия, которые уже рассматривались применительно к системе свободных материальных точек в § 10. В случае, когда система точек образует твердое тело, ‘выражения для этих величин принимают специфический вид в связи с тем, что скорости точек тела образуют распределение, описываемое формулой Эйлера: $\mathbf{v}_{P}=\mathbf{v}_{S}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]$. Таким образом, в каждый момент времени скорости зависят от точки тела, а зависимость их от времени проявляется только через векторы $\mathbf{v}_{S}$, $\boldsymbol{\omega}$, которые являются общими для всех точек тела.
Лемма 1. Имеют место формулы:
(A) $\mathbf{P}=M \dot{\mathbf{s}}$;
(b) $\boldsymbol{\Lambda}_{O}=M[\mathbf{s} \times \mathbf{s}]+\boldsymbol{\Lambda}_{S}, \boldsymbol{\Lambda}_{S}=\mathrm{r}_{S}(\boldsymbol{\omega})$;
(B) $T=\frac{1}{2} M \dot{s}^{2}+T_{S}, \quad T_{S}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\Lambda}_{S}, \boldsymbol{\omega}\right)=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}, \Upsilon_{S}(\boldsymbol{\omega})\right)$.

Доказательствоначнем с того, что
\[
\int_{\mathscr{C}} \overline{S P} d m=\overline{S S}=0 .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{P}=\int_{\mathscr{C}} v_{P} d m=\int_{\mathscr{C}}\left(\mathbf{v}_{S}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]\right) d m=\int_{\mathscr{C}} \mathbf{v}_{S} d m+ \\
+\left[\boldsymbol{\omega} \times \int_{\mathscr{C}} \overline{S P} d m\right]=M \mathbf{v}_{S}, \\
\mathbf{\Lambda}=\int_{\mathscr{C}}\left[\overline{O P} \times \mathbf{v}_{P}\right] d m=\int_{\mathscr{C}}\left[(\overline{O S}+\overline{S P}) \times\left(\mathbf{v}_{S}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]\right)\right] d m= \\
=\int_{\mathscr{C}}\left[\overline{O S} \times \mathbf{v}_{S}\right] d m+\int_{\mathscr{C}}[S \bar{P} \times[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}] d m
\end{array}
\]

плюс слагаемые, равные нулю. Наконец,
\[
\begin{array}{c}
2 T=\int_{\mathscr{C}} \mathbf{v}_{P}^{2} d m=\int_{\mathscr{C}}\left[v_{S}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}], v_{S}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]\right) d m= \\
=\int_{\mathscr{C}} \mathbf{v}^{2}{ }_{S} d m+\int_{\mathscr{C}}([\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}],[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]) d m= \\
=M \dot{\mathbf{s}}^{2}+\int_{\mathscr{C}}(\boldsymbol{\omega},[\overline{S P} \times[\boldsymbol{\omega} \times \overline{S P}]] d m .
\end{array}
\]
. Лемма 2. Пусть See’е ${ }^{\prime \prime}$ – главный репер в центре масс, $A, B, C$ – главные центральные моменты инерции, угловая скорость $\boldsymbol{\omega}=p \mathbf{e}+q \mathbf{e}^{\prime}+r \mathbf{e}^{\prime \prime}$. Тогда
\[
\mathbf{\Lambda}_{S}=A p \mathbf{e}+B i \mathbf{e}^{\prime}+C r \mathbf{e}^{\prime \prime}, \quad T_{S}=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Пусть в точках $P_{i} \in \mathscr{C}, i=1, \ldots$ …, $N$, приложены силы $\mathbf{F}_{i}$. Введем две векторные величины: формальную сумму сил $\mathbf{F}=\Sigma \mathbf{F}_{i}$ и суммарный момент сил относительно точки $A-\mathbf{G}_{A}=\Sigma\left[\bar{A}_{i} \times \mathbf{F}_{i}\right]$. Векторы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{G}_{S}$ могут зависеть от положения и ориентации тела, его угловой скорости и скорости центра масс и от времени. Уравнения движения свободного твердого тела имеют вид
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{\mathbf{s}}=\mathbf{F}, \\
\frac{d}{d t} \boldsymbol{\Lambda}_{s}=\mathbf{G}_{s} .
\end{array}
\]

Эти уравнения мы постулируем. Позднее в § 13 мы сможем вывести их из принципа д’Аламбера – Лагранжа, который, конечно,

опять-таки постулируется. Принимая пока уравнения (1) и особенно (2) без доказательства, мы хотим еще раз подчеркнуть значение формулы изменения кинетического момента.

НЕСВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО.

Если перемещения тела как-то ограничиваются, то говорят, что на него наложены связи (точные формулировки будут даны позднее). Чтобы применить уравнения (1) и (2), можно рассматривать тело как свободное и считать, что связи реализуются за счет воздействия некоторых дополнительных сил, которые называются реакциями связей. Существуют общепринятые приемы подмены связей силами, основанные на простейших физических моделях взаимодействия твердых тел (сами модели остаются при этом в тени).

Примеры связей :
1) скольжение тела по поверхности (рис. 24,a): связь состоит в том, что скорость $\mathbf{v}_{P}$ той точки тела, которой оно соприкасается с опорой, параллельна общей касательной тела и опоры, реакция ортогональна касательной, но величина ее априори не известна;
2) качение тела по поверхности без проскальзывания (рис. 24,6 ): связь имеет вид $\mathbf{v}_{p}=0$, сила реакции приложена в точке касания, как и выше, но здесь и направление ее, вообще говоря, произвольно;
3) движение тела вокруг неподвижной точки: сила реакции в точке закрепления может в принципе быть любой;
4) тело привязано за нить: сила реакции направлена по кити, но про ее величину заранее ничего сказать нельзя.

Пример. Вращение диска вокруг неподвижной вертикальной оси (рис. 15). Ось проходит через центр $S$ диска под углом $\alpha$ к его плоскости и кончается в точках $A_{1}, A_{2}$, находящихся на расстоянии $d$ от $S$. Требуется а) доказать, что $\dot{\psi}=$ const; б) вычислить реакцию в точках опоры $A_{1}$ и $A_{2}$.
Решение. Выпишем динамические уравнения
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{\mathbf{r}}=m \mathbf{g}+\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}, \\
\frac{d}{d t} \boldsymbol{\Lambda}_{S}=\left[\overline{S A}_{1} \times \mathbf{R}_{1}\right]+\left[\overline{S A}_{2} \times \mathbf{R}_{2}\right] .
\end{array}
\]

Введем два репера, связанные с диском:
1) $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$, где $\mathbf{e}_{z}$ вертикален;
2) $\mathbf{e}, \mathbf{e}^{\prime}, \mathbf{e}^{\prime \prime}$, главный в точке $O$; моменты инерции $A=m r^{2} / 2$, $B=C=m r^{2} / 4$. Симметрия позволяет принять $\mathbf{e}^{\prime}=\mathbf{e}_{y}$, другие векторы
\[
\mathbf{e}_{z}=\mathbf{e} \sin \alpha+\mathbf{e}^{\prime \prime} \cos \alpha, \quad \mathbf{e}_{x}=\mathbf{e} \cos \alpha-\mathbf{e}^{\prime \prime} \sin \alpha .
\]

Так как точка $S$ неподвижна, $\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}+m \mathbf{g}=0$, или
\[
\left\{\begin{array}{l}
R_{1 x}+R_{2 x}=0, \\
R_{1 y}+R_{2 y}=0, \\
R_{1 z}+R_{2 z}-m g=0 .
\end{array}\right.
\]

Считаем, что $\mathbf{R}_{1} \perp O z$ (ось в точке $A_{1}$ удерживается только сбоку),

т. е. $R_{1 z}=0$. Тогда $R_{2 z}=m g$. Имеем далее
\[
\boldsymbol{\omega}=\dot{\psi} \mathbf{e}_{z}=\dot{\psi}\left(\cos \alpha \mathbf{e}^{\prime \prime}–\sin \alpha \mathbf{e}\right),
\]
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Lambda}_{\mathrm{S}}=\frac{m r^{2}}{4} \dot{\psi} \cos \alpha \mathrm{e}^{n}+\frac{m r^{\mathrm{e}}}{2} \dot{\psi} \sin \alpha \mathrm{e}=(1 / 4) m r^{2} \dot{\psi}\left(\cos \alpha \mathrm{e}^{\prime \prime}+2 \sin \alpha \mathrm{e}\right)= \\
\left(\text { так как } \mathrm{e}^{n}=\mathbf{e}_{2} \cos \alpha-\mathbf{e}_{x} \sin \alpha, \quad \mathbf{e}=\mathbf{e}_{x} \cos \alpha+\mathbf{e}_{z} \sin \alpha\right) \\
=(1 / 4) m r^{2} \dot{\psi}\left(\sin \alpha \cos \alpha \mathrm{e}_{x}+\left(2 \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right) \mathrm{e}_{z}\right) .
\end{array}
\]

Суммарный момент сил с учетом (5)
\[
\mathbf{G}_{S}=\left[\overline{S A}_{1} \times \mathbf{R}_{\mathbf{1}}\right]+\left[\overline{S A}_{2} \times \mathbf{R}_{2}\right]=\left[d e_{z} \times\left(\mathbf{R}_{2}-\mathbf{R}_{1}\right)\right]=2 d R_{1 x} \mathbf{e}_{y}-2 d R_{1 y} \mathbf{e}_{x} .
\]

Вектор $\mathbf{e}_{z}$ постоянен и $\left(\mathbf{G}_{S}, \mathbf{e}_{z}\right) \equiv 0$, отсюда
\[
\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{\Lambda}_{S}, \mathbf{e}_{z}\right)=\left(\frac{d}{d t} \boldsymbol{\Delta}_{S}, \mathbf{e}_{z}\right)=\left(\mathbf{G}_{S}, \mathbf{e}_{z}\right) \equiv 0,
\]

так что $\left(\boldsymbol{\Lambda}_{\boldsymbol{S}}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{z}}\right)=$ const и, наконец, $\dot{\boldsymbol{\psi}}=$ const. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
=\frac{m r^{2} \dot{\psi}^{2}}{4} \sin \alpha \cos \alpha \mathbf{e}_{y} . \\
\end{array}
\]

Приравнивая к (6), получаем
\[
\frac{m r^{2}}{4} \psi^{2} \sin \alpha \cos \alpha \mathbf{e}_{b}=2 d\left(R_{1 x} \mathbf{e}_{y}-R_{y} \mathbf{e}_{x}\right),
\]

откуда
\[
\left\{\begin{array}{l}
R_{1 x}=\frac{m r^{2}}{8 d} \sin \alpha \cos \alpha \dot{\psi}^{2}, \\
R_{1 y}=0 .
\end{array}\right.
\]

Задача 36. По плоскости катится диск с невесомой штангой (из примера $2 \S 11$ ). Доказать, что $\psi=$ const, найти кинетическую энергию и силу реакции в точке касания. Дано, что $\mathbf{R}$ лежит в плоскости диска.
Ответ:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{m}{2}\left(\frac{3}{2} d^{2}+\frac{1}{4} r^{2}\right) \dot{\psi}^{2}, \\
\mathbf{R}=m\left(g+\frac{r}{2} \dot{\psi}^{2}\right) \mathbf{e}_{z} .
\end{array}
\]

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ.

Силы, действующие на твердое тело, на практике всегда имеют наглядное физическое происхождение и, если можно так сказать, естественные точки приложения: сила тяжести прикладывается в центре масс, силы

реакции – в точке контакта и т. д. Тем не менее бывает полезно проделать некоторые мысленные манипуляции с силами, разумеется, такие манипуляции, которые не сказываются на движении тела. Более конкретно, можно производить следующие эквивалентные преобразования системы сил:
1) всякую силу $\mathbf{F}_{i}$, приложенную в точке $P_{i}$, можно перенести вдоль ее линии действия, т. е. прямой, проходящей через эту точку в направлении силы;
2) если несколько сил $\mathbf{F}_{i 1}, \ldots, \mathbf{F}_{i k}$ приложены в общей точке $P$, то их можно заменить другой конечной совокупностью снл $\mathbf{F}^{\prime}{ }_{11}, \ldots$ …, $\mathbf{F}^{\prime}{ }_{j l}$ при условии, что
\[
\mathbf{\Sigma} \mathbf{F}_{i_{k}}=\Sigma \mathbf{F}_{{ }_{i}}^{\prime} .
\]

Легко понять, что в результате эквивалентных преобразований не изменяется ни суммарная сила $\Sigma \mathbf{F}_{i}$, ни суммарный момент сил относительно любой точки, в том числе центра масс. Поэтому в результате эквивалентных преобразований уравнения движения (1) и (2) изменений не претерпевают.

Система сил вида ( $P, \mathbf{F}),\left(P_{2},-\mathbf{F}\right)$ называется парой сил. Момент пары сил относительно любой точки $A$ равен
\[
\mathbf{G}=\left[\overline{A P}_{1} \times \mathbf{F}\right]+\left[\overline{A P}_{2} \times-\mathbf{F}\right]=\left[\mathbf{F} \times\left(A P_{2}-A P_{1}\right)\right]=\left[\mathbf{F} \times \overline{P_{1} P_{2}}\right],
\]
т. е. не зависит от точки $A$, а суммарная сила равна нулю. Линии действия сил пары параллельны, а проведенная через них плоскость ортогональна моменту.

Произвольную систему с моментом $\mathbf{G}_{S}$ и суммой $\mathbf{F}$ эквивалентными преобразованиями можно привести к системе, состоящей из трех сил: пары сил с моментом $\mathbf{G}_{S}$ и силы $\mathbf{F}$, приложенной к точке $S$.

Замечание о силе тяжести. Строго говоря, к каждой частице твердого тела приложена своя небольшая сила тяжести – ее вес, а суммарная сила $m g$, которую мы прикладываем к центру масс, есть результат эквивалентного преобразования такой распределенной по телу системы сил.

ТЕЛО С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ.

Движение его определяется изменением кинетического момента относительно закрепленной точки $O$ :
\[
\mathbf{\Lambda}_{o}=M[\mathbf{s} \times \mathbf{s}]+\boldsymbol{\Lambda}_{s} .
\]

Пусть $\mathbf{F}=\Sigma \mathrm{F}_{i}$ – результирующая всех заданных сил, действующих на тело (кроме силы реакции $\mathbf{R}$ в неподвижной точке), $\mathbf{G}_{\mathrm{A}}$ момент этих же сил относительно произвольной точки $A$. Нетрудно показать, что
\[
\mathbf{G}_{B}=\mathbf{G}_{A}+[\mathbf{F} \times \overline{A B}]
\]

Лемма 3. При движении
\[
\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{O}}{d t}=\mathbf{G}_{O} .
\]

Для доказательства надо продифференцировать $\boldsymbol{\Lambda}_{O}$ в силу уравнений (1) и (2), учитывая в них, конечно, и силу $\mathbf{R}$ (которая уничтожится), а затем по (8) изменить точку приведения $S$ на $O$.
Лемма 4. Всегда
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{O}=\mathrm{r}_{O}(\boldsymbol{\omega}), T_{o}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\Lambda}_{O}(\boldsymbol{\omega})\right) .
\]

Доказательство: ср. с леммой 1.
Утверждения леммы 2 сохраняют силу, только брать надо $A=$ $=A_{O}, B=B_{O}, C=C_{O}$.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА.

Разложим по главному реперу, связанному с телом в точке $O$, векторы $\omega$ и $G_{0}$ :
\[
\boldsymbol{\omega}=p \mathbf{e}+q \mathbf{e}^{\prime}+r \mathbf{e}^{\prime \prime}, \quad \mathbf{G}_{O}=G \mathbf{e}+G^{\prime} \mathbf{e}^{\prime}+G^{\prime \prime} \mathbf{e}^{\prime \prime},
\]

затем продифференцируем кинетический момент
\[
\mathbf{\Lambda}_{o}=A p \mathbf{e}+B q \mathbf{e}^{\prime}+C r \mathbf{e}^{\prime \prime},
\]

пользуясь формулами Пуассона ( $\$ 11$ ):
\[
\frac{d \mathbf{e}}{d t}=[\omega \times \mathbf{e}], \frac{d \mathbf{e}^{\prime}}{d t}=\left[\omega \times \mathbf{e}^{\prime}\right], \frac{d \mathbf{e}^{\prime \prime}}{d t}=\left[\omega \times \mathbf{e}^{\prime \prime}\right] .
\]

Векторное уравнение (10) приводит нас к уравнениям Эйлера:
\[
\left\{\begin{array}{l}
A \dot{p}+(C-B) q r=G, \\
B \dot{q}+(A-C) r p=G^{\prime}, \\
C \dot{r}+(B-A) p q=G^{\prime \prime} .
\end{array}\right.
\]

Величины $G, G^{\prime}, G^{\prime \prime}$ зависят, вообще говоря, от положения тела и его угловой скорости (т. е. совокупно – от его состояния), так что эта система уравнений в общем случае не замкнута.

СЛУЧАЙ ЭИЛЕРА. Самый простой вариант уравнений (13) получается при $G=G^{\prime}=G^{\prime \prime}=0$. Тогда система уравнений (13) становится замкнутой и описывает движение вектора о относительно главного репера. Легко увидеть, что интеграламп уравнений Эйлера в этом случае являются функции
\[
\Lambda^{2}=A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}, \quad T=1 / 2\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

Например, то, что $T$ – интеграл, получается так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d T}{d t}=A p \dot{p}+B q \dot{q}+C r \dot{r}=-p(C-B) q r-q(A-C) r p- \\
-r(B-A) p q=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, первых интегралов вполне достаточно, чтобы решить уравнения (13), а именно (подробности опускаем) можно получить решение в эллиптических функциях.

Исследуем решения качественно. Пусть $T=h$ и $\Lambda^{2}=2 h D$. Будем считать для определенности $A>B>C$; тогда $D \in[C, A]$. Пересечение эллипсоидов $T=h$ и $\Lambda^{2}=2 h D$ совпадает с пересечением

эллипсоида $A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}=2 h$ и конуса
\[
A(A-D) p^{2}+B(B-D) q^{2}+C(C-D) r^{2}=0 .
\]

Если $D=C$, то $p=q=0$, что соответствует положениям равновесия на оси $r$. Если $C<D<B$, то движение по эллипсоиду $T=h$ происходит в I и III четвертях (см. рис. 75 , где изображен вид сбоку). При $D=B$ конус распадается в пару плоскостей и движение происходит по сепаратрисам, проходящим через седловую точку равновесия 0 . При $B<D<A$ движение происходит во II и IV четвертях, а при $D=A$ вектор угловой скорости постоянен и находится в крайней правой или крайней левой вершинах эллипсоида. На каждой траектории конца вектора о нетрудно указать направление ее прохождения, выясняя знак $\dot{p}$ по знакам $q$ и $r$ из уравнений Эйлера.

Знание того, как движется вектор $\omega$ в теле, недостаточно, чтобы сразу представить себе движение самого тела. В принципе в духе $\$ 11$ можно написать
\[
Q=\Omega Q,
\]

где $Q$ – неизвестная ортогональная матрица перехода от неподвижного репера к подвижному главному, $\Omega$ – кососимметрическая матрица, составленная из компонент вектора ш. Получается система линейных уравнений, правда, неавтономная. Чувствуется, что такой прямолинейный путь не приведет нас к успеху. Поступим иначе. Заметим, что в случае Эйлера
\[
\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{O}}{d t}=G_{O}=0,
\]
т. е. вектор кинетического момента $\boldsymbol{\Lambda}_{O}=\boldsymbol{\Lambda}=$ const сохраняется в неподвижной системе координат.

РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ.

Для начала опишем движение в случае динамической симметрии $B=C$ (в частности, когда распределение масс имеет ось симметрии $O \mathbf{e}$ ). В этом случае из первого уравнения Эйлера вытекает, что
\[
(\mathbf{\Lambda}, \mathbf{e})=A p=k=\text { const, }
\]

и этим интегралом можно воспользоваться вместо $\Lambda^{2}=2 B h+$ $+(A-B) A^{-1} k^{2}$.
Задача 37. Доказать, что
a) вектор е оси динамической симметрии составляет постоянный угол с сохраняющимся вектором кинетического момента $\boldsymbol{\Lambda}$;
б) вектор угловой скорости лежит в плоскости векторов е и $\mathbf{\Lambda}$ :
\[
A B \mathbf{\omega}=(B-A) k \mathbf{e}+A \mathbf{\Lambda} ;
\]
в) угловое ускорение $d \omega / d t$ ортогонально $\boldsymbol{\Lambda}$ и е, причем
\[
\left|\frac{d \omega}{d t}\right|^{2}=\frac{|A-B| k}{A B^{2}} \sqrt{\Lambda^{2}-k^{2}} .
\]

Таким образом, движение можно представить себе как равномерное вращение вокруг вектора е, который в свою очередь равномерно поворачивается вокруг неподвижного вектора $\mathbf{\Lambda}$.

TЕОРЕМА ПУАНСО.

Перейдем к общему случаю. В репере, связанном с телом, построим эллипсоид инерции
\[
\left\{\left(\mathbf{r}, \Upsilon_{o}(\mathrm{r})\right)=1\right\}=\left\{A \xi^{2}+B \eta^{2}+C \zeta^{2}=1\right\},
\]

где $\mathbf{r}=\xi \mathbf{e}+\eta \mathbf{e}^{\prime}+\zeta \mathbf{e}^{\prime \prime}$. В случае Эйлера эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости л, ортогональнай кинетическому моменту $\boldsymbol{\Lambda}$ и отстоящей от точки $О$ на расстоянии $\delta=\sqrt{2 h}|| \Lambda \mid=1 / \sqrt{\bar{D}}$.

Доказательство. Плоскость $\pi$ в подвижном главном репере задается уравнением
\[
\frac{A p \xi+B q \eta+C r \xi}{\sqrt{A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}}}=\delta \text { или } A p \xi+B q \eta+C r \zeta=\sqrt{2 h} .
\]

где ( $\xi, \eta, \zeta$ ) – координаты точки плоскости в репере $O \mathbf{e e}^{\prime} \mathbf{e}^{\prime \prime}$. Скорость $\mathbf{v}_{P}=0$ в таких точках $P(\xi, \eta, \xi)$, в которых $[\boldsymbol{\omega} \times \overline{O P}]=0$, т. е.
\[
\xi=x p, \eta=x q, \xi=x r \text {. }
\]

Если мы выберем теперь $x=1 / \sqrt{2 h}$, точка $P$ будет принадлежать как плоскости, так и эллипсоиду инерции, причем $\mathbf{v}_{P}=\mathbf{0}$, как и должно быть при качении. Остается показать, что эллипсоид касается плоскости л. Но это очевидно, так как нормали к плоскости и к эллипсоиду в точке $P$ коллинеарны $(A p, B q, C r)=\boldsymbol{\Lambda}$.

Эллипсоид, катаясь по плоскости л, оставляет на ней след, называемый герполодией; точка касания с плоскостью на эллипсоиде описывает кривую, называемую полодией. Так как полодия высекается на эллипсоиде инерции направлением угловой скорости, то полодии совпадают с фазовыми кривыми уравненцй Эйлера при $T=1 / 2$. Герполодии располагаются на плоскости в некотором кольце и, вообще говоря, не замкнуты (рис. 47).
3адача 38. Если тело движется под действием пары сил с постоянным (в неподвижной системе координат) моментом $\mathbf{G}_{o}$ и при этом начальное состояние есть состояние покоя, то описание движения по Пуансо по-прежнему сохраняет силу. Доказать.