Рассмотрим систему с лагранжианом $L(\dot{q}, q, t)$. В пространстве $\mathbf{R}^{n+1}(q, t)$ зафиксируем произвольно две точки:
\[
A=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}, t_{A}\right), \quad B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}, t_{B}\right), \quad t_{A}<t_{B} .
\]

Будем говорить, что кривая $q(t)$ соединяет их, если
\[
q\left(t_{A}\right)=a, \quad q\left(t_{B}\right)=b .
\]

Действием вдоль такой кривой называется величина
\[
W[q(t)]=\int_{t_{A}}^{t_{B}} L(\dot{q}(t), q(t), t) d t .
\]

Квадратные скобки призваны подчеркнуть, что имеем функционал — функционал действия, а не сложную функцию $t$.

Вариацией кривой $q(t)$, соединяющей точки $A, B$, называется гладкое семейство кривых $q(\alpha, t)$, где $\alpha \in(-\varepsilon, \varepsilon), \quad t \in\left[t_{A}, t_{B}\right]$, такое, что $q(0, t) \equiv q(t)$ (рис. $58, a$ ). Нам будет удобно писать $\frac{d}{d t} q(\alpha, t) \quad$ вместо $\frac{\partial}{\partial t} q(\alpha, t) \quad$ (поскольку это — скорость) и $\frac{\delta}{\delta \alpha} q(\alpha, t)$ вместо $\frac{\partial}{\partial \alpha} q(\alpha, t)$ (для контраста и по традиции).

Пусть вариация произвольно зафиксирована. Тогда имеем гладкую функцию
\[
w(\alpha)=W[q(\alpha, t)]=\int_{t_{A}}^{t_{B}} l(\alpha, t) d t=\int_{t_{A}}^{t_{B}} L\left(\frac{d q(\alpha)}{d t}, q(\alpha, t) t\right) d t .
\]

Вариацией действия при заданной вариации кривой $q(t)$ называется число $\left.\frac{\partial w}{\delta \alpha}\right|_{\alpha=0}$ (всюду далее $\frac{\delta}{\delta \alpha}=\left.\frac{\delta}{\delta \alpha}\right|_{\alpha=0}$ ):
\[
\frac{\delta w}{\delta a}=\int_{t_{A}}^{t_{B}} \frac{\delta l}{\delta a} d t=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\delta}{\delta \alpha} \frac{d q}{d t}+\frac{\partial L}{\partial q} \cdot \frac{\delta q}{\delta \alpha}\right) d t=
\]

\[
\begin{array}{c}
=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\delta q}{\delta \alpha}\right)-\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \cdot \frac{\delta q}{\delta \alpha}+\frac{\partial L}{\partial q} \cdot \frac{\delta q}{\delta \alpha}\right] d t= \\
=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \cdot \frac{\delta q}{\partial \alpha} d t+\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\delta q}{\delta \alpha}\right|_{t_{A}} ^{t_{B}} .
\end{array}
\]

Итоговая формула для вариации действия
\[
\frac{\delta w}{\delta \alpha}=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)_{q(t)} \cdot \delta(t)+\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \delta(t)\right|_{t_{A}} ^{t_{B}},
\]

где
\[
\delta(t)=\frac{‘ \delta q(\alpha, t)}{\delta \alpha} .
\]

Для любой вектор-функции $\delta(t)$ существует вариация такая, что выполнено (4). В самом деле, достаточно положить
\[
q(\alpha, t)=q(t)+\alpha \delta(t) .
\]

Говорят про вариацию с закрепленными концами (рис. 58,б), если
\[
q\left(\alpha, t_{A}\right) \equiv a, \quad q\left(\alpha, t_{B}\right) \equiv b .
\]

В этом случае $\delta\left(t_{A}\right)=\delta\left(t_{B}\right)=0$.
Теорема.
Функция $q(t)$, соединяющая точки $A, B \in \mathbf{R}^{n+1}$, является решением уравнения Эйлера-Лагранжа с функцией $L^{\prime}(\dot{q}, q, t)$ тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала действия на пространстве кривых, соединяющих точки $A$ и $B$, т. е. для любой ее вариации с закрепленными концами соответствующая вариация функционала равна нулю.

Доказательство. Приравняем вариацию (3) к нулю, не забыв про (5). Условие экстремальности
\[
\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \cdot \delta(t)=0,
\]

для каждой функции $\delta(t)$, равной нулю при $t=t_{A}, t_{B}$. Положим
\[
\Lambda(t)=\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)_{q(t)} .
\]

Если $\Lambda(t) \equiv 0$, то (6) выполнено. Если $\Lambda(t)
eq 0$, то пусть
\[
\delta(t)=\left(t-t_{A}\right)\left(t_{B}-t\right) \Lambda(t) .
\]

Тогда интеграл (6) принимает вид
\[
\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(t-t_{A}\right)\left(t_{B}-t\right) \Lambda^{2}(t) d t>0,
\]
т. е. (6) не выполнено.

СНОВА ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
В теме 11 были доказаны следующие утверждения.
1. Если вместо лагранжиана $L$ взять лагранжиан $L=$ $=c L+d f(q, t) / d t$, то полученные уравнения эквивалентны исходным.
2. Пусть имеется замена переменных
\[
q=q^{*}(\xi, t), \quad \dot{q^{*}}=\frac{‘ \partial q^{*}}{\partial \xi} \dot{\xi}+\frac{\partial q^{*}}{\partial t},
\]

и новый лагранжиан $L^{*}(\dot{\xi}, \xi, t)=L\left(\dot{q}^{*}(\xi, \xi, t), q^{*}(\xi, t), t\right)$. Тогда соответствующие уравнения Лагранжа эквивалентны исходным.

Второе доказательство 1: $\tilde{W}[q(t)]=c \mathbb{W}[q(t)]+f(B)-f(A)$, так что экстремали у обоих функционалов одни и те же.

Второе доказательство 2: Рассмотрим соответствие $\quad \xi(t) \leftrightarrow$ $\leftrightarrow q(t)=q^{*}(\xi(t), t)$; тогда $W^{*}[\xi(t)]=W[q(t)]$, так что и экстремали переходят в экстремали.

ВАРЬИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ
Пусть наряду с лагранжианом $L(\dot{q}, q, t)$ заданы связи
\[
f_{k}(q, t)=0, \quad k=1, \ldots, r,
\]

причем $f(A)=f(B)$. Все кривые, соединяющие $A$ и $B$, должны удовлетворять условию
\[
f_{k}(q(t), t)=0 .
\]

Это же условие войдет и в определение вариации: $f_{k}(q(\alpha, t), t) \equiv$ $\equiv 0$. Если концы закреплены, то соответствующая вариация функционала действия $W$ имеет вид
\[
\frac{\delta w}{\delta \alpha}=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\frac{\partial L}{\partial q}\right) \cdot \delta(t) d t,
\]

причем для $k=1, . ., r$
\[
\frac{\partial f_{k}}{\partial^{\prime} q} \cdot \delta(t) \equiv 0 .
\]

Если $\delta(t)$ удовлетворяет условиям (10), то существует вариация, удовлетворяющая связям, такая, что справедливо (4). Это следует из леммы о трансверсальных координатах ((11.40) — (11.41)). Теорема. Кривая $q(t)$, удовлетворяющая условию (8), является экстремалью функционала действия с закрепленными концами при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда существуют

функции $\lambda_{k}(t)$ (зависящие от $q(t)$ ) такие, что $q(t)$ есть экстремаль функционала
\[
W=\int_{t_{A}}^{t_{B}} \mathscr{L} d t=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(L-\sum_{k} \lambda_{k}(t) f_{k}\right) d t,
\]

рассматриваемого уже без связей. Эквивалентное условие: $q(t)$ есть решение уравнений Лагранжа, порожденных функцией $\mathscr{L}$ :
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\sum_{k} \lambda_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}},
\]
т. е. таких же, какие мы раньше писали для движений со связями. Таким образом, функции $\lambda_{k}(t)$ можно рассматривать как неопределенные множители Лагранжа для отыскания экстремалей при наличии связей (сравнить с методом Лагранжа отыскания условного экстремума функции).
Доказательство. Введем вектор-функции
\[
n_{k}(t)=\left.\left(\frac{\partial f_{k}}{\partial^{\prime} q}\right)\right|_{q(t)} .
\]

Существуют функции $\lambda_{k}(t)$ такие, что
\[
\Lambda(t)-\sum_{k} \lambda_{k}(t) n_{k}(t)
\]

удовлетворяет условиям (10). В самом деле, формальные скалярные произведения (12) с (11) должны иметь вид
\[
\Lambda \cdot n_{l}=\sum_{k} \lambda_{k} n_{k} \cdot n_{l} .
\]

Матрица $\left\|n_{k} \cdot n_{l}\right\|$ невырождена, так как $n_{k}$ линейно независимы, и потому $\lambda_{k}$ можно выразить из (13). Тогда для вариации
\[
\delta(t)=\left(t-t_{A}\right)\left(t_{B}-t\right)\left(\Lambda(t)-\Sigma \lambda_{k}(t) n_{k}(t)\right)
\]

имеем (подчеркнутое слагаемое равно нулю)
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta W}{\delta \alpha} & =\int_{t_{A}}^{t_{B}} \Lambda(t) \cdot \delta(t) d t-\int_{t_{A}}^{t_{B}} \Sigma \lambda_{k}(t) n_{k}(t) \cdot \delta(t) d t= \\
& =\int_{t_{A}}^{t_{B}}\left(t-t_{A}\right)\left(t_{B}-t\right)\left(\Lambda(t)-\Sigma \lambda_{k}(t) n_{k}(t)\right)^{2} d t .
\end{aligned}
\]

Вариации обоих функционалов совпадают при условии (10) и положительны для (14), если (12) $\equiv 0$. Остальное просто.

СИММЕТРИЯ
Говорят, что система с лагранжианом $L$ допускает симметрию,

если имеется зависящая от параметра $s$ замена переменных $q=$ $=q^{*}(s, \xi, t)$ такая, что
1) параметр $s$ существен в том смысле, что формулы замены явно от него зависят: $\partial q^{*} / \partial s
eq 0$;
2) преобразованный лагранжиан не зависит от $s$ :
\[
L_{s}^{*}(\dot{\xi}, \xi, t) \equiv L_{0}^{*}(\dot{\xi}, \xi, t) .
\]

Теорема Ли-Нетер. Если система с лагранжианом $L$ допускает симметрию, то имеется первый интеграл
\[
J=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial s_{i}} .
\]

Пример 1. Пусть $L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{k}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$, а замена переменных есть поворот осей:
\[
x=\xi \cos s-\eta \sin s, y=\xi \sin s+\eta \cos s .
\]

тогда $L_{s}^{*} \equiv \frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)+\frac{k}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)$, а первый интеграл
\[
\dot{J}=m \dot{x}(-\xi \sin s-\eta \cos s)+m \dot{y}(\xi \cos s-\eta \sin s)=m(x \dot{y}-y \dot{x})
\]

совпадает с интегралом площадей. Можно было бы выразить $\dot{x}$, $\dot{y}$ через $\dot{\xi}, \dot{\eta}$. Тогда $J=m(\xi \dot{\eta}-\eta \xi)$.

Пример 2. Если имеется игнорируемая (циклическая) переменная $q_{n}$, то положим $q_{i}=\xi_{i}, i=1, \ldots, n-1, q_{n}=\xi_{n}+s$. Соответствующий интеграл
\[
J=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{d q_{i}}{d s}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}} \frac{d q_{n}}{d s}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}
\]

совпадает с кинестеническим (циклическим). (Кстати, справедливо и обратное утверждение: интеграл (15) можно представить как кинестенический в некоторой системе координат.)

Доказательство теоремы. Пусть $\xi(t)$ — решение уравнений Лагранжа с лагранжианом $L_{0} *$. Тогда при каждом $s$ функция $q(s, t)=q^{*}(s, \xi(t), t)$ будет решением уравнений Лагранжа с функцией $L(\dot{q}, q, t)$, и при этом действие $w(s)=W[q(s, t)]=$ $=W^{r}[\xi(t)]$ не зависит от $s$. Дифференцируя $W$ по $s$, имеем по формуле (3)
\[
\frac{\delta w}{\delta s}=\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\delta q}{\delta s}\right|_{t_{A}} ^{t_{B}}=0, \quad \frac{\delta q}{\delta s}=\frac{\partial q}{\partial s},
\]

так что
\[
\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\partial q}{\partial s}\right|_{t_{B}}=\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{\partial q}{\partial s}\right|_{t_{A}},
\]

а это означает, что $J$ — первый интеграл.

Общая концепция, связывающая наличие интеграла с определенными свойствами симметрии системы, принадлежит С. Ли (мы дадим предєтавление о ней в теме 17), а конкретный вид интеграла для систем, описываемых уравнениями типа Эйлера-Лагранжа и обладающих известной симметрией, получен Э. Нетер.

Обычно от преобразований $q=q^{*}(\xi, s, t)$ требуют (иногда по традиции, иногда с дальним прицелом) выполнения групповых свойств:
a) при $s=0$ получается $q=\xi$;
б) хотя бы локально $q^{*}\left(s_{2}, q^{*}\left(s_{1}, \xi\right)\right)=q^{*}\left(s_{1}+s_{2}, \xi\right)$. В этом случае интеграл $J$ не зависит от $s$, и дифференцировать по $s$ достаточно только при $s=0$. Привлекательные черты такого положения вещей очевидны, но сам факт существования интеграла справедлив без предположения о групповом свойстве. Можно представить себе замены, при разных $s=s_{1}, s_{2}$ дающие независимые интегралы $J_{1}, J_{2}$.

Ясно, что теорема Ли-Нетер верна и при наличии связей: дополнительно надо потребовать, чтобы $f_{k}{ }^{*}$ не зависели от $s$. Таким образом, наличие симметрии можно устанавливать, не вводя определяющих координат.