Наша цель – приблизить к формализму Лагранжа механические модели с непотенциальными силами. Введем в рассмотрение
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Пока что от $T(\dot{q}, q, t)$ требуется лишь, чтобы
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}^{2}}
eq 0 \text {. }
\]

Функции $Q_{i}(\dot{q}, q, t)$ называются обобщенными силами. Смысл термина скоро станет яснее, а пока что проведем формальный анализ. Если имеется замена переменных
\[
q=q^{*}(\xi, t), \quad \dot{q}=\frac{‘ \partial q}{\partial \xi} \dot{\xi}+\frac{‘ \partial q}{\partial t},
\]

то преобразованным в силу нее уравнениям (1) можно снова придать вид универсальных уравнений Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\Xi_{\alpha}(\dot{\xi}, \xi, t), \quad \alpha=1, \ldots, n .
\]

Докажем это. Левые части уравнений (1) преобразуются по ко-

векторному правилу (это мы уже знаем):
\[
\left[T^{*}\right]_{\xi_{\alpha}}=\sum_{i} \frac{\partial \dot{q}_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}\left[[T]_{a_{i}}^{*} .\right.
\]

Чтобы этому последовали также правые части, введем в рассмотрение (в принципе зависящую от времени $t$ ) дифференциальную форму на пространстве $\dot{q}, q$ вида
\[
\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\Sigma}_{i} Q_{i}(q, q, t) \delta q_{i} .
\]

Здесь написано $\delta q_{i}$ вместо обычных $d q_{i}$ потому, что $\dot{q}_{i}=d q_{i} / d t$, так что символ $d q_{i}$ уже занят. Кроме того, сейчас мы считаем $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}$ независимыми переменными, и потому дифференциалы $\delta q_{i}$ и $\delta \dot{q}_{i}$ также независимы (как $\delta x$ и $\delta y$ на плоскости). Последние, т. е. $\delta \dot{q}_{i}$, в выражении $\beta$ не участвуют, так что мы имеем форму отнюдь не самого общего вида. Формы такого вида называются базовыми. Отметим также, что время $t$, фигурирующее в выражении $\beta$, рассматривается как параметр, который хотя произвольно, но фиксируется. Если есть замена переменных, то
\[
\delta q_{i}=\sum_{\alpha} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{\alpha}} \delta \xi_{\alpha}
\]
(по $t$ дифференцирования нет, так как время, повторяем, произвольно фиксируется). Выражение вида (4) называют изохронным дифференциалом функции $q_{i}{ }^{*}(\xi, t)$.

Лемма. Коэффициенты базовой формы при подстановке изохронных дифференциалов формул замены переменных преобразуются по конвекторному правилу.
Это утверждение тривиально по форме:
\[
\begin{array}{c}
\beta=\sum_{i} Q_{i} \delta q_{i}=\sum_{i, \alpha} Q_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{\alpha}} \delta \xi_{\alpha}=\sum_{\alpha} \Xi_{\alpha} \delta \xi_{\alpha} \rightarrow \\
\Rightarrow \Xi_{\alpha}=\sum_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{\alpha}} Q_{i},
\end{array}
\]

однако важно по сути. Чтобы получить правые части преобразованных уравнений (получать левые из преобразованной функции $T$ мы уже умеем), надо составить базовую форму $\beta$, подставить в нее формулы замены и их изохронные дифференциалы и собрать коэффициенты при $\delta \xi_{\alpha}$. Они и будут искомыми функциями $\Xi \alpha$. Такое правило легче запомнить, нежели (5).

Итак, уравнения (2) получены, причем даже указан способ вычисления правых частей.

Примером универсальных уравнений Лагранжа являются и уравнения Ньютона для системы свободных точек:
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=\mathbf{F}_{i} \Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\mathbf{r}}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}_{i}}=\mathbf{F}_{i}, T=\frac{1}{2} \Sigma m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}^{2} .
\]

и система уравнений при наличии связей: вместо $T$ надо взять
\[
\mathscr{T}=T+\sum_{k=1}^{r} \lambda_{k} f_{k}
\]

и проделать те же выкладки, что и после (11.30), оставляя $\mathbf{F}_{i}$ в правых частях в роли обобщенных сил. Переход к локальным координатам на многообразии положений опишем с несколько более общих позиций, которые уже выработались у нас при изложении вариационных принципов.
Теорема. Пусть имеется система уравнений вида
\[
\left\{\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}} & =Q_{i}+\sum_{k} \lambda_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}, \\
f_{k}(q, t) & =0, \quad k=1, \ldots, r
\end{aligned}\right.
\]
$u \xi_{1}, \ldots, \xi_{m}$ – локальные координаты на многообразии $\mathfrak{P}=\left\{\mathfrak{f}_{k}=0\right\}$, так что $q=q^{*}(\xi, t)$. Тогда решения системы (6) находятся во взаимно-однозначном соответствии с решениями $\xi_{1}(t), \ldots, \xi_{m}(t)$ системы универсальных уравнений Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\Xi_{\alpha}
\]

причем справедливо тождество
\[
\sum_{a} \Xi_{\alpha} \delta \xi \alpha=\sum_{i} Q_{i} \delta q_{i}
\]

после подстановки формул $q=q^{*}(\xi, t)$ и их изохронных дифференциалов в правую часть этого равенства.

Доказательство повторяет рассуждения соответствующей теоремы из темы 11 с учетом конвекторного правила преобразования обобщенных сил, описанного только что выше (в нем не использовалась невырожденность замены).
Будем говорить, что обобщенные силы $Q_{i}$ допускают

ОБОБЩЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ,

если имеют место тождества (не путать с уравнениями движения!)
\[
Q_{i} \equiv \frac{d}{d t} \frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial W}{\partial q_{i}}=[W]_{q_{i}},
\]

где $W=W(\dot{q}, q, t)$, т. е. обобщенные силы являются ступенчатыми производными одной и той же функции. Ясно, что в этом случае универсальные уравнения Лагранжа принимают вид обычных уравнений Эйлера – Лагранжа:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, L=T-W .
\]

Силы $Q_{i}$ не зависят от ускорений $\ddot{q}_{i}$. Поэтому частные производные $\partial W / \partial \dot{q}_{i}$ – те, что подвергаются взятию полной производной

по времени, – не должны зависеть от $\dot{q}$. Отсюда
\[
W=W_{0}(q, t)+\sum_{i} W_{i}(q, t) \dot{q}_{i} .
\]

В частности, силы называются просто потенциальными, когда
\[
Q_{i}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, \quad V=V(q, t) .
\]

Заметим, что в силу конвекторного правила преобразования свойство обобщенной потенциальности (простой потенциальности) не зависит от выбора переменных и сохраняется после наложения связей. Обобщенный потенциал определен с точностью до прибавления полной производной $d f(q, t) / d t$ и выдерживает любые замены переменных.

Пример 1. Сила Лоренца, действующая на заряд в электромагнитном поле, обобщенно потенциальна. Более подробно,
\[
\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]\right),
\]

где напряженность электрического поля $\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ и индукция магнитного поля $\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)$ в силу уравнений Максвелла даются формулами:
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}, \mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},
\]

где $\varphi(\mathbf{r}, t), \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)$ – скалярный и векторный потенциалы. Покажем, что обобщенный потенциал силы Лоренца имеет вид
\[
\begin{array}{c}
W=q\left[\varphi-\frac{1}{c}(\mathbf{v}, \mathbf{A})\right]=q \varphi(x, y, z, t)- \\
-(q / c)\left(\dot{x} A_{x}+\dot{y} A_{y}+\dot{z} A_{z}\right) .
\end{array}
\]

В самом деле, ее первая компонента
\[
\begin{array}{c}
X=q E_{x}+\frac{q}{c}\left(y B_{z}-\dot{z} B_{y}\right)= \\
=q\left[-\frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{1}{c} \frac{\partial A_{x}}{\partial t}+\frac{1}{c}\left(-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}+\frac{\partial A_{y}}{\partial x}\right) \dot{y}+\frac{1}{c}\left(\frac{\partial A_{z}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial z}\right) \dot{z}\right] .
\end{array}
\]

Осталось сравнить с (11.21) и (11.22).
В частности, для $\mathbf{E}=0$ и $\mathbf{B}=\mathbf{B e}_{z}=$ const
\[
W=-\frac{q B}{2 c}(x \dot{y}-y \dot{x})=-\frac{q B}{2 c} r^{2} \dot{\varphi} .
\]

Впрочем, в качестве обобщенного потенциала можно взять также
\[
W=\frac{q B}{c} \dot{x} y .
\]

Эти варианты отличаются на $\frac{d}{d t}(x y)$ с множителем.
Пример 2. Силы инерции, действующие на точку в неинерциальной системе координат, обобщенно потенциальны.

Для доказательства рассмотрим лагранжиан свободной материальной точки в неподвижной системе $O x y z$ и перепишем его в подвижной системе отсчета $A \xi \eta \zeta$ :
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{m}{2}\left(\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)^{2}=\frac{1}{2} m\left(\mathbf{v}_{A}+[\omega \times \boldsymbol{\rho}]+\frac{\delta \rho}{\delta t}\right)^{2}= \\
=\frac{m}{2}\left(\frac{\delta \rho}{\delta t}\right)^{2}+\frac{m}{2}\left(\mathbf{v}_{A}+[\omega \times \boldsymbol{\rho}]\right)^{2}+m\left(\mathbf{v}+[\omega \times \boldsymbol{\rho}], \frac{\delta \rho}{\delta t}\right) .
\end{array}
\]

Последние два слагаемых, взятые с обратным знаком, дадут обобщенный потенциал сил инерции. Если в неинерциальной системе координат движутся несколько точек, то обобщенные потенциалы сил инерции, естественно, суммируются.