Напомним некоторые сведения из курса дифференциальной геометрии. Пусть $\mathfrak{M}$ – гладкое многообразие с локальными координатами $z_{1}, \ldots, z_{k}$ (его можно представить себе в виде поверхности в пространстве). Если в § 3 мы записывали касательный вектор в виде $\mathbf{v}=\Sigma v_{i} \frac{\partial \mathbf{r}}{o q_{i}}$, то теперь будем писать более условно:
\[
\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{k} v_{i} \frac{\partial}{\partial z_{i}} .
\]
Смысл такой записи в том, что задание отдельного вектора или векторного поля равносильно заданию дифференцирования гладких функций $f\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right)$ вдоль этого вектора или поля. А именно,
\[
\mathbf{v}(f)=\sum_{i} v_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}
\]
есть производная функции $f$ вдоль (1). Қаждому векторному полю $\mathbf{v}(z)$ отвечает его фазовый поток $g_{\mathrm{v}}^{t}$ : по определению $g_{\mathrm{v}}^{t}(z)$ есть решение системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=v_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right)
\]
с начальным условием $g_{\mathbf{v}}^{0}(z)=z$. Фазовый поток обладает груп-
повым свойством:
\[
g^{t_{2}}\left(g^{t_{1}}(z)\right)=g^{t_{1}+t_{2}}(z) .
\]
Отсюда еще один термин: $g_{\mathbf{v}}^{t}$ есть однопараметрическая группа, порожденная полем $\mathbf{v}$.
О локальности. Следует иметь в виду, что за некоторое время $t$ точка $g_{\mathbf{v}}^{t}(z)$ может выйти за пределы той области на $\mathfrak{M}$, в которой определены координаты $z_{1}, \ldots, z_{k}$. Эта тонкость несущественна в следующем смысле: на деле фазовый поток как отображение $\mathfrak{N}$ в себе не зависит от выбора локальных координат (на доказательстве останавливаться не будем). Еще одна тонкость состоит в том, что векторное поле $\mathbf{v}$ может быть стеснено: не все решения системы определены при – $<t<\infty$ даже после неограниченного продолжения их в других системах координат. Поэтому более строго было бы говорить о локальном фазовом потоке: для каждого $z$ точка $g_{t}(z)$ определена лишь для достаточно малых $t$. (Соответственно о выполнении группового свойства имеет смысл говорить лишь тогда, когда определены правая и левая части равенства (3).) Для большинства дальнейших рассуждений этого вполне достаточно. В ряде случаев нестесненность векторных полей существенна – тогда мы будем ее оговаривать. Когда многообразие $\mathfrak{M}$ компактно, то на нем все векторные поля не стеснены.
Если и и v – два векторных поля, то их скобка Ли
\[
[\mathbf{u}, \mathbf{v}](f)=\mathbf{v}(\mathbf{u}(f))-\mathbf{u}(\mathbf{v}(f))
\]
есть новое векторное поле. Свойства скобки Ли:
1) кососимметричность: $[\mathbf{u}, \mathbf{v}]=-[\mathbf{v}, \mathbf{u}]$;
2) линейность над $\mathbf{R}$;
3) тождество Якоби:
\[
[[\mathbf{u}, \mathbf{v}], \mathbf{w}]+[[\mathbf{w}, \mathbf{u}], \mathbf{v}]+[[\mathbf{v}, \mathbf{w}], \mathbf{u}] \equiv 0 .
\]
Таким образом, гладкие векторные поля образуют алгебру Ли.
Если $[\mathbf{u}, \mathbf{v}] \equiv 0$, это означает, что фазовые потоки этих полей
Основное свойство коммутирующих полей. Если
\[
\left[\mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{i}\right] \equiv 0, \quad i, j=1, \ldots, l \leqslant k,
\]
то существуют локальные координаты $\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}$ такие, что
\[
\mathbf{u}_{i}=\frac{\partial}{\partial \xi_{i}}, i=1, \ldots, l \leqslant k
\]
(тогда поток поля $\mathbf{u}_{i}$ есть сдвиг по координате $\xi_{i}$ ).
Дифференциальными формами называются кососимметрические тензоры ранга $m$ (полилинейные функции $m$ векторных аргументов) :
\[
\theta=\sum_{i_{1}<\ldots<i_{m}} \theta_{i_{1} \ldots i_{m}} d z_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge d z_{i_{m}} .
\]
Нам потребуются лишь 1- и 2-формы (и один раз – 3-форма, тождественно равная нулю) :
a) при $m=1$ форма называется также ковекторным полем и записывается в виде
\[
\omega=\Sigma \omega^{i} d z_{i}
\]
если $\mathbf{u}=\Sigma u_{i} \frac{\partial}{\partial z_{i}}-$ векторное поле, то
\[
\omega(\mathbf{u})=\Sigma \omega^{i} u_{i}
\]
в частности,
\[
\omega=d f=\sum \frac{\partial f}{\partial z_{i}} d z_{i} \Rightarrow d f(\mathbf{u})=\mathbf{u}(f) ;
\]
б) при $m=2$ форма записывается в виде
\[
\Omega=\sum_{i<j} \Omega_{i j} d z_{i} \wedge d z_{i}
\]
для базисных 2-форм имеем
\[
\left(d z_{i} \wedge d z_{j}\right)(\mathbf{u}, \mathbf{v})=u_{i} v_{j}-v_{i} u_{j}
\]
(впрочем, это зависит уже от соглашения: авторы многих руководств пишут справа множитель $1 / 2$, а в выражении (7) снимают неравенство $i<j$ и добавляют условие $\Omega_{i j}=-\Omega_{i i}$ ).
Операция внешнего дифференцирования:
\[
d \theta=\sum_{i_{1}<\ldots<i_{m+1}}\left[\sum_{i}(-1)^{i+1} \frac{\partial \mathbf{\theta}_{i_{1}, \ldots, i_{j-1}, i_{j+1}, \ldots, i_{m+1}}}{\partial z_{j}}\right] d z_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge d z_{i_{m+1}},
\]
в частности, при $m=1$
\[
d \omega=\sum_{i<j}\left(\frac{\partial \omega_{j}}{\partial z_{i}}-\frac{\partial \omega_{i}}{\partial z_{j}}\right) d z_{i} \wedge d z_{j} .
\]
Формы можно интегрировать по ориентированным $m$-мерным поверхностям (в частности, 1 -формы по кривым).
$\Phi$ ормула Стокса. Если $\Theta=d \Theta^{\prime}$, то
\[
\int_{\sigma^{m}} d \theta^{\prime}=\int_{\partial \sigma^{m}} \theta^{\prime},
\]
где $\partial \sigma^{m}-(m-1)$-мерная ориентированная граница поверхности $\sigma^{m}$. В частности,
\[
\begin{array}{c}
\int_{A \widetilde{B}} d f=f(B)-f(A), \\
\int_{\sigma^{2}} \sum_{i<j}\left(\frac{\partial \omega_{j}}{\partial z_{i}}-\frac{\partial \omega_{i}}{\partial z_{j}}\right) d z_{i} \wedge d z_{j}=\oint_{\gamma=\partial \sigma^{2}} \sum_{i} \omega^{i} d z_{i} .
\end{array}
\]
Лемма Пуанкаре. Если форма $\Theta$ замкнута: $d \Theta=0$, то она локально (в некоторой окрестности каждой точки) точна: $\Theta=d \Theta^{\prime}$.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ.
Каноническим, или симплектическим многообразием называется пара $\left(\mathbf{M}^{2 n}, \Omega\right)$, где $\boldsymbol{M}^{2 n}-2 n$-мерное гладкое многообразие, а $\Omega(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ заданная на всем $\mathbf{M}^{2 n}$, невырожденная –
(K1) $\Omega(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0$ для всех $\mathbf{a}$, только если $\mathbf{b}=0$, замкнутая –
(K2) $d \Omega \equiv 0$,
2-форма, называемая канонической структурой.
Упражнение. Пусть в локальных координатах $z_{1}, \ldots, z_{2 n}$
\[
\Omega=\sum_{i<j} \Omega_{i j} d z_{i} \wedge d z_{j}
\]
Представим эту форму в виде
\[
\Omega=\frac{1}{2} \sum_{i, j} \Omega_{i j} d z_{i} \wedge d z_{j}, \quad \Omega_{j i}=-\Omega_{i j} .
\]
Доказать, что (K1), (K2) эквивалентны требованиям
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{det}\left\|\Omega_{i j}\right\|_{i}
eq 0, \\
\frac{\partial \Omega_{i j}}{\partial z_{k}}+\frac{\partial \Omega_{k i}}{\partial z_{j}}+\frac{\partial \Omega_{j k}}{\partial z_{i}} \equiv 0 .
\end{array}
\]
ГАМИЛЬТОНОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Лемма. Для любой гладкой функции $H: \mathbf{M}^{2 n} \rightarrow \mathbf{R}$ существует векторное поле $\stackrel{t}{H}$ такое, что для всякого касательного вектора b
\[
d H(\mathbf{b})=\Omega(\overleftarrow{H}, \mathbf{b})
\]
(оно называется гамильтоновым, порожденным функцией $H$ ).
Доказательство. Каноническая структура на $\boldsymbol{M}^{2 n}$ устанавливает изоморфизм между пространствами векторных полей и дифференциальных форм на $\mathbf{M}^{2 n}$. Векторному полю а ставится в соответствие 1 -форма $\Omega^{\mathrm{a}}$, определяемая соотношением
\[
\Omega^{\mathbf{a}}(\mathbf{b})=\Omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) .
\]
Это линейное соответствие взаимно-однозначно: если
\[
\left(\Omega^{\mathbf{a}_{1}}-\Omega^{\mathbf{a}_{2}}\right)(\mathbf{b})=\Omega\left(\mathbf{a}_{1}-\mathbf{a}_{2}, \mathbf{b}\right)=0 \text {, то } \mathbf{a}_{1}=\mathbf{a}_{2}
\]
в силу невырожденности. Поскольку пространства векторов и ковекторов в каждой точке имеют равные размерности, имеется обратное отображение; в частности, ковекторному полю $d H$ соответствует искомое векторное поле $\stackrel{\leftarrow}{H}_{\text {(короче, }} \Omega^{\overleftarrow{H}}=d H$ ).
В локальных координатах положим
\[
\mathbf{a}=\sum_{i=1}^{2 n} A_{i} \frac{\partial}{\partial z_{i}}, \quad \mathbf{b}=\sum_{i=1}^{2 n} B_{i} \frac{\partial}{\partial z_{i}}, \quad \stackrel{H}{H}=\sum_{i=1}^{2 n} Z_{i} \frac{\partial}{\partial z_{i}} ;
\]
тогда в силу (8) и (10) последовательно имеем
\[
\begin{array}{c}
\Omega(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\sum_{i, j} \Omega_{i j} A_{i} B_{j}, \quad \Omega^{\mathbf{a}}=\sum_{j}\left(\sum_{i} \Omega_{i j} A_{i}\right)^{\prime} d z_{i}, \\
\Omega^{\overleftarrow{H}}=\sum_{i}\left(\sum_{i} \Omega_{i j} Z_{i}\right) d z_{i}=\sum_{j} \frac{\partial H}{\partial z_{j}} d z_{j}=d H,
\end{array}
\]
что приводит к матричному выражению
\[
\left(\begin{array}{c}
Z_{1} \\
\cdot \\
Z_{2 n}
\end{array}\right)=\mathbf{J}\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial z_{1}} \\
\cdot \\
\cdot \\
\frac{\partial H}{\partial z_{2 n}}
\end{array}\right),
\]
где $\mathbf{J}=-\left\|\Omega_{i j}\right\|^{-1}$. Знак минус появился оттого, что в выражении для $\Omega^{\mathbf{a}}$ суммирование во внутренней скобке идет по первому индексу: это соответствует умножению вектора-столбца $A$ на матрицу $\left\|\Omega_{i j}\right\|^{*}=-\left\|\Omega_{i j}\right\|$.
СКОБКА ПУАССОНА. Сейчас мы даем определение заново, и лишь позднее придем к прочтению этого термина в духе $\S 16$. Обозначение будет тем же самым. Положим
\[
(F, G)=\Omega \stackrel{\leftarrow}{(F,} \stackrel{\leftarrow}{G})
\]
В силу (6) и (12)
\[
(F, G)=\stackrel{\leftarrow}{G}(F),
\]
так что в локальных координатах
\[
(F, G)=\left(\frac{\partial F}{\partial z_{1}}, \ldots, \frac{\partial^{F}}{\partial z_{2 n}}\right) J\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial G}{\partial z_{1}} \\
\cdot \\
\cdot \\
\frac{\partial G}{\partial z_{2 n}}
\end{array}\right) .
\]
Отсюда – матрица базисных скобок Пуассона:
\[
J=\left\|\left(z_{i}, z_{i}\right)\right\| .
\]
Очевидно, что скобка Пуассона здесь, как и в $\S 16$, кососимметрична и линейна по каждому функциональному аргументу.
Теорема. (а) Справедливо тождество Пуассона
\[
(F,(G, H))+(G,(H, F))+(H,(F, G)) \equiv 0 .
\]
(б) Скобка Ли векторных полей $\stackrel{\leftarrow}{F}, \stackrel{\leftarrow}{G}$ порождается скобкой Пуассона функций $F, G$ :
\[
[\overleftarrow{F}, \overleftarrow{G}]=(\overleftarrow{F, G)}
\]
247
Доказательство. Пока еще не полученное тождество (18) перепишем:
\[
\left.\begin{array}{l}
((H, F), G)-((H, G), F)=(H,(F, G)), \\
\overleftarrow{G}(\overleftarrow{F}(H))-\stackrel{\leftarrow}{F}(\stackrel{\leftarrow}{G}(H))=(H,(F, G)), \\
{[\overleftarrow{F}, \overleftarrow{G}](H)=(\stackrel{\leftarrow}{F}, G)(H) .}
\end{array}\right\}
\]
В левую часть (18) входят слагаемые четырех сортов:
\[
\begin{array}{ll}
J \frac{\partial J}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial G}{\partial z} \frac{\partial H}{\partial z}, & J J \frac{\partial J}{\partial z} \frac{\partial H}{\partial z} \frac{\partial^{2} F}{\partial \partial z} \\
J J \frac{\partial H}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial^{2} G}{\partial z \partial z}, & J J \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial \Im}{\partial z} \frac{\partial^{2} H}{\partial z \partial z}
\end{array}
\]
(индексы для краткости опущены). Все слагаемые последнего сорта (со вторыми производными $H$ ) поначалу стояли в левой части (20). После преобразований оказалось, что слева стоит производная функции $H$ вдоль некоторого векторного поля, которая зависит только от первых производных. Следовательно, слагаемые последнего сорта взаимно уничтожаются. То же касается и слагаемых со вторыми производными $F$ и $G$. Приходим к тому, что в левой части (18) стоят слагаемые только первого сорта. Более конкретно:
\[
\begin{array}{c}
((F, G), H)+((H, F), G)+((G, H), F)= \\
=\sum_{a, b}^{2 n}\left[\left(\left(z_{a}, z_{b}\right), z_{c}\right)+\left(\left(z_{c}, z_{a}\right), z_{b}\right)+\left(\left(z_{b}, z_{c}\right), z_{a}\right)\right] \frac{\partial F}{\partial z_{a}} \frac{\partial G}{\partial z_{b}} \frac{\partial H}{\partial z_{c}},
\end{array}
\]
так как в силу (16) и (17)
\[
(F, G)=\sum_{a, b}\left(z_{a}, z_{b}\right) \frac{\partial F}{\partial z_{a}} \frac{\partial G}{\partial z_{b}} .
\]
Выражение в квадратных скобках равно
\[
\sum_{m}\left(\frac{\partial J_{a b}}{\partial z_{m}} J_{c m}+\frac{\partial J_{c a}}{\partial z_{m}} J_{m b}+\frac{\partial J_{b c}}{\partial z_{m}} J_{m a}\right) \equiv 0 .
\]
Чтобы убедиться в последнем, продифференцируем тождество $\sum_{i} J_{i l} \Omega_{l j}=\delta_{i j}$ и получим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i} \Omega_{i l} \frac{\partial J_{l i}}{\partial z_{k}}+\sum_{l} J_{i l} \frac{\partial Q_{l j}}{\partial z_{k}}=0 \\
\sum_{a, b} \Omega_{a i} \Omega_{j b} \frac{\partial J_{b l}}{\partial z_{k}}+\frac{\partial \Omega_{a j}}{\partial z_{k}}=0 \\
\sum_{a, b, m} \Omega_{i a} \Omega_{j b} \delta_{k m} \frac{\partial J_{a b}}{\partial z_{m}}+\frac{\partial \Omega_{i j}}{\partial z_{k}}=0
\end{array}
\]
\[
\sum_{a, b, c} \Omega_{i a} \Omega_{j b} \Omega_{k c}\left(\sum_{m} J_{c m} \frac{\partial J_{a b}}{\partial z_{m}}\right)+\frac{\partial \Omega_{i j}}{\partial z_{k}}=0 .
\]
Осталось сослаться на (11б) и (11a).
Установив тождество (18), видим теперь, что третья строчка в (20) доказывает (19).
Следствие. Если $(F, G) \equiv$ const, то поля $\stackrel{\leftarrow}{F} \overleftarrow{G}$ коммутируют.
Примечания к теореме: 1) как и в $\S 16$, гладкие функции образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона; отображение $\chi(F)=\stackrel{\leftarrow}{F}$ есть гомоморфизм ее в алгебру векторных полей; 2) если $J=$ const, то доказательство (18) сводится к рассуждению о вторых производных. Это ситуация § 16 .
ФУНКЦИИ В ИНВОЛЮЦИИ. Как и в § 16, это функции, скобка Пуассона которых тождественно равна нулю. Если $(F, G) \equiv 0$, то мы снова можем констатировать, что функция $F$ есть первый интеграл поля $\stackrel{\leftarrow}{G}$ (и наоборот) в силу (15).
Теорема о фазовых торах. Если есть $n$ независимых функций $F_{i}$, попарно находящихся в инволюции, то всякая неособая связная компактная компонента $\mathbf{L}_{c}$ их совместного уровня
\[
\left\{F_{1}=c_{1}, \ldots, F_{n}=c_{n}\right\}
\]
диффеоморфна $n$-мерному тору $\mathbf{T}^{n}$.
Здесь «неособая» значит, что
\[
\text { rang } \frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)}{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)}=n
\]
в каждой точке этой компоненты, так что $\mathbf{L}_{c}$ есть подмногообразие в $\mathbf{M}^{2 n}$ размерности $2 n-n=n$. Это ситуация «общего положения». Идейную нагрузку несет лишь условие компактности. В некотором смысле можно сказать, что сформулированная теорема описывает «достаточно типичный» феномен.
Доказательство. Условие $\left(F_{i}, F_{j}\right) \equiv 0$ имеет два последствия: во-первых, $\left[\overleftarrow{F_{i}}, \overleftarrow{F_{j}}\right] \equiv 0$, так что все векторные поля $\overleftarrow{F}_{i}$ коммутируют; во-вторых, $F_{i}\left(F_{j}\right) \equiv 0$, так что все они касаются $\mathbf{L}_{c}$. Таким образом, на компактном $n$-мерном многообразии $\mathbf{L}_{c}$ есть же линейно независимы в каждой точке в силу (21). Отсюда вытекает, что $\mathbf{L}_{c}$ диффеоморфен $n$-мерному тору $\mathbf{T}^{n}$. Дальнейшие рассуждения, в сущности, лежат уже вне гамильтонова формализма и составляют доказательство только что высказанного утверждения.
1. Пусть $z_{0} \in \mathbf{L}_{c} ;$ положим
\[
g^{s}\left(z_{0}\right)=g_{F_{n}}^{s_{n}} \cdot \ldots \cdot g_{F_{1}}^{s_{1}}\left(z_{0}\right) .
\]
Поскольку потоки $g_{F_{i}}^{s_{i}}$ коммутируют, имеем групповое свойство:
\[
g^{s+s^{\prime}}=g^{s} \circ g^{s^{\prime}} .
\]
2. Отображение
\[
h(s)=g^{s}\left(z_{0}\right), \quad h: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{L}_{c},
\]
является локальным диффеоморфизмом. В силу группового свойства локальную взаимную однозначность достаточно доказать в окрестности $s=0$, а это очевидно в силу основного свойства коммутирующих полей: собственно, $s=\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)=h^{-1}(z)$ суть те самые координаты, в которых $\overleftarrow{\digamma}_{i}=\frac{\partial}{\partial s_{i}}$. Наконец, множество $h\left[\mathbf{R}^{n}\right]$ одновременно замкнуто и открыто, так что совпадает с $\mathbf{L}_{c}$.
3. В целом отображение $h$ не взаимно-однозначно. Мерой неоднозначности является множество $G=\left\{s: g^{s}\left(z_{0}\right)=z_{0}\right\}$, которое, очевидно, есть некоторая подгруппа аддитивной группы $\mathbf{R}_{n}$. Иными словами,
\[
s, s^{\prime} \in G \Rightarrow s+s^{\prime} \in G .
\]
4. В силу сказанного в п. 2 множество $G$ дискретно. Это значит, что всякая ограниченная область в $\mathbf{R}^{n}$ содержит лишь конечное число элементов $G$. Отсюда и из (22) вытекает, что $G$ счетно.
5. Существуют векторы
\[
\xi_{1}, \ldots, \xi_{k} \in G, k \leqslant n,
\]
такие, что
\[
G=\left\{m_{1} \xi_{1}+\ldots+m_{k} \xi_{k}, m_{i} \in \mathbf{Z}\right\} .
\]
C точки зрения теории групп $\mathbf{G}$ изоморфна прямому произведению $k$ экземпляров группы целых чисел $\mathbf{Z}$. Отложим обоснование этого утверждения, чтобы поскорее получить тор.
6. Дополним множество $\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}$ до базиса $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, положим $\xi_{\alpha}=\sum \xi_{\alpha i} e_{i}$ и введем на $\mathbf{L}_{c}$ векторные поля
\[
X_{\alpha}=\sum_{i} \frac{1}{2 \pi} \xi_{\alpha i} \stackrel{\leftarrow}{F}_{i} .
\]
Эти поля, очевидно, коммутируют и линейно независимы. При $\alpha \leqslant k$ их фазовые потоки $g_{X^{\alpha}}^{\varphi_{\alpha}}$ обладают свойством периодичности:
\[
g_{X_{\alpha}}^{2 \pi}=g^{\circ}{ }_{X_{\alpha}} .
\]
Из построения $2-3$ видно, что точки $\mathbf{L}_{c}$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с точками фактор-группы $\mathbf{R}^{n} / G$, т. е. множества
\[
\mathbf{T}^{k} \times \mathbf{R}^{n-k}=\left\{\varphi_{1} \bmod 2 \pi, \ldots, \varphi_{k} \bmod 2 \pi, \psi_{k+1}, \ldots, \psi_{n}\right\} .
\]
Это соответствие является, очевидно, гладким (поскольку оно линейно в локальных координатах $s_{i}$ на $\mathbf{L}_{c}$ ). Множество $\mathbf{T}^{k} \times \mathbf{R}^{n-k}$ компактно только при $k=n$, что и требовалось.
7. Теперь докажем утверждение п. 5. В этом пункте будут использованы два стандартных обозначения: $[\gamma]$ есть целая часть, $\{\gamma\}$ – дробная часть числа $\gamma$. Пусть $k$ – максимальное число линейно независимых элементов $G$; не уменьшая общности, можно считать, что эти элементы суть $e_{1}, \ldots, e_{k}$. Это позволяет вести рассмотрение просто в $k$-мерном пространстве; теперь $G \subset \mathbf{R}^{k}$. Если $g=\left(g_{1}, \ldots, g_{k}\right) \in G$, то $\left(\left\{g_{1}\right\}, \ldots,\left\{g_{k}\right\}\right) \in G$ и лежит в единичном кубе. Но в силу дискретности $G$ в нем лежат лишь конечное число элементов: поэтому существуют целые $l
eq m$ такие, что
\[
\left\{\lg _{i}\right\}=\left\{m g_{i}\right\},
\]
или $(l-m) g_{i}=\left[l g_{i}\right]-\left[m g_{i}\right]$. Отсюда следует, что $g_{i}$ – рациональные числа. Более того, они имеют общий знаменатель $N$ в силу дискретности. Объем параллелепипеда, построенного на любых $k$ линейно независимых векторах $\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}$ из группы, не меньше $1 / N^{k}$. Поэтому существуют такие наборы векторов, у которых этот объем минимален. Это и будут искомые: если элемент $g=\Sigma \gamma_{i} \xi_{i}$, $0 \leqslant \gamma_{i} \leqslant 1$, то, например,
\[
\operatorname{vol}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k-1}, g\right)=\gamma_{k} \operatorname{vol}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}\right),
\]
откуда $\gamma_{k}=0$ или 1 .
Доказательство теоремы закончено. Добавим, что можно отказаться от условия компактности $\mathbf{L}_{c}$ и получить не тор, а цилиндр $\mathbf{T}^{k} \times \mathbf{R}^{n-k}$. Но для этого надо потребовать нестесненность полей $\stackrel{\leftarrow}{F}_{i}$ на $\mathbf{L}_{c}$.
