В плоскости $\mathbf{R}^{2}(x, y)$ с течением времени $t$ перемещается точка массы $m$ (желая сохранить естественную размерность величин, мы не будем торопиться с тривиальным упрощением $m=1$ ).
ЗАКОН НЬЮТОНА определяет движения точки
\[
\mathbf{r}(t)=(x(t), y(t))
\]

как решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, правые части которых считаются заданными и достаточно гладкими:
\[
m \ddot{x}=X(\dot{x}, \dot{y}, x, y, t), m \ddot{y}=Y(x, y, x, y, t) .
\]

Более коротко в векторном виде
\[
m \ddot{r}=\boldsymbol{F}(\dot{\boldsymbol{r}}, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{t}) .
\]

Вектор $\mathbf{F}=(X, Y)$ называется силой. Принято $\mathbf{r}$ называть положением точки, пару ( $\mathbf{r}, \mathbf{r}$ ) – состоянием. Движение однозначно определяется начальным состоянием ( $\mathbf{r}_{0}, \mathbf{r}_{0}$ ) в мгновение $t=t_{0}$.

Чаще всего $\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r})$. Тогда если $\mathbf{r}(t)$ – движение, то и $\mathbf{r}(t+\tau)$ – движение (поскольку $\mathbf{F}$ не зависит от $t$ ) и $\mathbf{r}(-t)$ тоже движение (поскольку $\mathbf{F}$ не зависит от $\dot{\mathbf{r}}$ ) с начальным состоянием $\mathbf{r}_{0},-\dot{\mathbf{r}}_{0}$. Иначе говоря, движения допускают сдвиц и инверсию времени. Можно считать $t_{0}=0$. Множество, на котором определена вектор-функция $\mathbf{F}(\mathbf{r})$, есть некоторая область $\mathfrak{u} \subset \mathbf{R}^{2}$; обычно это $\mathbf{R}^{2}$ целиком или $\mathbf{R}^{2}$ без нескольких точек. Явно указывать область определения и степень гладкости $\mathbf{F}$ (пусть $C^{\infty}$ для простоты) не принято.

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Интегралом движения, или первым интегралом, называется функция $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{r})$ такая, что для всех движений $\Phi(\mathbf{r}(t), \mathbf{r}(t))=f=$ const. Другими словами, тождественни

равна нулю ее полная производная в силу системы (1):
\[
\frac{d \Phi}{d t}=\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{r}}, \dot{\mathbf{r}}\right)+\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{\mathbf{r}}}, \frac{1}{m} \mathbf{F}\right) \equiv 0 .
\]

Интеграл у нас по определению не зависит от времени. Это не обязательно, но удобно для дальнейшего. Задачи с интегралами, содержащими $t$, встречаются редко.

Простейшие типы первых интегралов. Приведем три простых утверждения, идейное наполнение которых прояснится позднее.
А. Интеграл импульса:
\[
X \equiv 0 \Rightarrow J_{1}=m \dot{x}=m c=\text { const. }
\]
Б. Интеграл кинетического момента:
\[
x Y-y X \equiv 0 \Rightarrow J_{2}=m(x \dot{y}-y \dot{x})=m c=\text { const. }
\]
B. Интеграл энергии:
\[
X=-\frac{\partial V}{\partial x}, Y=-\frac{\partial V}{\partial y} \Rightarrow H=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+V(x, y)=h=\text { const. }
\]

Функция $V(x, y)$ называется потенциалом, или потенциальной энергией, функция $T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)$ – кинетической энергией.

ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ. Постоянная $f$ в определении первого интеграла обычно задается начальным состоянием. Но не исключено, что $f$ будет задана из каких-либо других соображений и потребуется узнать, где могут происходить движения с этим значением $f$ первого интеграла Ф. Это и есть область возможности движения:
\[
\mathfrak{M} f=\{\mathbf{r}: \exists \dot{\mathbf{r}}, \Phi(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r})=f\} .
\]

Весьма выразительно описание ее в случае интеграла энергии. Поскольку кинетическая энергия неотрицательна,
\[
\mathfrak{R}^{h}=\{V(\mathbf{r}) \leqslant h\},
\]
т. е. является суб-уровнем потенциальной энергии (проверить по определению (3)).

МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ. Траекторией движения $\mathbf{r}(t)$ называется множество положений, которые точка последовательно занимает с течением времени ( $t$ пробегает максимальный интервал определения $\mathrm{r}(t)$, содержащий $t_{0}$ ). Чтобы получить уравнение траектории или ее части в виде $\chi(x, y)=0$, в принципе надо из формул движения $x=x(t), y=y(t)$ исключить $t$.

Множеству достижимости $A^{0_{0}}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ для начала дадим приблизительное определение: это все точки, в которые можно попасть из точки $r_{0}$ с начальной скоростью $v_{0}$ (заданной по модулю).

Пример. Построить траектории, множества $A^{v_{0}}\left(r_{0}\right)$ и области $\mathfrak{R}^{h}$ для точки в поле тяжести: $\mathbf{F}=-m g \mathbf{e}_{y}, V=m g y$.
Решение. Общее решение уравнений движения имеет вид
\[
x=x_{0}+\dot{x}_{0} t, y=y_{0}+\dot{y}_{0} t-g t^{2} / 2 .
\]

Положив $x_{0}=y_{0}=0$ (не уменьшая общности), $\dot{x}_{0}=v_{0} \cos \theta, \dot{y}_{0}=$ $=v_{0} \sin \theta$, при $\dot{x}_{0}
eq 0$ получим уравнение траекторий: это параболы
\[
y=v_{0} \operatorname{tg} \theta \cdot x-\frac{h}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta} x^{2} .
\]

При $\dot{x}_{0}=0$ траектория вырождается в полупрямую. «Кривая достижимости за время $t$ » имеет вид $x^{2}+\left(y+g t^{2} / 2\right)^{2}=v_{0}^{2} t^{2}$. Это окружность с падающим по вертикали центром и линейно растущим радиусом. Строим огибающую этого семейства окружностей и получаем ответ: множество достижимости
\[
A^{v_{0}}(0,0)=\left\{y \leqslant \frac{v_{0}^{2}}{2 g}-\frac{x^{2}}{2 v_{0}^{2} / g}\right\}
\]

лежит под параболой безопасности (рис. 56), вершина которой находится на границе области возможности движения:
\[
\mathfrak{R}^{h}=\left\{y \leqslant \frac{h}{m g}\right\}, \quad h=\frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g y_{0} .
\]

Замечание. В задачах с интегралом энергии $A^{a}\left(\mathrm{r}_{0}\right) \subset \mathfrak{M}^{h}$, где $\quad h=\frac{m v_{0}^{2}}{2}+V\left(\mathbf{r}_{0}\right)$. В случае компактности области $\mathfrak{M}^{2}$ множество $A^{v_{0}}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ обязательно имеет общие точки с ее границей (см. §6).
3 адача 1. Выписать интегралы движения, построить траектории и множества $A^{v_{0}}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ для гармонического осциллятора:
\[
\mathbf{F}=-x \mathbf{r}, V=\frac{x}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), \quad x>0 .
\]

Для простоты пусть $y_{0}=0$. Как $A^{v_{0}}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ расположено в $\mathfrak{R}^{h}$ ? Ответ:
\[
\begin{array}{c}
A^{v_{0}}\left(x_{0}, 0\right)=\left\{\frac{x^{2} \omega^{2}}{x^{2} \omega^{2}+v_{0}^{2}}+\frac{y^{2} \omega^{2}}{v_{0}^{2}} \leqslant 1\right\}, \\
\mathfrak{N}^{h}=\left\{x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{2 h}{x}\right\}, h=\frac{m v_{0}^{2}}{2}+\frac{x x_{0}^{2}}{2} ; \omega=\sqrt{\frac{x}{m}} .
\end{array}
\]

ОПИСАНИЕ ЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. Пусть движение обладает интегралом
\[
J=m(\varphi(x, y) \dot{x}+\psi(x, y) \dot{y})
ot \equiv 0,
\]

который линеен по скоростям. Тогда в некоторой декартовой системе координат $\xi, \eta$ интеграл $J$ записывается в одной из следующих форм (с точностью до постоянного множителя):
(A) $J=m \dot{\xi}$,
(Б) $J=m(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})$,
т. е. совпадает с интегралом импульса или момента.

Доказательство. Приравняв к нулю полную производную $J$, получим систему уравнений в частных производных:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0, \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x} ; \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=0, \varphi X+\psi Y=0,
\]

которая легко решается:
\[
\varphi=a y+b, \psi=-a x+c .
\]

При $a=0$ имеем первый случай, при $a
eq 0$ – второй.
ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ. Множество $A^{v_{0}}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ равно замыканию объединения траекторий всех движений, проходящих через $\mathbf{r}_{0}$ со скоростью $v_{0}$ :
\[
A^{v_{0}}\left(\mathrm{r}_{0}\right)=\overline{\bigcup_{\left|\sigma_{0}\right|=v_{0}} \sigma\left(\mathrm{r}_{0}, \mathbf{v}_{0}\right)} .
\]

Пример. Бигармонический осциллятор:
\[
\mathbf{F}=(-\alpha x,-\beta y), \quad V=\frac{1}{2}\left(\alpha x^{2}+\beta y^{2}\right), \quad \alpha, \beta>0 .
\]

Из закона Ньютона $m \ddot{x}=-\alpha x, m \ddot{y}=-\beta y$ получаем
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0} \cos \omega_{1} t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{1}} \sin \omega_{1} t, \\
y=y_{0} \cos \omega_{2} t+\frac{\dot{y}_{0}}{\omega_{2}} \sin \omega_{2} t,
\end{array}
\]

где величины $\omega_{1}=\sqrt{\frac{\alpha}{m}}, \omega_{2}=\sqrt{\frac{\beta}{m}}-$ частоты колебаний по соответствующей координате. Имеется интеграл энергии
\[
H=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\alpha x^{2}+\beta y^{2}\right)=h .
\]

Область $\mathfrak{R}^{h}$ – эллипс с полуосями $a=\sqrt{2 h / \alpha}, b=\sqrt{2 h / \beta}$. Наряду с $H$ имеются еще интегралы
\[
\Phi_{1}=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} \alpha x^{2}=c_{1}, \quad \Phi_{2}=\frac{m}{2} \dot{y}^{2}+\frac{1}{2} \beta y^{2}=c_{2} .
\]

Эти интегралы квадратичны по скоростям. Поскольку $\Phi_{1}+\Phi_{2}=$ $=H$, будем пользоваться только ими. Заметим, что область возможности движения при условии, что заданы две константы,
\[
\mathfrak{R}^{c_{1} c_{2}}=\left\{|x| \leqslant \sqrt{\frac{12 c_{1}}{\alpha}} ;|y| \leqslant \sqrt{\frac{2 c_{2}}{\beta}}\right\}
\]

является прямоугольником, вписанным в эллипс $\mathfrak{R}^{h}, h=c_{1}+c_{2}$.
1. Пусть $\omega_{1} / \omega_{2}$ – рациональное число. В этом случае у колебаний вдоль координатных осей есть общий период: все траектории замкнуты.
2. Пусть число $\omega_{1} / \omega_{2}$ иррационально. Тогда все траектории незамкнуты и любая из них заполняет $\mathfrak{M}_{1} c_{2}$ всюду плотно:
\[
\begin{aligned}
\mathbb{R}_{c_{1} c_{2}}=\varsigma \overline{\left(\mathbf{r}_{0}, v_{0}, \theta\right)}= & \left\{|x| \leqslant \sqrt{\frac{2 c_{1}}{\alpha}} ;|y| \leqslant \sqrt{\frac{2 c_{2}}{\beta}}\right\}= \\
= & \left\{\begin{array}{l}
|x|<\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{m}{\alpha} v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta}, \\
|y|<\sqrt{y_{0}^{2}+\frac{m}{\beta} v_{0}^{2} \sin ^{2} \theta},
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

где $\mathrm{s}\left(\mathrm{r}_{0}, v_{0}, \theta\right)$ – траектории точки, выпущенной со скоростью $v_{0}$ из точки $\mathbf{r}_{0}$ под углом $\theta$ к оси абсцисс. Вообще замыкание объединения множеств равно замыканию объединения замыканий этих множеств. Поэтому множество достижимости

есть объединение однопараметрического (по $\theta$ ) семейства прямоугольников (рис. 57). В общем случае это криволинейный восьмиугольник – пересечение эллипса $\mathfrak{M}^{h}$ с полосами:
\[
\left\{|x| \leqslant \sqrt{x_{0}^{2}+\frac{m}{\alpha} v_{0}^{2}}\right\} ;\left\{|y| \leqslant \sqrt{y_{0}^{2}+\frac{m}{\beta} v_{0}^{2}}\right\} .
\]

Вопросы. Где находится начальная точка ( $\left.x_{0}, y_{0}\right)$ ? Во что может вырождаться восьмиугольник?
3адача 2. Показать, что если потенциал $V=\alpha x^{2} / 2, \alpha>0$, то множества достижимости совпадают с областями возможности движения.