Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим класс модельных задач, описывающих движение одной материальной точки. Уравнения Ньютона имеют вид Мы не ставим задачу решить эти уравнения, так как в общем случае это невозможно. Поэтому наметим более расплывчатую, но зато более реальную и вместе с тем достойную цель: искать качественные заключения о движении. Например, полезно узнать, действует в данной задаче закон сохранения энергии или нет. С точки зрения физики это означает проверку того, сохраняется ли в задаче механическая форма энергии, ибо в узких рамках классической механики выражения типа «энергия превращается в тепло» не имеют смысла. Поэтому нам предпочтительнее говорить не «закон сохранения» (раз уж это не совсем закон), а «первый интеграл уравнений движения». В общем виде это функция $\Phi(\dot{r}, \mathbf{r}, t)$ такая, что если $(x(t), y(t), z(t))$ есть произвольное решение уравнений (1), то сложная функция времени всякий раз постоянна (но получающаяся константа, конечно, может быть разной для разных движений). В частности, ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ Он имеет вполне определенную аналитическую структуру. Первое слагаемое $T=m v^{2} / 2$ зависит только от скорости и называется кинетической энергией, второй зависит только от положения (и не зависит от времени) и называется потенциальной энергией. Подставим в $H$ произвольное решение уравнений (1) и полученную сложную функцию продифференцируем по времени: Заменяя $\ddot{z}, \ddot{y}$, $\ddot{x}$ их выражениями из уравнений (1), получим \[ Отсюда следует Теорема. А. Вдоль движения всегда то имеет место интеграл энергии. Возможны случаи, когда интеграл энергии заведомо не может существовать. Например, если к силе, зависящей только от положения, добавляется сила вязкого трения – cv. Тогда в выражении $d H / d t$ появится слагаемое вида – $c v^{2}$, которое квадратично зависит от скорости и не может быть компенсировано другими слагаемыми, которые от скорости зависят линейно. Для существования интеграла энергии вполне достаточно, чтобы было $(\mathbf{F}, \dot{\mathbf{r}}) \equiv-\dot{V}$. Назовем силу $\mathbf{f}(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r}, t)$ аэргической (греч. «эргос» – работа), если Ясно, что прибавление ее к силе $\mathbf{F}=-\operatorname{grad} V$ не нарушит наличия интеграла энергии, хотя движения станут другими. Например, магнитная составляющая силы Лоренца $\mathbf{F}=(q / c)[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ является аэргической силой, так как $([\mathbf{v} \times \mathbf{B}], \mathbf{v}) \equiv 0$. Мы уже столкнулись с этим при исследовании движений в однородном магнитном поле: интеграл энергии сводится к $m v^{2} / 2=\mathrm{const}$, как и для движения в отсутствие всяких сил. ДВИЖЕНИЕ ПО НЕПОДВИЖНОЙ НЕ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ. задает поверхность $\mathfrak{M}$, регулярную в каждой своей точке: Примем, что Будем внимательны: сейчас должен быть очерчен новый подход к описанию воздействий на точку. Если раньше мы считали своим долгом явно, при помощи формул указать все силы, то теперь одно из воздействий описываем его результатом: точка остается на поверхности, и все. Говорят, что на точку наложена связь. Ясно, что теперь $m \ddot{\mathbf{r}} Система уравнений движения имеет вид Надо искать четверки функций $x(t), y(t), z(t), \lambda(t)$, удовлетворяющие этой системе. Согласно определению силы реакции, она является аэргической, так как всегда ортогональна скорости. Если $\mathbf{F}=-\operatorname{grad} V(\mathbf{r})$, то движение по поверхности обладает интегралом энергии (2). ДВИЖЕНИЕ ПО НЕПОДВИЖНОЙ НЕ ШЕРОХОВАТОЙ КРИВОЙ и представляя силу реакции в виде Эффективнее другой путь. Зададим кривую параметрически: $\mathbf{r}=$ $=\overline{\mathbf{r}}(q)$, введем натуральный параметр перепишем уравнение кривой в виде $\mathbf{r}=\mathbf{r}^{*}(s)$ и воспользуемся репером Френе (зависящим от $s$ ): Величина (функция $s$ ) называется радиусом кривизны кривой. Ускорение (если формула, задающая движение, имеет вид $s=s(t)$ ) будет так что векторное уравнение Ньютона $m \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{R}+\mathbf{F}, \mathbf{R} \perp \mathbf{e}_{\tau}$, примет форму равносильной системы скалярных уравнений: Компонента $F_{\tau}$ в силу $\mathbf{r}=\mathrm{r}^{*}(s), \dot{\mathbf{r}}=\left(d \mathbf{r}^{*} / d s\right) \dot{s}$ есть функция $\dot{s}, s, t$. Поэтому для вычисления движения по кривой надо решить одно дифференциальное уравнение второго порядка: а остальные уравнения из системы (4) позволят узнать силу $\mathbf{R}$ как функцию времени. Как функция $\dot{s}, s$ она уже известна: Интеграл энергии (2) в случае, когда поле сил $\mathbf{F}$ консервативно, снова имеет место. Пользуясь параметрическим заданием кривой, мы можем записать этот интеграл короче: Это выражение отличается от (2) тем, что в нем полностью использовано наличие связи, тогда как (2) без уравнения $f=0$ имеет другой смысл: это интеграл энергии для свободной точки. УЧЁТ ТРЕНИЯ Сила $R_{\tau}=R_{\tau} e_{\tau}$ называется силой трения, сила $R_{v}=R_{v} e_{v}$ – силой нормального давления (рис. 4). Основными являются две модели. Во-первых, кривая характеризуется коэффициентом $c(v)$, так что $\mathbf{R}_{\tau}=$ $=-c(v) \mathbf{v}$. Тогда сначала надо решать уравнение типа (5): после чего $R_{v}$, если надо, вычисляется отдельно. Во-вторых, кривая характеризуется коэффициентом трения $k$ так, что следовательно, из (8). Уравнение (10) сложно; даже если сила $\boldsymbol{F}$ зависит только от положения $s$, правая часть все равно зависит от скорости, причем квадратичным образом – уравнение (10), вообще говоря, не линейно. Кроме того, правая часть (10) имеет разрыв при $\dot{s}=0$, так что решать (10) необходимо «по кускам»: отдельно для $\dot{s}>0, \dot{s}<$ $<0$. Правда, уравнение (10) можно свести к линейному (с переменными коэффициентами) уравнению для зависимости $v^{2}=f(s)$. В самом деле, Аналитические трудности все равно остаются большими. Приведем задачу, которая иллюстрирует уравнение (9) и вместе с тем дает простой пример уравнения типа (10): ВЕРТИКАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ С КВАДРАТИЧНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Видим, что $m, g, \lambda$ размерно независимы; в процессе решения уравнения движения их можно будет приравнять к единице. откуда в силу $v(0)=0$ получаем Поскольку общий результат Полагаем $m=g=\lambda=1$ и $v \geqslant 0$. Из (11) откуда после интегрирования При $z=0$ получаем $2 C=\ln \left(1+\vartheta_{0}^{2}\right)$, а при $z=C$ имеем $v=0$. Следовательно, $C$ и есть $h$. Поскольку в общем случае Чтобы не ограничиваться формальным ответом, дадим простой качественный комментарий. Предположим, что мы имеем шары одинаковых размеров (тогда, согласно примеру из темы 1, коэффициент $\lambda$ у них один и тот же), но разных масс. При бросании вниз скорость всегда стремится к пределу $-\sqrt{m g / \lambda}$, т. е. оба шара довольно скоро падают практически равномерно, но более тяжелый – быстрее. Теперь допустим, что шары бросили вверх с одинаковыми скоростями. Преобразуем (14), исходя из разложения Получим При $\lambda=0$ эта формула дает высоту подъема в одном только поле тяжести, которая от массы не зависит. При $\lambda так что более тяжелый шар потеряет в высоте меньше.
|
1 |
Оглавление
|