Мы приступаем к изучению лагранжева формализма, который состоит в использовании уравнений второго порядка:
\[
\ddot{q}_{i}=X_{i}\left(\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right), i=1, \ldots, n
\]

специального вида. Но прежде чем конкретизировать этот вид, потребуется ряд определений, и в первую очередь

ДВА ВАРИАНТА ПОЛНОИ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ.

Обозначим $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \dot{q}=\left(\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}\right)$.

Определение 1. Пусть имеется функция $f=f(q, t)$. Ее полной производной по времени называется функция
\[
f(q, q, t)=\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i},
\]

зависящая уже от $\dot{q}, q, t$. Если $q=q(t)$, то
\[
\frac{d}{d t} f(q(t), t)=\dot{f}\left(\frac{d q}{d t}, q(t), t\right) .
\]

Определение 2. Пусть задана функция $F=F(\dot{q}, q, t)$. Ее полной производной по времени называется функция
\[
\dot{F}(\ddot{q}, \dot{q}, q, t)=\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{i},
\]

зависящая от $\ddot{q}, \dot{q}, q, t$. Аналогично (3)
\[
\frac{d}{d t} F\left(\frac{d q}{d t}, q(t), t\right)=\dot{F}\left(\frac{d^{2} q}{d t^{2}}, \frac{d q}{d t}, q(t), t\right) .
\]

Легко проверить, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{d f}{d t}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{d F}{d t}-\frac{\partial F}{\partial q_{i}}, \frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial q_{i}}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{d F}{d t} .
\end{array}
\]

Определение 3. Если имеется система дифференциальных уравнений второго порядка (1), то полной производной функции в силу системы называется функция
\[
\frac{d^{X}}{d t} F=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}} X_{i},
\]

зависящая только от $\dot{q}, q, t$.
Индекс $X$ обычно не пишут, и приходится из контекста уяснять, какая из производных $d F / d t$ имеется в виду, за исключени-

ем разве что ситуации
\[
f=f(q, t) \Rightarrow \frac{d^{X}}{d t} f=\dot{f} .
\]

Если $d^{x} F / d t \equiv 0$, то $F$ – первый интеграл системы (1), т. е. $F(\dot{q}(t), q(t), t)=$ const для всех ее решений.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ (ПОДСТАНОВКА)
По определению имеется тогда, когда заданы зависимости
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=q_{1}^{*}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{m}, t\right), \\
\dot{q}_{n}=q_{n}^{*}\left(\dot{\xi}_{1}, \ldots, \xi_{m}, t\right) .
\end{array}
\]

Обычно принимается, что $m=n$, но пока это не обязательно. Начнем с рассмотрения замен, не зависящих от времени:
\[
q=q^{\star}(\xi) \text {. }
\]

Если в пространстве $\mathbf{R}^{m}(\xi)$ есть кривая $\xi=\xi(t)$, то в силу (10) она отображается в пространство $\mathrm{R}^{n}(q): q=\bar{q}(t)=q^{*}(\bar{\xi}(t))$ и при этом
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\sum_{\alpha} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{\alpha}} \frac{d \xi_{\alpha}}{d t} .
\]

Если дана функция $f=f\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$, то для сложной функции (композиции) $f^{*}(\xi)=f\left(q^{*}(\xi)\right)$ справедливо
\[
\frac{\partial f^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{\alpha}} .
\]

Введем диаграмму
\[
\mathbf{R}_{\boldsymbol{t}}^{\stackrel{\xi^{*}}{N 0}} \rightarrow \mathbf{R}_{\xi}^{m} \stackrel{q^{*}}{N 1} \rightarrow \mathbf{R}_{q}^{n} \frac{1}{N 2} \rightarrow \mathbf{R},
\]

в которой занумерованы все зависимости в естественном порядке, и перепишем равенства (2) и (3) в матричном виде:
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t} \\
\frac{d q_{2}}{d t} \\
\vdots \\
\frac{d q_{n}}{d t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{1}} & \frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{2}} & \ldots & \frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{m}} \\
\frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{1}} & \frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{2}} & \ldots & \frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{m}} \\
\cdots & \cdots & \ldots & \ldots \\
\frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{1}} & \frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{2}} & \ldots & \frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{m}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{d \xi_{1}}{d t} \\
\frac{\partial \xi_{2}}{d t} \\
\vdots \\
\frac{\partial f}{d \xi_{m}} \\
\frac{\partial f}{\partial t} \\
\frac{\partial f}{\partial \xi_{2}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f}{\partial \xi_{m}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}
\frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{1}} & \frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{1}} & \ldots & \frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{1}} \\
\frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{2}} & \frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{2}} & \ldots & \frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{2}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \ldots \\
\frac{\partial q_{1}}{\partial \xi_{m}} & \frac{\partial q_{2}}{\partial \xi_{m}} & \ldots & \frac{\partial q_{n}}{\partial \xi_{m}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial q_{1}} \\
\frac{\partial f}{\partial q_{2}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f}{\partial q_{n}}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Имеем зависимость между матрицами Якоби, причем основная матрица $\partial q / \partial \xi$ представлена в двух вариантах, отличающихся транспонированием. Введем сокращенные обозначения:
\[
\frac{‘ d q}{d t}=\frac{‘ \partial q^{*}}{\partial \xi} \frac{‘ d \xi}{d t}, \frac{\partial f^{*}}{\partial^{\prime} \xi}=\frac{\partial q^{*}}{\partial^{\prime} \xi} \frac{\partial f}{N 1} \frac{{ }^{\prime} q}{N 2} .
\]

Штрих около символа дифференцирования означает, во-первых, что соответствующие переменные стоят по столбцам. Во-вторых, штрих стоит с той стороны, с которой надо множить матрицу Якоби очередной зависимости при составлении композиций. $\frac{d \xi}{d t}$ по векторному правилу (вспомним вектор скорости) и что столбец $\frac{\partial f}{\partial \prime q}$ преобразуется в столбец $\frac{\partial f}{\partial^{\prime} \xi}$ по ковекторному правилу. Когда из контекста ясно, какие переменные стоят по столбцам, условимся штрих не писать.
Теперь рассмотрим более общие замены
\[
\begin{array}{c}
q=q^{*}(\xi, t): \\
\dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}^{*}(\dot{\xi} ; \xi, t)=\sum_{\alpha} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}} \dot{\xi}_{\alpha}+\frac{\partial q_{i}}{d t}, \\
\ddot{q}_{i}=\sum_{\alpha} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}} \ddot{\xi}_{\alpha}+\ldots
\end{array}
\]

Многоточием здесь обозначены выражения, содержащие только $\dot{\xi}, \xi, t$. Если имеются функции
\[
f(q, t), F(\dot{q}, q, t), \Phi(\ddot{q}, \dot{q}, q, t),
\]

то обозначим звездочкой результат подстановки:
\[
\begin{array}{c}
f^{*}(\xi, t)=f\left(q^{*}(\xi, t), t\right), \\
F^{*}(\dot{\xi}, \xi, t)=F\left(\dot{q}^{*}(\dot{\xi}, \xi, t), q^{*}(\xi, t), t\right), \\
\Phi^{*}(\ddot{\xi}, \dot{\xi}, \xi, t)=\Phi\left(\ddot{q^{*}}(\ddot{\xi}, \dot{\xi}, \xi, t), q^{*}(\dot{\xi}, \xi, t), q^{*}(\xi, t), t\right) .
\end{array}
\]

Леммы.
0 . В силу (13) и (14)
\[
\frac{\partial \ddot{q}_{i}^{*}}{\partial \ddot{\xi}_{\alpha}}=\frac{\partial \dot{q}_{i}^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}=\frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}} .
\]
1. Столбец $\frac{\partial f}{\partial q}$ преобразуется в столбец $\frac{\partial f^{*}}{\partial \xi}$ по ковекторному правилу:
\[
\frac{\partial f^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\sum_{i} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\right)^{*}
\]

2. Столбец $\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}$ преобразуется в столбец $\frac{\partial F^{*}}{\partial \dot{\xi}}$ по ковекторному правилу:
\[
\frac{\partial F^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*} \frac{\partial \dot{q}_{i}^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}=\sum_{i} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*} .
\]

Предложение. Всегда
\[
\left(\frac{d f}{d t}\right)^{*}=\frac{d}{d t} f^{*},\left(\frac{d F}{d t}\right)^{*}=\frac{d}{d t} F^{*},
\]
т. е. можно сначала вычислить полную производную, потом сделать замену, а можно наоборот. Для контраста заметим, что
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)^{*}
eq \frac{\partial f^{*}}{\partial t}
\]

так как
\[
\frac{\partial f^{*}}{\partial t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\right)^{*} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial t}+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)^{*}
\]

Тривиальный вывод (17) опустим.

СТУПЕНЧАТАЯ ПРОИЗВОДНАЯ (производная Эйлера-Лагранжа)
Ступенчатая производная (производная Эйлера-Лагранжа)

индекса $i$ функции $F(\dot{q}, q, t)$ вычисляется по формуле
\[
[F]_{q_{i}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial F}{\partial q_{i}} .
\]

В частности,
\[
\begin{array}{c}
{[f]_{q_{i}}=\frac{\partial f}{\partial q_{i}},} \\
{\left[\sum_{k} f_{k} \dot{q}_{k}\right]_{q_{i}}=\frac{\partial f_{i}}{\partial t}+\sum_{k}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{k},} \\
{[\dot{f}]_{q_{i}} \equiv 0 .}
\end{array}
\]

Лемма 3. Столбец $[F]_{q}$ преобразуется в столбец $\left[F^{*}\right]_{\xi}$ по ковекторному правилу.
Действительно, в силу (16) с учетом (17)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial F^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}=\sum_{i}\left(\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*}\right) \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}+\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*} \frac{d}{d t} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}= \\
=\sum_{i}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*}+\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*}\left(\sum_{k} \frac{\partial^{2} q_{i}^{*}}{\partial \xi_{k} \partial \xi_{\alpha}} \dot{\xi}_{k}+\frac{\partial^{2} q_{i}^{*}}{\partial t \partial \xi_{\alpha}}\right) .
\end{array}
\]

Далее
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial F^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}+\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*} \frac{\partial \ddot{q}_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}= \\
=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}+\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*}\left(\sum_{k} \frac{\partial^{2} q_{i}}{\partial \xi_{\alpha} \partial \xi_{k}} \dot{\xi}_{k}+\frac{\partial^{2} q_{i}}{\partial \xi^{2} \partial t}\right) .
\end{array}
\]

Подчеркнутые члены равны. После вычитания
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial F^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}-\frac{\partial F^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=\sum_{i} \frac{\partial q_{i}^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\right)^{*} .
\]

Если исключить случаи (22), (23), то ступенчатые производные всегда приводят к выражениям, явно зависящим от старших производных $\ddot{q}_{i}$. Приравнивая такие производные нулю, получим дифференциальные уравнения второго порядка, правда, не разрешенные (пока) относительно $\ddot{q}_{i}$.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА
Уравнения Эйлера — Лагранжа, по определению имеют вид
\[
[L]_{q_{i}} \equiv \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0,
\]

где $L(\dot{q}, q, t)$ – некоторая заданная функция, называемая функцией Лагранжа, или лагранжианом. Уравнения вида (25) впервые рассматривались Эйлером при решении вариационных задач. Позднее Лагранж придал форму (25) уравнениям движения обширного класса задач механики, в связи с чем уравнения (25) обычно называются просто уравнениями Лагранжа.
Цепочка примеров.
1. Уравнения движения материальной точки в потенциальном поле сил имеют лагранжев вид, причем $L$ – разность кинетической и потенциальной энергий.
Доказательство. Уравнения движения имеют вид
\[
m \ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}, m \ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}, \ddot{m}=-\frac{\partial V}{\partial z} .
\]

Положим $q_{1}=x, q_{2}=y, q_{3}=z$, и введем лагранжиан
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\dot{q}_{3}^{2}\right)-V\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, t\right) .
\]

Легко видеть, что
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\frac{d}{d t}\left(m \dot{q}_{i}\right)-\left(-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right)=m \ddot{q}_{i}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=0 .
\]

А это и требовалось.

2. Точно так же уравнениям Ньютона системы свободных матернальных точек, движущихся под действием потенциальных сил:
\[
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_{i}}, i=1, \ldots, N,
\]

можно придать форму уравнений Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial^{\prime} \mathbf{r}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial^{\prime} \mathbf{r}_{i}}=0,
\]

где
\[
L=T-V=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}^{2}-V\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right) .
\]
3. Допустим, что имеем идеализированную систему с $r$ связями $f_{s}\left(\mathrm{r}_{1}, \ldots, \mathrm{r}_{N}, t\right)=0$ и потенциальными силами.
Система уравнений Лагранжа с множителями
\[
\left\{\begin{array}{l}
m_{i} \ddot{\mathbf{r}}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_{i}}+\sum_{s=1}^{r} \lambda_{s} \frac{\partial f_{s}}{\partial \mathbf{r}_{i}}, i=1, \ldots, n, \\
f_{s}=0, s=1, \ldots, r,
\end{array}\right.
\]

является частным случаем системы (7.4) и одновременно имеет лагранжев вид: если мы положим
\[
\mathscr{L}=L+\sum_{s=1}^{r} \lambda_{s} f_{s}
\]

и станем рассматривать $\lambda_{s}$ как переменные, равноправные $r_{i}$ :
\[
q=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}, y_{N}, z_{N}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s}\right),
\]

то будем иметь ( $\mathscr{L}$ не зависит от $\dot{\lambda}_{s}$ !)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{r}_{i}}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial r_{i}} \equiv \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial r_{i}}-\sum_{s} \lambda_{s} \frac{\partial f_{s}}{\partial r_{i}} \equiv \\
\equiv m_{i} \ddot{r}_{i}+\frac{\partial V}{\partial r_{i}}-\sum_{s} \lambda_{s} \frac{\partial f_{s}}{\partial r_{i}}=0, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\lambda}_{s}}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda_{s}}=-f_{s}=0,
\end{array}
\]

что и требовалось.
Наша цепочка примеров превращается в ряд утверждений весьма общего характера. Прежде чем ее продолжить, укажем на

ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
1. Если вместо лагранжиана $L$ взять лагранжиан $\tilde{L}=c L+\dot{1}$, то уравнения $[L]_{q_{i}}=0$ будут эквивалентными исходным.
Доказательство: см. (23).

2. Если имеется замена переменных $q=q^{*}(\xi, t)$ (вот здесь уже $m=n$ ), невырожденная в том смысле, что
\[
\operatorname{det} \frac{\partial q^{*}}{\partial \xi}
eq 0
\]
(иначе говоря, обратимая), то уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{*}}{\partial \dot{\xi}_{\alpha}}-\frac{\partial L^{*}}{\partial \xi_{\alpha}}=0
\]

эквивалентны исходным.
Доказательство. Чтобы преобразовать (25) в силу замены, надо взять $q^{*}$, вычислить $\dot{q}^{*}$ и $\ddot{q}^{*}$ по формулам (13) и (14) и все подставить в (25). Коротко говоря, надо вычислить
\[
\left(\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)^{*}=0 .
\]

Последние уравнения в силу (24) отличаются от уравнений (32). умножением на невырожденную матрицу (31) и потому эквивалентны им.

Вернемся к идеализированным системам с потенциальными силами. В пространстве $\mathbf{R}^{3 N}=\left\{\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right\}$ при каждом фиксированном $t$ уравнения связей задают некоторую поверхность (подмногообразие) размерности $n=3 N-r$ :
МНОГООБРАЗИЕ ПОЛОЖЕНИИ
\[
\mathfrak{M}=\left\{f_{1}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)=\ldots=f_{r}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)=0\right\} .
\]

Число $n$ называется числом степеней свободы системы (для понимания дальнейшего достаточно представить себе двумерную поверхность в трехмерном пространстве $N=1, r=1$, т. е. ограничиться движением точки по нешероховатой поверхности, о котором уже говорилось в теме 5). Локальные координаты на многообразии положений имеют специальное название – определяющие координаты (говорят также «лагранжевы», или «обобщенные координаты»). Смысл термина в том, что расположение системы точек $m_{i}$ в пространстве однозначно определяется $n$ величинами (фактически мы имеем частный случай (9)):
\[
\mathbf{r}_{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right),
\]

где $\overline{\mathbf{r}}_{v}(q, t)$ – некоторые явные зависимости такие, что
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rang} \frac{\partial\left(\overline{\mathbf{r}_{1}}, \ldots, \overline{\mathbf{r}_{N}}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)}=n, \\
f_{s}\left(\overline{\mathbf{r}}_{1}(q, t), \ldots, \overline{\mathbf{r}}_{N}(q, t)\right) \equiv 0 .
\end{array}
\]

В силу формул (33) аналогично (13)
\[
\dot{\mathbf{r}}_{v}=\sum_{i} \frac{\partial \overline{\mathbf{r}}_{v}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \overline{\mathbf{r}}_{v}}{\partial t} .
\]

Перемещение системы $\left\{\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{v}(t)\right\}$ можно задать в виде
\[
q(t)=\left(q_{1}(t), \ldots, q_{n}(t)\right),
\]

имея в виду вычислять $\mathbf{r}_{v}(t)$ подстановкой (37) в (33).
Теорема.
Набор функций $q_{1}(t), \ldots, q_{n}(t)$ задает движение системы тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнениям (Эйлера-)Лагранжа вида
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \bar{L}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \vec{L}}{\partial q_{i}}=0,
\]

где $\bar{L}=\bar{T}-\bar{V}$, а подробнее
\[
\bar{L}(\dot{q}, q, t)=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{N} m_{v}\left(\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{v}}{d t}\right)^{2}-V\left(\overline{\mathbf{r}}_{1}(q, t), \ldots, \overline{\mathbf{r}}_{N}(q, t)\right)
\]

есть результат подстановки (33), (36) в (28).
Доказательство. Пусть для краткости $\mathbf{r}=\left\{\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right\}$.
Лемма о трансверсальных координатах. Существует невырожденная замена
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \chi_{1}, \ldots, \chi_{r}, t\right),
\]

такая, что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}^{*}(q, 0, t) \equiv \overline{\mathbf{r}}(q, t), \\
f_{s}\left(r^{*}(q, \chi, t), t\right) \equiv \chi_{s} .
\end{array}
\]

Будем искать эту замену в виде
\[
\mathbf{r}^{*}=\overline{\mathbf{r}}+\sum_{\sigma} \rho_{\sigma} \mathbf{n}_{\sigma}
\]

где
\[
\mathbf{n}_{\sigma}(q, t)=\left.\frac{\partial f_{\sigma}}{\partial^{\prime} \mathbf{r}}\right|_{\mathbf{r}=-\bar{r}(q, t)} .
\]

Поскольку параметр $t$ произвольно фиксируется, писать его больше не будем. Подставляя (43) в (42), получаем формально

Заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{s}(q, \rho) \equiv f_{s}\left(\overline{\mathbf{r}}+\Sigma \rho_{\sigma} \mathbf{n}_{\sigma}\right)=\chi_{s} . \\
\left.\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial \rho_{\sigma}}\right|_{\rho=0}=\frac{\partial f_{s}}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{n}_{\sigma}=\left(\mathbf{n}_{s}, \mathbf{n}_{\sigma}\right) .
\end{array}
\]

Справа получаем элементы определителя Грама линейно независимых векторов $\mathbf{n}_{s}$, который отличен от нуля. По теореме о неявной функции при каждом $q$ величины $\rho$ суть однозначные функции $\chi$. В результате
\[
\rho=\rho(q, \chi),
\]

причем $\rho(q, 0) \equiv 0$. Лемма доказана.

В силу второй теоремы об эквивалентности уравнения

порожденные лагранжианом (30), в переменных $q$, $\chi$ будут
\[
[\mathscr{L}]_{q_{i}}=0,[\mathscr{L}]_{\chi_{\sigma}}=0,[\mathscr{L}]_{\lambda_{s}}=0,
\]

причем $\mathscr{L}=L^{*}+\Sigma \lambda_{s} \chi_{s}$. Более подробно
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, i=1, \ldots, n=3 N-r, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{*}}{\partial \dot{\chi}_{\sigma}}-\frac{\partial L^{*}}{\partial \%_{\sigma}}=\lambda_{\sigma}, \sigma=1, \ldots, r, \\
\chi_{s}=0, s=1, \ldots, r ;
\end{array}\right.
\]

последние уравнения позволяют нам подставить $\chi_{s}=\dot{\chi_{s}}=\ddot{\chi}_{s}=0$ в первые $n$ уравнений (следующие $r$ нужны только для вычисления $\lambda_{s}$ ). Результат подстановки обозначим ( ) ${ }^{0}$. Согласно доказанному в начале параграфа, вместо того чтобы сначала продифференцировать по времени, а потом делать подстановку, можно поступить наоборот; совершить подстановку, а потом продифференцировать, т. е.
\[
\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{0}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L^{*}}{\partial q_{i}}\right)^{0} .
\]

Далее, по определению частной производной все равно, когда совершать подстановку – до или после дифференцирования, т. е.
\[
\left(\frac{\partial L^{*}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)^{*}=\frac{\partial\left(L^{*}\right)^{0}}{\partial \dot{q}_{i}}, \quad\left(\frac{\partial L^{*}}{\partial q_{i}}\right)^{0}=\frac{\partial\left(L^{*}\right)^{0}}{\partial q_{i}} .
\]

Наконец, $\left(L^{*}\right)^{0}=\bar{L}$. Итак, первые $n$ уравнений приобрели искомый вид (38). Впредь, конечно, черту над $L$ опустим.

ЯВНЫЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Сначала рассмотрим уравнения (25) в общем виде. Введем в рассмотрение набор функций
\[
p_{i}(\dot{q}, q, t)=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

Функция $p_{i}$ называется каноническим или обобщенным импульсом, соответствующим координате $q_{i}$ в системе переменных $\left(q_{1}, \ldots\right.$, …, $q_{n}$ ). Вычислим ступенчатые производные явно:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial^{\prime} \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial^{\prime} q}=\frac{‘ \partial p}{\partial \dot{q}} \ddot{q}+\frac{‘ \partial p}{\partial q} \dot{q}+\frac{\partial p}{\partial t}-\frac{\partial L}{\partial^{\prime} q}=0 .
\]

Назовем лагранжиан регулярным, если
\[
\operatorname{det} \frac{\partial p}{\partial \dot{q}}=\operatorname{det} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}
eq 0
\]
(последняя матрица симметрична). В этом случае уравнения Лагранжа можно разрешить относительно старших производных:
\[
\ddot{q}=\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}\right)^{-1}\left(\frac{\partial L}{\partial^{\prime} q}-\ldots\right)=X(\dot{q}, q, t)
\]
(выражение для … запоминать не обязательно).

Центральная лемма. Если $L$ – регулярный лагранжиан, то
\[
\frac{d^{X}}{d t} p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}
\]
(именно эта лемма позволяет не различать $d / d t$ и $d^{x} / d t$ в обозначениях). В самом деле,
\[
\frac{d^{X}}{d t} p=\frac{‘ \partial p}{\partial \dot{q}} X+\ldots=\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}\right)\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}\right)^{-1}\left(\frac{\partial L}{\partial^{\prime} \dot{q}}-\ldots\right)+\ldots=\frac{\partial L}{\partial^{\prime} q} .
\]

Впредь лагранжианы считаются регулярными. Всегда регулярны лагранжианы механических систем. В самом деле, от скоростей $\dot{q}_{i}$ зависит только
\[
\bar{T}=\frac{1}{2} \sum_{v=1}^{N} m_{v}\left(\frac{d \bar{r}_{v}}{d t}\right)^{2},
\]

причем в силу (36) каждое слагаемое и вся сумма имеет вид квадратичного выражения по скоростям:
\[
\bar{T}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}(q, t) \dot{q}_{j} q_{i}+\sum_{i=1}^{n} a_{i}(q, t) \dot{q}_{i}+a(q, t) .
\]

Поскольку $T \geqslant 0, T=0 \Leftrightarrow \dot{\mathrm{r}}_{\mathrm{v}}=0$, матрица
\[
\left\|a_{i j}\right\|=\left\|\frac{\partial^{2} \bar{T}}{\partial \dot{q}_{i} \dot{\partial} \dot{q}_{i}}\right\|
\]

положительно определена и потому невырождена.
Если связи не зависят явно от времени, то и определяющие координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ можно ввести независящим от времени образом: $\mathrm{r}_{\mathrm{v}}=\overline{\mathbf{r}}_{\mathrm{v}}(q)$; при $\bar{
abla}=\bar{V}(q)$ получается
классическая натуральная система
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j}(q) \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}-V(q) .
\]

Тогда уравнения движения в форме Лагранжа суть
\[
\frac{d}{d t}\left(\sum_{k} a_{i k} \dot{q}_{k}\right)-\frac{1}{2} \sum_{k, l} \frac{\partial a_{k l}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=0,
\]

или
\[
\sum_{k} a_{i k} \ddot{q}_{k}+\sum_{j, k} \gamma_{j k}^{i} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=0 .
\]

В середине стоят выражения, строго квадратичные по $\dot{q}_{k}$. Разрешая относительно старших производных, имеем
\[
\ddot{q}_{i}+\sum_{k, l} \Gamma_{k l}^{i} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}+\sum_{k} a^{i k} \frac{\partial V}{\partial q_{k}}=0,
\]

где $\Gamma^{i}{ }_{k l}$ – некоторые функции переменных $q$. Их вид сейчас роли не играет, но их нетрудно вычислить:
\[
\Gamma_{k l}^{i}=\sum_{s} a^{i s}\left(-\frac{\partial a_{k l}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial a_{l s}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{l}}\right) .
\]

Это в точности символы Кристоффеля для римановой метрики: $d S^{2}=\Sigma a_{k l} d q_{k} d q_{i}$. Что касается коэффициентов $a^{i s}$ (индексы сверху), то они образуют матрицу, обратную к $\left\|a_{k l}\right\|=A$. Итак, в векторном виде уравнения движения суть
\[
\ddot{q}+\Gamma(\dot{q}, q)+A^{-1} \frac{\partial V}{\partial^{\prime} q}=0,
\]

где $\Gamma(\dot{q}, q)$ строго квадратично зависит от $\dot{q}$. В частности, в случае одной степени свободы $(n=1$ ) имеем
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{1}{2} a(q) \dot{q}^{2}-V(q), \\
\frac{d}{d t}(a(q) \dot{q})-\frac{1}{2} a^{\prime}(q) \dot{q}^{2}+V^{\prime}(q)=0, \\
a(q) \ddot{q}+\frac{1}{2} a^{\prime}(q) \dot{q}^{2}+V^{\prime}(q)=0 .
\end{array}
\]

Реже встречаются обобщенно-натуральные системы:
\[
L=\frac{1}{2} \Sigma a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+\Sigma f_{i} \dot{q}_{i}-V,
\]

где $a_{i j}, f_{i}, V$ зависят от $q$ и совсем редко от времени. Уравнения пишутся аналогично (если $t$ отсутствует, то достаточно в (51) дописать (22)). Забегая вперед, заметим, что появление линейных членов в лагранжиане может иметь причиной не только нестационарность связей (см. тему 14).

ОСНОВНЫЕ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЕРА – ЛАГРАНЖА
1. Если $\frac{\partial L}{\partial t} \equiv 0$ (тогда система (25) автономна), то имеется интеграл типа энергии:
\[
H(\dot{q}, q)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-L=h=\text { const }
\]
(или интеграл Якоби, интеграл Пенлеве). В самом деле,
\[
\frac{d^{X}}{d t} H=\underline{\sum_{i}\left(\frac{d^{X}}{d t} p_{i}\right) \dot{q}_{i}}+\underline{\sum_{i} p_{i} X_{i}} \underline{\underline{\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} q_{i}}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} X_{i}}
\]

Члены, подчеркнутые один раз, уничтожаются в силу (45), подчеркнутые дважды – в силу центральной леммы.

2. Если $\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0$ (тогда координата $q_{k}$ называется игнорируемой, или циклической, в системе переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}$ ), то имеет место кинестенический интеграл:
\[
p_{k}(\dot{q}, q, t)=c=\text { const },
\]

который называется также интегралом обобщенного импульса или циклическим интегралом. Действительно, в силу центральной леммы сразу
\[
\frac{d^{X}}{d t} p_{k}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}} \equiv 0 .
\]

В случае обобщенно-натуральных систем условия $\frac{\partial L}{\partial t} \equiv 0$ или $\frac{\partial L}{\partial q_{k}} \equiv 0$ равносильны тому, что все коэффициенты $a_{i j}, f_{i}$, $V$ не зависят от соответствующей переменной. Следует обратить внимание на структуру интегралов в этом случае:
\[
p_{k}=\sum_{i} a_{k j} \dot{q}_{j}+f_{k}
\]

линеен по скоростям, а
\[
\begin{array}{c}
H=\sum_{i}\left(\sum_{i} a_{i j} \dot{q}_{j}+f_{i}\right) \dot{q}_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}- \\
-\sum_{i} f_{i} \dot{q}_{i}+V=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+V
\end{array}
\]

квадратичен по скоростям, причем его выражение никак не зависит от линейных членов $\Sigma f_{i} \dot{q}_{i}$ в лагранжиане. Это важно само по себе, и, кроме того, объясняет, почему мы говорим интеграл «типа» энергии: если $L=\bar{T}-\bar{V}$ (39) содержит линейные члены или даже только слагаемое $a$ из (48), то $H$ не совпадает с полной энергией $T+V$ (на месте $V$ в (56) имеем $\vec{V}-a$ ).