Пусть есть система канонических уравнений
\[
\frac{‘ d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial^{\prime} q}, \frac{‘ d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial^{\prime} p}, H=H(p, q, t) .
\]

Соответствующим уравнением Гамильтона-Якоби называется уравнение в частных производных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q, t\right)=0 .
\]

Вместо каждого вхождения переменной $p_{i}$ в выражение для $H$ подставляется $\partial S / \partial q_{i}$ и ко всему прибавляется $\partial S / \partial t$. Получается левая часть. Задача Коши для этого уравнения обычно ставится так: найти решение $S(q, t)$ такое, что
\[
S\left(q, t_{0}\right)=\varphi(q) .
\]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Пусть $S(q, t)$ — решение. В расширенном фазовом пространстве $\mathbf{R}^{2 n+1}(p, q, t)$ введем многообразие
\[
\mathbf{L}=\left\{p_{1}=\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \ldots, p_{n}=\frac{\partial S}{\partial q_{n}}\right\} .
\]

Оно называется когерентным, или лагранжевым.
Теорема. Многообразие $\mathbf{L}$ является инвариантным для исходной канонической системы, т. е. как бы «соткано из решений»: если начальная точка $\left(p^{0}, q^{0}, t^{0}\right) \in \mathbf{L}$, то соответствующее решение уравнений (1) целиком лежит на $\mathbf{L}$.

Доказательство. Вообще, многообразие
\[
\mathbf{L}=\left\{F_{1}(x, t)=\ldots=F_{k}(x, t)\right\} \subset\{(x, t)\}
\]

инвариантно относительно системы
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}(x, t)
\]

тогда и только тогда, когда
\[
\frac{d^{X}}{d t} F_{i}=\sum_{i} \frac{\partial F_{l}}{\partial x_{i}} X_{i}=\left.0\right|_{(x, t) \in \mathbf{L}} .
\]

В нашем случае должно быть
\[
\begin{array}{c}
-\frac{d p_{l}}{d t}+\frac{d}{d t} \frac{\partial S}{\partial q_{l}}=\frac{\partial H}{\partial q_{l}}+\sum_{i} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial q_{l}} \frac{d q_{i}}{d t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial q_{l}}= \\
=\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial q_{l}}+\frac{\partial H}{\partial q_{l}}+\sum_{i} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial q_{l}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\left.0\right|_{p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}}
\end{array}
\]

Это действительно так, ибо если мы продифференцируем
\[
\frac{\partial S(q, t)}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S(q, t)}{\partial q}, q, t\right)=0
\]

по $q_{t}$, то получим
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{l} \partial t}+\frac{\partial H}{\partial q_{l}}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{l} \partial q_{i}}=\left.0\right|_{p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}},
\]

что совпадает с (5).
Существо доказанной теоремы в том, что уравнения (1) являются уравнениями характеристик Коши для уравнения в частных производных (2). Дальнейшее фактически является трактовкой этого обстоятельства в специфических условиях.

ПОЛНЫИ ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Так называется семейство решений уравнения Гамильтона-Якоби $S(\alpha, q, t)$, зависящее от $n$ параметров $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ удовлетворяющее условию невырожденности
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial \alpha_{k}}\right\|
eq 0 .
\]

Не следует думать, что полный интеграл содержит все решения уравнения Гамильтона-Якоби, как это может показаться по звучанию термина. Например, $S+f(\alpha)$ — тоже полный интеграл, не совпадающий с $S$. Однако все решения уравнения Гамильтона полный интеграл действительно позволяет получить.

Теорема Якоби. Если найден полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то общее решение уравнений Гамнльтона по-

лучается из соотношений
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{\partial S}{\partial^{\prime} q}, \\
\boldsymbol{\beta}=\frac{\partial S}{\partial^{\prime} \alpha},
\end{array}
\]

в которых $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ рассматриваются как произвольные константы.

Процедура получения общего решения состоит в следующем. Последние соотношения имеют вид
\[
\boldsymbol{\beta}_{k}=f_{k}(\alpha, q, t)=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{k}} .
\]

Заметим, что
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}\right\|=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial \alpha_{k}}\right\|
eq 0 .
\]

Следовательно, из соотношений (8) можно выразить
\[
q_{i}=\bar{q}_{i}(\alpha, \beta, t),
\]

а после подстановки в первые $n$ равенств (7) получим
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}(\alpha, \beta, t)=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}(\alpha, \bar{q}(\alpha, \beta, t), t) .
\]

Это и будут формулы общего решения с $2 n$ постоянными.
Доказательство теоремы. Поскольку первые уравнения — (7) задают инвариантные многообразия (при любых произвольно зафиксированных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ ), достаточно показать, что последние $n$ равенств (8) обладают тем же свойством (при любых произвольно зафиксированных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ : тогда их совместный уровень будет иметь размерность $2 n+1-n-n=1$, т. е. окажется фазовой траекторией). В самом деле,
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial S}{\partial^{\prime} \alpha}=\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial^{\prime} \alpha}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q \partial^{\prime} \alpha} \cdot \frac{‘ d q}{d t}=\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial^{\prime} \alpha}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q \partial^{\prime} \alpha} \cdot \frac{\partial H}{\partial^{\prime} \rho} .
\]

С другой стороны,
\[
\frac{\partial}{\partial^{\prime} \alpha}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q, t\right)\right)=\frac{\partial^{2} S}{\partial^{\prime} \alpha \partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial^{\prime} \alpha \partial q} \cdot \frac{\partial H}{\partial^{\prime} p} .
\]

Это и требовалось.
Подчеркнем, что все рассуждения носят локальный характер. В частности, не утверждается, что существует полный интеграл, определенный при всех $q$ для каждого $\alpha$. Скоро мы увидим, какие здесь возникают трудности.

ИСКЛЮЧЕНИЕ ВРЕМЕНИ

Допустим, что функция Гамильтона не зависит от времени: $H=$ $=H(p, q)$. Тогда уравнение Гамильтона-Якоби:
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q\right)=0 .
\]

Применим следующий прием. Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде
\[
S(\alpha, q, t)=-h\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) t+I(\alpha, q) .
\]

Здесь $h(\alpha)$ — функция, которая подбирается из каких-то дополнительных соображений или просто берется произвольно. Обычно берут просто $h \equiv \alpha_{1}$. Подставим выражение $S=-h t+I$ в уравнение (9). Получим
\[
H\left(\frac{\partial I}{\partial q}, q\right)=h(\alpha) .
\]

Видим, что получилось уравнение в частных производных с меньшим числом переменных (переменная $t$ отсутствует).
Формулы теоремы Якоби (7), (8) становятся такими:
\[
p=\frac{\partial I}{\partial q^{0}}, \beta=-\frac{\partial h}{\partial \alpha} t+\frac{\partial I}{\partial \alpha} .
\]

Поскольку система сейчас автономна, выбор начального времени роли не играет; в частности, можно положить $t=0, p=p^{0}, q=q^{0}$. Получим
\[
p^{0}=\frac{\partial I}{\partial q^{0}}, \beta=\frac{\partial I}{\partial \alpha},
\]

где $I=I\left(q^{0}, \alpha\right)$. Далее
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\right\|=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} I \mid}{\partial q_{i} \partial \alpha_{k}}\right\| .
\]

Поэтому, как и в теореме Якоби, алгебраические преобразования позволяют получить
\[
p^{0}=p^{0}(\alpha, \beta), q^{0}=q^{0}(\alpha, \beta) .
\]

В этом смысл функции $I\left(\alpha, q^{0}\right)$ : формулы (12) связывают произвольные константы $\alpha, \beta$ с начальными значениями $p^{0}, q^{0}$. Более того, общее решение задачи имеет вид
\[
\begin{array}{l}
p=p^{0}\left(\alpha, \beta+\frac{\partial h}{\partial \alpha} t\right), \\
q=q^{0}\left(\alpha, \beta+\frac{\partial h}{\partial \alpha} t\right) .
\end{array}
\]

Впредь мы опустим индекс ${ }^{0}$ в уравнениях (12) и будем исследовать так называемые формулы перехода:
\[
p=\frac{\partial I}{\partial q}, \beta=\frac{\partial I}{\partial \alpha} .
\]
(11) называют укороченным уравнением Гамильтона-Якоби. Доказывать (локальных) теорем существования полного интеграла не будем, так как дальнейшее будет посвящено непосредственному решению укороченного уравнения Гамильтона-Якоби в зада-

чах механики. Подчеркнем, что для решения задачи важен не столько сам полный интеграл I этого уравнения, сколько формулы перехода (15).

К функции $I$ всегда можно прибавить $f(\alpha)$; тогда формулы (15) примут вид
\[
p=\frac{\partial I}{\partial q}, \beta=\frac{\partial I}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial \alpha} .
\]

Итак, переменные $\beta$ определены с точностью до сдвига на $\partial f / \partial \alpha$.
ЛОКАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ ОДНОИ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

Лагранжиан одномерной натуральной системы всегда приводится к виду $L=\dot{s}^{2} / 2-V(s)$; тогда гамильтониан
\[
H=\frac{p_{s}^{2}}{2}+V(s),
\]

уравнение Гамильтона-Якоби:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial I}{\partial s}\right)^{2}+V(s)=h(\alpha) .
\]

Видим, что оно может иметь решение только в области возможности движения $\mathfrak{R}^{2}=\{V(s) \leqslant h\}$. Преобразуем его:
\[
p_{\mathrm{s}}=\frac{\partial I}{\partial s}= \pm \sqrt{2(h(\alpha)-V(s))} .
\]

Мы получили одновременно первую формулу перехода (15) и уравнение, позволяющее получить $I$ путем интегрирования. На плоскости $p, q$ уравнение (18) задает две симметричные кривые, отвечающие фиксированной константе $\alpha$; константа $\beta$ меняется вдоль каждой кривой. Имеем соответственно, взяв начальную точку интегрирования $s_{0}(\alpha) \in \mathfrak{M}^{h(\alpha)}$,
\[
I= \pm \int_{s_{0}(\alpha)}^{s} \sqrt{2(h(\alpha)-V(s))} d s
\]

и
\[
\boldsymbol{\beta}=\frac{\partial I}{\partial \alpha}= \pm \int_{s_{0}(\alpha)}^{s} \frac{h^{\prime}(\alpha)}{\sqrt{2(h(\alpha)-V(s))}} d s \mp \sqrt{2\left(h(\alpha)-V\left(s_{0}\right)\right)} \cdot \frac{d s_{0}}{d \alpha} .
\]

Впредь будем выбирать $s_{0}$ так, чтобы второе слагаемое обратилось в нуль, т. е. брать $s_{0} \equiv$ const или $V\left(s_{0}(\alpha)\right) \equiv h(\alpha)$. Итак, имеем (18) и
\[
\beta= \pm h^{\prime}(\alpha) \int_{s_{0}(\alpha)}^{s} \frac{d s}{\sqrt{2(h(\alpha)-V(s))}} .
\]

Это не очень удобные формулы. Во-первых, стоит $\pm$, т. е. получе-

но два отдельных решения в области $p \geqslant 0, p \leqslant 0$ (на этом можно остановиться только если $V(s)<h$ везде; см. рис. 45). Во-вторых, подынтегральная функция в формуле для $\beta$ обращается в нуль на границе области возможности движения. В-третьих, в случае движения в потенциальной яме движение носит колебательный характер, т. е. $p$ то больше, то меньше нуля, тогда как наши формулы пока что применимы лишь на коротком отрезке времени.

МЕТОД ВЕЙЕРШТРАССА
(глобальное решение в потенциальной яме)

Пусть мы имеем потенциальную яму с невырожденным минимумом $s_{*}$ внутри (рис. 42 ). Если $h_{*}=V\left(s_{*}\right)$, то вместо $V$ возьмем $V-h_{*}$ т. е. будем считать, что $V\left(s_{*}\right)=0$. Пусть
\[
\mathfrak{R}^{h}=\left[s_{2}(h), s_{1}(h)\right], 0<h<\bar{h} .
\]

Примем, что $V^{\prime}(s)
eq 0$ на интервале $\left(s_{2}(\bar{h}), s_{1}(\bar{h})\right.$ ) за исключением точки $s_{*}$. Существует гладкая замена переменной $s=f(q)$ такая, что $V=q^{2} / 2$ (лемма Морса, тема 6). Возьмем $s_{0}=s_{*}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
p_{\mathrm{s}}= \pm \sqrt{2 h-q^{2}} \\
\boldsymbol{\beta}= \pm h^{\prime}(\alpha) \int_{0}^{q(s)} \frac{f^{\prime}(q) d q}{\sqrt{2 h-q^{2}}} .
\end{array}
\]

Положим теперь
\[
q=\sqrt{2 h} \sin \xi .
\]

Эта замена «законна» на интервалах ( $-\pi / 2, \pi / 2)$ или ( $-3 \pi / 2$, — $/ 2$ ), на которых $\sin \xi$ — монотонная функция; при этом
\[
d q= \pm \sqrt{2 h-q^{2}} d \xi
\]

соответственно. Кроме того,
\[
p_{s}=\sqrt{2 h} \cos \xi
\]

больше нуля и меньше нуля также соответственно. От $\pm$ мы уже избавились. Имеем далее: функция
\[
\boldsymbol{\beta}=h^{\prime}(\alpha) \int_{0}^{\xi} f^{\prime}(\sqrt{2 h} \sin \xi) d \xi=\Phi_{(\alpha \xi}(\xi)
\]

монотонна и определена на всей прямой. Она имеет обратную
\[
\xi=\Phi_{\alpha}{ }^{-1}(\beta),
\]

откуда $q=\sqrt{2 h(\alpha)} \sin \Phi_{\alpha}^{-1}(\beta)$ и, наконец,
\[
\begin{array}{c}
p_{\mathrm{s}}=\sqrt{2 h(\alpha)} \cos \Phi_{\alpha}^{-1}(\beta), \\
s=f\left(\sqrt{2 h(\alpha)} \sin \Phi_{\alpha}^{-1}(\beta)\right) .
\end{array}
\]

Посмотрим теперь, что получится, если мы формально возьмем

$\xi$ вне интервала ( $-3 \pi / 2, \pi / 2$ ). Тогда $\xi=2 \pi n+\xi_{1}$, где $\xi_{1}$ принадлежит этому интервалу, а поскольку подынтегральная функция периодична, получаем
\[
\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\Phi}_{\alpha}\left(\xi_{1}\right)+n h^{\prime}(\alpha) \int_{-3 \pi / 2}^{\pi / 2} f^{\prime}(\sqrt{2 h(\alpha)} \sin \xi) d \xi .
\]

Таким образом, $\beta$ изменится на $\chi(\alpha)$, что не выходит за рамки произвола, допускаемого в формулах перехода вообще.

ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ

Теперь мы можем воспользоваться возможностью подбирать $h(\alpha)$. Попробуем добиться того, что $\chi(\alpha) \equiv 2 \pi$. Заметим, что
\[
\begin{array}{c}
\int_{-3 \pi / 2}^{\pi / 2} f^{\prime}(\sqrt{2 h} \sin \xi) d \xi=2 \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f^{\prime}(\sqrt{2 h} \sin \xi) d \xi= \\
=2 \int_{s_{1}(h)}^{s_{2}(h)} \frac{d s}{\sqrt{2(h-V(s))}}=2 \frac{d}{d h} \int_{s_{1}(h)}^{s_{2}(h)} \sqrt{2(h-V(s)} d s=\frac{d}{d h} S(h) .
\end{array}
\]

Поэтому нам желательно получить $h^{\prime}(\alpha) S^{\prime}(h(\alpha)) \equiv 2 \pi$. Будем искать не функцию $h(\alpha)$, а обратную к ней: $\alpha(h)$. Тогда $S^{\prime}(h)=$ $=2 \pi \alpha^{\prime}(h)$, так что нам достаточно взять
\[
\alpha(h)=\frac{1}{\pi} \int_{s_{1}(h)}^{s_{2}(h)} \sqrt{2(h-V(s))} d s=\frac{1}{2 \pi} S(h) .
\]

Величина $\alpha$, определенная таким образом, называется «действие». Величина $\beta$, ей соответствующая, определена теперь с точностью до $2 \pi n$ и поэтому называется «угол».
Пример. Гармонический осциллятор: $L=\frac{\dot{x}^{2}}{2}-\frac{k}{m} x^{2}$
(мы разделили на массу). Имеем сразу
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{k}{m} \frac{x^{2}}{2} \\
p_{x}=\frac{\partial I}{\partial x}= \pm \sqrt{2 h(\alpha)-\frac{k}{m} x^{2}} .
\end{array}
\]

Отсюда видим, что надо взять $x=f(q)=\sqrt{m / k} q$, тогда $f^{\prime}(q) \equiv$ $\equiv \sqrt{m / k}$. Полагая $x(\alpha)=\xi(\alpha) \equiv 0$; получим
\[
\beta=\Phi_{\alpha}(\xi)=h^{\prime}(\alpha) \sqrt{\frac{m}{k}} \xi .
\]

Целесообразно положить
\[
h^{\prime}(\alpha)=\sqrt{\frac{k}{m}}, h(\alpha)=\sqrt{\frac{k}{m}} \alpha .
\]

Тогда $\beta=\xi$, и приходим к
\[
x=\sqrt{\frac{m}{k}} \sqrt{2 h} \sin \beta, \quad p_{x}=\sqrt{2 h} \cos \beta .
\]

Общее решение получается в виде (14):
\[
\begin{array}{l}
x=\sqrt[4]{\frac{m}{k}} \sqrt{2 \alpha} \sin \left(\beta+\sqrt{\frac{k}{m}} t\right), \\
p_{x}=\sqrt[4]{\frac{k}{m}} \sqrt{2 \alpha} \cos \left(\beta+\sqrt{\frac{k}{m}} t\right)
\end{array}
\]
(отметим, что здесь $\mathrm{p}_{x}=\dot{x}$, а не $m \dot{x}$ ).
ОТДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Если у нас задача со многими степенями свободы, то первым шагом применения метода Гамильтона-Якоби является сведение задачи к решению нескольких одномерных уравнений. Иногда это удается сделать сразу, иногда — поэтапно. Продемонстрируем общую идею самого распространенного приема. Пусть в выражении гамильтониана отделяются переменные $p_{1}, \ldots, p_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}$ :
\[
H=\mathscr{H}\left(f\left(p_{1}, \ldots, p_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}\right), p_{k+1}, \ldots, p_{n}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}, t\right) .
\]

тогда полный интеграл можно искать в виде
\[
S=F\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right)+\mathcal{S}\left(q_{k+1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right)
\]
(не утверждается, что он обязательно имеет такой вид!), где функции $F$ и $\tilde{S}$ удовлетворяют уравнениям Гамильтона-Якоби
\[
\begin{array}{c}
f\left(\frac{\partial F}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial q_{k}}, q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\dot{\chi}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right), \\
\frac{\partial \widetilde{S}}{\partial t}+\widetilde{H}\left(\chi\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right), \frac{\partial \widetilde{S}}{\partial q_{k+1}}, \ldots, \frac{\partial \widetilde{S}}{\partial q_{n}}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}, t\right)=0 .
\end{array}
\]

Это можно сочетать с исключением времени (при $\partial H / \partial t \equiv 0$ переменная $t$ в уравнении Гамильтона-Якоби тоже в некотором смысле отделяется).

В качестве примера рассмотрим плоскую задачу Қеплера $(m=1)$ :
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)+\frac{\mu}{r}, \quad H=\frac{p_{r}^{2}}{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 r^{2}}-\frac{\mu}{r} \dot{y}
\]

Здесь отсутствует время и отделяются переменные $p_{\varphi}, \varphi$ : $f \equiv p_{\varphi}$. Положим $\chi\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{2}, h(\alpha)=\alpha_{1}$,
\[
S=F\left(\varphi, \alpha_{2}\right)-\alpha_{1} t+I\left(r, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right) .
\]

Тогда $\frac{\partial F}{\partial \varphi}=\alpha_{2} \Rightarrow F=\alpha_{2} \varphi$ и
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \widetilde{I}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{\alpha_{2}^{2}}{2 r^{2}}-\frac{\mu}{r}=\alpha_{1},
\]

\[
\begin{array}{c}
\tilde{I}= \pm \int_{r(\alpha)}^{r} \sqrt{2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+\frac{2 \mu}{r}} d r, \\
S=-\alpha_{1} t+\alpha_{2} \varphi \pm \int_{r(\alpha)}^{r} \sqrt{2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+\frac{2 \mu}{r}} d r .
\end{array}
\]

По теореме Якоби (минуя формулы перехода) общее решение уравнения движения находится из
\[
\begin{array}{c}
p_{\varphi}=\frac{\partial S}{\partial \varphi}=\alpha_{2}, p_{r}=\frac{\partial S}{\partial r}= \pm \sqrt{2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+2 \frac{\mu}{r}}, \\
\beta_{1}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}=-t \pm \int \frac{d r}{\sqrt{2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+\frac{\mu}{r}}}, \\
\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{2}}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{2}}=\varphi \pm \int-\frac{\alpha_{2}}{r^{2}} \frac{d r}{\sqrt{2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+\frac{2 \mu}{r}}},
\end{array}
\]

Проведем анализ последней формулы. Подкоренное выражение представим в виде, полагающемся по методу Вейерштрасса:
\[
2 \alpha_{1}-\frac{\alpha_{2}^{2}}{r^{2}}+\frac{2 \mu}{r}=2 \alpha_{1}+\frac{\mu^{2}}{\alpha_{2}^{2}}-\left(\frac{\alpha_{2}}{r}-\frac{\mu}{\alpha_{2}}\right)^{2} .
\]

Обязательно должно быть $2 \alpha_{2}+\mu^{2} / \alpha_{2}^{2} \geqslant 0$. Положим
\[
q=\frac{\alpha_{2}}{r}-\frac{\mu}{\alpha_{2}}, r=\frac{\alpha_{2}}{\frac{\mu}{\alpha_{2}}+q} .
\]

Интегрировать удобно от $r_{\min }, q_{\max }$. Заметим, что $-\frac{\alpha_{2}}{r^{2}} d r=d q$, так что наш интеграл приобретает вид
\[
\beta_{2}=\varphi \pm \int_{q_{\max }}^{q} \frac{d q}{\sqrt{2 \alpha_{1}+\frac{\mu^{2}}{\alpha_{2}^{2}}-q^{2}}},
\]

и после замены $q=\sqrt{2 \alpha_{1}+\mu^{2} / \alpha_{2}^{2}} \sin \xi$ приходим к $\beta=\varphi+\xi-\pi / 2$. Поэтому
\[
\xi=\frac{\pi}{2}+\beta-\varphi, q=\sqrt{2 \alpha_{1}+\frac{\mu}{\alpha_{2}^{2}}} \cos \left(\varphi-\beta_{2}\right),
\]

\[
r=\frac{\alpha_{2}^{2}}{\mu} /\left[1+\sqrt{1+\frac{2 \alpha_{1} \alpha_{2}^{2}}{\mu^{2}}} \cos \left(\varphi-\beta_{2}\right)\right] .
\]

Получаем уравнение орбиты:
\[
r=\frac{p}{1+e \cos \left(\varphi-\beta_{2}\right)} .
\]

При этом мы выяснили смысл величины $p$ : это радиус круговой орбиты с данной постоянной площадей $\alpha_{2}$, причем в эллиптическом движении это расстояние достигается на угловом расстоянии $\pi / 2$ от перицентра. Угол $\beta_{2}$ есть полярный угол перицентра.

Формула, содержащая $\beta_{1}$, нужна для получения зависимости $r$ и $\varphi$ от времени. Ее нетрудно привести к виду (10.7), на чем останавливаться не будем.