Начнем выписывать уравнения движения по поверхности $\mathfrak{D}$, опираясь на последнюю теорему § 5:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=E{\dot{q}}_1+F{\dot{q}}_2,\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=E{\ddot{q}}_1+F{\ddot{q}}_2+\dots ,\\ \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_2}=F{\dot{q}}_1+G{\dot{q}}_2,\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_2}=F{\ddot{q}}_1+G{\ddot{q}}_2+\dots ,\\ \frac{\partial L}{\partial q_2}=-\frac{\partial V}{\partial q_1}+\dots \\ \frac{\partial L}{\partial q_2}=-\frac{\partial V}{\partial q_2}+\dots \end{array}$$

где многоточием обозначены выражения, квадратичные по ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2$. Итак, уравнения Лагранжа имеют вид
$$\begin{array}{l}E{\ddot{q}}_1+F{\ddot{q}}_2+\dots +\frac{\partial V}{\partial q_1}=0,\\ F{\ddot{q}}_1+G{\ddot{q}}_2+\dots +\frac{\partial V}{\partial q_2}=0.\end{array}$$

Определение. Точка $q_1{}^{\ast },q_2{}^{\ast }$ называется положением $рa_B$ новесия, если среди движений имеется такое: $q_1(t)\equiv q_1{}^{\ast },q_2(t)\equiv$ $\equiv q_2^{\ast }$.

Из выписанных нами уравнений видно, что равновесие возможно в тех.и только тех точках, в которых $\frac{\partial V}{\partial q_1}=\frac{\partial V}{\partial q_2}=0$. Другими словами, положения равновесия — это критические точки потенциала $V$, полученного из потенциала $V(x,y,z)$ сужением на поверхность.

Определение. Положение равновесия $q^{\ast }$ называется устойчивым, если для любой окрестности $\mathcal{D}$ точки $q^{\ast }$ можно указать меньшую окрестность ${\mathcal{D}}^{\prime }$ и такое число $\epsilon >0$, что если $q_1{}^0$, $q_2{}^0\in {\mathcal{D}}^{\prime }$ и $\left|v^0\right|<\epsilon$, то соответствующее движение не выходит из $\mathcal{D}$.

Теорема Лагранжа — Дирихле. Если точка $q^{\ast }-$ строгий локальный минимум функции $\stackrel{ˇ}{}$, то это положение равновесия устойчиво.

Доказательство. Пусть $V\left(q^{\ast }\right)=0$ для определенности, $\mathcal{D}$ — произвольная область, содержащая $q^{\ast }$. Существует ее подобласть ${\mathcal{D}}_0$ є границей $\partial {\mathcal{D}}_0$ такая, тто $\eta =minV>0$ (положи$\partial \mathcal{D}$ 。

тельности $\eta$ можно добиться, уменьшая ${\mathcal{D}}_0$, так как, по условию, $q^{\ast }$ — строгий минимум $V$ ). Функция $V$ непрерывна, так что существует подобласть ${\mathcal{D}}^{\prime }\subset \mathcal{D}$. такая, что. для всех $q_0\in {\mathcal{D}}^{\prime }$ выполиено неравенство $0⩽V\left(q_0\right)<\eta /2$. Положим $\epsilon =\sqrt{\eta /m}$. Пусть $q_{\theta }\in$ $\in {\mathcal{D}}^{\prime },\left|v_0\right|<\epsilon$. Тогда
$$h=m{v}^2/2+V\left(q_0\right)<m{\epsilon }^2/2+\eta /2=\eta ,$$
т. е. движение происходит с энергией $h<\eta$; следовательно, выйти из ${\mathcal{D}}_0\subset \mathcal{D}$ оно не может.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА.

Можно доказать обратное утверждение (о неустойчивости), предполагая невырожденность критической точки $q^{\ast }$, не являющейся минимумом.
Невырожденность означает, что определитель матрицы Гесса
$${\left|\begin{array}{ll}\frac{{\alpha }^{2}V}{\partial q_1^2}& \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_1\partial q_2}\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_1\partial q_2}& \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_2^2}\end{array}\right|}_{q^{\ast }}eq0.$$

Это ситуация общего положения. Пусть $q^{\ast }=(0,0)$ для простоты. Уравнения первого приближения будут (ср. с выводом (4.10)):
$$\begin{array}{c}A\left(\begin{array}{l}{\ddot{q}}_1\\ {\ddot{q}}_2\end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\end{array}\right)=0,\\ A=\left(a_{ij}\right)={\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)|}_{(0,0)},B=\left(b_{ij}\right)={\left(\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_1^2}& \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_1\partial q_2}\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\therefore q_1\partial q_2}& \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_2^2}\end{array}\right)|}_{(0,0)}.\end{array}$$

Уравнения (2) имеют лагранжев вид с лагранжианом
$$L_0=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{a}_{ij}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j-\frac{1}{2}\mathbf{\Sigma }{b}_{ij}{q}_i{q}_j.$$

Матрица $A$ есть матрица коэффициентов сужения евклидовой метрики на касательную плоскость $T_0(\mathfrak{R})$, вычисленная в репере $\frac{\partial r}{\partial q_1},\frac{\partial r}{\partial q_2}$. Поэтому функцию $L_0$ можно рассматривать как лагранжиан некоторого фиктивного движения в касательной плоскости, фиктивного, но в существенных чертах сходного с действительным движением. Воспользуемся теперь нашим правом заменять переменные в лагранжиане (см. конец § 5).
теорема. Существует такая линейная замена:
$$\left(\begin{array}{l}{q}_1\\ q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{\dot{q}}_1\\ {\dot{q}}_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right),$$

что
$$L_0=\frac{1}{2}\mathbf{\Sigma }{\dot{x}}_i{}_i-\frac{1}{2}\mathbf{\Sigma }{\lambda }_i{x}^2{}_i,$$

и уравнения (2) приводятся к виду
$${\ddot{x}}_i+{\lambda }_i{x}_i=0,$$

где переменные разделены.
Для доказательства надо взять матрицу $C$ линейной замены:
$$\left(\begin{array}{l}{q}_1\\ q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),$$

приводящей квадратичные формы (первая из ихх положительно определена) $\mathrm{\Sigma }{a}_{ij}{q}_i{q}_j,\mathrm{\Sigma }{b}_{ij}{q}_i{q}_j$ к виду $\mathrm{\Sigma }{x}_i{}^2;\mathrm{\Sigma }{\lambda }_i{x}_i{}^2$.

Докажем, как строится искомая замена в общем случае, когда эти формы не пропорциональны. На плоскости ${\mathbf{R}}^2(q_1,q_2)$ рассмотрим эллипс
$$Aq\cdot q=\mathrm{\Sigma }{a}_{ij}{q}_i{q}_j=1,$$

м переменную кривую второго порядка:
$$Bq\cdot q=\mathrm{\Sigma }{b}_{ij}{q}_i{q}_j=C,$$

которая ввиду невырожденности матрицы есть, вообще говоря, эллипс или гипербола. Ровно при двух значениях $C=C_1,C_2$ мы будем иметь касание кривой (7) с эллипсом (6) (см. рис. 48 , где изображен случай, когда (7) — эллипс; вариант гиперболы изобразить самостоятельно). Отметим на плоскости точки касания и направим в две из них линейно независимые векторы $f_1$ и $f_2$. Тогда, поскольку формальные градиенты левых частей (6) и (7) в точках касания коллинеарны,
$$B{\mathbf{f}}_i={\lambda }_{i}A{\mathbf{f}}_i,A{\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_i=1.$$

Отсюда
$$\det |B-{\lambda }_{i}A|=0\text{, }$$

так что ${\lambda }_i$ являются корнями одного квадратного уравнения. С другой стороны,
$$C_i=B{\mathfrak{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_i={\lambda }_{i}A{\mathbf{f}}_i\cdot {\mathbf{f}}_i={\lambda }_i,$$

так что ${\lambda }_1=C_1,{\lambda }_2=C_2$. Второе из равенств (8) указывает, что модули ${\mathfrak{f}}_i$ равны единице в имеющейся евклидовой метрике. Кроме того, эти векторы ортогональны, так как
$${\lambda }_{1}A{\mathbf{f}}_1\cdot {\mathbf{f}}_2=B{\mathbf{f}}_1\cdot {\mathbf{f}}_2=B{\mathfrak{f}}_2\cdot {\mathbf{f}}_1={\lambda }_{2}A{\mathbf{f}}_2\cdot {\mathbf{f}}_1,$$

откуда $A{\mathrm{f}}_1\cdot {\mathrm{f}}_2=0$. Осталось положить
$$q=x_1{\mathbf{f}}_1+x_2{\mathbf{f}}_2,$$

и тогда
$$Aq\cdot q=x_1{}^2+x_2{}^2,Bq\cdot q={\lambda }_1{x}_1{}^2+{\lambda }_2{x}_2{}^2\text{. }$$
3адача 12. Систему уравнений (5) решить в зависимости от знаков ${\lambda }_i$ (см. конец § 4); установить наличие квадратичных интегралов ${\mathrm{\Phi }}_i={\dot{x}}_i^2/2+{\lambda }_i{x}_i^2/2=C_i$; по аналогии с бигармоническим осциллятором изобразить различные типы траекторий.

Заключение. Если среди ${\lambda }_i$ есть отрицательные, то $\check{V}$ не имеет минимума в точке $q^{\ast }$ (будет седло или максимум), а решения линеаризованной системы, вообще говоря, будут экспоненциально уходить (см. § 4), хотя бы по одной из координат $x_i$. По соответствующим теоремам из теории дифференциальных уравнений это гарантирует неустойчивость решений точной системы и доказывает обращение теоремы Лагранжа-Дирихле в случае невырожденной критической точки.