Начнем выписывать уравнения движения по поверхности $\mathfrak{D}$, опираясь на последнюю теорему § 5:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}=E \dot{q}_{1}+F \dot{q}_{2}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}=E \ddot{q}_{1}+F \ddot{q}_{2}+\ldots, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}}=F \dot{q}_{1}+G \dot{q}_{2}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}}=F \ddot{q}_{1}+G \ddot{q}_{2}+\ldots, \\
\frac{\partial L}{\partial q_{2}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{1}}+\ldots \\
\frac{\partial L}{\partial q_{2}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{2}}+\ldots
\end{array}
\]

где многоточием обозначены выражения, квадратичные по $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}$. Итак, уравнения Лагранжа имеют вид
\[
\begin{array}{l}
E \ddot{q}_{1}+F \ddot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=0, \\
F \ddot{q}_{1}+G \ddot{q}_{2}+\ldots+\frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0 .
\end{array}
\]

Определение. Точка $q_{1}{ }^{*}, q_{2}{ }^{*}$ называется положением $р a_{B}$ новесия, если среди движений имеется такое: $q_{1}(t) \equiv q_{1}{ }^{*}, q_{2}(t) \equiv$ $\equiv q_{2}^{*}$.

Из выписанных нами уравнений видно, что равновесие возможно в тех.и только тех точках, в которых $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=\frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0$. Другими словами, положения равновесия – это критические точки потенциала $V$, полученного из потенциала $V(x, y, z)$ сужением на поверхность.

Определение. Положение равновесия $q^{*}$ называется устойчивым, если для любой окрестности $\mathscr{D}$ точки $q^{*}$ можно указать меньшую окрестность $\mathscr{D}^{\prime}$ и такое число $\varepsilon>0$, что если $q_{1}{ }^{0}$, $q_{2}{ }^{0} \in \mathscr{D}^{\prime}$ и $\left|v^{0}\right|<\varepsilon$, то соответствующее движение не выходит из $\mathscr{D}$.

Теорема Лагранжа – Дирихле. Если точка $q^{*}-$ строгий локальный минимум функции $\check{~}$, то это положение равновесия устойчиво.

Доказательство. Пусть $V\left(q^{*}\right)=0$ для определенности, $\mathscr{D}$ – произвольная область, содержащая $q^{*}$. Существует ее подобласть $\mathscr{D}_{0}$ є границей $\partial \mathscr{D}_{0}$ такая, тто $\eta=\min V>0$ (положи$\partial \mathscr{D}$ 。

тельности $\eta$ можно добиться, уменьшая $\mathscr{D}_{0}$, так как, по условию, $q^{*}$ – строгий минимум $V$ ). Функция $V$ непрерывна, так что существует подобласть $\mathscr{D}^{\prime} \subset \mathscr{D}$. такая, что. для всех $q_{0} \in \mathscr{D}^{\prime}$ выполиено неравенство $0 \leqslant V\left(q_{0}\right)<\eta / 2$. Положим $\varepsilon=\sqrt{\eta / m}$. Пусть $q_{\theta} \in$ $\in \mathscr{D}^{\prime},\left|v_{0}\right|<\varepsilon$. Тогда
\[
h=m v^{2} / 2+V\left(q_{0}\right)<m \varepsilon^{2} / 2+\eta / 2=\eta,
\]
т. е. движение происходит с энергией $h<\eta$; следовательно, выйти из $\mathscr{D}_{0} \subset \mathscr{D}$ оно не может.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА.

Можно доказать обратное утверждение (о неустойчивости), предполагая невырожденность критической точки $q^{*}$, не являющейся минимумом.
Невырожденность означает, что определитель матрицы Гесса
\[
\left|\begin{array}{ll}
\frac{\alpha^{2} V}{\partial q_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1} \partial q_{2}} \\
\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1} \partial q_{2}} & \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{2}^{2}}
\end{array}\right|_{q^{*}}
eq 0 .
\]

Это ситуация общего положения. Пусть $q^{*}=(0,0)$ для простоты. Уравнения первого приближения будут (ср. с выводом (4.10)):
\[
\begin{array}{c}
A\left(\begin{array}{l}
\ddot{q}_{1} \\
\ddot{q}_{2}
\end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)=0, \\
A=\left(a_{i j}\right)=\left.\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)\right|_{(0,0)}, B=\left(b_{i j}\right)=\left.\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1} \partial q_{2}} \\
\frac{\partial^{2} V}{\therefore q_{1} \partial q_{2}} & \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{2}^{2}}
\end{array}\right)\right|_{(0,0)} .
\end{array}
\]

Уравнения (2) имеют лагранжев вид с лагранжианом
\[
L_{0}=\frac{1}{2} \Sigma a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma} b_{i j} q_{i} q_{j} .
\]

Матрица $A$ есть матрица коэффициентов сужения евклидовой метрики на касательную плоскость $T_{0}(\mathfrak{R})$, вычисленная в репере $\frac{\partial r}{\partial q_{1}}, \frac{\partial r}{\partial q_{2}}$. Поэтому функцию $L_{0}$ можно рассматривать как лагранжиан некоторого фиктивного движения в касательной плоскости, фиктивного, но в существенных чертах сходного с действительным движением. Воспользуемся теперь нашим правом заменять переменные в лагранжиане (см. конец § 5).
теорема. Существует такая линейная замена:
\[
\left(\begin{array}{l}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
\dot{q}_{1} \\
\dot{q}_{2}
\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}
\dot{x}_{1} \\
\dot{x}_{2}
\end{array}\right),
\]

что
\[
L_{0}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma} \dot{x}_{i}{ }_{i}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma} \lambda_{i} x^{2}{ }_{i},
\]

и уравнения (2) приводятся к виду
\[
\ddot{x}_{i}+\lambda_{i} x_{i}=0,
\]

где переменные разделены.
Для доказательства надо взять матрицу $C$ линейной замены:
\[
\left(\begin{array}{l}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right),
\]

приводящей квадратичные формы (первая из ихх положительно определена) $\Sigma a_{i j} q_{i} q_{j}, \Sigma b_{i j} q_{i} q_{j}$ к виду $\Sigma x_{i}{ }^{2} ; \Sigma \lambda_{i} x_{i}{ }^{2}$.

Докажем, как строится искомая замена в общем случае, когда эти формы не пропорциональны. На плоскости $\mathbf{R}^{2}\left(q_{1}, q_{2}\right)$ рассмотрим эллипс
\[
A q \cdot q=\Sigma a_{i j} q_{i} q_{j}=1,
\]

м переменную кривую второго порядка:
\[
B q \cdot q=\Sigma b_{i j} q_{i} q_{j}=C,
\]

которая ввиду невырожденности матрицы есть, вообще говоря, эллипс или гипербола. Ровно при двух значениях $C=C_{1}, C_{2}$ мы будем иметь касание кривой (7) с эллипсом (6) (см. рис. 48 , где изображен случай, когда (7) – эллипс; вариант гиперболы изобразить самостоятельно). Отметим на плоскости точки касания и направим в две из них линейно независимые векторы $f_{1}$ и $f_{2}$. Тогда, поскольку формальные градиенты левых частей (6) и (7) в точках касания коллинеарны,
\[
B \mathbf{f}_{i}=\lambda_{i} A \mathbf{f}_{i}, A \mathbf{f}_{i} \cdot \mathbf{f}_{i}=1 .
\]

Отсюда
\[
\operatorname{det}\left|B-\lambda_{i} A\right|=0 \text {, }
\]

так что $\lambda_{i}$ являются корнями одного квадратного уравнения. С другой стороны,
\[
C_{i}=B \mathfrak{f}_{i} \cdot \mathbf{f}_{i}=\lambda_{i} A \mathbf{f}_{i} \cdot \mathbf{f}_{i}=\lambda_{i},
\]

так что $\lambda_{1}=C_{1}, \lambda_{2}=C_{2}$. Второе из равенств (8) указывает, что модули $\mathfrak{f}_{i}$ равны единице в имеющейся евклидовой метрике. Кроме того, эти векторы ортогональны, так как
\[
\lambda_{1} A \mathbf{f}_{1} \cdot \mathbf{f}_{2}=B \mathbf{f}_{1} \cdot \mathbf{f}_{2}=B \mathfrak{f}_{2} \cdot \mathbf{f}_{1}=\lambda_{2} A \mathbf{f}_{2} \cdot \mathbf{f}_{1},
\]

откуда $A \mathrm{f}_{1} \cdot \mathrm{f}_{2}=0$. Осталось положить
\[
q=x_{1} \mathbf{f}_{1}+x_{2} \mathbf{f}_{2},
\]

и тогда
\[
A q \cdot q=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}, B q \cdot q=\lambda_{1} x_{1}{ }^{2}+\lambda_{2} x_{2}{ }^{2} \text {. }
\]
3адача 12. Систему уравнений (5) решить в зависимости от знаков $\lambda_{i}$ (см. конец § 4); установить наличие квадратичных интегралов $\Phi_{i}=\dot{x}_{i}^{2} / 2+\lambda_{i} x_{i}^{2} / 2=C_{i}$; по аналогии с бигармоническим осциллятором изобразить различные типы траекторий.

Заключение. Если среди $\lambda_{i}$ есть отрицательные, то $\check{V}$ не имеет минимума в точке $q^{*}$ (будет седло или максимум), а решения линеаризованной системы, вообще говоря, будут экспоненциально уходить (см. § 4), хотя бы по одной из координат $x_{i}$. По соответствующим теоремам из теории дифференциальных уравнений это гарантирует неустойчивость решений точной системы и доказывает обращение теоремы Лагранжа-Дирихле в случае невырожденной критической точки.