Рис. 1. В инерциальной системе отсчета воздействие на материальную точку других объектов характеризуется векторами сил, которые складываются по правилу параллелограмма. Считая, что сама точка обратного воздействия не оказївает, имеем уравнение Ньютона $m \mathbf{a}=\mathbf{F}(\mathbf{v}, \mathbf{r}, t)$

Рис. 2. Моделирование взаимодействия осуществляется на основе понятия «система материальных точек». Предполагается, что движение объектов, не включенных в систему, с течением времени известно. Воздействие на точки системы со стороны этих объектов характеризуется внешними силами, взаимодействие между точками – внутренними силами. После суммирования сила, действующая на каждую точку, зависит от состояния всей системы и от времени; поэтому вычислить движение этой точки отдельно, вообще говоря, невозможно
Добавление. Кроме того, часть воздействий или взаимодействий может моделироваться указанием их конечного результата, т. е. наложением голономных связей – функциональных соотношений. в силу которых расположение точек в пространстве не может быть произвольным (это на рисунке не отражено). Например, если потребовать, что все попарные расстояния между точками не меняются, то Будем иметь модель твердого тела. Другие воздействия, например, приводящие к качению твердого тела без проскальзывания, могут описываться более сложными неголомными связями, ограничивающими распределение скоростей в системе
Рис. 3. Движение точки по поверхности, гладкой в смысле непрерывной дифференцируемости (для простоты – бесконечной) и гладкой в смысле «нешероховатой»: сила реакции, удерживающая точку на поверхности, ей ортогональна (идеальная связь). Движение системы материальных точек со связями также можно интерпретировать как движение некоторой точки по многообразию положений в евклидовом пространстве высокой размерности
Рис. 4. Движение точки по кривой, взаимодействие с которой может привести к появлению касательной силы реакции (неидеальная связь). В этом случае необходимо предлагать какую-либо конкретную модель для этой силы; в первую очередь указав зависимость ее от скорости. Основными являются две модели: вязкое трение (зависимость – линейная или вообще нечетная гладкая функция) и сухое трение (зависимость разрывная типа функции sgn)
Рис. 5. Пример освобождающей связи: маятник на нити. Связь записывается в виде неравенства
\[
x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2} \text {. }
\]

При движении со скоростью достаточно небольшой (колебания) и достаточно большой (вращение) равенство сохраняется постоянно. В промежутке возможны движения, при которых натяжение нити (сила реакции) обращается в нуль и точка покидает окружность – равенство нарушается
Рис. 6. Принцип Гаусса. Пусть в данном положении точка имеет заданную скорость (т. е. зафиксировано ее состояние). Тогда концы всех мыслимых ускорений заметают плоскость, параллельную касательной. Разность $\mathbf{F} / m$-a ортогональна этой плоскости в точности для того из мыслимых ускорений, квадратичное отклонение которого от вектора $\mathbf{F} / m$ (ускорение освобожденного движения) минимально

Прим. 1) Таким образом, определение движений точки, на которую наложена идеальная связь, прямо (см. рис. 3) или опосредованно (принцип д’Аламбера-Лагранжа, принцип Гаусса) содержит условие того, что сила реакции $\mathbf{R}=\mathbf{F}$-ma ортогональна поверхности, по которой движется точка. 2) Этот частный вариант принципа Гаусса легко распространяется на систему материальных точек: в заданном состоянии квадратичные отклонения суммируются и сумма минимизируется

Рис. 7. Связь, зависящая от времени. Следует ясно различать фактическое перемещение $\Delta \mathbf{r}$ за время $d t$, соответствующее «действительное» перемещение $d \mathbf{r}$ (разница – на бесконечно малую более высокого порядка, чем $d t$ ) и, наконец, возможное (виртуальное) перемещение $\delta \mathbf{r}$, которое прямого отношения к процессу движения не имеет, но как бы инфинитезимально указывает на допустимые положения системы, близкие к заданному в текущее мгновение
Рис. 8. Изображение конечного поворота на угол $\chi$ вокруг оси $O$ і. При достаточно малых $\chi$ дуга $P P^{\prime}$ с точностью до бесконечно малых более высокого порядка совпадает с перпендикуляром к -плоскости векторов r, i. Разделив на время $\tau$, за которое совершался поворот, и устремив $\tau$ к нулю, в пределе получим формулу распределения скоростей в теле с неподвижной точкой $O$
Рис. 9. Распределение скоростей в плоском твердом теле в каждое мгновение выглядит так, как если бы тело постоянно вращалось вокруг некоторой точки $C$, называемой мгновенным центром скоростей. Изображен также способ определения абсолютного угла поворота тела: на теле мысленно отмечается некоторый отрезок и берется угол, который этот отрезок составляет с каким-либо неподвижным направлением
Рис. 10. Неподвижная и подвижная системы координат; вторая явно связана с некоторым твердым телом – «опорным», движение которого можно условно назвать переносом. Рассматривается движение точки $P$ и движение еще одного твердого тела $\mathscr{\&}$; кинематические характеристики движения (скорость и ускорение точки $P$, угловая скорость и угловое ускорение тела $\boldsymbol{\&}$ ), вычисленные с точки зрения систем $O x y z$ и $A \xi \eta \zeta$, называются соответственно абсолютными и относительными. В данное мгновение движущаяся точка $P$ оказалась в точке $B$ опорного тела: абсолютные скорость, ускорение точки $B$ называются переносными для точки $P$ в это мгновение
Рис. 11 и 12. Диск со штангой ( $A S$ ) и шар со штангой ( $A S$ ) катятся по плоскости; конец штанги ( $A$ ) неподвижен (изображен вид сечения). Мгновенная ось вращения $C C^{\prime}$ проходит через неподвижную точку $A=C^{\prime}$ и через ту точку диска или шара $P$, которой катящееся тело в данное мгновение соприкасается с плоскостью $(P=C)$ : скорость этой точки (в данное мгновение) равна нулю. Вместе с тем сама точка касания $C$ как видимый образ движется по плоскости с ненулевой скоростью. Подвижная система координат (угол поворота $\psi$ ) вращается так, что в ней точка касания неподвижна и происходит вращение тела вокруг штанги; абсолютная угловая скорость есть сумма переносной и относительной. Указанное на чертеже направление отсчета угла $\varphi$ не совпадает с фактическим направлением вращения
Рис. 13. Сферические координаты и углы Эйлера. Углы $\theta$ и $\psi$ задают положение точки $P$ на сфере радиуса $r$. Если считать величину $r$ переменной, то получим сферические координаты в пространстве (в плоскости $O x y$ при этом получаются полярные координаты). Если $O P$ – отмеченное направление в твердом теле (например, ось симметрии), то в дополнение к $\theta$ и $\psi$ вводится еще угол $\varphi$ поворота некоторой плоскости, связанной с телом, относительно плоскости $N P S$ (ср. с одноименными углами на рис. 11 и 12). Углы $\theta, \psi$, ч называются углами Эйлера (обычно вместо $\psi$ берется $\psi+\pi / 2$ )
Рис. 14. Три точки равных масс находятся в вершинах равностороннего треугольника и имеют равные по модулю скорости. Таким образом, ки. нетическая энергия (и потенциальная в случае попарного взаимодействия) во всех трех вариантах одна и та же. Различие состоит в следующем. В первом варианте импульс и кинетический момент относительно центра треугольника оба равны нулю, во втором импульс равен нулю, момент – нет (более того, он максимален по модулю), в третьем случае наоборот (и импульс максимален по модулю)
Рис. 15. Вращающийся диск. Пример того, что кинетический момент твердого тела с неподвижной точкой в общем случае не коллинеарен вектору угловой скорости (если ось вращения не является главной). Это расхождение – почти недоступное зрительному восприятию – является ключом к объяснению закономерностей динамики твердого тела, некоторые из которых поначалу кажутся странными. В данном частном случае в концах оси вращения возникают значительные боковые усилия (ведущие к износу подшипников), несмотря на то что центр масс диска находится на оси вращения
Рис. 16. Кинетический момент массы, равномерно движущейся по окружности. Если начало координат находится в центре окружности, то момент перпендикулярен плоскости движения. Если начало координат проецируется в центр, то кинетический момент постоянен по модулю, но уже не направлен по нормали и заметает круговой конус (кстати, отсюда вытекает смещение кинетического момента на рис. 15 , так как он получается суммированием кинетических моментов всех частиц тела; для большей ясности надо взять не диск, а палочку). В остальных случаях момент будет менять и величину и направление
Рис. 17. Эллипсоид инерции теннисной ракетки, построенный в конце ее ручки, вытянут в направлении наименьшего момента инерции и сжат в направлении наибольшего
Рис. 18. Ось симметрии – главная, плоскость симметрии – главная
Рис. 19. Если ось параллельно перенести на расстояние $d$ от центра масс, то соответствующий момент инерции увеличится на $M d^{2}$
Рис. 20. Моменты инерции однородных тел: отрезка, окружности, круга и шара
Рис. 21. Взаимодействие тела с поверхностью характеризуется силой реакции $\mathbf{R}$ и моментом $\mathbf{M}_{P}$, приложенными в точке соприкосновения. Выбор конкретной модели взаимодействия состоит в указании способа вычисления этих векторов
Рис. 22. Сила реакции при скольжении по гладкой поверхности (a) к при качении по абсолютно шероховатой (б). Здесь мы имеем идеальные связи. Учет неидеальности может производиться введением вязкого трения в первом случае и трения качения во втором
Рис. 23. Гравитационная и инерционная составляющие силы тяжести
Рис. 24. Сила Кориолиса для точки, движущейся по меридиану
Рис. 29-34. Иллюстрации к некоторым задачам
Рис. 35-40. Иллюстрации к Принципу явно важных точек
Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса: 1) колебательное движение одномерной консервативной системы «в потенциальной яме»; 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил; 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона-Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях

Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида
\[
d \text { (верт.) }= \pm \frac{d \text { (горизонт.) }}{\sqrt{ }},
\]

причем подкоренное выражение неотрицательно на некотором отрезке. Появление корня в конечном счете всегда связано с тем, что в выражении кинетической энергии скорость стоит в квадрате

Рис. 42. Области возможности движения натуральной системы с одной степенью свободы распадаются на несколько связных частей типа отрезка или полупрямой; отрезку отвечают колебательные (см. рис. 41) и иногда асимптотические движения к неустойчивым положениям равновесия. Иногда происходят перестройки о. в. д. (с ростом $h$ связные части могут сливаться либо рождаться «на пустом месте»), когда $h$ пересекает критическое значение потенциальной энергии. Если соответствующая критическая точка (положение равновесия) невырождена, то перестройка обязательна
Рис. 43. Движение в окрестности точек остановки практически равноускоренное (т. е. график функции $s(t)$ в окрестности точек экстремума хорошо аппроксимируется параболой, изображающей разложение в ряд Тейлора с точностью до членов третьего порядка малости)
Рис. 44. Линеаризация одномерной консервативной системы в окрестности равновесия использует замену потенциала квадратичными членами его тейлоровского разложения (снова замена функции некоторой параболой, но в других обстоятельствах). Изображено устойчивое равновесие; для неустойчивого рисунок надо перевернуть
Рис. 45. Уровень энергии в фазовом пространстве, отвечающий области возможности движения на рис. 42. Легко видеть, что эта область может рассматриваться как проекция уровня на ось $s$; потенциальной яме (связной части типа отрезка) отвечает замкнутая кривая на фазовой плоскости

Примечания. 1) Внутри замкнутой кривой находится устойчивое состояние равновесия. При линеаризации системы в его окрестности эта кривая аппроксимируется эллипсом (ср). с рис. 72). 2) Изображен также характер изменения произвольных постоянных ( $\alpha$ и в), получающихся при применении метода Гамильтона -. Якоби. 3) Неустойчивое состояние равновесия помечено крестиком: оно располагается на оси $s$ между связными компонентами уровня энергии. С ростом $h$ эти компоненты приблизятся справа и слева к указанному равновесию, и в его окрестности будут идти примерно по гиперболам (ср. с рис. 73). После того как $h$ пересечет критическое значение, уровень энергин станет связным, но поначалу будет иметь тонкую перемычку, проходящую сверху и снизу от состояния равновесия, приблизительно опять-таки по гиперболам (снова см. рис. 73).

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной системы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений $P \longmapsto P^{\mathrm{S}}$ (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно). обладающее тем свойством, что в любой «сопутствующей, увлекаемой» системе координат $\xi_{1}, \xi_{2}$ выражение лагранжиана получается одним и тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат $q_{\mathrm{i}}, q_{2}$, из которых одна – циклическая: тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Примечание. Можно сказать, что система с двумя степенями свободы, обладающая симметрией, интегрируема потому, что исключение игнорируемой координаты приводит к си. стеме с одной степенью свободы, интегрируемой всегда. Обобщая, можно утверждать даже большее: все интегрируемые задачи классической динамики (по крайней мере динамики системы точек, чтобы оставить в стороне более абстрактные конструкции) сводятся $\mathbf{x}$ одной или нескольким системам с одной степенью свободы

Рис. 47. Качественная иллюстрация ко многим интегрируемым задачам динамики, в частности: 1) типичные траектории в центральном поле сил (аналогичные, но внешне несколько иные варианты см. на рис. 52 и 62); 2) траектория сферического маятника в проекции на горизонтальную плоскость, если вся траектория лежит ниже экватора; 3) герполодии в представлении Пуансо (полодии см. на рис. 74)
Рис. 48. Геометрический смысл нормальных колебаний: они направлены в точки касания эллипсоида $q \cdot A q=1$ ( $A$ – матрица коэффициентов кинетической энергии) с эллипсоидами из семейства $q \cdot B q=$ const ( $B$ – матрица Гесса потенциальной энергии). Изображен весьма часто встречающийся случай с двумя степенями свободы: в первом из нормальных колебаний обе определяющие координаты растут и убывают одновременно, во втором – изменяются в противоположные стороны
Рис. 49. Еще один образ, характерный для многих интегрируемых систем: 1) эскиз траектории бигармонического осциллятора $\left(\omega_{1} \approx 3 \omega_{2}\right) ; 2$ ) движение в окрестности положения равновесия в первом приближении, представленное в нормальных координатах; 3) типичная траектория лиувиллевой системы в двухпараметрической области возможности движения типа прямоугольника (только этот прямоугольник обычно бывает криволинейным, так что рисунок надо несколько деформировать)

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам; иначе говоря, лиувиллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рнс. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74).

Рис. 50. Центральное поле сил и полярные координаты

Рис. 54. Расположение траекторий в области возможности движения для задачи Кеплера
Рис. 51. Приведенный потенциал и зоны допустимых значений полярного радиуса
Рис. 52. Области возможности движения и поведение траекторий в них для движения в центральном поле сил
Рис. 53. Потенциал и приведенный потенциал в задаче Қеплера
Рис. 55. Геометрические характеристики эллиптической траектории, истинная и эксцентрическая аномалия
Рис. 57. Множество достижимости для бигармонического осциллятора. Аналогичное построение возможно в любой лиувиллевой системе общего вида
Рис. 58. Произвольная вариация кривой в расширенном конфигурационном пространстве (a) и вариация с закрепленными концами (6)
Рис. 59. Свойства геодезических метрик Якоби в области возможности движения с краем. Слева изображены две либрации – траектории периодических движений, переходящих с одной связной компоненты границы (из трех) на другую. Эти кривые имеют минимальную длину в классе всех кривых, соединяющих указанные компоненты границы (минимальная геодезическая для третьей пары связных компонент состоит из уже названных либраций и куска границы между ними – длина этого куска в метрике Якоби равна нулю). Справа изображена траектория, выходящая на границу из произвольной внутренней точки компактной области возможного движения. Такая траектория существует всегда. Существо доказательства в том, что траектория сначала доводится до некоторой секретности границы такой, что все геодезические, выпущенные с границы, без самопересечения под прямым углом упираются в границу окрестности. Одна из этих геодезических встретит рассматриваемую траекторию под развернутым углом и потому послужит ее продолжением. Из рис. 57 вытекает, что даже в случае компактной области возможности движения две точки не всегда можно соединить геодезической метрики Якоби

Рис. 60. Прямолинейное движение по инерции после наложения однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости, превращается в равномерное круговое движение: траектории как бы закручиваются в одну и ту же сторону. Влияние магнитного поля тем сильнее, чем больше величина скорости. В пространственной задаче дополнительно возможно равномерное смещение в направлении поля (или против него)

Рис, 61. Наложение магнитного поля не меняет области возможности движения с заданной энергией, а само движение может стать качественно иным. Здесь изображено, как вместо первоначального ухода в бесконечность траектория может так сильно закрутиться, что равновесие (в цент. ре круга) из неустойчивого превратится в устойчивое (первый эффект Кельвина)
Рис. 62. Эффект Лармора: движение электрона в «атоме водорода» при наличии магнитного поля происходит как бы по вращающемуся эллипсу. Или (изображение явления другой природы): еще один вариант траектории в центральном поль
Рис. 63. Первое прочтение: два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант – траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Bторое прочтение рисунка: изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах – наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно
Рис. 64. Приведены потенциал сферического маятника: после приведения по Раусу к потенциалу добавляется положительное слагаемое. Обобщением этой задачи (в некотором смысле) является волчок Лагранжа – Пуассона
Рис. 65. Псевдорегулярная прецессия волчка Лагранжа – Пуассона: скорость собственного вращения $\dot{\varphi}$ велика и практически постоянна, угловая скорость прецессии $\dot{\psi}$ конечна и тоже почти постоянна, нутация (амплитуда изменения $\theta(t))$ мала. Наличие точки возврата на траектории оси симметрии связано с конкретным выбором начального состояния
Рис. 66. Первое представление Пуансо: эллипсоид инерции катится по неподвижной плоскости. Ее положение зависит от начальных условий
Рис. 67. Второе представление Пуансо: конус, связанный с телом, катится по вращающейся плоскости. Форма конуса и скорость вращения зависят от начальных условий
Рис. 68. Затухающие колебания и апериодический режим осциллятора с трением (слабым (а) и сильным (б) соответственно)
Рис. 69. Биен!я п раскачка осциллятора под действием периодической силы (когда частота возбуждения приблизительно (a) и в точности (б) равна частоте осциллятора)
Рис. 70. Распределение собственных чисел линейной канонической системы
Рис. 71. Коммутирующие фазовые потоки
Рис. 72. Фазовый портрет линейной канонической системы эллиптического типа
Рис. 73. Фазовый портрет линейной канонической системы гиперболического типа
Рис. 74. Полодии на эллипсоиде инерции в представлении Пуансо, а также поток, задаваемый уравнениями Эйлера на уровне энергии. Видны особые точки типа «центр» и «седло». Ассоциация с предыдущими двумя рисунками не случайна: этот поток можно представить как гамильтонов
Рис. 75. Фазовый портрет математического маятника на плоскости. Изображены фазовые траектории колебательных, асимптотических и вращательных движений, указана зона отрицательной реакции связи. Видны состояния равновесия, в линейном приближении имеющие эллиптический и гиперболический типы (особые точки типа «центр» и «седло»)
Рис. 76. Расслоение на фазовые торы, переменные действие–угол (на уровне $\rho_{2}=$ const) и фазовые траектории (обмотки тора) интегрируемых систем. Если в фазовом пространстве поведение их однообразно, то на многообразии положений – весьма разнообразно ввиду того, что фазовые торы и их обмотки могут по-разному проектироваться на это многообразие (ср. с рис. $52,47,62,63,49$ )
Рис. 77. Наглядный смысл переменной «действие» в системе с одной степенью свободы (два варианта, ср. с рис. 75)

Ограниченная задача трех тел: классический пример неинтегрируемой задачи (неинтегрируемость доказана Пуанкаре)

Рис. 78. Подвижная система координатной энергии на оси $x$
Рис. 80. Области Хилла с ростом постоянной интеграла Якоби (заштрихованное отбрасывается). Указаны также точки либрации, в которых происходят перестройки областей Хилла. Из них устойчивыми могут быть только треугольные точки либрации; в первом приближении устойчивость объясняется эффектом Кельвина (см. рис. 61)