Здесь мы рассматриваем систему материальных точек, попарные расстояния между которыми с течением времени заведомо не будут меняться. За счет чего? В силу вышесказанного мы либо можем считать, что дана идеализированная система со связями $\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right)^{2}=l_{i j}{ }^{2}=$ const, природа которых нас не интересует, либо скажем, что точки удерживаются какими-то внутренними силами $\mathbf{f}_{i j}=-\mathbf{f}_{i j}$, причем $\mathbf{f}_{i j} \|\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right)$. Эти трактовки равносильны и позволяют применить к твердому телу все общие теоремы динамики, выписывая в правых частях соответствующих уравнений только силы $\mathscr{F}_{i}$, внешние по отношению к этой системе:
a) заданные силы;
б) реакции дополнительных связей, если таковые имеются. Специфика рассматриваемой модели — и ее непременно надо учесть при применении теорем — состоит в том, что распределение скоростей $\mathbf{v}_{i}$ в системе «твердое тело» определяется скоростью одной произвольно отмеченной точки и вектором угловой скорости тела $\boldsymbol{\omega}$. Начнем с того, что изучим

ВРАЩЕНИЕ.
Пусть в системе координат $Q \xi \eta$ тело вращается вокруг точки $Q$ (точка $Q$ принадлежит телу и неподвижна). Тогда
\[
\mathbf{v}_{i}=\dot{\boldsymbol{\rho}}_{i} \leftrightharpoons\left[\omega \times \boldsymbol{\rho}_{i}\right], \quad \boldsymbol{\rho}_{i}=\overline{Q m_{i}} .
\]

Вычислим кинетический момент и кинетическую энергию в этой системе:
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{Q}=\sum m_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right], \quad T_{Q}=\frac{1}{2} \sum m_{i} \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}^{2} .
\]

Индекс суммирования $i$ впредь условимся не писать. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Lambda}_{Q}=\sum m[\boldsymbol{\rho} \times \dot{\boldsymbol{\rho}}]=\sum m[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]], \\
T_{Q}=\frac{1}{2} \sum m \dot{\boldsymbol{\rho}}^{2}=\frac{1}{2} \sum m([\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}],[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}])= \\
=\frac{1}{2} \sum m(\boldsymbol{\omega},[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]])=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\Lambda}_{Q}\right) .
\end{array}
\]

Легко видеть, что в произвольно взятом положении тела его кинетический момент линейно зависит от $\boldsymbol{1}$, а кинетическая энергия — квадратично. Более того,
\[
\Lambda_{Q}=\operatorname{grad}_{\omega} T_{Q} .
\]

В частности и более подробно:
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{Q \xi}=\frac{\partial T_{Q}(\omega)}{\partial \omega_{\xi}}, \boldsymbol{\Lambda}_{Q \eta}=\frac{\partial T_{Q}(\omega)}{\partial \omega_{\eta}}, \boldsymbol{\Lambda}_{Q \zeta}=\frac{\partial T_{Q}(\omega)}{\partial \omega_{\xi}} .
\]

Действительно, подставим $\boldsymbol{\omega}=\omega_{\xi} \mathrm{e}_{\xi}+\omega_{\eta} \mathbf{e}_{\eta}+\omega_{t} \mathbf{e}_{5}$ в выражение $T=\frac{1}{2} \sum m([\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}],[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}])$ и продифференцируем, например, по $\omega_{\xi}$. В каждом слагаемом надо дифференцировать по очереди каждый из векторных сомножителей. Но они одинаковы, так что можно взять удвоенную производную по первому сомножителю:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T_{Q}}{\partial \omega_{\xi}}=\sum m\left(\frac{\partial}{\partial \omega_{\xi}}[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}],[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]\right)= \\
=\sum m\left(\left[\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial \omega_{\xi}} \times \boldsymbol{\rho}\right],[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]\right)=\boldsymbol{\sum} m\left(\left[\mathbf{e}_{\xi} \times \boldsymbol{\rho}\right],[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]\right)= \\
=\Sigma m\left(\mathbf{e}_{\xi},[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}])=\left(\mathbf{e}_{\xi}, \boldsymbol{\Sigma} m[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]]\right)=\left(\mathbf{e}_{\xi} ; \boldsymbol{\Lambda}_{Q}\right)=\Lambda_{Q \xi} .\right.
\end{array}
\]

Теорема. В точке $Q$ существует связанный с телом репер $\mathbf{e}, e^{\prime}, e^{\prime \prime}$ такой, что если $\boldsymbol{\omega}=p \mathbf{e}+q \mathbf{e}^{\prime}+r e^{\prime \prime}$, то
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{\Lambda}_{Q}=A p \mathrm{e}^{\prime}+B q \mathrm{e}^{\prime}+C r \mathrm{e}^{\prime \prime}, \\
T_{Q}=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right),
\end{array}
\]

где $A, B, C$ — некоторые положительные (тело считается невырожденным) величины, зависящие от точки $Q$.

Доказательство. Разложим все векторы, входящие в выражение энергии, по произвольным осям, жестко связанным с телом (называть эти оси никак не будем). Легко видеть, что значение $T_{Q}(\omega)$ зависит только от расположения вектора $\boldsymbol{\omega}$ в этих

осях и не зависит от ориентации тела, так как координаты всех масс в этих осях постоянны:
\[
T_{Q}=(\boldsymbol{\omega}, \Sigma \underline{m}[\underline{\boldsymbol{\rho}} \times[\boldsymbol{\omega} \times \underline{\boldsymbol{\rho}}]])
\]
(подчеркнуты неизменные слагаемые и сомножители). Следовательно, поверхность, заданная уравнением
\[
2 T_{Q}(\boldsymbol{\omega})=1
\]
(геометрическое место соответствующих концов векторов $\omega$ ), тоже жестко связана с телом. Поскольку выражение для $T_{Q}$ квадповерхность эта — эллипсоид, так называемый эллипсоид инерции. У всякого эллипсоида есть три ортогональных направления $\mathbf{e}, \mathbf{e}^{\prime}, e^{\prime \prime}$, называемых главными, таких, что в соответствующей (можно считать, правоӥ) системе координат его уравнение имеет вид
\[
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}=1 \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
T_{Q}=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right), \\
\boldsymbol{\Lambda}_{Q}=\operatorname{grad}_{\omega} T_{Q}=A p \mathrm{e}+B q \mathrm{e}^{\prime}+C r \mathrm{e}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Теорема доказана. Чтобы уяснить смысл величин $A, B, C$, положим $\boldsymbol{g}=x \mathbf{e}+y \mathbf{e}^{\prime}+z \mathbf{e}^{\prime \prime}$ (индекс $i$ по-прежнему опущен):
\[
\begin{array}{c}
A=2 T_{Q}\left(\mathbf{e}_{\xi}\right)=\left(\mathbf{e}_{\xi}, \Sigma m\left[\boldsymbol{\rho} \times\left[\mathbf{e}_{\xi} \times \boldsymbol{\rho}\right]\right]\right)= \\
=\left(\mathrm{e}_{\xi}, \Sigma m\left(\boldsymbol{\rho}^{2} e_{\xi}-\left(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{e}_{\xi}\right) \mathrm{e}_{\xi}\right)\right)=\Sigma m\left(\boldsymbol{\rho}^{2}-\left(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{e}_{\xi}\right)^{2}\right)= \\
=\Sigma m\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}\right)=\Sigma m\left(y^{2}+z^{2}\right) ;
\end{array}
\]

н аналогично
\[
B=\Sigma m\left(z^{2}+x^{2}\right), C=\Sigma m\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Это — главные моменты инерции, т. е. моменты инерции относительно главных направлений в точке $Q$. Вообще моментом инерции относительно оси $Q \mathfrak{f}$, проходящей через точку $Q$ в направлении единичного вектора $\mathbf{f}$, называется число
\[
I_{Q}(\mathbf{f})=\sum m \delta^{2}=\sum m\left(\boldsymbol{\rho}^{2}-(\boldsymbol{\rho}, \mathbf{f})^{2}\right),
\]

где $\delta$ — расстоянне от точки $m$ до этой оси. Итак,
\[
A=I_{Q}(\mathbf{e}), B=I_{Q}\left(\mathbf{e}^{\prime}\right), C=I_{Q}\left(\mathbf{e}^{\prime \prime}\right) .
\]

Если $\boldsymbol{\omega}=\omega \mathbf{f}, \mathbf{f}=\alpha \mathbf{e}+\beta \mathbf{e}^{\prime}+\gamma \mathbf{e}^{\prime \prime}$, то, очевидно,
\[
\begin{array}{c}
T_{Q}=\frac{\omega^{2}}{2} I_{Q}(\mathbf{f}), \\
I_{Q}(f)=A \alpha^{2}+B \beta^{2}+C \gamma^{2}, \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 .
\end{array}
\]

Эллипсоид инерции сжат в направлении главной оси, отвечающей наиболышему моменту инерции, и вытянут в направлении оси с наименьшим моментом (рис. 17). Если тело переходит само

в себя (с учетом распределения масс) при некотором повороте или отражении, сохраняющим точку $Q$, то и эллипсоид инерции также окажется инвариантным. Отсюда —
правило симметрии

для определения главных направлений в точке $Q$ (рис. 18):
1) плоскость симметрии есть главная (если через точку проходит плоскость симметрии тела, то один главный вектор ей перпендикулярен, а два других лежат в ее плоскости);
2) ось симметрии есть главная (если через точку $Q$ проходит ось симметрии тела, то один из главных векторов направлен по ней).

Обычно моменты инерции тел вычисляются не дискретным суммированием, а интегрированием непрерывного распределения масс по объему.
Теорема Эйлера. Пусть
\[
\mathbf{G}_{Q}=G \mathbf{e}+G^{\prime} \mathbf{e}^{\prime}+G^{\prime \prime} \mathbf{e}^{\prime \prime}-
\]

момент в системе $Q \xi \eta$ всех внешних сил, действующих на твердое тело, а сама точка $Q$ является либо началом инерциальной системы отсчета, либо центром масс тела. Тогда в каждый момент времени
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d p}{d t}+(C-B) q r=G, \\
B \frac{d q}{d t}+(A-C) r p=G^{\prime} \\
C \frac{d r}{d t}+(B-A) p q=G^{\prime \prime}
\end{array}
\]
(уравнения Эйлера) и
\[
\frac{d T_{Q}}{d t}=\left(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{G}_{Q}\right) ;
\]

величины $G, G^{\prime}, G^{\prime \prime}$ могут зависеть, в частности, от ориентации тела и его угловой скорости.

Доказательство. Рассматривая репер e, e’, e\» как подвижную систему координат, имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{Q}}{d t}=\frac{\delta \boldsymbol{\Lambda}_{Q}}{\delta t}+\left[\omega \times \boldsymbol{\Lambda}_{Q}\right]=\mathbf{G}_{Q}, \\
\dot{A p \mathrm{e}}+B \dot{q} \mathrm{e}^{\prime}+C \dot{\mathrm{r}}^{\prime \prime}+\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{e} & p & A p \\
\mathrm{e}^{\prime} & q & B q \\
\mathrm{e}^{\prime \prime} & r & C r
\end{array}\right|=G \mathrm{e}+G^{\prime} \mathrm{e}^{\prime}+G^{\prime \prime} \mathrm{e}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

В проекции на е, $\mathbf{e}^{\prime}, \mathbf{e}^{\prime \prime}$ получаем уравнения Эйлера. Выражение для $T_{Q}$ дифференцируется непосредственно.

ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ПО ИНЕРЦИИ
По определению имеет место тогда, когда $\mathbf{G}_{Q} \equiv \mathbf{0}$. В этом случае вектор $\boldsymbol{\Lambda}_{Q}=\boldsymbol{\Lambda}=$ const постоянен в системе координат $Q \xi \eta$, и, кроме того, сохраняется кинетическая энергия $T$ :
\[
T=T_{Q}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\Lambda}_{Q}\right)=h=\mathrm{const},
\]

откуда вытекает, что постоянна проекция вектора о на направление $\boldsymbol{\Lambda}$. В подвижной системе координат, связанной с телом (в главных осях), вектор о перемещается по кривой:
\[
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}=2 h, \quad A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=\Lambda^{2},
\]

где $2 h$ и $\Lambda^{2}$ — постоянные, зависящие от начальных условий. Положим $\Lambda^{2}=2 h D$ и будем считать, что $A \leqslant B \leqslant C$. Тогда
\[
A \leqslant D \leqslant C .
\]

Сказанное позволяет дать качественное описание движения.
Первое представление Пуансо:

тело движется так, что его эллипсоид инерции катится без проскальзывания по некоторой неподвижной плоскости, перпендикулярной постоянному вектору кинетического момента (рис. 68).

Доказательство. Вектор $\boldsymbol{\Lambda}$ неподвижен в пространстве, но относительно тела движется. Рассмотрим происходящее с точки зрения тела. Имеем
\[
\mathbf{\Lambda}=\operatorname{grad}_{\omega} T_{Q}, T=h=\text { const. }
\]

Это значит, что вектор $\boldsymbol{\Lambda}$ перпендикулярен плоскости, касательной к эллипсоиду $T=h$ в точке $\boldsymbol{1}$. Разделим все векторы на $\sqrt{2 h}$. Получим плоскость $\pi$, касательную к эллипсоиду инерции в точке $P$ такой, что
\[
\overline{O P}=\frac{\omega}{\sqrt{2 h}},
\]

и по-прежнему ортогональную $\boldsymbol{\Lambda}$. Расстояние от плоскости л до $Q$ равно
\[
d=\left(\frac{\omega}{\sqrt{h}}, \frac{\Lambda}{\Lambda}\right)=\frac{2 T}{\sqrt{2 h} \Lambda}=\frac{\sqrt{2 h}}{\Lambda}=\frac{1}{\sqrt{D}},
\]
т. е. постоянно. С точки зрения неподвижной системы координат увидим то же самое, а, кроме того, скорость точки $P$, в которой эллипсоид касается неподвижной теперь плоскости $\pi$, равна $[\omega \times$ $\times \overline{O P}]=0$, т. е. имеем качение без проскальзывания.
Второе представление Пуансо:

если с репером $e, e^{\prime}, e^{\prime \prime}$ (т. е. с телом) связать конус
\[
\frac{A \xi^{2}}{A-D}+\frac{B \eta^{2}}{B-D}+\frac{\left\lfloor C \zeta^{2}\right.}{C-D}=0,
\]

то движение тела можно представить как качение этого конуса по плоскости II, проходящей через точку $Q$ перпендикулярно $\boldsymbol{\Lambda}$ и вращающейся с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Lambda} / D$.

Доказательство. Введем (см. рис. 69) описанную только что плоскость II и заметим, что относительно нее тело имеет угловую скорость $\tilde{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\Omega}$ с компонентами
\[
\tilde{p}=p-\frac{A p}{D}, \quad \tilde{q}=q-\frac{B q}{D}, \quad \tilde{r}=r-\frac{C r}{D} .
\]

Обратно,
\[
p=\frac{D}{D-A} \tilde{p}, q=\frac{D}{D-B} \tilde{q}, r=\frac{D}{D-B} \tilde{r} .
\]

Подставляя в интегралы (8), получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{A_{\tilde{p}^{2}}}{(D-A)^{2}}+\frac{\tilde{B}^{2}}{(D-B)^{2}}+\frac{C \tilde{r}^{2}}{(D-C)^{2}}=\frac{2 h}{D^{2}}, \\
\frac{A^{2} \tilde{p}^{2}}{(D-A)^{2}}+\frac{B^{2} \tilde{q}^{2}}{(D-B)^{2}}+\frac{C^{2} \widetilde{r}^{2}}{(D-C)^{2}}=\frac{2 h}{D} .
\end{array}
\]

Умножив первое уравнение на $D$ и вычтя второе, увидим, что вектор $\overline{Q P}=\tilde{\boldsymbol{\omega}}$ лежит на конусе (9). Нормаль к нему в точке $P$ ортогональна П, так как имеет компоненты:
\[
\frac{A}{D-A} \tilde{p}=\frac{A}{D-A} \frac{D-A}{D} p=\frac{A p}{D}, \ldots .
\]

Следовательно, конус касается плоскости. Скорость точки $\widetilde{P}$ относительно плоскости П равна $[\tilde{\omega} \times \bar{Q} \bar{P}]=0$.
Рассмотрение движения по инерции на этом закончим.
Относительно движения с ненулевым моментом что-либо общее можно сказать, только если рассмотреть

БЫСТРЫЕ ВРАЩЕНИЯ
Быстрые вращения, т. е. предположить, что $T \gg 1$ и
\[
\left|\frac{d \Lambda_{Q}}{d t}\right|=\left|\mathbf{G}_{Q}\right| \ll|\omega||\Lambda|=O(T)
\]
(величина $|\mathbf{G}| / T$ безразмерна и потому может служить характеристикой малости воздействия внешних сил). В этом случае движение можно представить себе по Пуансо (любым из двух способов), одновременно считая, что вектор $\boldsymbol{\Lambda}$ и величина $T$ медленно изменяются.

Сказанное не претендует ни на что, кроме очень общей идеи. В принципе такое представление справедливо лишь на конечном интервале времени, а пользоваться им на больших интервалах можно только при некоторых условиях и с должным обоснованием. Примером является
гироскопический эффект.

Предположим, что тело имеет ось симметрии, проходящую через точку $Q$ в направлении е; обозначим ее $Q$ е. Эта ось — обязательно главная, и при этом $B=C$. Подействуем на тело силой $\mathbf{F}$, приложенной в точке на оси симметрии на расстоянии $l$ от точки $Q$. Теорема об изменении момента дает
\[
\dot{\boldsymbol{\Lambda}}=[l \mathbf{e} \times F] \perp \mathbf{e} .
\]

В частности, из первого уравнения Эйлера (6) вытекает, что
\[
A p=k=\text { const. }
\]

Примем, что до приложения силы $\mathbf{F}$ тело вращалось вокруг оси симметрии: $\boldsymbol{\Lambda}=A \omega_{0} \mathbf{e}=$ const. Считая $\omega_{0} \gg 1$, после приложения силы будем иметь $\boldsymbol{\Lambda} \approx A \omega_{0} \mathbf{e}$, а
\[
A \omega_{0} \frac{d \mathbf{e}}{d t} \approx \frac{d \boldsymbol{\Lambda}}{d t}=l[\mathbf{e} \times \mathbf{F}],
\]
т. е. ось симметрии будет стремиться повернуться не в направлении силы, а перпендикулярно ей. В этом соль эффекта.

Покажем строго, что при некоторых условиях наблюдается как бы постоянный гироскопический эффект. Для простоты и определенности примем, что действует сила тяжести
\[
\mathbf{F}=-m g \mathbf{e}_{\zeta}, \quad \mathbf{e}_{\zeta}=\gamma \mathbf{e}+\gamma^{\prime} \mathbf{e}^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} \mathbf{e}^{\prime \prime} .
\]

Имеют место интегралы движения:
\[
\begin{array}{c}
A p=k, \quad \Lambda_{0 \zeta}=A p \gamma+B\left(q \gamma^{\prime}+r \gamma^{\prime \prime}\right)=c, \\
H=\left(A p^{2}+B\left(q^{2}+r^{2}\right)\right) / 2+m g l \gamma=h .
\end{array}
\]

В силу неравенства $\left(q \gamma^{\prime}+r \gamma^{\prime \prime}\right)^{2} \leqslant q^{2}+r^{2}$ приходим к
\[
\frac{k^{2}}{2 A}+\frac{B}{2}\left(\frac{c-k \gamma}{A}\right)^{2}+m g l \gamma \leqslant h .
\]

Подставим сюда начальные условия:
\[
\begin{array}{l}
k=A \omega_{0}, C=A \omega_{0} \gamma_{0}, h=A \omega^{2} / 2+m g l \gamma_{0} \Rightarrow \\
\Rightarrow\left(\gamma-\gamma_{0}\right)^{2}+\frac{2 m g l}{B \omega_{0}}\left(\gamma-\gamma_{0}\right) \leqslant 0 .
\end{array}
\]

Предположение (10) приобретает вид $\varepsilon=\mathrm{mgl} / B \omega_{0}^{2} \ll 1$. Итак, величина $\gamma$ (косинус угла $\theta$ между векторами е и е $\xi$ ) колеблется в малых пределах: $\gamma_{0}-2 \varepsilon \leqslant \gamma \leqslant \gamma_{0}$, т. е. ось симметрии движется примерно по вертикальному круговому конусу (с угловой скоростью $\Omega=\mathrm{mgl} / A \omega_{0}$ в силу $\boldsymbol{\Lambda}=\mathbf{G}_{Q}$ ). Такое движение называется псевдорегулярной прецессией. В отличие от движения по инерции теперь вектор $\boldsymbol{\Lambda} \approx A \omega_{0} \mathbf{е}$ эволюционирует вместе с осью, а величина $T$ незначительно изменяется (не более чем на $2 \mathrm{mgl} \varepsilon$ ). Это и требовалось получить.

Следует обратить особое внимание на то, что точка $Q$ может оказаться центром масс твердого тела (если применены оси Kенига). Заключения, сделанные нами при рассмотрении вращения, могут иметь силу и тогда, когда рассматривается

ОБЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Общее движения твёрдого тела.

Положение тела определяется местонахождением его центра масс $S$ и ориентацией главных центральных (т. е. построенных в центре масс) осей инерции тела $\mathbf{e}_{s}, \mathbf{e}_{s}^{\prime}, \mathbf{e}_{s}{ }^{\prime \prime}$ относительно осей инерциальной системы отсчета Oxyz. Из общих теорем об изменении импульса и кинетического момента вытекает, что
\[
\begin{array}{c}
\ddot{M \mathbf{s}}=\boldsymbol{\Phi}, \\
\frac{d \boldsymbol{\Lambda}_{S}}{d t}=\mathbf{G}_{S},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\Phi}=\Sigma \mathscr{F}, \mathbf{G}_{s}=\Sigma[\rho \times \mathscr{F}]$. Это — динамические уравнения движения тела, второе из которых может оказаться частным случаем уравнения для чистых вращений, рассмотренных выше, при условии, что момент $\mathbf{G}_{S}$ не зависит от положения $S$. Если сумма всех внешних сил $\boldsymbol{\Phi}$ в свою очередь не зависит от ориентации тела, то центр $S$ движется как материальная точка, а вращение вокруг него происходит независимо.

Теореме об изменении кинетической энергии удобно придать слегка модифицированный вид. Справедливы формулы
1) $T=\frac{M \dot{\mathbf{s}}^{2}}{2 \mathrm{\jmath}}+T_{S}$,
2) $\frac{d T}{d t}=(\dot{\mathbf{s}}, \boldsymbol{\Phi})+\left(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{G}_{S}\right)$.

В силу (11) и (7) доказывать надо только первую из них:
\[
T=\frac{1}{2} \Sigma m(\dot{\mathbf{s}}+[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}])^{2}=\frac{1}{2} \dot{M \dot{s}}^{2}+\frac{1}{2} \Sigma m[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]^{2}+(\underline{\mathbf{s},[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\Sigma} m \boldsymbol{\rho}]}) ;
\]

подчеркнутое слагаемое равно нулю.
Аналогично
\[
\mathbf{\Lambda}_{Q}=M[\mathbf{s} \times \mathbf{s}]+\boldsymbol{\Lambda}_{s} .
\]
(Вернемся ненадолго к вращениям. Пусть $Q=O$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Lambda}_{Q}=M[\mathbf{s} \times[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{s}]]+\boldsymbol{\Lambda}_{S}, \\
T=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\Lambda}_{Q}, \boldsymbol{\omega}\right)=\frac{M}{2}[\omega \times \mathbf{s}]^{2}+T_{S}(\boldsymbol{\omega}),
\end{array}
\]

и в силу (4) имеет место формула Гюйгенса-Штейнера:
\[
I_{Q}(f)=M d^{2}+I_{s}(\mathfrak{f}),
\]

где $d=|\mathbf{f} \times Q S|$ — расстояние между осями $Q f$ и $S \mathbf{f}$. Таким образом, $I_{S}(\mathbf{f})$ является минимальным среди всех $I_{Q}(\mathbf{f})$. Формула Гюйгенса-Штейнера полезна при решении конкретных задач).

Может статься, что нам придется рассматривать движение одного и того же тела в разных ситуациях, когда на него действуют разные системы сил. Легко видеть, что движение будет одним и тем же, если у обеих систем во всех положениях один и тот же вектор Ф (сумма всех сил) и одинаковые суммарные моменты

$\mathbf{G}_{s}$ относительно центра масс. Более того, проверить равенство моментов можно не только относительно центра масс, но и относительно любой точки $A$, так как
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{G}_{A}=\boldsymbol{\Sigma}[(\overline{A S}+\boldsymbol{\rho}) \times \mathcal{F}]=[\overline{A S} \times \boldsymbol{\Phi}]+\mathbf{G}_{S}, \\
\mathbf{G}_{A}=\mathbf{G}_{S}+[\boldsymbol{\Phi} \times \overline{S A}],
\end{array}
\]

так что $G_{A}$ выражается через $\mathbf{G}_{S}, \boldsymbol{\Phi}, \overline{S A}$ (и наоборот). Последняя формула аналогична формуле Эйлера:
\[
\mathbf{v}_{A}=\mathbf{v}_{s}+[\boldsymbol{\omega} \times \vec{S} A] .
\]

Это наводит на мысль придать теореме об изменении кинетической энергии твердого тела еще одну форму:
\[
\frac{d T}{d t}=\left(\boldsymbol{\Phi}, \mathbf{v}_{A}\right)+\left(\mathbf{G}_{A}, \boldsymbol{\omega}\right) .
\]

Доказательство очевидно. Вычисление $\Phi$ и $\mathbf{G}_{A}$ называется приведением сил к точке $A$. Иногда просто говорят, что на тело действует сила $\boldsymbol{\Phi}$ и момент $\mathbf{G}_{A}$.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕНИИ
Допустим, что тело с достаточно регулярной поверхностью движется (катится с проскальзыванием) по некоторой неподвижной опоре, чья поверхность также достаточно регулярна; например бильярдный шар катится по столу. В месте соприкосновения тела и опоры оба, реально говоря, деформируются, несколько стираются, нагреваются и так далее. Учесть точно все эти феномены невозможно, поэтому примем модельный подход, согласно которому
a) движущееся тело и опора не деформируются и, следовательно, касаются только в одной точке;
б) вместе с тем в результате взаимодействия на тело действуют некоторые силы, при приведении к точке касания $P$ имеющие сумму R и момент $\mathbf{M}_{\mathbf{P}}$ (рис. 21).

Дальнейшее уточнение модели состоит в задании $\mathbf{R}$ и $\mathbf{M}_{\mathrm{P}}$ некоторыми формулами:
\[
\mathbf{R}=\mathbf{R}\left(\mathbf{v}_{P}, \boldsymbol{\omega}, \ldots\right), \quad \mathbf{M}_{P}=\mathbf{M}_{P}\left(\mathbf{v}_{P}, \boldsymbol{\omega}, \ldots\right),
\]

где $\mathbf{v}_{\mathrm{P}}$. — скорость той точки тела, которая в данный момент времени осуществляет соприкосновение с опорой.

Пусть $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности опоры в точке $P$. Сила $\mathbf{R}_{n}=(\mathbf{R}, \mathbf{n}) \mathbf{n}$ называется нормальным давлением, сила $\mathbf{R}_{\mathbf{r}}=\mathbf{R}-\mathbf{R}_{n}$, лежащая в касательной плоскости, называется силой трения. Момент $\mathbf{M}_{n}=\left(\boldsymbol{M}_{\mathrm{P}}, \mathbf{n}\right) \mathbf{n}$ называется моментом трения верчения, момент $\mathbf{M}_{\tau}=\mathbf{M}-\boldsymbol{M}_{n}$, лежащий в касательной плоскости, — моментом трения качения. Относительно функций $\mathbf{R}, \boldsymbol{M}_{\mathbf{P}}$ в общем случае можно утверждать, что
\[
\left(\mathbf{R}, \mathbf{v}_{P}\right)+\left(\boldsymbol{M}_{P}, \boldsymbol{\omega}\right) \leqslant 0,
\]

т. е. силы трения вносят, вообще говоря, отрицательный вклад в изменение кинетической энергии (и энергии полной).

Если трактовать катящееся твердое тело как идеализированную систему, то силы взаимодействия с неподвижной поверхностью не оказывают влияния на изменение энергии. Это вытекает из теоремы 1 темы 8. Таким образом, написанное только что неравенство превращается в равенство. При этом вполне возможно, что сила трения $\mathbf{R}_{\tau}
eq 0$. В самом деле, влияние ее нейтрализовано тем, что $\mathbf{v}_{P}=0$ (качение без проскальзывания).
Продолжим описание сил взаимодействия. Примем, что
\[
\mathbf{v}_{\mathrm{P}}
eq 0 \Rightarrow \mathbf{M}_{\mathrm{p}}=0
\]
(при нулевом проскальзывании моментом можно пренебречь).
Довольно просто описывается модель вязкого трения:
\[
\mathbf{R}_{\mathrm{r}}=-C \mathbf{v}_{\mathrm{P}}, \mathbf{M}_{\mathrm{P}} \equiv 0,
\]

где коэффициент $C$ может зависеть и от места и от самой скорости $\mathbf{v}_{P}$.

Практически это единственная модель, в которой $\mathbf{R}, \mathbf{M}^{\mathbf{P}}$ описываются гладкими функциями. B динамике точки мы уже имели дело с сухим трением, при котором уравнения движения получались кусочно-гладкими. В динамике твердого тела соответственно принимается, что поверхность характеризуется коэффициентом трения скольжения $k$ (для простоты — постоянным) так, что
\[
\mathbf{v}_{P}
eq 0 \Rightarrow \mathbf{R}_{\tau}=-k\left|\mathbf{R}_{n}\right| \frac{\mathbf{v}_{P}}{v_{P}}, \quad \boldsymbol{M}_{P}=0 .
\]

Ненулевой момент $\boldsymbol{M}_{\mathbf{P}}$ возникает только при чистом качении: $\mathbf{v}_{P} \equiv 0$. В принципе выражение для него должно учитывать форму тела и поверхности и взаимное расположение их относительно друг друга. Это громоздко и практически не интересно. Поэтому мы ограничимся случаем качения шара радиуса $r$ по плоскости или сферической поверхности. Пусть $\boldsymbol{\omega}_{\tau}=\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{n}) \mathbf{n}$ — касательная составляющая угловой скорости шара: поверхность характеризуется еще и коэффициентом трения качения $x$ так, что
\[
\mathbf{v}_{P} \equiv 0, \omega_{\tau}
eq 0 \Rightarrow\left|\mathbf{R}_{\tau}\right| \leqslant k\left|\mathbf{R}_{n}\right|, \mathbf{M}_{P}=-x r\left|\mathbf{R}_{n}\right| \frac{\omega_{\tau}}{\left|\omega_{\tau}\right|} .
\]

При $\boldsymbol{\omega}_{\tau}=0$ возникает только трение верчения, но это неинтересный случай. Трение верчения можно внести и в (18). Дальнейшие усложнения возможны такие: коэффициенты $k$ и $x$ могут не быть постоянными, коэффициент $k$ в (17) может быть не равен (быть больше) $k$ в (18) и так далее. Однако и простейшая модель сухого трения уже достаточно сложна.

Аналогично эта модель строится для плоских движений осесимметричных тел (например, для качения диска по кривой). При этом вектор $\omega=\omega_{\tau}$ перпендикулярен плоскости движения.

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ

Допустим, что система отсчета Oхyz не является инерциальной.

Тогда при составлении уравнений движения к заданным силам надо добавить силы инерции:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Psi}_{\text {пер }}=-m\left(\mathbf{a}_{0}+[\dot{\boldsymbol{\Omega}} \times(\overline{O S}+\boldsymbol{\rho})]+[\boldsymbol{\Omega} \times[\boldsymbol{\Omega} \times(\overline{O S}+\boldsymbol{\rho})]]\right), \\
\boldsymbol{\Psi}_{\text {кор }}=-2 m[\boldsymbol{\Omega} \times(\dot{\boldsymbol{s}}+[\omega \times \boldsymbol{\rho}])],
\end{array}
\]

где $\mathbf{a}_{0}$ — ускорение начала системы координат, $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}_{\text {пер }}$ — ее угловая скорость относительно какой-либо (неназванной) инерциальной системы координат. В дальнейших вычислениях используется тот факт, что $\Sigma m_{\varrho}=0$, в силу чего все выражения, линейные по @, при суммировании дают нуль. Поэтому просуммировать силы инерции по всему телу легко:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Phi}_{\text {вер }}=-M\left(\mathbf{a}_{o}+[\dot{\boldsymbol{\Omega}} \times \overline{O S}]+[\boldsymbol{\Omega} \times[\boldsymbol{\Omega} \times \overline{O S}]),\right. \\
\boldsymbol{\Phi}_{\text {кор }}=-2 M[\boldsymbol{\Omega} \times \dot{\mathbf{s}}] .
\end{array}
\]

Выражения такие же, как для материальной точки. Теперь надо вычислить суммарный момент сил инерции относительно $S$ :
\[
\mathbf{G}_{S}^{\text {пер }}=\Sigma\left[\boldsymbol{\rho} \times \boldsymbol{\Psi}_{\text {пер }}\right], \quad \mathbf{G}_{S}^{\text {кор }}=\Sigma\left[\boldsymbol{\rho} \times \boldsymbol{\Psi}_{\text {кор }}\right] .
\]

Напомним, что с точки зрения инерциальной системы координат тело участвует в двух движениях: переносном и относительном, или, более точно, скорость каждой точки тела складывается из относительной и переносной. Соответственно имеют смысл выражения «относительный импульс» (в наших обозначениях $\mathbf{P}_{\text {отн }}=$ $=M \dot{\mathbf{s}}$ ) и «переносный импульс» тела — тот импульс, который имеет тело относительно инерциальной системы отсчета, когда оно неподвижно относительно системы Oхyz. Легко видеть, что $\mathbf{P}_{\text {пер }}=M\left(\mathbf{v}_{0}+[\boldsymbol{\Omega} \times \overline{O S}]\right)$. Имеют смысл выражения «относительный» и «переносный» собственные кинетические моменты:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Lambda}_{S}^{\text {oTM }}=\boldsymbol{\Sigma} m[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}]], \\
\boldsymbol{\Lambda}_{S}^{\mathrm{nep}}=\boldsymbol{\Sigma} m[\boldsymbol{\rho} \times[\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{\rho}]] .
\end{array}
\]

Тот и другой моменты, конечно, удобно вычислять в главном центральном репере тела. Величина
\[
I(S)=\Sigma m \rho^{2}=\frac{A+B+C}{2}
\]

называется полным центральным моментом инерции.
Введем также «ускорительный момент»:
\[
\mathbf{H}_{S}^{\text {nep }}=-\Sigma m[\boldsymbol{\rho} \times[\dot{\boldsymbol{\Omega}} \times \boldsymbol{\rho}]] .
\]

Итоговые формулы для моментов сил инерции имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{G}_{S}^{\text {nep }}=-\left[\boldsymbol{\Omega}^{\text {nep }} \times \boldsymbol{\Lambda}_{S}^{\text {пер }}\right]+\mathbf{H}_{S}^{\text {nep }}, \\
G_{S}^{\text {nop }}=2\left[\boldsymbol{\omega}^{\text {отн }} \times\left(I \boldsymbol{\Omega}^{\text {пер }}-\boldsymbol{\Lambda}_{S}^{\text {пер }}\right)\right] .
\end{array}
\]

Переход от (20) к (22) не использует ничего, кроме формулы двойного векторного произведения.