Пусть $\gamma_{0}(t)=\left(q_{1}(t), q_{2}(t)\right), t \in[\bar{t}, \overline{\bar{t}}]$ 一 некоторое движение мз точки $a$ в точку $b$ на поверхности 9 . Выделим эту кривую среди множества других кривых $\gamma:[\bar{t}, \overline{\bar{t}}] \rightarrow \Omega \lambda$, концы которых суть те же то耳ки.
Теорема. Движение $\gamma_{0}(t)$ есть экстремаль функционала
\[
\int_{\bar{t}}^{\overline{\bar{t}}} L\left(\dot{q}_{1}(t), \dot{q}_{2}(t), \quad q_{1}(t), \quad q_{2}(t)\right) d t=\mathscr{E}[\gamma(t)],
\]
т. е. вариация $\delta \mathscr{L}=0$ на движении $\gamma_{0}(t)$ (принцип Гамильтона).
Разъяснения. I. Здесь не используется конкретная структура лагранжиана, а важно лишь то, что движение удовлетворяет уравнениям Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 .
\]
II. Вариацией кривой $\gamma_{0}(t)$ называется всякое семейство кривых $\gamma_{\alpha}(t)=\gamma(t, \alpha), \alpha \in(-\varepsilon,+\varepsilon)$, такое, что
а) $\gamma(\bar{t}, \alpha) \equiv a, \gamma(\bar{t}, \alpha) \equiv b$;
б) $\gamma(t, 0) \equiv \gamma_{0}$.
III.Для отдельно взятой вариации получаем функцию
\[
\mathscr{F}(\alpha)=\int_{\bar{t}}^{\overline{\bar{t}}} L\left(\dot{\gamma}_{\alpha}(t), \gamma_{\alpha}(t)\right) d t
\]
свою для каждой вариации.
IV. Условие $\delta \int L d t=0$ означает по определению, что для любой вариации
\[
\left.\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0}=0 \text {. }
\]
Доказательство теоремы (точнее, лишь основная идея). Вычислим
\[
\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \alpha}=\int\left(\sum \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}(\alpha, t)}{\partial \alpha}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\partial \dot{q}_{i}(\alpha, t)}{\partial \alpha}\right) d t .
\]
Но $q_{i}=\partial q_{i}(a, t) / \partial t$, так что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \alpha}=\int\left(\sum \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\partial^{2} q_{i}}{\partial t \partial \alpha}\right) d t=\sum \int \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha} d t+ \\
+\sum \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}=
\end{array}
\]
(интегрируем по частям)
\[
=\sum \int\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right) \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}+\left.\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}\right|_{\bar{t}} ^{\bar{t}}=
\]
(так как $\gamma(\bar{t}, a)=a, \gamma(\overline{\bar{t}}, a)=b$ )
\[
=\left.\sum_{\frac{1}{t}}^{\bar{t}}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}\right|_{\alpha=0} d t=0 .
\]
Поскольку $\frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}$– фактически произвольные функции $t$, нулю должны быть равны множители при них, т. е. должны выполняться уравнения Лагранжа (они называются уравнениями Эйлера-Лагранжа рассматриваемой вариационной задачи).
ПРИНЦИП ЯКОБИ. Теперь используем структуру лагранжиана:
\[
\widehat{L}=\frac{1}{2}\left(E \dot{q}^{2}{ }_{1}+2 F \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+G \dot{q}_{2}^{2}\right)-\breve{V}=\breve{T}-\breve{V},
\]
и факт наличия интеграла энергии:
\[
K=T+V=h .
\]
Пусть произвольно зафиксирована область возможности движения $\mathfrak{M}^{h}=\{V \leqslant h\}$. Наряду с исходной римановой метрикой:
\[
d l^{2}=E d q_{1}{ }^{2}+2 F d q_{1} d q_{2}+G d q_{2}{ }^{2}
\]
в области $V<h$ введем метрику $Я к о б и:$
\[
d s=\sqrt{2(h-V)} d l .
\]
Теорема (принцип Якоби). Траектории движения с энергией $h$ суть геодезические метрики $d s$ в области $\{V<h\}$.
Разъяснения. I. Рассматривается функционал длины в метрике Якоби. А именно если $\gamma(t)$ – кривая на $\mathfrak{R}$, то ее длина
\[
s|\gamma|=\int_{\bar{t}}^{\bar{t}} \sqrt{2(h-V(q))} \sqrt{E \dot{q}_{1}^{2}+2 F \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\dot{G} \dot{q}_{2}^{2}} d t .
\]
II. Значение функционала длины не зависит от параметризации кривой: если имеется замена переменной $t=t(\tau)$ и $\tilde{\gamma}(\tau)=\gamma(t(\tau))$, то $s[\tilde{\gamma}]=s[\gamma]$ (для доказательства надо выполнить замену в интеграле (1)).
III. Геодезические можно трактовать как экстремали функционала длины: кривая $\gamma_{0}$ – геодезическая, если для любой вариации вида:
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{\alpha}(t)=\gamma(t, \alpha), \gamma(t, 0) \equiv \gamma_{0}(t), \\
\gamma_{\alpha}:[\bar{t}(\alpha), \overline{\bar{t}}(\alpha)], \gamma_{\alpha} \in\{V<h\}, \\
\gamma_{\alpha}(\bar{t})=a, \gamma_{\alpha}(\overline{\bar{t}}) \equiv b,
\end{array}
\]
справедливо утверждение
\[
\left.\frac{d}{d \alpha} s\left[\gamma_{x}\right]\right|_{x=0}=0 .
\]
IV. Обратим внимание на то, что определение вариации иное, нежели в случае принципа Гамильтона. А именно интервал определения $(\bar{t}(\alpha), \overline{\bar{t}}(\alpha)$ ) уже необязательно постоянен. Формально здесь класс вариаций шире, но это расширение несущественно в силу II.
Доказательство теоремы. Поскольку значение функционала длины не зависит от параметризации, мы имеем право принять, что вдоль варьируемой кривой имеет место «интеграл энергии»:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2}+V=h
\]
и что у варьируемых кривых интервал определения тот же самый. Поскольку вся кривая $\gamma_{0}(t) \in\{V<h\}$, выполнено неравенство
\[
V\left(\gamma_{0}(t)\right)<h-\varepsilon, \varepsilon>0,
\]
и, следовательно,
\[
T=\frac{1}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2}>\varepsilon .
\]
Поэтому при всякой вариации $\gamma_{\alpha}$ при достаточно малых $\alpha$ выполнены неравенства:
\[
V\left(\gamma_{\alpha}(t)\right)<h-\varepsilon / 2, \frac{1}{2}\left(\frac{d l}{d t}\right)^{2}>\varepsilon / 2,
\]
подинтегральное выражение $\Phi(\dot{q}, q)$ в (1) не обращается в нуль и потому не теряет гладкости.
Таким образом, кривая $\gamma_{0}(t)$ является геодезической тогда и только тогда, когда вдоль нее выполнено тождество (2) и она является экстремалью функционала (1) в смысле принципа Гамильтона. Выпишем уравнения Эйлера-Лагранжа для этого функционала:
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{q} i}=\frac{\sqrt{2(h-V)}}{\sqrt{2 T}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}},
\]
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}=-\frac{V \overline{2 T}}{\sqrt{2(h-V)}} \frac{\partial V}{\partial q_{i}}+\sqrt{\frac{2(h-V)}{2 T}} \frac{\partial T}{\partial q_{i}} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \Phi}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}=\left(\frac{d}{d t} \sqrt{\frac{h-V}{T}}\right) \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}+\sqrt{\frac{h-V}{T}} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}- \\
-\sqrt{\frac{h-V}{T}} \frac{\partial T}{\partial q_{i}}+\sqrt{\frac{T}{h-V}} \frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{q}_{i}}=\frac{\boldsymbol{d}}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{q}_{i}}+\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{q}_{i}}= \\
=\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}_{i}}=0
\end{array}
\]
(учитывая, что $\sqrt{\frac{h-V}{T}} \equiv 1$ ), где $L=T-V$. Теорема доказана.
Принцип Якоби позволяет пользоваться различного рода фактами из римановой геометрии, например:
А. Пусть имеется точка $a$ на римановом многообразии $\mathfrak{?}$ с метрикой $d l$. Тогда для всех точек $b$, достаточно близких к $a$, существует геодезическая, идущая из $a$ в $b$, причем длина ее будет минимальной в классе всех кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки.
Б. На компактном связном римановом многообразии любые две точки можно соединить геодезической.
Заметим, что множество $\{V<h\}$, несмотря на свой «открытый» вид, может быть компактным многообразием. А именно если само $\mathfrak{M}$ компактно и $h>\max _{\mathfrak{M}} V$, то $\{V<h\}=\mathfrak{M}$. В этой ситуа$\mathfrak{M}$
ции не составляет труда «применить к механике» множество теорем о геодезических на компактных многообразиях, на чем останавливаться мы не будем, так как на этом пути игнорируется характерная, интересная и неудобная в обращении особенность метрики Якоби: если область возможности движения $\mathfrak{M}^{h}$ имеет непустую границу, то на ней коэффициент $\sqrt{2(h-V)}$ обращается в нуль, так что метрика Якоби $d s$ полностью вырождается. Но это не мешает движению дойти до границы, так тт просто исключить ее из рассмотрения невозможно.
3адача 11. Показать примерах, что из-за вырождеип метрики Якоби на границе даже в случае компактного щерчо, что любые две точки можно соединить геодезической.
НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ЯКОБИ. Ниже будем предполагать, тто на $\{V=h\}$ нет критических точек функции $V$; следовательно, граница-гладкое подмногообразие. Область $\mathfrak{m}^{2}$ для простоты считаем связной.
Лемма 1. Если некоторое движение пришло на границу, то назад оно уйдет по той же траектории.
В самом деле, если $\gamma(t)$ – движение, то $\gamma(-t)$ – движение. Пусть при $t=0$ движение оказалось на границе: $\gamma(0) \in\{V=h\}$, т. е. скорость $v=0$. Тогда $\gamma(t), \gamma(-t)$ имеют одинаковые печальные состояния и по теореме единственности совпадают.
Следствие. Если некоторое движение имеет с границей две общие точки, то это движение периодическое в силу лемми 1 ; оно называется вибрацией.
Первая теорема Козлова (без доказательства). Еели граница компактной ОВД $\mathfrak{R}^{h}$ имеет $n$ компонент связности, то существует $n-1$ либрация (рис. 59).
Определение. Рассмотрим всевозможные кривые:
\[
\gamma:[\bar{t}, \overline{\bar{t}}] \rightarrow \mathfrak{R}^{h}
\]
п введем обозначения:
\[
\begin{array}{c}
\Omega_{a b}=\{\gamma: \gamma(\bar{t})=a, \gamma(\bar{t})=b\}, \\
\Omega_{a}=\{\gamma: \gamma(\bar{t})=a, \gamma(\bar{t}) \in\{V=h\}\} .
\end{array}
\]
Величина $\delta(a, b)=\inf s(\gamma)$ называется расстоянием между двумя точками а и $\bar{b}$; величина $\delta(a)=\inf _{\gamma \in \Omega_{\mathrm{a}}} s(\gamma)$ – расстоянием от точки а до границы. Расстояние между двумя точками на одной связной компоненте границы равно 0 ; аксиомы метрического пространства выполняются только внутри $\mathfrak{R}^{h}$.
Л м м а 2. Имеют место неравенства:
(a) $\delta(a, b) \leqslant \delta(a, c)+\delta(b, c)$;
(б) $\delta(a, b) \leqslant \delta(a)+\delta(b)$, если граница связна;
(в) $\delta(a) \leqslant \delta(a, b)+\delta(b)$.
Докажем (б). Возьмем две точки $a$ и $b$. Пусть $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$-произвольные кривые, которые идут до границы и достигают ее в точках $C_{1}, C_{2}$. Тогда
\[
\delta(a)+\delta(b)=\inf \left(s\left(\gamma_{1}\right)+s\left(\gamma_{2}\right)\right) .
\]
Чтобы оценить $\delta(a, b)$, рассмотрим кривые вида $\gamma=\gamma_{1} \cup \gamma_{2} \cup \gamma_{3}$ (где $\gamma_{3}$ – участок границы от $C_{1}$ до $\left.C_{2}\right)$. Получим $\delta(a, b) \leqslant \inf s(\gamma)=$ $=\delta(a)+\delta(b)$, поскольку $s\left(\gamma_{3}\right)=0$.
Доказательство (а) следует из определения расстояния между двумя точками и свойств точной нижней грани.
Доказательство (в) оставляется в качестве упражнения.
Лемма 3 (без доказательства). Существует $\eta$-окрестность границы (в смысле метрики Якоби) такая, что если выпустить траектории от границы с начальной скоростью $v=0$, то они не пересекутся, т. е. они взаимно-однозначно отображают множество $\{V=h\}$ на границу его $\eta$-окрестности.
Вторая теорема Козлова (рис. 59). Пусть у нас есть внутренняя точка а и вычислено $\delta(a)$. Тогда существует движение $\gamma_{0}$, выходящее на границу (т. е. $\gamma_{0} \in \Omega_{a}$ ) и такое, что его длина в метрике Якоби равна б(a) (иначе говоря, из любой точки всегда можно попасть на границу, причем по кратчайшей кривой).
Доказательство. 1. Будем исходить из следующей основной конструкции. Построим сферу (окружность) $\Sigma$, с центром – точке $a$ и малым радиусом \& в метрике Якоби. Возьмем точку
$b \in \Sigma_{\varepsilon}$ такую, что для всех $c \in \Sigma$ будет $\delta(c) \geqslant \delta(b)$. Рассмотрим геодезическую $\gamma_{a}(s)$, соединяющую точки $a$ и $b$, продолженную максимально за точку $b$ и параметризованную длиной дуги $s$ (она и будет искомой кривой $\gamma_{0}$ ).
2. Чтобы найти. $\delta(a)$, надо определить inf длин всех кривых, выходящих на границу из точки $a$; все они пересекут нашу окружность (сферу) $\Sigma_{\varepsilon}$. Участок кривой от $a$ до точки $c$ последнего пересечения ее с $\Sigma_{e}$ можно заменить на более короткий участок геодезической, соединяющей а с $c$, длина которого $\varepsilon$, a inf длины оставшегося участка равен $\delta(c)$. Отсюда замечание:
\[
\delta(a)=\min _{c \in \Sigma_{\mathrm{s}}} \delta(\varepsilon+\delta(c))=\varepsilon+\delta(b) .
\]
3. Утверждение: кривая $\gamma_{a}(\varepsilon)$ определена как минимум на интервале $[0, \delta(a))$, и при этом
\[
\delta\left(\gamma_{a}(s)\right)=\delta(a)-s,
\]
при $s \in[\varepsilon, \delta(a))$.
Применим «непрерывную индукцию». Кривая $\gamma_{a}(s)$ определена на открытом интервале, содержащем точку $\varepsilon$, и при этом $\delta(\gamma(\varepsilon))=\delta(a)-\varepsilon$ согласно замечанию. Равенство (5) выполняется на некотором замкнутом интервале; пусть $s_{1}$ – его верхняя граница. Покажем, что равенство (5) окажется справедливым при некотором $s_{2}>s_{1}$, что приведет нас к противоречию. Для этого применим снова основную конструкцию к точке $a_{1}=\gamma\left(s_{1}\right)$. В силу замечания
\[
\delta\left(\gamma_{a_{1}}(\varepsilon)\right)=\delta\left(b_{1}\right)=\delta\left(a_{1}\right)-\varepsilon=\delta(a)-s_{1}-\varepsilon_{1}=\delta(a)-\left(s_{1}+\varepsilon_{1}\right),
\]
а в силу леммы 2 (в)
\[
\delta\left(a, b_{1}\right) \geqslant \delta(a)-\delta\left(b_{1}\right)=s_{1}+\varepsilon_{1} .
\]
С другой стороны, по лемме 2 (a)
Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\delta\left(a, b_{1}\right) \leqslant \delta\left(a, a_{1}\right)+\delta\left(a_{1}, b_{1}\right)=s_{1}+\varepsilon_{1} . \\
\delta\left(a, b_{1}\right)=s_{1}+\varepsilon_{1} .
\end{array}
\]
Это означает, что геодезическая $\gamma_{a_{1}}$ есть продолжение геодезической $\gamma_{a}$, т. е. угол $\angle a a_{1} b_{1}=\pi$ (в противном случае две точки вблизи излома можно было бы соединить более короткой геодезической). Равенство (4) переписывается в виде
\[
\delta\left(\gamma_{a}\left(s_{1}+\varepsilon\right)\right)=\delta(a)-\left(s_{1}+\varepsilon_{1}\right),
\]
т. е. $s_{2}=s_{1}+\varepsilon$ и есть искомое. Итак, равенство (5) выполнено на всем интервале определения $[0, \bar{s})$. Если $\bar{s}<\delta(a)$, то возьмем точку $\bar{a}=\lim _{\gamma \rightarrow \bar{s}} \gamma_{a}(s)$. По непрерывности получаем $\delta(\bar{a})=\delta(a)-\bar{s}$, применив к $a$ основную конструкцию, продолжим $\gamma_{a}$ дальше.
Утверждение доказано. Из него вытекает, что геодезическая $\gamma_{a}$ попадает в $\eta$-окрестность границы из леммы 3 .
4. Точка $\gamma_{a}(\delta(a)-\eta)$ лежит на границе $\eta$-окрестности. Геодезическая, соединяющая ее с множеством $\{V=h\}$ по лемме 3 ,
является продолжением $\gamma_{a}$ (повторить рассуждение насчет угла, равного $\pi$ ). Следовательно, сама $\gamma_{a}(s)$ выходит на границу при $s=\delta(a)$. Теорема доказана.
Третья теорема Козлова. Если $\delta(a)+\delta(b)>\delta(a, b)$, то существует движение из $a$ в $b$. Это аналогично второй теореме.
