ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть ( $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ ) и ‘ $\left(\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{6}\right)$ — ортонормированные реперы одинаковой ориентации. Матрица перехода от первого ко второму реперу пусть будет
\[
Q=\left(\begin{array}{lll}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2} & \boldsymbol{\alpha}_{3} \\
\boldsymbol{\beta}_{1} & \boldsymbol{\beta}_{2} & \boldsymbol{\beta}_{3} \\
\boldsymbol{\gamma}_{1} & \boldsymbol{\gamma}_{2} & \boldsymbol{\gamma}_{3}
\end{array}\right) .
\]

В ней по столбцам стоят координаты векторов нового репера в старом. Это собственная ортогональная матрица, т. е.
\[
\begin{array}{l}
Q^{-1}= Q^{*}=\left(\begin{array}{lll}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\beta}_{1} & \boldsymbol{\gamma}_{1} \\
\boldsymbol{\alpha}_{2} & \boldsymbol{\beta}_{2} & \boldsymbol{\gamma}_{2} \\
\boldsymbol{\alpha}_{3} & \boldsymbol{\beta}_{3} & \boldsymbol{\gamma}_{3}
\end{array}\right), \\
\operatorname{det} Q>0 .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает, что $\operatorname{det} Q=1$. Множество ортогональных матриц с определителем +1 образует группу относительно умножения, так называемую специальную ортогональную группу $S O$ (3).
Матрицы перехода применяются двумя способами.
1) Если произведена замена системы координат, т. е. все векторы $\mathbf{a}=a_{x} \mathbf{e}_{x}+a_{y} \mathbf{e}_{y}+a_{z} \mathbf{e}_{z}$ надлежит разложить по новому реперу: $\mathbf{a}=a_{5} \mathbf{e}_{5}+a_{\eta} \mathbf{e}_{n}+a_{5} \mathbf{e}_{5}$, то
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{\xi} \\
a_{\eta} \\
a_{\xi}
\end{array}\right)=Q^{-1}\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right) .
\]
2) Если в $\mathbf{R}^{3}$ имеется отображение специального вида: поворот П, при котором попарные расстояния между точками остаются неизменными, а репер $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ преобразуется в репер $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{5}$, то произвольный вектор $\mathbf{a}=a_{x} \mathbf{e}_{x}+a_{y} \mathbf{e}_{y}+a_{z} \mathbf{e}_{z}$ преобразуется в вектор $\mathbf{a}^{\prime}=a^{\prime}{ }_{x} \mathbf{e}_{x}+a^{\prime}{ }_{y} \mathbf{e}_{y}+a^{\prime}{ }_{z} \mathbf{e}_{z}$ (разложенный по-прежнему по векторам исходного репера), причем
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{x}^{\prime} \\
a_{y} \\
a_{z}{ }_{z}
\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)
\]

Примером сочетания этих двух точек зрения является
Лемма 1. Пусть поворот П имеет матрицу $Q$ в репере $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}$, $\mathbf{e}_{z}$, а матрица $P$ — матрица перехода к другому реперу $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$. Тогда поворот $\Pi$ в репере $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$ имеет матрицу
\[
Q^{\prime}=P^{-1} Q P \text {. }
\]

В самом деле, пусть $\mathbf{a}^{\prime}=$ Па. Тогда в силу (3)
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{X}^{\prime} \\
a_{Y}{ }_{Y} \\
a_{Z}{ }_{Z}
\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}
a_{x}^{\prime} \\
a_{y}^{\prime} \\
a_{z}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}
a_{X} \\
a_{Y} \\
a_{Z}
\end{array}\right) .
\]

Обращаясь теперь к (4), получаем
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{X}^{\prime} \\
a_{Y}^{\prime} \\
a_{Z}^{\prime}
\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}
a_{x}^{\prime} \\
a_{y}^{\prime} \\
a_{z}^{\prime}
\end{array}\right)=P^{-1} Q\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)=P^{-1} Q P\left(\begin{array}{c}
a_{X} \\
a_{Y} \\
a_{Z}
\end{array}\right) .
\]

Лемма 2 (о вычислении матрицы композиции поворотов). Пусть $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ — два поворота, $Q_{1}, Q_{2}$ — их матрицы. Тогда поворот $\Pi=\Pi_{2} \circ \Pi_{1}$ имеет матрицу
a) $Q_{2} Q_{1}$, если $Q_{2}$ записана в исходном базисе $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$;
б) $Q_{1} Q_{2}$, если $Q_{2}$ записана в базисе, получившемся из $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}$, $\mathbf{e}_{z}$ после первого поворота.

После курса линейной алгебры привычен первый вариант перемножения, тогда как на практике чаще применяется второй. На первый взгляд он кажется странным. Его мы и докажем. Пусть
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{a}^{(1)}=\Pi_{1} \mathbf{a}, \quad \mathbf{a}^{(2)}=\Pi_{2} \mathbf{a}, \\
\left(\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}\right)=\Pi_{1}\left(\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}\right) ;
\end{array}
\]

тогда по предположению
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{x}^{(\mathrm{1})} \\
a_{y}^{(\mathrm{1})} \\
a_{z}^{(1)}
\end{array}\right)=Q_{1}\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
a_{X}^{(2)} \\
a_{Y}^{(2)} \\
a_{Z}^{(2)}
\end{array}\right)=Q_{2}\left(\begin{array}{c}
a_{X} \\
a_{Y} \\
a_{Z}
\end{array}\right),
\]

и в силу свойства (3)
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{X} \\
a_{Y} \\
a_{Z}
\end{array}\right)=Q_{1}^{-1}\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right),
\]

так что
\[
\left(\begin{array}{c}
a_{x}^{(2)} \\
a_{y}^{(2)} \\
a_{z}^{(2)}
\end{array}\right)=Q_{1} Q_{2} Q_{1}^{-1}\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right) .
\]

Қомпозицию поворотов получим, подставив справа $\left(a_{x^{(1)}}, a_{y}^{(1)}, a_{z}{ }^{(1)}\right)$ вместо $\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)$.
3адача 21. Доказать (и запомнить), что матрица поворота на угол $\varphi$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$ (против часовой стрелки, глядя сверху) имеет вид
\[
Q=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\
\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]
3адача 22. Показать, что повороты на $\pi / 2$ вокруг $\mathbf{e}_{x}$ и $\mathbf{e}_{y}$ не перестановочны: $\Pi_{2} \circ \Pi_{1}
eq \Pi_{1} \circ \Pi_{2}$. Таким образом, группа $S O(3)$ некоммутативна.

Задача 23. Пусть $\bar{a}, \bar{b}$ — векторы-столбцы, $[\bar{a}, \bar{b}]$ — их формальное векторное произведение:
\[
[\bar{a}, \bar{b}]=\left(\begin{array}{c}
a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} \\
a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} \\
a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}
\end{array}\right) .
\]

Показать, что для любой собственной ортогональной матрицы
\[
[Q \vec{a}, Q \bar{b}]=Q[\bar{a}, \bar{b}] .
\]

Выкладок производить не следует.
3адача 24. Пусть матрица (1) отвечает повороту на некоторый угол $\chi$ вокруг инвариантного вектора і. Показать, что
a) след матрицы $\alpha_{1}+\beta_{2}+\gamma_{3}=1+2 \cos \chi$;
б) инвариантный вектор имеет одни и те же компоненты как в исходном, так и в преобразованном репере;
в) вектор с компонентами ( $\gamma_{2}-\beta_{2}, \alpha_{3}-\gamma_{1}, \beta_{1}-\alpha_{2}$ ) является инвариантным и отличен от нуля при $\chi
eq \pi k$.

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ. Пусть дано семейство поворотов П $(t)$ (вращение) с матрицей $Q(t)$, гладко зависящей от времени. В результате репер ( $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}$ ) как-то вращается.

Лемма 3. Матрица $\Omega=Q^{-1} Q$ кососимметрична при каждом $t$. Действительно, дифференцируя тождество
\[
Q^{*} Q \equiv E
\]

и заменяя, где надо, $Q^{*}$ на $Q^{-1}$, имеем
\[
Q^{-1} \dot{Q}+\dot{Q}^{*} Q=Q^{-1} \dot{Q}+\left(Q^{-1} Q\right)^{*} \equiv 0 .
\]

Кососимметричные матрицы образуют алгебру Ли группы $S O(3)$, обозначаемую so (3). Алгебра Ли — это векторное пространство с операцией $\left[v_{1}, v_{2}\right]$, билинейной по своим аргументам и удовлетворяющей следующим условиям:

1) антикоммутативность: $\left[v_{1}, v_{2}\right]=-\left[v_{2}, v_{1}\right]$,
2) тождество Якоби: $\left.\left[\left[\begin{array}{ll}v_{1}, & v_{2}\end{array}\right], v_{3}\right]+\left[\begin{array}{lll}v_{3}, & v_{1}\end{array}\right], v_{2}\right]+$ $+\left[\left[v_{2}, v_{3}\right], v_{1}\right] \equiv 0$. В случае $S O(3)\left[\Omega_{1}, \Omega_{2}\right]=\Omega_{1} \Omega_{2}-\Omega_{2} \Omega_{1}$. Простейший нетривиальный пример алгебры Ли — это пространство $\mathbf{R}^{3}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ с операцией формального векторного умножения (cp. c $\S 3$ ).

Задача 25. Проверить, что названные только что алгебры изоморфны в силу соответствия
\[
\bar{\omega}=\left(\begin{array}{l}
\omega_{1} \\
\omega_{2} \\
\omega_{3}
\end{array}\right) \leftrightarrow \Omega=\left(\begin{array}{rrr}
0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\
\omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\
-\omega_{2} & \omega_{1} & 0
\end{array}\right) .
\]

Задача 26. Соответствие $\Omega \leftrightarrow \omega$ имеет место тогда и только тогда, когда $\Omega \bar{a}=[\bar{\omega}, \bar{a}]$ для любого вектора-столбца $\bar{a}$.
Лемма 4. При построенном изоморфизме
\[
P \overline{\mathbf{D}} \leftrightarrow P \Omega P^{-1},
\]

если $P$ — собственная ортогональная матрица. В самом деле, согласно задаче 26 ,
\[
P \Omega P^{-1} a=P\left[\bar{\omega}, P^{-1} \bar{a}\right],
\]

а в силу задачи 23
\[
P\left[\bar{\omega}, P^{-1} \bar{a}\right]=\left[P \bar{\omega}, P P^{-1} \bar{a}\right]=[P \omega, \bar{a}] .
\]

Таким образом, для всех $\bar{a}$
\[
P \Omega P^{-1} \bar{a}=[P \bar{\omega}, \bar{a}] .
\]

Снова апеллируя к задаче 26 , получаем (6).
Основное определение. Угловой скоростью вращения $\Pi(t)$ называется вектор $\boldsymbol{\omega}=\omega_{1} \mathbf{e}_{\xi}+\omega_{2} \mathbf{e}_{n}+\omega_{3} \mathbf{e}_{6}$ такой, что
\[
\left(\begin{array}{l}
\omega_{1} \\
\omega_{2} \\
\omega_{3}
\end{array}\right) \leftrightarrow \Omega=Q^{-1} \dot{Q} .
\]

Подчеркнем, что вектор угловой скорости ю раскладывается по подвижному реперу. Это вообще обычный прием в механике.
3амечание. Определение корректно, т. е. вектор о не зависит от того, в каком именно репере записана матрица поворота $\Pi(t)$. Это доказывается с помощью лемм 1,4 и формул (3).
3адача 27. Пусть $\Pi(t)$ — поворот вокруг оси $O z$ на угол $\varphi(t)$. Показать, что угловая скорость $\omega=\varphi \mathbf{e}_{z}$ (см. задачу 21).
Задача 28. Пусть $\boldsymbol{\omega}=\widetilde{\omega}_{1} \mathbf{e}_{x}+\widetilde{\omega}_{2} \mathbf{e}_{y}+\widetilde{\omega}_{3} \mathbf{e}_{z}$. Тогда
\[
\left(\begin{array}{c}
\tilde{\omega}_{1} \\
\tilde{\omega}_{2} \\
\tilde{\omega}_{3}
\end{array}\right) \leftrightarrow \tilde{\Omega}=\dot{Q} Q^{-1} .
\]

Лемма Пуассона. Производные базисных векторов
\[
\dot{\mathbf{e}}_{\xi}=\left[\omega \times \mathbf{e}_{\xi}\right] ; \dot{\mathbf{e}}_{\eta}=\left[\omega \times \mathbf{e}_{\eta}\right], \dot{\mathbf{e}}_{\xi}=\left[\omega \times \mathbf{e}_{\xi}\right] .
\]

Подчеркнем, что эти формулы записаны в инвариантном виде, т. е. участвующие в них векторы в принципе могут быть разложены по произвольному реперу. Доказательство, однако, проводится в репере $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$. Имеем, например,
\[
\mathbf{e}_{\xi}=Q\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) .
\]

Поэтому в силу определения угловой скорости и задачи 26
\[
\frac{d \mathbf{e}_{\xi}}{d t}=\dot{Q}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=Q \Omega\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=Q\left[\left(\begin{array}{l}
\omega_{1} \\
\omega_{2} \\
\omega_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)\right] .
\]
пересчитанные из репера $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\varepsilon}$ в репер $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$.

ФОРМУЛА ЭИЛЕРА.

Твердым телом называется множество точек, которые движутся так, что попарные расстояния между ними не изменяются. Если в теле есть три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой, то можно образовать ортонормированный репер, жестко связанный с телом, в котором координаты всех точек тела будут постоянны, например:
\[
A=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l}
b \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
0
\end{array}\right) .
\]

Задача 29. Получить такой репер с помощью операций над векторами $\overline{A B}, \overline{A C}$.

Угловой скоростью теда называется угловая скорость всякого связанного с ним репера. На доказательстве корректности определения задерживаться не будем (см. замечание перед задачей 27). То, что точка $A$ перемещается, роли не играет; важна лишь ориентация подвижного репера.

Теорема Эйлера. Пусть $\omega-$ угловая скорость твердого тела, $A, B$ — произвольные его точки. Тогда
\[
\mathbf{v}_{B}=\mathbf{v}_{A}+[\boldsymbol{\omega} \times \overline{A B}] .
\]

Доказательство. Свяжем с телом репер $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{6}$, построенный в точке $A$. Пусть $(\xi, \eta, \zeta)$ — постоянные координаты точки $B$ в этом репере. Тогда в системе $O x y z$ ее координаты
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)
\]

где $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ — координаты точки $A$. Дифференцируем:
\[
\mathbf{v}_{B}=\left(\begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\dot{a}_{x} \\
\dot{a}_{y} \\
\dot{a}_{z}
\end{array}\right)+\dot{Q}\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\dot{a}_{x} \\
\dot{a}_{y} \\
\dot{a}_{z}
\end{array}\right)+Q Q^{-1} \dot{Q}\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)=
\]

\[
=\left(\begin{array}{c}
\dot{a}_{x} \\
\dot{a}_{y} \\
\dot{a}_{z}
\end{array}\right)+Q\left[\left(\begin{array}{c}
\omega_{\xi} \\
\omega_{\eta} \\
\omega_{\xi}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)\right] .
\]

Первое слагаемое имеет смысл $\mathbf{v}_{A}$, второе представляет собой столбец компонент вектора $\boldsymbol{\omega} \times \overline{A B}$ в репере $\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}$ (до применения матрицы $Q$ стоит столбец компонент этого вектора в репеpe $\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}$ ).

Формула Эйлера (8) читается обычно как формула распределения скоростей в твердом теле; если известна скорость только одной точки тела $A$, а также угловая скорость, то можно вычислить скорость любой другой точки $B$ того же тела. Подчеркнем также, что формула Эйлера записана в инвариантном виде.

МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ.

Выведем некоторые следствия из формулы Эйлера.
1. В твердом теле существует точка С такая, что
\[
\mathbf{v}_{\dot{C}} \| \boldsymbol{\omega} \text {. }
\]

При $\boldsymbol{\omega}=0$ утверждение тривиально. В общем случае пусть известна скорость $\mathbf{v}_{\text {A }}$ некоторой точки $A$. Возьмем точку $C$ такую, что $\overline{A C}=\left[\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_{A}\right] / \omega^{2}$. Легко проверить, что она будет обладать требуемым свойством:
\[
\mathbf{v}_{C}=v_{A}+\omega^{-2}\left[\omega \times\left[\omega \times \mathbf{v}_{A}\right]\right]=\omega\left(\omega \cdot \mathbf{v}_{A}\right) \omega^{-2} .
\]

Заодно мы вычислили $\mathbf{v}_{C}$. Если $C^{\prime}$ — другая точка с этим же свойством, что $\boldsymbol{\omega} \| v_{C^{\prime}}, v_{C^{\prime}}-\mathbf{v}_{C}=\left[\boldsymbol{\omega} \times \overline{C C^{\prime}}\right]$, откуда $\boldsymbol{v}_{C}=\mathbf{v}_{C}, \overline{C C^{\prime}} \| \boldsymbol{\omega}$. Таким образом, все возможные точки $C$ заметают прямую, параллельную вектору $\boldsymbol{1}$. Она называется мгновенной осью вращения при $\mathbf{v}_{C}=0$ и мгновенно-винтовой осью при $\mathbf{v}_{C}
eq 0$.
2. У тела, движущегося в плоскости с ненулевой угловой скоростью, в каждое мгновение имеется точка С, скорость которой равна нулю (мгновенный центр скоростей).

Пусть это плоскость Oху. Введем абсолютный угол поворота $\varphi$ тела: например, угол, составляемый отрезком, отмеченным в теле, с осью $O x$ и отсчитываемый против часовой стрелки, если смотреть со стороны $O z$. Тогда, согласно задаче $27, \boldsymbol{\omega}=\dot{\varphi} \mathbf{e}_{z} \perp O x y$. Следовательно, по формуле (8) $\mathbf{v}_{C}=0$.

Мгновенная ось вращения проходит через $C$ перпендикулярно плоскости. Распределение скоростей дается формулой
\[
\mathbf{v}_{B}=[\boldsymbol{\omega} \times \overline{C B}] .
\]

Это значит, что мгновенный центр скоростей всегда лежит на прямой, ортогональной вектору $\mathbf{v}_{B}$ в точке $B$.

Определение. Говорят, что плоское тело катится по кривой без проскальзывания, если оно касается этой кривой, и скорость той точки тела $P$, которая оказалась в месте соприкосновения $C$, всякий раз равна нулю. Иными словами, она есть мгновенный центр скоростей.

Вопрос. Какие точки поезда движутся в противоположном направлении?

Пример 1. Диск катится по прямой без проскальзывания (рис. 30). Пусть $x$ — первая координата его центра $A, \varphi$ — абсолютный угол поворота. Покажем, что между $x$ и ч имеется тождественное соотношение (связь). А именно
\[
x+r \varphi=\text { const. }
\]

Имеем
\[
\mathbf{v}_{A}=[\omega \times \overline{C A}] ; \quad \dot{x} \mathbf{e}_{x}=\left[\dot{\varphi} \mathbf{e}_{z} \times r \mathbf{e}_{y}\right]=-r \dot{\varphi} \mathbf{e}_{x},
\]

откуда
\[
\dot{x}+r \dot{\varphi}=0 .
\]

Что и требовалось. Тождество (10), разумеется, понятно из чисто геометрических соображений: дуга, прокатившаяся по прямой, по длине равна пройденному центром пути. Однако в мало-мальски более сложной задаче такого рода соображения, как показывает практика, неизменно сопряжены с ошибками. Кинематические приемы намного эффективнее.

Задача 30. Диск радиуса $r$ катится без проскальзывания по окружности радиуса $\rho$ (рис. 32). Абсолютный угол поворота диска пусть будет $\varphi$, а угол поворота радиуса-вектора центра диска, проведенного из центра неподвижной окружности, пусть будет $\Theta$. Найти связь между $\Theta$ и $\varphi$.

Ответ: $(\rho-r) \Theta+r \varphi=$ const (а вовсе не $\rho \Theta=r \varphi-$ обычный скорый ответ).

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ. Пусть точка $P$ движется в пространстве, $\mathrm{r}=\overline{O P}$ — ее радиус-вектор в системе координат Oxyz. Наряду с последней пусть применена подвижная система координат $A \xi \eta \xi$ и пусть $\varrho=\overline{A P}$ — радиус-вектор точки $P$ в ней (рис. 10). Положим
\[
\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right), \quad \rho=\overline{A P}=\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right) ;
\]

тогда
\[
\left(\begin{array}{c}
x \\
\boldsymbol{y} \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{x} \\
a_{y} \\
a_{z}
\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right),
\]

так же как и при доказательстве формулы Эйлера, с одним, но существенным отличием: величины $\xi, \eta, \zeta$ теперь суть функции времени. Дифференцируя с учетом сказанного, получаем
\[
\left(\begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\dot{a}_{x} \\
\dot{a}_{y} \\
\dot{a}_{z}
\end{array}\right)+Q\left[\left(\begin{array}{c}
\omega_{1} \\
\omega_{2} \\
\omega_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\eta \\
\xi
\end{array}\right)\right]+Q\left(\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\dot{\eta} \\
\dot{\xi}
\end{array}\right) .
\]

Вектор
\[
\mathbf{v}_{\mathrm{a \sigma c}}=\dot{x} \mathbf{e}_{x}+\dot{y} \mathbf{e}_{y}+\dot{z} \mathbf{e}_{z}
\]

называется абсолютной скоростью точки. Вектор
\[
\mathbf{v}_{\text {отн }}=\dot{\xi} \mathrm{e}_{\xi}+\dot{\eta} \mathbf{e}_{\eta}+\dot{\zeta} \mathbf{e}_{\xi},
\]

имеющий в неподвижной системе координат столбец компонент
\[
Q\left(\begin{array}{l}
\dot{\xi} \\
\dot{\eta} \\
\dot{\xi}
\end{array}\right),
\]

называется относительной скоростью точки. Первые два слагаемых правой части (11) составляют так называемую переносную скорость точки $P$. Итак, имеем формулу сложения скоростей:
\[
\mathbf{v}_{\text {абс }}=\mathbf{v}_{\text {отн }}+\mathbf{v}_{\text {пер }} .
\]

Что касается переносной скорости, то ее можно осмыслить так: это абсолютная скорость точки, если та вдруг прекратит двигаться относительно подвижной системы координат, т. е. вдруг образует одно твердое тело с векторами подвижного репера, движущимися с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$.

Задача 31. Трубка, изогнутая в форме кольца, поворачивается вокруг вертикальной оси на угол $\psi(t)$, а в ней движется точка по закону $\theta(t)$ (рис. 13). Требуется вычислить и изобразить $\mathbf{v}_{\text {пер }}$ и $\mathbf{v}_{\text {отн }}$, получить модуль абсолютной скорости. Ответ: $v^{2}=$ $=r^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\psi}^{2} \cos \theta\right)$.

СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ.

Пусть теперь с использованием подвижной системы координат рассматривается движение твердого тела. Тогда оно имеет абсолютную угловую скорость Фабс с точки зрения неподвижной системы координат и системы координат. Угловую скорость системы координат обозначим для выразительности через $\omega_{\text {пер }}$. Қак и следовало ожидать,
\[
\boldsymbol{\omega}_{\text {абс }}=\boldsymbol{\omega}_{\text {пер }}+\boldsymbol{\omega}_{\text {отн }} .
\]

Доказательство. Свяжем с телом репер $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$ и введем матрицы перехода:
\[
\left(\mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z}\right) \xrightarrow{Q_{1}}\left(\mathbf{e}_{\xi}, \mathbf{e}_{\eta}, \mathbf{e}_{\xi}\right) \xrightarrow{Q_{z}}\left(\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}\right) ;
\]

тогда компоненты вектора $\boldsymbol{\omega}_{\text {абс }}$ в репере $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$ соответствуют матрице $\left(Q_{1} Q_{2}\right)^{-1} \frac{d}{d t}\left(Q_{1} Q_{2}\right)$ или (выполним дифференцирование произведения) сумме матриц:
\[
\Omega_{\text {абс }}=Q_{2}^{-1} Q_{1}^{-1} \dot{Q}_{1} Q_{2}+Q_{2}{ }^{-1} \dot{Q}_{2} .
\]

Вторая матрица по определению составлена из компонент вектора $\boldsymbol{\omega}_{\text {отн }}$ в pепере $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$. Матрица $\Omega_{\text {пер }}=Q_{1}^{-1} \dot{Q}_{1}$ соответствует столбцу компонент вектора $\boldsymbol{\omega}_{\text {пер в }}$ в репере $\mathbf{e}_{5}, \mathbf{e}_{\eta}$, $\mathbf{e}_{5}$. Применив к этому столбцу матрицу $Q_{2}{ }^{-1}$, мы получим столбец компонент вектора $\boldsymbol{\omega}_{\text {пер }}$ в репере $\mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z}$, а по лемме 4 новому столбцу соответствует как раз первое слагаемое формулы (12).

Пример 2. К диску радиуса $r$ ортогонально прикреплена в центре штанга длины $d$. Диск катится по горизонтальной плоскости так, что свободный конец штанги $A$ неподвижен на высоте $r$ над плоскостью. Пусть $\psi$ — абсолютный угол поворота штанги вокруг вертикали, $\varphi$ — угол поворота диска в подвижной системе координат $A \xi \eta \zeta$ такой, что ось $A \zeta$ вертикальна, ось $A \xi$ направлена по штанге. Вычислить связь между $\psi, \varphi$ (рис. 11).
Имеем
\[
\omega_{\text {отн }}=\dot{\varphi} \mathbf{e}_{\xi}, \omega_{\text {пгр }}=\dot{\psi} \mathbf{e}_{\xi}, \omega_{\mathbf{a} \text { б }}=\dot{\varphi} \mathbf{e}_{\xi}+\dot{\psi} \mathbf{e}_{\xi} .
\]

С другой стороны, скорость в точке касания
\[
\mathbf{v}_{P}=\mathbf{v}_{O}+\left[\omega_{\text {aбс }} \times \overrightarrow{O P}\right]=0, \quad \mathbf{v}_{0}=0,
\]

так что
\[
\begin{array}{c}
{\left[\omega_{\text {абс }} \times \overline{O P}\right]=0,} \\
{\left[\left(\dot{\varphi} \mathbf{e}_{\xi}+\dot{\psi} \mathbf{e}_{\zeta}\right) \times\left(d \mathbf{e}_{\xi}-r \mathbf{e}_{\xi}\right)\right] \equiv 0,} \\
r \dot{\varphi}+d \dot{\varphi}=0,
\end{array}
\]

что и требовалось.
Задача 32. Шар с ортогонально прикрепленной к нему штангой длины $l-r$ катится по горизонтальной плоскости так (рис. 12), что свободный конец штанги неподвижно лежит на плоскости. Пусть $v$ — абсолютная скорость центра шара. Определить абсолютную и относительную угловые его скорости в системе $A \xi \eta \zeta$, в которой горизонтальная ось $A \eta$ перпендикулярна штанге.
Ответ:
\[
\omega_{\text {абс }}=-\frac{v}{r} \mathbf{e}_{\xi}, \quad \omega_{\text {отн }}=-\frac{v}{r} \mathbf{e}_{\xi}-\frac{v}{\sqrt{i^{2}-r^{2}}} \mathbf{e}_{\zeta} .
\]