ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть ( ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ ) и ‘ $({\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_6)$ — ортонормированные реперы одинаковой ориентации. Матрица перехода от первого ко второму реперу пусть будет
$$Q=\left(\begin{array}{lll}{\mathit{\alpha }}_1& {\mathit{\alpha }}_2& {\mathit{\alpha }}_3\\ {\mathit{\beta }}_1& {\mathit{\beta }}_2& {\mathit{\beta }}_3\\ {\mathit{\gamma }}_1& {\mathit{\gamma }}_2& {\mathit{\gamma }}_3\end{array}\right).$$

В ней по столбцам стоят координаты векторов нового репера в старом. Это собственная ортогональная матрица, т. е.
$$\begin{array}{l}{Q}^{-1}=Q^{\ast }=\left(\begin{array}{lll}{\mathit{\alpha }}_1& {\mathit{\beta }}_1& {\mathit{\gamma }}_1\\ {\mathit{\alpha }}_2& {\mathit{\beta }}_2& {\mathit{\gamma }}_2\\ {\mathit{\alpha }}_3& {\mathit{\beta }}_3& {\mathit{\gamma }}_3\end{array}\right),\\ \det Q>0.\end{array}$$

Отсюда вытекает, что $\det Q=1$. Множество ортогональных матриц с определителем +1 образует группу относительно умножения, так называемую специальную ортогональную группу $SO$ (3).
Матрицы перехода применяются двумя способами.
1) Если произведена замена системы координат, т. е. все векторы $\mathbf{a}=a_x{\mathbf{e}}_x+a_y{\mathbf{e}}_y+a_z{\mathbf{e}}_z$ надлежит разложить по новому реперу: $\mathbf{a}=a_5{\mathbf{e}}_5+a_{\eta }{\mathbf{e}}_n+a_5{\mathbf{e}}_5$, то
$$\left(\begin{array}{c}{a}_{\xi }\\ a_{\eta }\\ a_{\xi }\end{array}\right)=Q^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right).$$
2) Если в ${\mathbf{R}}^3$ имеется отображение специального вида: поворот П, при котором попарные расстояния между точками остаются неизменными, а репер ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ преобразуется в репер ${\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_5$, то произвольный вектор $\mathbf{a}=a_x{\mathbf{e}}_x+a_y{\mathbf{e}}_y+a_z{\mathbf{e}}_z$ преобразуется в вектор ${\mathbf{a}}^{\prime }=a^{\prime }{}_x{\mathbf{e}}_x+a^{\prime }{}_y{\mathbf{e}}_y+a^{\prime }{}_z{\mathbf{e}}_z$ (разложенный по-прежнему по векторам исходного репера), причем
$$\left(\begin{array}{c}{a}_x^{\prime }\\ a_y\\ a_z{}_z\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)$$

Примером сочетания этих двух точек зрения является
Лемма 1. Пусть поворот П имеет матрицу $Q$ в репере ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y$, ${\mathbf{e}}_z$, а матрица $P$ — матрица перехода к другому реперу ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$. Тогда поворот $\mathrm{\Pi }$ в репере ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$ имеет матрицу
$$Q^{\prime }=P^{-1}QP\text{. }$$

В самом деле, пусть ${\mathbf{a}}^{\prime }=$ Па. Тогда в силу (3)
$$\left(\begin{array}{c}{a}_X^{\prime }\\ a_Y{}_Y\\ a_Z{}_Z\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_x^{\prime }\\ a_y^{\prime }\\ a_z\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}{a}_X\\ a_Y\\ a_Z\end{array}\right).$$

Обращаясь теперь к (4), получаем
$$\left(\begin{array}{c}{a}_X^{\prime }\\ a_Y^{\prime }\\ a_Z^{\prime }\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_x^{\prime }\\ a_y^{\prime }\\ a_z^{\prime }\end{array}\right)=P^{-1}Q\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)=P^{-1}QP\left(\begin{array}{c}{a}_X\\ a_Y\\ a_Z\end{array}\right).$$

Лемма 2 (о вычислении матрицы композиции поворотов). Пусть ${\mathrm{\Pi }}_1$ и ${\mathrm{\Pi }}_2$ — два поворота, $Q_1,Q_2$ — их матрицы. Тогда поворот $\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}_2\circ {\mathrm{\Pi }}_1$ имеет матрицу
a) $Q_2{Q}_1$, если $Q_2$ записана в исходном базисе ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$;
б) $Q_1{Q}_2$, если $Q_2$ записана в базисе, получившемся из ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y$, ${\mathbf{e}}_z$ после первого поворота.

После курса линейной алгебры привычен первый вариант перемножения, тогда как на практике чаще применяется второй. На первый взгляд он кажется странным. Его мы и докажем. Пусть
$$\begin{array}{c}{\mathbf{a}}^{(1)}={\mathrm{\Pi }}_1\mathbf{a},{\mathbf{a}}^{(2)}={\mathrm{\Pi }}_2\mathbf{a},\\ ({\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z)={\mathrm{\Pi }}_1({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z);\end{array}$$

тогда по предположению
$$\left(\begin{array}{c}{a}_x^{(1)}\\ a_y^{(1)}\\ a_z^{(1)}\end{array}\right)=Q_1\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{a}_X^{(2)}\\ a_Y^{(2)}\\ a_Z^{(2)}\end{array}\right)=Q_2\left(\begin{array}{c}{a}_X\\ a_Y\\ a_Z\end{array}\right),$$

и в силу свойства (3)
$$\left(\begin{array}{c}{a}_X\\ a_Y\\ a_Z\end{array}\right)=Q_1^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right),$$

так что
$$\left(\begin{array}{c}{a}_x^{(2)}\\ a_y^{(2)}\\ a_z^{(2)}\end{array}\right)=Q_1{Q}_2{Q}_1^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right).$$

Қомпозицию поворотов получим, подставив справа $(a_{x^{(1)}},a_y^{(1)},a_z{}^{(1)})$ вместо $(a_x,a_y,a_z)$.
3адача 21. Доказать (и запомнить), что матрица поворота на угол $\phi$ вокруг оси $\mathrm{Oz}$ (против часовой стрелки, глядя сверху) имеет вид
$$Q=\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\sin \phi & 0\\ \sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$
3адача 22. Показать, что повороты на $\pi /2$ вокруг ${\mathbf{e}}_x$ и ${\mathbf{e}}_y$ не перестановочны: ${\mathrm{\Pi }}_2\circ {\mathrm{\Pi }}_{1}eq{\mathrm{\Pi }}_1\circ {\mathrm{\Pi }}_2$. Таким образом, группа $SO(3)$ некоммутативна.

Задача 23. Пусть $\overline{a},\overline{b}$ — векторы-столбцы, $[\overline{a},\overline{b}]$ — их формальное векторное произведение:
$$[\overline{a},\overline{b}]=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right).$$

Показать, что для любой собственной ортогональной матрицы
$$[Q\overrightarrow{a},Q\overline{b}]=Q[\overline{a},\overline{b}].$$

Выкладок производить не следует.
3адача 24. Пусть матрица (1) отвечает повороту на некоторый угол $\chi$ вокруг инвариантного вектора і. Показать, что
a) след матрицы ${\alpha }_1+{\beta }_2+{\gamma }_3=1+2\cos \chi$;
б) инвариантный вектор имеет одни и те же компоненты как в исходном, так и в преобразованном репере;
в) вектор с компонентами ( ${\gamma }_2-{\beta }_2,{\alpha }_3-{\gamma }_1,{\beta }_1-{\alpha }_2$ ) является инвариантным и отличен от нуля при $\chi eq\pi k$.

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ. Пусть дано семейство поворотов П $(t)$ (вращение) с матрицей $Q(t)$, гладко зависящей от времени. В результате репер ( ${\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_{\xi }$ ) как-то вращается.

Лемма 3. Матрица $\mathrm{\Omega }=Q^{-1}Q$ кососимметрична при каждом $t$. Действительно, дифференцируя тождество
$$Q^{\ast }Q\equiv E$$

и заменяя, где надо, $Q^{\ast }$ на $Q^{-1}$, имеем
$$Q^{-1}\dot{Q}+{\dot{Q}}^{\ast }Q=Q^{-1}\dot{Q}+{\left(Q^{-1}Q\right)}^{\ast }\equiv 0.$$

Кососимметричные матрицы образуют алгебру Ли группы $SO(3)$, обозначаемую so (3). Алгебра Ли — это векторное пространство с операцией $[v_1,v_2]$, билинейной по своим аргументам и удовлетворяющей следующим условиям:

1) антикоммутативность: $[v_1,v_2]=-[v_2,v_1]$,
2) тождество Якоби: $[\left[\begin{array}{ll}{v}_1,& v_2\end{array}\right],v_3]+\left[\begin{array}{ll}{v}_3,& v_1\end{array}\right],v_2]+$ $+[[v_2,v_3],v_1]\equiv 0$. В случае $SO(3)[{\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2]={\mathrm{\Omega }}_1{\mathrm{\Omega }}_2-{\mathrm{\Omega }}_2{\mathrm{\Omega }}_1$. Простейший нетривиальный пример алгебры Ли — это пространство ${\mathbf{R}}^3(a_1,a_2,a_3)$ с операцией формального векторного умножения (cp. c $\mathrm{\S }3$ ).

Задача 25. Проверить, что названные только что алгебры изоморфны в силу соответствия
$$\overline{\omega }=\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right)\leftrightarrow \mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{rrr}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right).$$

Задача 26. Соответствие $\mathrm{\Omega }\leftrightarrow \omega$ имеет место тогда и только тогда, когда $\mathrm{\Omega }\overline{a}=[\overline{\omega },\overline{a}]$ для любого вектора-столбца $\overline{a}$.
Лемма 4. При построенном изоморфизме
$$P\bar{\mathbf{D}}\leftrightarrow P\mathrm{\Omega }{P}^{-1},$$

если $P$ — собственная ортогональная матрица. В самом деле, согласно задаче 26 ,
$$P\mathrm{\Omega }{P}^{-1}a=P[\overline{\omega },P^{-1}\overline{a}],$$

а в силу задачи 23
$$P[\overline{\omega },P^{-1}\overline{a}]=[P\overline{\omega },P{P}^{-1}\overline{a}]=[P\omega ,\overline{a}].$$

Таким образом, для всех $\overline{a}$
$$P\mathrm{\Omega }{P}^{-1}\overline{a}=[P\overline{\omega },\overline{a}].$$

Снова апеллируя к задаче 26 , получаем (6).
Основное определение. Угловой скоростью вращения $\mathrm{\Pi }(t)$ называется вектор $\mathit{\omega }={\omega }_1{\mathbf{e}}_{\xi }+{\omega }_2{\mathbf{e}}_n+{\omega }_3{\mathbf{e}}_6$ такой, что
$$\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right)\leftrightarrow \mathrm{\Omega }=Q^{-1}\dot{Q}.$$

Подчеркнем, что вектор угловой скорости ю раскладывается по подвижному реперу. Это вообще обычный прием в механике.
3амечание. Определение корректно, т. е. вектор о не зависит от того, в каком именно репере записана матрица поворота $\mathrm{\Pi }(t)$. Это доказывается с помощью лемм 1,4 и формул (3).
3адача 27. Пусть $\mathrm{\Pi }(t)$ — поворот вокруг оси $Oz$ на угол $\phi (t)$. Показать, что угловая скорость $\omega =\phi {\mathbf{e}}_z$ (см. задачу 21).
Задача 28. Пусть $\mathit{\omega }={\tilde{\omega }}_1{\mathbf{e}}_x+{\tilde{\omega }}_2{\mathbf{e}}_y+{\tilde{\omega }}_3{\mathbf{e}}_z$. Тогда
$$\left(\begin{array}{c}{\tilde{\omega }}_1\\ {\tilde{\omega }}_2\\ {\tilde{\omega }}_3\end{array}\right)\leftrightarrow \tilde{\mathrm{\Omega }}=\dot{Q}{Q}^{-1}.$$

Лемма Пуассона. Производные базисных векторов
$${\dot{\mathbf{e}}}_{\xi }=[\omega \times {\mathbf{e}}_{\xi }];{\dot{\mathbf{e}}}_{\eta }=[\omega \times {\mathbf{e}}_{\eta }],{\dot{\mathbf{e}}}_{\xi }=[\omega \times {\mathbf{e}}_{\xi }].$$

Подчеркнем, что эти формулы записаны в инвариантном виде, т. е. участвующие в них векторы в принципе могут быть разложены по произвольному реперу. Доказательство, однако, проводится в репере ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$. Имеем, например,
$${\mathbf{e}}_{\xi }=Q\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

Поэтому в силу определения угловой скорости и задачи 26
$$\frac{d{\mathbf{e}}_{\xi }}{dt}=\dot{Q}\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=Q\mathrm{\Omega }\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=Q[\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)].$$
пересчитанные из репера ${\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_{\epsilon }$ в репер ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$.

ФОРМУЛА ЭИЛЕРА.

Твердым телом называется множество точек, которые движутся так, что попарные расстояния между ними не изменяются. Если в теле есть три точки $A,B,C$, не лежащие на одной прямой, то можно образовать ортонормированный репер, жестко связанный с телом, в котором координаты всех точек тела будут постоянны, например:
$$A=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{l}b\\ 0\\ 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 0\end{array}\right).$$

Задача 29. Получить такой репер с помощью операций над векторами $\overline{AB},\overline{AC}$.

Угловой скоростью теда называется угловая скорость всякого связанного с ним репера. На доказательстве корректности определения задерживаться не будем (см. замечание перед задачей 27). То, что точка $A$ перемещается, роли не играет; важна лишь ориентация подвижного репера.

Теорема Эйлера. Пусть $\omega -$ угловая скорость твердого тела, $A,B$ — произвольные его точки. Тогда
$${\mathbf{v}}_B={\mathbf{v}}_A+[\mathit{\omega }\times \overline{AB}].$$

Доказательство. Свяжем с телом репер ${\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_6$, построенный в точке $A$. Пусть $(\xi ,\eta ,\zeta )$ — постоянные координаты точки $B$ в этом репере. Тогда в системе $Oxyz$ ее координаты
$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)$$

где $a_x,a_y,a_z$ — координаты точки $A$. Дифференцируем:
$${\mathbf{v}}_B=\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\dot{a}}_x\\ {\dot{a}}_y\\ {\dot{a}}_z\end{array}\right)+\dot{Q}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\dot{a}}_x\\ {\dot{a}}_y\\ {\dot{a}}_z\end{array}\right)+Q{Q}^{-1}\dot{Q}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{c}{\dot{a}}_x\\ {\dot{a}}_y\\ {\dot{a}}_z\end{array}\right)+Q[\left(\begin{array}{c}{\omega }_{\xi }\\ {\omega }_{\eta }\\ {\omega }_{\xi }\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)].$$

Первое слагаемое имеет смысл ${\mathbf{v}}_A$, второе представляет собой столбец компонент вектора $\mathit{\omega }\times \overline{AB}$ в репере ${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ (до применения матрицы $Q$ стоит столбец компонент этого вектора в репеpe ${\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_{\xi }$ ).

Формула Эйлера (8) читается обычно как формула распределения скоростей в твердом теле; если известна скорость только одной точки тела $A$, а также угловая скорость, то можно вычислить скорость любой другой точки $B$ того же тела. Подчеркнем также, что формула Эйлера записана в инвариантном виде.

МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ.

Выведем некоторые следствия из формулы Эйлера.
1. В твердом теле существует точка С такая, что
$${\mathbf{v}}_{\dot{C}}\Vert \mathit{\omega }\text{. }$$

При $\mathit{\omega }=0$ утверждение тривиально. В общем случае пусть известна скорость ${\mathbf{v}}_{\text{A }}$ некоторой точки $A$. Возьмем точку $C$ такую, что $\overline{AC}=[\mathit{\omega }\times {\mathbf{v}}_A]/{\omega }^2$. Легко проверить, что она будет обладать требуемым свойством:
$${\mathbf{v}}_C=v_A+{\omega }^{-2}[\omega \times [\omega \times {\mathbf{v}}_A]]=\omega (\omega \cdot {\mathbf{v}}_A){\omega }^{-2}.$$

Заодно мы вычислили ${\mathbf{v}}_C$. Если $C^{\prime }$ — другая точка с этим же свойством, что $\mathit{\omega }\Vert v_{C^{\prime }},v_{C^{\prime }}-{\mathbf{v}}_C=[\mathit{\omega }\times \overline{C{C}^{\prime }}]$, откуда ${\mathit{v}}_C={\mathbf{v}}_C,\overline{C{C}^{\prime }}\Vert \mathit{\omega }$. Таким образом, все возможные точки $C$ заметают прямую, параллельную вектору $\mathbf{1}$. Она называется мгновенной осью вращения при ${\mathbf{v}}_C=0$ и мгновенно-винтовой осью при ${\mathbf{v}}_{C}eq0$.
2. У тела, движущегося в плоскости с ненулевой угловой скоростью, в каждое мгновение имеется точка С, скорость которой равна нулю (мгновенный центр скоростей).

Пусть это плоскость Oху. Введем абсолютный угол поворота $\phi$ тела: например, угол, составляемый отрезком, отмеченным в теле, с осью $Ox$ и отсчитываемый против часовой стрелки, если смотреть со стороны $Oz$. Тогда, согласно задаче $27,\mathit{\omega }=\dot{\phi }{\mathbf{e}}_z\perp Oxy$. Следовательно, по формуле (8) ${\mathbf{v}}_C=0$.

Мгновенная ось вращения проходит через $C$ перпендикулярно плоскости. Распределение скоростей дается формулой
$${\mathbf{v}}_B=[\mathit{\omega }\times \overline{CB}].$$

Это значит, что мгновенный центр скоростей всегда лежит на прямой, ортогональной вектору ${\mathbf{v}}_B$ в точке $B$.

Определение. Говорят, что плоское тело катится по кривой без проскальзывания, если оно касается этой кривой, и скорость той точки тела $P$, которая оказалась в месте соприкосновения $C$, всякий раз равна нулю. Иными словами, она есть мгновенный центр скоростей.

Вопрос. Какие точки поезда движутся в противоположном направлении?

Пример 1. Диск катится по прямой без проскальзывания (рис. 30). Пусть $x$ — первая координата его центра $A,\phi$ — абсолютный угол поворота. Покажем, что между $x$ и ч имеется тождественное соотношение (связь). А именно
$$x+r\phi =\text{ const. }$$

Имеем
$${\mathbf{v}}_A=[\omega \times \overline{CA}];\dot{x}{\mathbf{e}}_x=[\dot{\phi }{\mathbf{e}}_z\times r{\mathbf{e}}_y]=-r\dot{\phi }{\mathbf{e}}_x,$$

откуда
$$\dot{x}+r\dot{\phi }=0.$$

Что и требовалось. Тождество (10), разумеется, понятно из чисто геометрических соображений: дуга, прокатившаяся по прямой, по длине равна пройденному центром пути. Однако в мало-мальски более сложной задаче такого рода соображения, как показывает практика, неизменно сопряжены с ошибками. Кинематические приемы намного эффективнее.

Задача 30. Диск радиуса $r$ катится без проскальзывания по окружности радиуса $\rho$ (рис. 32). Абсолютный угол поворота диска пусть будет $\phi$, а угол поворота радиуса-вектора центра диска, проведенного из центра неподвижной окружности, пусть будет $\mathrm{\Theta }$. Найти связь между $\mathrm{\Theta }$ и $\phi$.

Ответ: $(\rho -r)\mathrm{\Theta }+r\phi =$ const (а вовсе не $\rho \mathrm{\Theta }=r\phi -$ обычный скорый ответ).

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ. Пусть точка $P$ движется в пространстве, $\mathrm{r}=\overline{OP}$ — ее радиус-вектор в системе координат Oxyz. Наряду с последней пусть применена подвижная система координат $A\xi \eta \xi$ и пусть $\varrho =\overline{AP}$ — радиус-вектор точки $P$ в ней (рис. 10). Положим
$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),\rho =\overline{AP}=\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right);$$

тогда
$$\left(\begin{array}{c}x\\ \mathit{y}\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+Q\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right),$$

так же как и при доказательстве формулы Эйлера, с одним, но существенным отличием: величины $\xi ,\eta ,\zeta$ теперь суть функции времени. Дифференцируя с учетом сказанного, получаем
$$\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\dot{a}}_x\\ {\dot{a}}_y\\ {\dot{a}}_z\end{array}\right)+Q[\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \xi \end{array}\right)]+Q\left(\begin{array}{l}\dot{\xi }\\ \dot{\eta }\\ \dot{\xi }\end{array}\right).$$

Вектор
$${\mathbf{v}}_{\mathrm{a}\sigma \mathrm{c}}=\dot{x}{\mathbf{e}}_x+\dot{y}{\mathbf{e}}_y+\dot{z}{\mathbf{e}}_z$$

называется абсолютной скоростью точки. Вектор
$${\mathbf{v}}_{\text{отн }}=\dot{\xi }{\mathrm{e}}_{\xi }+\dot{\eta }{\mathbf{e}}_{\eta }+\dot{\zeta }{\mathbf{e}}_{\xi },$$

имеющий в неподвижной системе координат столбец компонент
$$Q\left(\begin{array}{l}\dot{\xi }\\ \dot{\eta }\\ \dot{\xi }\end{array}\right),$$

называется относительной скоростью точки. Первые два слагаемых правой части (11) составляют так называемую переносную скорость точки $P$. Итак, имеем формулу сложения скоростей:
$${\mathbf{v}}_{\text{абс }}={\mathbf{v}}_{\text{отн }}+{\mathbf{v}}_{\text{пер }}.$$

Что касается переносной скорости, то ее можно осмыслить так: это абсолютная скорость точки, если та вдруг прекратит двигаться относительно подвижной системы координат, т. е. вдруг образует одно твердое тело с векторами подвижного репера, движущимися с угловой скоростью $\mathit{\omega }$.

Задача 31. Трубка, изогнутая в форме кольца, поворачивается вокруг вертикальной оси на угол $\psi (t)$, а в ней движется точка по закону $\theta (t)$ (рис. 13). Требуется вычислить и изобразить ${\mathbf{v}}_{\text{пер }}$ и ${\mathbf{v}}_{\text{отн }}$, получить модуль абсолютной скорости. Ответ: $v^2=$ $=r^2({\dot{\theta }}^2+{\dot{\psi }}^2\cos \theta )$.

СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ.

Пусть теперь с использованием подвижной системы координат рассматривается движение твердого тела. Тогда оно имеет абсолютную угловую скорость Фабс с точки зрения неподвижной системы координат и системы координат. Угловую скорость системы координат обозначим для выразительности через ${\omega }_{\text{пер }}$. Қак и следовало ожидать,
$${\mathit{\omega }}_{\text{абс }}={\mathit{\omega }}_{\text{пер }}+{\mathit{\omega }}_{\text{отн }}.$$

Доказательство. Свяжем с телом репер ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$ и введем матрицы перехода:
$$({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z)\stackrel{Q_1}{\to }({\mathbf{e}}_{\xi },{\mathbf{e}}_{\eta },{\mathbf{e}}_{\xi })\stackrel{Q_z}{\to }({\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z);$$

тогда компоненты вектора ${\mathit{\omega }}_{\text{абс }}$ в репере ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$ соответствуют матрице ${\left(Q_1{Q}_2\right)}^{-1}\frac{d}{dt}\left(Q_1{Q}_2\right)$ или (выполним дифференцирование произведения) сумме матриц:
$${\mathrm{\Omega }}_{\text{абс }}=Q_2^{-1}{Q}_1^{-1}{\dot{Q}}_1{Q}_2+Q_2{}^{-1}{\dot{Q}}_2.$$

Вторая матрица по определению составлена из компонент вектора ${\mathit{\omega }}_{\text{отн }}$ в pепере ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$. Матрица ${\mathrm{\Omega }}_{\text{пер }}=Q_1^{-1}{\dot{Q}}_1$ соответствует столбцу компонент вектора ${\mathit{\omega }}_{\text{пер в }}$ в репере ${\mathbf{e}}_5,{\mathbf{e}}_{\eta }$, ${\mathbf{e}}_5$. Применив к этому столбцу матрицу $Q_2{}^{-1}$, мы получим столбец компонент вектора ${\mathit{\omega }}_{\text{пер }}$ в репере ${\mathbf{e}}_X,{\mathbf{e}}_Y,{\mathbf{e}}_Z$, а по лемме 4 новому столбцу соответствует как раз первое слагаемое формулы (12).

Пример 2. К диску радиуса $r$ ортогонально прикреплена в центре штанга длины $d$. Диск катится по горизонтальной плоскости так, что свободный конец штанги $A$ неподвижен на высоте $r$ над плоскостью. Пусть $\psi$ — абсолютный угол поворота штанги вокруг вертикали, $\phi$ — угол поворота диска в подвижной системе координат $A\xi \eta \zeta$ такой, что ось $A\zeta$ вертикальна, ось $A\xi$ направлена по штанге. Вычислить связь между $\psi ,\phi$ (рис. 11).
Имеем
$${\omega }_{\text{отн }}=\dot{\phi }{\mathbf{e}}_{\xi },{\omega }_{\text{пгр }}=\dot{\psi }{\mathbf{e}}_{\xi },{\omega }_{\mathbf{a}\text{ б }}=\dot{\phi }{\mathbf{e}}_{\xi }+\dot{\psi }{\mathbf{e}}_{\xi }.$$

С другой стороны, скорость в точке касания
$${\mathbf{v}}_P={\mathbf{v}}_O+[{\omega }_{\text{aбс }}\times \overrightarrow{OP}]=0,{\mathbf{v}}_0=0,$$

так что
$$\begin{array}{c}[{\omega }_{\text{абс }}\times \overline{OP}]=0,\\ [(\dot{\phi }{\mathbf{e}}_{\xi }+\dot{\psi }{\mathbf{e}}_{\zeta })\times (d{\mathbf{e}}_{\xi }-r{\mathbf{e}}_{\xi })]\equiv 0,\\ r\dot{\phi }+d\dot{\phi }=0,\end{array}$$

что и требовалось.
Задача 32. Шар с ортогонально прикрепленной к нему штангой длины $l-r$ катится по горизонтальной плоскости так (рис. 12), что свободный конец штанги неподвижно лежит на плоскости. Пусть $v$ — абсолютная скорость центра шара. Определить абсолютную и относительную угловые его скорости в системе $A\xi \eta \zeta$, в которой горизонтальная ось $A\eta$ перпендикулярна штанге.
Ответ:
$${\omega }_{\text{абс }}=-\frac{v}{r}{\mathbf{e}}_{\xi },{\omega }_{\text{отн }}=-\frac{v}{r}{\mathbf{e}}_{\xi }-\frac{v}{\sqrt{i^2-r^2}}{\mathbf{e}}_{\zeta }.$$