Инвариантная точка зрения на гладкое многообразие состоит в том, что как множество точек оно существует независимо от тех систем координат (карт), которые на нем могут быть заданы. Допустим, что в некоторой области $\mathcal{U} \subset \mathfrak{M}$ система координат имеется; тогда каждая точка $P \in \mathcal{U}$ становится обладательницей своего собственного набора чисел; с помощью алгольного символа это можно записать в виде $P:=\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right)$. Если угодно, систему координат можно представлять себе как прозрачную пленку с сеткой линий, накладываемую на поверхность; преимущественно такого взгляда мы будем придерживаться.

Термин «преобразование» двусмыслен. Он применяется в обстоятельствах двух типов:
1. «Одна карта и две точки»: имеется взаимно-однозначное отображение $\varphi$ многообразия $\mathfrak{N}$ в себя, и мы воспользовались системой координат с областью определения $\mathscr{U}$. Пусть область $\mathscr{D}$ и множество $\varphi[\mathscr{D}]$ лежат в $\mathcal{U}$, так что точки
\[
\begin{array}{c}
P:=\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right) \in \mathcal{U}, \\
P^{\prime}=\varphi(P):=\left(z_{1}{ }^{\prime}, \ldots, z_{k}{ }^{\prime}\right) \in \mathcal{U} .
\end{array}
\]

Тогда в пределах $\mathscr{D}$ существуют гладкие обратимые зависимости
\[
z_{i}{ }^{\prime}=\varphi_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right) .
\]

Про них говорят, что они локально задают отображение.
2. «Одна точка и две карты»: рассматриваются две системы координат с областями определения $\mathscr{U}$ и $\mathscr{P}$; следовательно,
\[
P:=\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right), P:=\left(\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{k}\right)
\]

в области $\mathscr{U} \cap \mathscr{P}$, и в ней существуют гладкие обратимые зависи-

мости
\[
\zeta_{i}=\psi_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right) .
\]

Про них говорят, что имеется замена переменных.
Эти два прочтения термина «преобразование» взаимозаменяемы: в самом деле, формулы (A), задающие преобразование, можно использовать для задания новых координат и, наоборот, правые части формул (Б) можно применить для задания некоторого отображения (тривиальные уточнения формулировок опустим). Тем не менее полезно всякий раз ясно представить себе, что именно имеется в виду.

КАНОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

Пусть есть каноническое многообразие $\left(\boldsymbol{M}^{2 n}, \boldsymbol{\Omega}\right)$ и его отображение в себя: $\varphi: \boldsymbol{M} \rightarrow \mathbf{M}$. Можно определить обратный образ $\varphi^{*} \Omega$ формы $\Omega$. В терминах интегрирования
\[
\int_{\sigma^{2}} \varphi^{*} \Phi=\int_{\varphi\left(0^{2}\right)} \Omega
\]

для каждой двумерной ориентированной поверхности $\sigma^{2} \subset \mathbf{M}^{2 n}$. Вычисляется $\varphi^{*} \Omega$ так (в канонических координатах):
\[
\begin{array}{c}
\Omega=-\Sigma d p_{i} \wedge d q_{i}, \\
\varphi^{*} \Omega=-\Sigma d p^{\prime} \wedge d q_{i}^{\prime},
\end{array}
\]

где $p_{i}{ }^{\prime}=p_{i}{ }^{\prime}(p, q), q_{i}{ }^{\prime}=q_{i}{ }^{\prime}(p, q)$ – формулы, локально задающие преобразование. В (1) надо выписать все полные дифференциалы и привести подобные члены.

Определение. Отображение $\varphi$ называется каноническим, если
\[
\varphi^{*} \Omega=\Omega .
\]

Вспомним, что $\Omega=-d \omega$, где $\omega=p \cdot d q=\Sigma p_{i} d q_{i}$. Пусть $\gamma=\partial \sigma^{2}$. По формуле Стокса имеем

Критерий каноничности. Для любого замкнутого контура $\gamma \subset M$ в области определения координат $p, q$ должно быть
\[
\int_{\gamma} p \cdot d q=\int_{\varphi(T)} p \cdot d q .
\]

Пример. Назовем сдвигом преобразование
\[
p_{i}{ }^{\prime}=p_{i}, q_{i}{ }^{\prime}=q_{i}-f_{i}(p, q) .
\]

Условие (3) приобретает вид $\int_{i} \Sigma f_{i}(p, q) d p_{i} \equiv 0$, т. е. подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом:
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{\alpha}} \equiv 0, \frac{\partial f_{i}}{\partial p_{j}} \equiv \frac{\partial f_{j}}{\partial p_{i}},
\]

или
\[
f_{i}=\frac{\partial \varphi(p)}{\partial p_{i}} .
\]

Теорема. Фазовый поток $g_{H}$ гамильтонова векторного поля Н состоит из канонических отображений.
Доказательство. Условие каноничности принимает вид
\[
I(t)=\int_{\boldsymbol{\varepsilon}_{H}^{t}[\gamma]} p \cdot d q=\int_{\top} p \cdot d q=I(0) \Leftrightarrow \frac{d I}{d t} \equiv 0 .
\]

Пусть
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{g}_{H}[\gamma]=\{p=p(s, t), q=q(s, t): s \in[0, l], p(0, t)= \\
=p(l, t), q(0, t)=q(l, t)\} .
\end{array}
\]

Проведем явные вычисления (достаточно вычислить $\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=\frac{d}{d t} \int_{0}^{l} \sum p_{i}(s, t) \frac{\partial q_{i}(s, t)}{\partial s} d s=\int_{0}^{l}\left[\sum \frac{\partial p_{i}}{\partial t} \frac{\partial q_{i}}{\partial s}+\right. \\
\left.+\sum p_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial t \partial s}\right] d s=\int_{0}^{l} \boldsymbol{\sum} \frac{\partial p_{i}}{\partial t} \frac{\partial q_{i}}{\partial s} d s+\int_{0}^{l} \sum p_{i} d \frac{\partial q_{i}}{\partial t}= \\
=\int_{0}^{t} \boldsymbol{\sum}\left[\frac{\partial p_{i}}{\partial t} \frac{\partial q_{i}}{\partial s}-\frac{\partial q_{i}}{\partial t} \frac{\partial p_{i}}{\partial s}\right] d s+\left.\Sigma p_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial t}\right|_{0} ^{l} .
\end{array}
\]

Последнее слагаемое равно нулю, поскольку контур $\gamma$ – замкнутый. Согласно уравнениям Гамильтона,
\[
\left.\frac{\partial p_{i}}{\partial t}\right|_{t=0}=-\left.\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right|_{p(s, 0), q(s, 0)}, \frac{\partial q_{i}}{\partial t}=\left.\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right|_{p(s, 0), q(s, 0)},
\]

откуда
\[
\frac{d I}{d t}=\int_{0}^{l} \boldsymbol{\Sigma}\left(-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial s}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial s}\right) d s=0 .
\]

Проделанное рассуждение – маленький фрагмент теории интегральных инвариантов Пуанкаре.

КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ.

Замена переменных
\[
P=P^{*}(p, q), Q=Q^{*}(p, q)
\]

называется канонической, если переменные $P, Q$ – снова канонические, как и переменные $p, q$ :
\[
\sum_{i} d p_{i} \wedge d q_{i}=-\Omega=\sum_{i} d P_{i} \wedge d Q_{i} .
\]

Критерии каноничности. Замена (5) является канонической тогда и только тогда, когда

a) скобка Пуассона вычисляется по одним и тем же формулам в обеих системах координат, т. е.
\[
\sum_{i}\left(-\frac{\partial F}{\partial P_{i}} \frac{\partial G}{\partial Q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial Q_{i}} \frac{\partial G}{\partial P_{i}}\right)=\sum_{i}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right) ;
\]
б) матрица Якоби
\[
\mathscr{D}=\frac{\partial(P \cdot Q)}{\partial(p, q)}
\]

является симплектической.
Доказательство (a) следует из инвариантного определения скобки Пуассона (18.14) и последующей формулы (18.16). Что касается (б), то оба базиса:
\[
\frac{\partial}{\partial p_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q_{n}} ; \frac{\partial}{\partial P_{1}}, \cdots, \frac{\partial}{\partial Q_{n}}
\]

являются симплектическими, так что матрица Якоби $\mathscr{D}$, которая их связывает, тоже является симплектической (матрица Якоби определена с точностью до транспонирования, однако, как мы знаем, при этой операции симплектичность матрицы сохраняется, см. §17).
Пример канонической замены – перестановка (19.9).
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Воспользуемся соображениями взаимности отображений и замен. Сопоставляя формулы (1) и (6), мы видим, что они идентичны, так что доказанные критерии каноничности после должной переформулировки годятся и для замен, и для отображений. В частности, замена (5) является канонической тогда и только тогда, когда для любого контура
\[
\int_{\gamma} p \cdot d q=\int_{\gamma} P^{*} \cdot d Q^{*}
\]

или
\[
P^{*} \cdot d Q^{*}-p \cdot d q=d \Pi(p, q),
\]

где $\Pi(p, q)$ – некоторая функция, называемая первообразной.
Пример. Канонические полярные координаты на плоскости $\mathbf{R}^{2}(p, q)$ задаются формулами:
\[
\rho=\frac{p^{2}+q^{2}}{2}, \quad \sigma=\operatorname{arctg} \frac{q}{p} .
\]

Имеем
\[
\begin{array}{c}
d \circ=\frac{1}{1+\frac{q^{2}}{p^{2}}} \frac{p d q-q d p}{p^{2}}=\frac{p d q-q d p}{p^{2}+q^{2}}, \\
\rho d \sigma-p d q=\frac{1}{2}(p d q-q d p)-p d q=d\left(-\frac{p q}{2}\right), \\
\mathrm{II}=-\frac{p q}{2} .
\end{array}
\]

Термин «первообразная канонической замены переменных» в настоящих лекциях введен впервые. По всей видимости, это понятие до сих пор не выделялось, хотя инкогнито первообразные функции и появлялись в литературе, начиная с работ Пуанкаре.

СМЕШАННАЯ ЗАПИСЬ СТАНДАРТНОИ ЗАМЕНЫ.

Каноническая замена переменных называется стандартной, если
\[
\operatorname{det} \frac{\partial P^{*}}{\partial p}
eq 0 \text {. }
\]

Опираясь на условие (8), из уравнения $P=P^{*}(p, q)$ выразим $p=\bar{p}(P, q)$ и подставим в $Q=Q^{*}(p, q)$. В итоге получим смешанные формулы замены:
\[
\begin{array}{l}
p=\bar{p}(P, q), \\
Q=\bar{Q}(P, q) .
\end{array}
\]

Тождество (7) выразим через независимые переменные $P, q$ :
\[
\begin{array}{c}
\bar{p} \cdot d q-P \cdot d \bar{Q}=-d \Pi(\bar{p}(P, q), q), \\
\bar{p} \cdot d q+\bar{Q} \cdot d P=d[\underbrace{\bar{Q} \cdot P-\Pi(p(P, q), q)]}_{S(P, q)}
\end{array}
\]

где $\bar{Q} \cdot P=\sum_{i} \bar{Q}_{i} P_{i}$. Отсюда
\[
\bar{p}=\frac{\partial S}{\partial q}, \bar{Q}=\frac{\partial S}{\partial P},
\]

так что смешанные формулы замены порождаются одной функцией, которая называется производящей, и удовлетворяют условию, равносильному (5):
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} S}{\partial P \partial q}\right\|
eq 0 .
\]

Обратно, если это условие выполнено, то формулы
\[
p=\frac{\partial S(P, q)}{\partial q}, Q=\frac{\partial S(P, q)}{\partial P},
\]

будут смешанными для некоторой стандартной замены.
По лемме Каратеодори любая каноническая замена переменных может быть превращена в стандартную несколькими каноническими перестановками. Аппарат производящих функций в этом смысле универсален.
Пример. Снова канонические полярные координаты
\[
\rho=\frac{p^{2}+q^{2}}{2}, \quad \sigma=\operatorname{arctg} \frac{q}{p} .
\]

Здесь производящая функция
\[
S=\frac{q}{2} \sqrt{2 p-q^{2}}+p \operatorname{arctg} \frac{q}{\sqrt{2 p-q^{2}}} .
\]

Задача 57. Пусть $\xi=S \mathbf{z}$ – стандартная линейная каноническая замена ( $S$ – симплектическая матрица):
\[
S=\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
B & D
\end{array}\right), \operatorname{det} D
eq 0 ; \zeta=(P, Q) .
\]

Доказать, что:
1) $\Pi(p, q)=\frac{1}{2}(p \cdot q-P \cdot Q)$;
2) $S(P, q)=P \cdot D^{-1} q+\frac{1}{2} P \cdot C D^{-1} P-\frac{1}{2} q \cdot D^{-1} B q$.
Указания. Использовать условия на $A, B, C, D$, полученные ранее (в начале $\S 17$ ); решить задачу сначала в случае $n=1$, т. е. когда $A, B, C, D$ – числа.

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ЗАМЕН.

Векторное поле $\stackrel{\leftarrow}{H}$ построено инвариантным образом; в локальных канонических координатах его можно записать так: $I \frac{\partial H^{\prime}}{\partial z}$ или $I \frac{\partial H^{\prime \prime}}{\sigma \zeta}$. При этом $H^{\prime \prime}(\zeta)=H^{\prime}\left(z_{*}(\zeta)\right)$, где $H^{\prime}$ и $H^{\prime \prime}$ – конкретные выражения в координатах $z$ и $\zeta$. При канонической замене кооринат $z=$ $=z_{\star}(\zeta)$ уравнение Гамильтона $\frac{d z}{d t}=I \frac{\partial H^{\prime}}{\partial z}$ переходит в $\frac{d \zeta}{d t}=I \frac{\partial H^{\prime \prime}}{\partial \zeta}$.

Таким образом, мы сначала делаем замену переменных в гамильтониане, потом дифференцируем, но не преобразуем сами уравнения. Этим канонические замены выгодно отличаются от произвольных.

Пусть нам известны выражения $H$ в различных локальных координатах: $H=H^{\prime}(p, q), H=H^{\prime \prime}(P, Q)$. Применяя смешанные формулы замены, имеем $H^{\prime}(\bar{p}(P, q), q)=H^{\prime \prime}(P, Q(P, q))$ или, используя производящую функцию,
\[
H^{\prime}\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q\right)=H^{\prime \prime}\left(P, \frac{\partial S}{\partial P}\right) .
\]

Таким образом, $S(P, q)$ удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных, которое называется уравнением Гамильтона-Якоби.
Задача 58. Путем решения уравнения вида (12):
\[
\frac{1}{2}\left(\alpha\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+2 \gamma \frac{\partial S}{\partial q} q+\beta q^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(P^{2}+\mu\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)^{2}\right), \quad \alpha>0,
\]

найти все стандартные линейные канонические замены переменных, осуществляющие приведение к нормальной форме из задачи 55.
Указание: получаются формулы
\[
c= \pm \sqrt{\frac{\alpha-d^{2}}{\alpha \beta-\gamma^{2}}}, b=\frac{1}{\alpha}\left(\gamma d \pm \sqrt{\left(\alpha \beta-\gamma^{2}\right)\left(\alpha-d^{2}\right)}\right),
\]

которые надо проанализировать, в частности, в зависимости от

знака $\mu=\alpha \beta-\gamma^{2}$. Полезно предварительно описать замены, сохраняющие нормальную форму.

Уже отмечалось, что состояния равновесия гамильтоновой системы – это критические точки гамильтониана. Если в окрестности равновесия $p=q=0$ разложить $H$ в ряд Тейлора: $H=H_{2}+$ $+H_{3}+\ldots$, где $H_{k}$ – сумма членов степени $k$, то гамильтониан $H_{2}$ даст линейные уравнения, являющиеся приближением для исходных. Сейчас мы увидим, как канонические замены позволяют улучшать качество приближения.
3адача 59. А. Пусть $n=1$, и критическая точка имеет в линейном приближении гиперболический тип:
\[
H=\lambda p q+\sum_{m+n=3} \eta_{m n} p^{m} q^{n}+O\left(p^{4}+q^{4}\right) .
\]

Найти производящую функцию канонической замены переменных, приводящей гамильтониан к виду
\[
H=\lambda P Q+O\left(P^{4}+Q^{4}\right) .
\]
Б. Аналогичное задание для точки эллиптического типа:
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+\mu q^{2}\right)+\sum_{m+n=3}^{-} \eta_{m n} p^{m} q^{n}+O\left(p^{4}+q^{4}\right), \quad \mu>0 .
\]

Таким образом, в переменных $P, Q$ линейное приближение на порядок точнее.
Ответ A:
\[
S=P q+\sum \frac{\eta_{m n}}{\lambda(r-m)} q^{m} P^{n} .
\]

Здесь мы увидели простейшие примеры преобразования Биркгофа.

Итак, канонические замены применяются для улучшения гамильтонианов. Пойдем дальше и пожелаем теперь, чтобы $H^{\prime \prime}$ не зависело от $Q$, т. е. чтобы
\[
H^{\prime}\left(\frac{\partial S}{\partial q}, q\right)=H^{\prime \prime}(P)
\]

Если мы решим это уравнение в частных производных и осуществим замену, то в новых переменных гамильтонова система легко. интегрируется:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d P_{i}}{d t}=-\frac{\partial H^{\prime \prime}}{\partial Q_{i}}=0 \Rightarrow P_{i}=P^{\circ}{ }_{i}=\text { const }, \\
\frac{d Q_{i}}{d t}=\frac{\partial H^{\prime \prime}}{\partial P_{i}}=\omega_{i}(P) \Rightarrow Q_{i}=Q^{\circ}{ }_{i}+\omega_{i}\left(P^{0}\right) t .
\end{array}
\]

ЭФФЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ.

В $\S 19$ была доказана теорема о пополнении: если есть $n$ независимых функций в инволюции $P_{1}, \ldots, P_{n}$, то существуют еще $n$ функций $Q_{1}, \ldots, Q_{n}$ таких,

что $(P, Q)$ – канонические координаты. То была теорема существования, а сейчас нам потребуется в каком-то смысле эффективный способ построения функций $Q_{i}$. Будем исходить из дополнительного предположения о том, что какие-то канонические координаты $p, q$ в нашем распоряжении уже имеются.

По лемме Қаратеодори можно считать $\operatorname{det} \frac{\partial P}{\partial p}
eq 0$. Следовательно, локально $p=\bar{p}(P, q)$. Вычислим функцию
\[
S(p, q)=\int_{q_{0}}^{n} \bar{p}(P, q) d q
\]
(ниже будет показано, что интеграл не зависит от пути интегрирования). Отметив, что $\operatorname{det} \frac{\partial^{2} S}{\partial P \partial q}=\operatorname{det} \frac{\partial \bar{p}}{\partial P}
eq 0$, мы можем использовать $S$ в качестве производящей. Функции
\[
\begin{array}{l}
\bar{Q}(P, q)=\frac{\partial S}{\partial P}=\int_{q_{0}}^{q} \frac{\partial \bar{p}}{\partial P} d q, \\
Q^{*}(p, q)=\bar{Q}(P(p, q), q)
\end{array}
\]

и будут искомыми.
Покажем теперь корректность определения $S$. Функции $\bar{p}$ фактически задают в виде графика совместные уровни $\mathbf{L}_{P}=\{P=$ $=$ const $\}$, т. е. локально
\[
\mathbf{L}_{P}=\{p=\bar{p}(P, q)\} .
\]

Таким образом,
\[
\int_{q_{0}}^{q} \bar{p} \cdot d q=\int_{i} p \cdot d q,
\]

где $\gamma$ – путь из $q_{0}$ в $q$, поднятый на $\mathbf{L}_{P}$ функциями $\bar{p}$. Докажем, что интеграл не зависит от контура или, что то же самое, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Способ 1 (для тех, кто знаком с понятием сужения дифференциальной формы на подмногообразие). Пусть $\gamma=\partial \sigma^{2}, \sigma^{2} \subset \mathbf{L}_{P}$. По теореме Стокса:
\[
\int_{\mathbf{i}}(p \cdot d q)_{\mathbf{L}_{P}}=\int_{\sigma^{2}} d\left[(p \cdot d q)_{\mathbf{L}_{P}}\right]=\int_{\sigma^{2}}(d(p \cdot d q))_{\mathbf{L}_{P}}=-\int_{\sigma^{2}}\left(\Sigma t p_{i} \wedge d q_{i}\right)_{\mathbf{L}_{P}} .
\]

Осталось проверить, что
\[
\left.\Omega\right|_{\mathbf{L}_{P}}=-\left.\mathbf{\Sigma} d p_{i} \wedge d q_{i}\right|_{\mathbf{L}_{P}} \equiv 0 .
\]

Векторные поля $\stackrel{\leftarrow}{P}_{1}, \ldots, \stackrel{\leftarrow}{P}_{n}$ линейно независимы и касаются $\mathbf{L}_{P}$, $\operatorname{dim} \mathbf{L}_{P}=n$; кроме того (еще одно следствие инволютивности),
\[
\Omega\left(\stackrel{\leftarrow}{P}_{i}, \stackrel{\leftarrow}{P}_{j}\right)=\left(P_{i}, P_{j}\right) \equiv 0
\]

что и доказывает требуемое.
Способ 2 (непосредственный). Покажем, что
\[
\frac{\partial \bar{P}_{k}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \bar{P}_{i}}{\partial q_{k}} .
\]

Поскольку $P_{\alpha}{ }^{*}(\bar{p}(P, q), q) \equiv P_{\alpha}$, после дифференцирования
\[
\frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{\partial q_{i}}+\sum_{s} \frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{\partial p_{s}} \frac{\partial \bar{p}_{s}}{\partial q_{i}}: \equiv 0 .
\]

Условие $\left(P_{\alpha}{ }^{*}, P_{\beta}{ }^{*}\right) \equiv 0$ можно представить в виде
\[
\sum_{j} \frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{\partial p_{j}} \frac{\partial P^{*}{ }_{\beta}}{\partial q_{j}}=\sum_{k} \frac{\partial P^{*}{ }_{\beta}}{\partial p_{k}} \frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{\partial q_{k}},
\]

откуда в силу (16)
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i, k} \frac{\partial P_{\alpha}^{*}}{\partial p_{j}} \frac{\partial P^{*}{ }_{\beta}}{\partial p_{k}} \frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial q_{j}}=\prod_{k, j} \frac{\partial P_{\beta}^{*}{ }_{\beta}^{*}}{\partial p_{k}} \frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \bar{p}_{j}}{\partial q_{k}}, \\
\sum_{i, k} \frac{\partial P^{*}{ }_{\alpha}}{p p_{j}}\left(\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial \bar{p}_{j}}{\partial q_{k}}\right) \frac{\partial P^{*}{ }_{\beta}^{\beta}}{\partial p_{k}}=0 .
\end{array}
\]

Здесь мы видим, что матрица
\[
\left\|\frac{\partial \bar{P}_{k}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial \bar{P}_{j}}{\partial q_{k}}\right\|
\]

множится с одной стороны на невырожденную матрицу
\[
\left\|\frac{\partial P_{\alpha}^{*}}{\partial p_{j}}\right\|,
\]

а с другой – на транспонированную к ней. В итоге получается нулевая матрица. Следовательно, и сама матрица (17) равна нулю, что и доказывает (15).

Теорема о пополнении, как и все другие локальные теоремы, на практике часто эффективна отнюдь не в малых областях неформальное обстоятельство, определяющее ее ценность (как и всех других локальных теорем).

СВОИСТВО ИНТЕГРИРУЕМОСТИ.

Поле $\overleftarrow{H}$ (или уравнение $\dot{z}=I \frac{\partial H}{\partial z}$ называется вполне интегрируемым в некоторой области, если в ней у него есть $n$ независимых первых интегралов в инволюции $F_{1}, \ldots, F_{n}$, т. е. $\left(F_{i}, H\right) \equiv 0,\left(F_{i}, F_{j}\right) \equiv 0$, и $\operatorname{tang} \frac{\partial F}{\partial z}=n$ везде, кроме множества точек, не содержащего никакой открытой подобласти.

К числу интегрируемых (во всем фазовом пространстве) относятся задачи с $n$ степенями свободы и $n-1$ циклическим интегралом (движение в центральном поле сил, сферический маятник, случай Лагранжа, лиувиллевы системы – задача о геодезичес-

ких на эллипсоиде, задача двух неподвижных центров, задача Јагранжа). Здесь список интегралов нам уже известен ( $\S 16,8$, 9). Менее очевиден набор интегралов в инволюции для задач с тремя степенями свободы и интегралом кинетического момента: задача Кеплера, вообще движение в центральном поле сил (см. задачу 51, в) и случай Эйлера вращения твердого тела. Здесь интегралами в инволюции являются полная энергия, одна из компонент кинетического момента и квадрат его модуля.

Возьмем в качестве первых $n$ канонических координат функции $P_{i}=F_{i}(z)$, а еще $n$ функции $Q$ построим по теореме о пополнении. Тогда
\[
H=H^{\prime \prime}\left(P_{1}, \ldots, P_{n}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right) \text {. }
\]

Но функции $P_{i}$ – это первые интегралы поля $\stackrel{\leftarrow}{H}$, так что
\[
\frac{d P_{i}}{d t}=-\frac{\partial H^{\prime \prime}}{\partial Q_{i}} \equiv 0 .
\]

Следовательно, выражение $H^{\prime \prime}$ зависит только от переменных $P$. В частности, если интегралы выписаны в канонической системе координат $p, q$, то пополнение мы сможем произвести эффективно, т. е. решим уравнение Гамильтона-Якоби (12′).

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет $n$ первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах: при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении).

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке.

ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕИСТВИЕ – УГОЛ.

Пусть $\mathbf{L}_{c}$ – неособая связная компактная компонента совместного уровня интегралов вполне интегрируемой системы. Тогда по теореме о фазовых торах она и (все близкие) диффеоморфна $n$-мерному тору.

Теорема. В сделанных предположения в окрестности $\mathbf{L}_{c}$ существуют канонические координаты $\rho_{i}, \sigma_{i} \bmod 2 \pi$ такие, что
\[
F_{i}=F_{i}(\rho), H=H(\rho) .
\]

Они называются переменными действие – угол; $\sigma_{i}$ суть угловые геременные на торе $\mathbf{T}^{n}(\rho)=\mathbf{L}_{c}, c=F(\rho)$.

Доказательство. По теореме о пополнении существуют канонические координаты $P_{1}, \ldots, P_{n}, Q_{1}, \ldots, Q_{n}$ такие, что (19.8)
\[
P_{i}=F_{i}(p, q), \quad \stackrel{\leftarrow}{F}_{i}=\frac{\partial}{\partial Q_{i}} .
\]

Таким образом, $Q_{i}$ локально играют роль $s_{i}$ из доказательства теоремы о фазовых торах: $Q_{i}=s_{i}+C_{i}$, где $C_{i}$ зависят от окрестности. Играя $C_{i}$, мы можем согласовывать $Q$ между соседними окрестностями, так что в итоге вправе считать, что $Q_{i}$ совпадают c $s_{i}$ на всем торе и представляют собой многозначные координаты: существуют $n$ линейно независимых векторов $\xi_{\alpha}$ таких, что точка с координатами
\[
P_{i}{ }^{\prime}=P_{i}, Q_{i}{ }^{\prime}=Q_{i}+\xi_{\alpha i}
\]

совпадает с точкой $P, Q$. Имеем $\xi_{\alpha i}=\xi_{\alpha i}(P)$, так как теперь мы рассматриваем не один тор, как в § 18 , а семейство их, зависящее от $P$. Отображение (19) в фазовом пространстве тождественно и потому канонично; в пространстве переменных $P, Q$ сдвиг (19) также является каноническим, так что по формуле (4)
\[
\frac{\partial \xi_{\alpha i}}{\partial P_{j}}=\frac{\partial \xi_{\alpha j}}{\partial P_{i}} \cdot
\]

Отсюда вытекает, что
\[
\xi_{\alpha i}=2 \pi \frac{\partial P_{\alpha}}{\partial P_{i}},
\]

где $\rho_{a}(P)$ – некоторые независимые функции, поскольку $\operatorname{det}\left\|\xi_{\alpha i}\right\|
eq 0$. Положим теперь
\[
Q_{i}=\frac{1}{2 \pi} \sum_{\alpha} \xi_{\alpha i}{ }^{\sigma} \alpha .
\]

Очевидно, что $\sigma_{\alpha} \bmod 2 \pi$. Наконец,
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n} d P_{i} \wedge d Q_{i}=\sum_{i} d P_{i} \wedge d\left(\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial \rho_{\alpha}}{\partial P_{i}} \sigma_{\alpha}\right)=\sum_{a, i} \frac{\partial \rho_{\alpha}}{\partial P_{i}} d P_{i} \wedge d \sigma_{\alpha}+ \\
+\sum_{\alpha, i, i} \sigma_{\alpha} \frac{\partial^{2} \rho_{\alpha}}{\partial P_{i} \partial P_{j}} d P_{i} \wedge d P_{j}=\sum_{\alpha} d \rho_{\alpha} \wedge d \sigma_{\alpha}+0,
\end{array}
\]

так что переменные $\rho, \sigma$ – канонические.
Задача 60. Установить каноничность, выразив попарные скобки Пуассона переменных $P, Q$ через скобки функции $\rho, \sigma$.

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ.

Поскольку $H=H(\rho)$, общее решение уравнений Гамильтона получается по формулам (13) в виде
\[
\rho=\rho_{i}{ }^{0}, \sigma=\sigma_{i}{ }^{0}+\omega_{i}\left(\rho^{0}\right) t,
\]

где функции
\[
\omega_{i}(\rho)=\frac{\partial H}{\partial \rho_{i}}
\]

называются частотами системы. Пусть для простоты $n=2$. На плоскости переменных $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ формулы (23) задают прямую. Этот образ, однако, нас не устроит, так как при изменении любого из углов на $2 \pi$ нам следовало бы возвращаться в ту же точку, чего на плоскости не происходит. Короче говоря, из плоскости надо получить тор. Сделаем это поэтапно. Сначала учтем, что $\sigma_{1} \bmod 2 \pi$ и свернем плоскость в цилиндр (так же, как на примере с математическим маятником в § 16). В результате прямая преобразуется в винтовую линию. Затем учтем, что б $\sigma_{2} \bmod 2 \pi$ и свернем цилиндр в тор (если оставаться в $\mathbf{R}^{3}$, то без деформаций не обойтись). Результат см. на рис. 76. Винтовая линия перейдет в так называемую обмотку тора, которая совершенно не обязана быть замкнутой кривой. Последнее происходит лишь в случае, когда
\[
m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}=0,
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – целые числа, $m_{1}^{2}+m_{2}^{2}
eq 0$. В противном случае обмотка всюду плотна на торе.

Если на рис. 76 не обращать внимания на то, что часть фаз́овой кривой изображена пунктиром, то мы увидим типичное поведение траектории в центральном поле сил и вообще в системе с циклической координатой. Таким образом, область возможности движения типа кольца есть в некотором смысле (несложные уточнения опускаем) проекция фазового тора на многообразие положений, а траектория движения есть проекция фазовой обмотки тора. Аналогичные утверждения справедливы и в случае Лагранжа движения тела с неподвижной точкой, только здесь обмотки проектируются с некоторым перекосом.
Пример. Гармонический осциллятор:
\[
H=\frac{1}{2}\left(\alpha p^{2}+\beta q^{2}\right), \alpha=1 / m, \quad \beta=k>0 .
\]

Гиперболическим поворотом $P=\sqrt[4]{\frac{\alpha}{\beta}} p, Q=\sqrt[4]{\frac{\beta}{\alpha}} q$ гамильтониан приводится к виду $H=\frac{1}{2} \sqrt{\alpha \beta}\left(P^{2}+Q^{2}\right)$, после чего остается ввести канонические полярные координаты $\rho=\left(P^{2}+\right.$ $\left.+Q^{2}\right) / 2, \quad \sigma=\operatorname{arctg}(Q / P)$. Это и будут переменные действие угол:
\[
\rho=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} p^{2}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} q^{2}\right), \quad \sigma=\operatorname{arctg} \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \frac{q}{p} .
\]

Обратные формулы:
\[
p=\sqrt[4]{\frac{\beta}{\alpha}} \sqrt{2 p} \cos \sigma, \quad q=\sqrt[4]{\frac{\alpha}{\beta}} \sqrt{2 p} \sin \sigma .
\]

Наконец, $H=\sqrt{\alpha \beta} \rho$, частота $\omega=\sqrt{\overline{\alpha \beta}}=\sqrt{k / m}$ совпадает с частотой колебаний осциллятора.
Задача 61. Пусть точка на сфере движется по инерции.
А. Положение точки определим обычными сферическими координатами $\theta, \psi$ (8.7). Показать, что компоненты кинетического

момента $\Lambda_{x}, \Lambda_{y}, \Lambda_{z}$, переписанные в переменных $\theta, \psi, \rho_{\theta}, \rho_{\psi}$, находятся в инволюции с гамильтонианом $H$, а их попарные скобки удовлетворяют соотношениям (16.9), как и для свободной точки.
Б. Пусть П – плоскость, перпендикулярная постоянному вектору кинетического момента, прямая of – пересечение ее с плоскостью $O x y, \sigma_{1}$ – угол между осью $O x$ и прямой $O f$, а $\sigma_{2}$ – угол между прямой Of и радиусом-вектором точки. Показать, что переменные $\rho_{1}=\Lambda_{z}, \rho_{2}=|\Lambda|, \sigma_{1}, \sigma_{2}$ являются каноническими, что это переменные действие – угол для движения по инерции и что $H=\rho_{2}^{2} / 2 m r^{2}$.

Примечание. Аналогичная конструкция используется для введения переменных действие – угол в задаче Кеплера и в случае Эйлера вращения твердого тела. Қак и задача о геодезических на сфере, эти задачи относятся к числу вырожденных (гамильтониан зависит не от всех переменных действия).

ЭФФЕКТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ – УГОЛ.

Существование переменных $\rho, \sigma$ было установлено на произвольном каноническом многообразии и без предположения, что интегралы в инволюции заданы в какой-либо канонической системе координат. Если это предположение все же выполнено, то мы можем воспользоваться эффективным пополнением и получить смешанные формулы замены:
\[
p=\bar{p}(P, q) \equiv \frac{\partial S}{\partial q}, Q=\bar{Q}(P, q) \equiv \frac{\partial S}{\partial P}, S=S(P, q) .
\]

Отметим, что матрица $\frac{\partial \bar{Q}}{\partial q}=\frac{\partial^{2} S}{\partial P \partial q}$ невырождена, так что из последней группы формул можно получить $q=q_{*}(P, Q)$, и при этом матрица $\frac{\partial q_{*}}{\partial \bar{Q}_{n}}=\left(\frac{\partial \bar{Q}}{\partial q}\right)^{-1}$ также невырождена.
«Презумпция аналитичности» (согласно которой соотношения, установленные локально, дают правильный результат и глобально) позволяет нам считать, что зависимости $q=q_{*}(P, Q)$ пригодны на интегральных торах в целом. Поэтому будем искать век. торы $\xi_{\alpha}$, решая систему уравнений:
\[
f(P, Q, \xi) \equiv q_{*}(P, Q+\xi)-q_{\star}(P, Q)=0 .
\]

Нам известно, что у этой системы имеется $n$ базисных решений (общее решение имеет вид $\Sigma n_{\alpha} \xi_{\alpha}$, где $n_{\alpha}$ – целые), причем от $Q$ они не зависят (так что решение можно начать с того, что положить $Q=0$ ). Когда векторы $\xi_{\alpha}(P)$ найдены, вычисляем $\sigma_{\alpha}$, обращая зависимости (22), и находим $\rho_{\alpha}(P)$ интегрированием уравнений (21). Таким образом, переменные действие – угол вычисляются в квадратурах как функции $P, Q$ и затем $p, q$. Разумеется, речь идет о принципиальной возможности. На практике любой шаг может вывести за рамки элементарных или специальных функций, и мы даже не сможем записать конкретный результат.

Пример. Снова гармонический осциллятор. Возьмем
\[
P=H(p, q)=\frac{1}{2}\left(\alpha p^{2}+\beta q^{2}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
p=\sqrt{\frac{2 P-\beta q^{2}}{\alpha}} \Rightarrow S=\int_{0}^{q} \sqrt{\frac{2 P-\beta q^{2}}{\alpha}} d q=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \int_{0}^{q} \sqrt{\frac{2 P}{\beta}-q^{2}} d q \Rightarrow \\
\Rightarrow Q=\frac{\partial S}{\partial P}=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \int_{0}^{q} \frac{1}{\beta} \frac{d q}{\sqrt{\frac{2 P}{\beta}-q^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2 P}{\beta}}} \Rightarrow \\
\Rightarrow q=\sqrt{\frac{2 P}{\beta}} \sin \sqrt{\alpha \bar{\beta}} Q \Rightarrow \sin \sqrt{\alpha \bar{\beta}}(Q+\xi)=\sin \sqrt{\alpha \beta} Q \Rightarrow \text {. } \\
\Rightarrow \xi=\frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha \beta}} \Rightarrow \frac{d p}{d P}=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}}, Q=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \sigma \Rightarrow p=\frac{P}{\sqrt{\alpha \beta}}, \quad \sigma=\sqrt{\alpha \beta} Q \Rightarrow q= \\
=\sqrt[4]{\frac{\alpha}{\beta}} \sqrt{2 \rho} \sin \sigma, \quad p=\sqrt[4]{\frac{\beta}{\alpha}} \sqrt{2 \rho} \cos \sigma, \\
\end{array}
\]

как и было получено ранее. Пользование «презумпцией аналитичности» состояло в том, что мы не написали $\pm$ перед радикалом и в качестве функции обратной к arcsin, взяли sin со всей его областью определения.

Обобщение примера. Пусть имеем гамильтонову систему с одной степенью свободы, уровни энергии которой $H(p, q)=$ $=h$ компактны (по крайней мере в некоторой области на $\mathbf{R}^{2}(p, q)$ ), т. е. топологически представляют собой окружности (одномерные торы). Положим $P=H(p, q)$. Тогда
\[
p=f(P, q) \Rightarrow S=\int_{q_{0}}^{q} f(P, q) d q \Rightarrow Q=\frac{\partial S}{\partial P}=\int_{q_{0}}^{q} \frac{\partial f}{\partial P} d q .
\]

После обхода уровня переменная $Q$ получит приращение:
\[
\xi=\oint_{H(p, q)=P} \frac{\partial f}{\partial P} d q=\frac{d}{d P} \oint f(P, q) d q=\frac{d}{d P} S(P),
\]

где $S(P)$ – площадь области, заключенной внутри кривой $H(p, q)=P$. Следовательно, в качестве переменной действия можно взять $S(P) / 2 \pi$.

Этот вывод дополним указанием на смысл величины $\xi$ в данном случае. Заметим, что
\[
\frac{\partial f}{\partial P}=1 / \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d H}{\partial p}=\frac{d q}{d t} .
\]

Поэтому
\[
Q=\int_{q_{0}}^{q} \frac{\partial f}{\partial P} d q=\int_{q_{0}}^{q} \frac{d q}{\frac{d q}{d t}}=\int_{q_{0}}^{q} d t
\]

имеет смысл времени движения от точки $q_{0}$ до точки $q$ вдоль фазовой траектории $H(p, q)=P=h$, а приращение $\xi$ после обхода кривой – смысл периода решения $\tau$. Итак, $\xi=\tau(h)=S^{\prime}(h)$.
3адача 62. Отображение (замена переменных) вида
\[
\rho^{\prime}=\rho, \sigma^{\prime}=\sigma+f(\rho)
\]

в канонических полярных координатах называется каноническим кручением.
А. Пусть есть каноническое отображение плоскости
\[
p^{\prime}=p^{\prime}(p, q), q^{\prime}=q^{\prime}(p, q),
\]

сохраняющее функцию $F$ :
\[
F\left(p^{\prime}, q^{\prime}\right)=F(p, q) .
\]

Показать, что в окрестности неособой связной компактной компоненты уровня $F=c_{0}$ существуют канонические координаты
\[
\rho, \sigma \bmod 2 \pi
\]

такие, что в них отображение имеет вид канонического кручения.
Б. Пусть
\[
\rho, \sigma \bmod 2 \pi ; \rho^{\prime}, \sigma^{\prime} \bmod 2 \pi
\]

два варианта переменных действие – угол для системы с одной степенью свободы. Показать, что они связаны зависимостью вида
\[
\rho^{\prime}=\rho+\text { const, } \sigma^{\prime}=\sigma+f(\rho),
\]
т. е. сдвигом действия и каноническим кручением (но здесь это уже не отображение, а замена переменных).

Вопрос. Қакие возможны обобщения результатов этой задачи на случай многих степеней свободы? Қакую роль может играть предположение с невырожденности системы $\left(\operatorname{det} \frac{\partial^{2} H}{\partial \rho^{2}}
eq 0\right)$ при обобщении п. Б?
3адача 63. Допустим, что решение системы уравнений $P_{i}=$ $=F_{i}(p, q)$ имеет вид $p_{i}=f_{i}\left(P, q_{i}\right)$, пусть последние равенства при заданных $P$ задают замкнутые кривые на плоскостях $\mathbf{R}^{2}\left(p_{i}, q_{i}\right)$. Доказать, что в качестве переменных $\rho_{i}$ можно взять площади внутри этих кривых, деленные на $2 \pi$.

В частности, такая возможность представляется в случае, когда гамильтониан допускает простое или сложное разделение переменных (см. § 16). Например, в лиувиллевой системе
\[
H=\left[\Sigma f_{i}\left(q_{i}\right)\right]^{-1}\left[\sum\left(\frac{p^{2} i}{2}+V_{i}\left(q_{i}\right)\right)\right],
\]

первые интегралы приводят к
\[
\frac{1}{2} p_{i}^{2}+V_{i}\left(q_{i}\right)-h f_{i}=c_{i}, \Sigma c_{i}=0,
\]

так что
\[
\rho_{i}\left(h, c_{i}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{q_{i}^{-}\left(h, c_{i}\right)}^{q_{i}^{+}} \sqrt{2\left(c_{i}+h f_{i}-V_{i}\right)} d q_{i},
\]

где $q_{i}^{+}, q_{i}^{-}$- границы области неотрицательности подкоренного выражения (для простоты считаем ее отрезком). Полезно сравнить сказанное с материалом в конце $\S 9$. Области возможности движения $\mathfrak{R}^{c h}$, о которых там идет речь в случае $n=2$, часто имеют вид прямоугольников в переменных $\left(q_{1}, q_{2}\right)$, причем это действительно прямоугольники в рассматриваемой метрике. Прямоугольники $\mathfrak{R}^{c h}$ являются проекциями торов $\mathbf{L}_{c h}$ из фазового пространства в пространство положений. Чтобы представить себе, как такое могло получиться, надо склеить плоский тор из листа бумаги.

НЕИНВОЛЮТИВНЫИ НАБОР ИНТЕГРАЛОВ.

Приведем пример задачи с $n$ степенями свободы, в которой имеется ровно $n$ интегралов движения, но они не находятся в инволюции: пусть по сфере движутся две точки, причем потенциальная энергия действующих сил зависит только от расстояния между ними. Тогда сохраняются полная энергия и три компоненты суммарного кинетического момента системы – эти последние и имеют ненулевые скобки Пуассона.