Векторным полем в трехмерном пространстве (или в некоторой области трехмерного пространства) называется вектор-функция положения и времени:
\[
\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Phi}(\mathrm{r}, t) .
\]

Считаем, что вектор $\Phi$ приложен в точке r. В координатах (как всегда, правая декартова система)
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Phi}=\Phi_{x} \mathbf{e}_{x}+\Phi_{y} \mathbf{e}_{y}+\Phi_{z} \mathbf{e}_{z}, \\
\Phi_{x}=\Phi_{x}(x, y, z, t), \Phi_{y}=\Phi_{y}(x, y, z, t), \Phi_{z}=\Phi_{z}(x, y, z, t) .
\end{array}
\]

Мы начнем с примеров силовых полей.
С физической точки зрения все макроскопические взаимодействия (т. е. взаимодействия тел с достаточно большим числом атомов) суть сложные комбинации двух фундаментальных взаимодействий между частицами: гравитационного и электромагнитного (последнее особенно богато проявлениями: например, силы упругости, силы трения имеют чисто электромагнитную природу). Это обязывает нас рассмотреть хотя бы частные проявления фундаментальных сил, когда одностороннему воздействию подвергается только одна материальная точка.

Итак, имеем точку массы $m$. Если в пространстве нет ничего, кроме другой точки массы $M$, то гравитационное воздействие на $m$ выражается силой
\[
\mathbf{F}=-f \frac{m M}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r},
\]

где $\mathbf{r}$-радиус-вектор, проведенный из точки $M$ в точку $m, f$ универсальная гравитационная постоянная; $[f]=\mathrm{L}^{3} / \mathrm{T}^{2} M$; модуль силы $\mathbf{F}$ обратно пропорционален квадрату расстояния между точками и пропорционален их массам, причем сила направлена от одной массы к другой (притягивающая сила). В этом состоит закон гравитации Ньютона.

Аналогичную структуру имеет сила электростатического взаимодействия (сила Кулона). Материальная точка характеризуется электрическим зарядом $q$ (величина, которая может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю). Если $Q$ – заряд другой точки, и обе они неподвижны, то
\[
\mathbf{F}=k \frac{q Q}{r^{2}} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Если $Q q>0$, то сила будет отталкивающей.
Для измерения заряда требуется, вообще говоря, отдельная единица измерения. Можно сделать ее зависимой от единиц массы, длины и времени, выбрав так, чтобы коэффициент в послед-

ней формуле стал равным единице. Тогда
\[
[q]=\mathrm{L}^{3 / 2} \mathrm{M}^{1 / 2} \mathrm{~T}^{-\mathbf{1}} .
\]

Впредь мы так и поступим (т. е. фактически будем пользоваться так называемой гауссовой системой единиц).

Формальная структура поля силы тяготения и электростатического поля одна и та же:
\[
\begin{array}{c}
X=C \frac{x}{r^{3}}, \quad Y=C \frac{y}{r^{3}}, \quad Z=C \frac{z}{r^{3}}, \\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\end{array}
\]

где $C=-\{M m$ или $C=Q q$. Различие в следующем: во-первых, сила Кулона может быть и отталкивающей, во-вторых, сила гравитации не зависит от того, движется масса $m$ (и $M$ ) или нет, тогда как выражение силы Кулона предполагает, что оба заряда имеют нулевую скорость. Тем не менее можно сказать, что в том и другом случаях мы имеем
силовое поле.

Чтобы построить более сложные примеры, надо вспомнить

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.
Градиентом функции (скалярного поля) $\varphi(x, y, z, t)$ называется векторное поле $\operatorname{grad} \varphi$ с компонентами
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\]

Векторное поле
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{\Phi}=\left(\frac{\partial \Phi_{z}}{\partial y}-\frac{\partial \Phi_{y}}{\partial z}\right) \mathbf{e}_{x}+\left(\frac{\partial \Phi_{x}}{\partial z}-\frac{\partial \Phi_{z}}{\partial x}\right) \mathbf{e}_{y}+\left(\frac{\partial \Phi_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \Phi_{x}}{\partial y}\right) \mathbf{e}_{z}
\]

называется ротором поля $\boldsymbol{\Phi}$, а функция
\[
\operatorname{div} \boldsymbol{\Phi}=\frac{\partial \Phi_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \Phi_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \Phi_{z}}{\partial z}
\]

называется его дивергенцией. Во всех этих формулах $t$ выступает как параметр. По нему можно дифференцировать. Например,
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{\partial \Phi_{x}}{\partial t} \mathbf{e}_{x}+\frac{\partial \Phi_{y}}{\partial t} \mathbf{e}_{y}+\frac{\partial \Phi_{z}}{\partial t} \mathbf{e}_{z} .
\]

Всегда $\operatorname{rotgrad} \varphi \equiv 0$, div $\operatorname{rot} \boldsymbol{\Phi} \equiv 0$. Локально (и вообще в области, допускающей непрерывную деформацию в шар) справедливы обратные формулы:
\[
\operatorname{rot} \Phi \equiv 0 \Rightarrow \Phi=-\operatorname{grad} \varphi
\]
(знак минус поставлен для удобства в дальнейшем),
\[
\operatorname{div} \Phi \equiv 0 \Rightarrow \Phi=\operatorname{rot} \Psi .
\]

Функция $\varphi$ и поле $\boldsymbol{\Psi}$ называются соответственно скалярным и

векторным потенциалами поля Ф. Для гравитационного поля
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{F}=-f \frac{M m}{r^{3}} \mathbf{r}, \\
\mathbf{F}=-\operatorname{grad} V, \\
V=-\frac{f M m}{r}
\end{array}
\]
(для памяти: здесь всюду стоят минусы). Нетрудно вычислить, что дивергенция этого поля равна нулю, откуда
\[
\operatorname{div} \operatorname{grad} V=\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} \equiv 0,
\]

так что потенциал $V$ есть гармоническая функция.
Легко заметить, что в качестве потенциала суммы двух векторных полей можно взять сумму потенциалов каждого. Отсюда вытекает, что потенциалы силовых полей удовлетворяют принципу суперпозиции. Следовательно, потенциал $V(\mathrm{r})$ гравитационного воздействия со стороны нескольких точек состоит из нескольких гармонических слагаемых вида:
\[
-\frac{f M_{v} m}{r_{v}}, \quad r_{v}=\left|\overline{m M_{v}}\right|,
\]

и потому является гармонической функцией везде, кроме самих этих точек, где потенциал обращается в $-\infty$. Если $\mathrm{r} \rightarrow \infty$, то $V(\mathbf{r}) \rightarrow 0$. Аналогичными свойствами обладает
гравитационный потенциал тела.

Пусть в некоторой ограниченной области $\mathscr{D}$ имеется непрерывное распределение масс с плотностью $\delta(P), P \in \mathscr{D}$. Обозначим через $d M(P)=\delta(P) d \tau$ массу бесконечно малого объема $d \tau$, окружающего точку $P$, и положим $\mathbf{Q}=\overline{O P}$. Тогда
\[
V(\mathbf{r})=-f m \int_{\mathscr{D}} \frac{d M(P)}{|\mathbf{r}-\bar{O} \bar{P}|}=-f m \int_{D} \frac{d M}{|\mathbf{r}-\rho|} .
\]

Не вычисляя интеграла, покажем, что потенциал однородного ( $\delta=$ const) шара радиуса $R$ совпадает с потенциалом точки массы $M=\frac{4}{3} \pi R^{3} \delta$, помещенной в его центр (начало координат). Из симметрии распределения масс вытекает, что
\[
V=f m V(M, R, r),
\]

а П-теорема (параметры $\mathrm{f} m, M, R$ положительны и размерно независимы) приводит нас к выражению
\[
V=f \frac{M m}{R} U\left(-\frac{r}{R}\right) .
\]

Положим $f m=M=R=1$. Нам осталось найти гармонические

функции вида $U(r)$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial x}=U^{\prime} \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r} U^{\prime}, \\
\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}=\frac{U^{\prime}}{r}-\frac{U^{\prime}}{r^{2}} \frac{x^{2}}{r}+U^{\prime \prime} \frac{x^{2}}{r^{2}},
\end{array}
\]

и аналогично для $y, z$. Отсюда
\[
\operatorname{div} \operatorname{grad} V=2 U^{\prime} / r+U^{\prime \prime} \equiv 0,
\]

что влечет
\[
\frac{d}{d r} U^{\prime}=-\frac{2}{r} U^{\prime}, U^{\prime}=\frac{C}{r^{2}}, U=-\frac{C}{r}+\tilde{c},
\]

причем $\tilde{c}=0$ в силу условия на бесконечности. Итак,
\[
V=-\frac{f M m}{R} \frac{C R}{r}=-C \frac{f M m}{r} .
\]

При $R \rightarrow 0$ этот потенциал (который от $R$ не зависит) должен давать нам потенциал точки. Поэтому $\mathrm{C}=1$, что и завершает рассуждения.

На практике потенциалы раскладывают в ряды по степеням $1 / r$. А именно в сферических координатах $r, \theta, \varphi$ :
\[
x=r \sin \theta \cos \varphi, y=r \sin \theta \sin \varphi, z=r \cos \theta
\]

в области $r>R$, где нет ни одной точки тела, пользуются разложениями вида:
\[
V=-\frac{f M m}{r} \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}\left(\frac{R}{r}\right)^{n} W_{n}(\theta, \varphi)
\]
(величины $I_{n}$ – некоторые безразмерные постоянные). В частности, можно доказать, что для любого осесимметричного тела (пусть ось $O z$ – это ось симметрии; тогда $W_{n}$ не зависит от $\varphi$ )
\[
V(r)=-\frac{f M m}{r}\left(1+I_{1} \frac{R}{r} \cos \theta+I_{2}\left(\frac{R}{r}\right)^{2} \frac{3 \cos ^{2} \theta-1}{2}\right)+O\left(\frac{R}{r}\right)^{3} .
\]

С этой точки зрения нас заинтересует теперь,

ЗАДАЧА ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ.
В ней гравитационное поле создается двумя точечными массами:
\[
M_{1}=\frac{1}{2}(M+\mu), \quad M_{2}=\frac{1}{2}(M-\mu) .
\]

Не уменьшая общности, их можно поместить на ось $O z$ в точки $(0,0, \pm a)$. Используя угол $\theta$ между вектором $\mathrm{r}$ и этой осью, налишем
\[
V(\mathbf{r})=-f m\left[\frac{M+\mu}{2 \sqrt{r^{2}-2 a r \cos \theta+a^{2}}}+\frac{M-\mu}{2 \sqrt{r^{2}+2 a r \cos \theta+a^{2}}} \cdot\right] .
\]

Положительные параметры $f m, M, a$ размерно независимы, так что для выкладок приравняем их к единице:
\[
V=-\frac{1}{2 r}\left[\frac{1+\mu}{\sqrt{1-\frac{2 \cos \theta}{r}+\frac{1}{r^{2}}}}+\frac{1-\mu}{\sqrt{1+\frac{2 \cos \theta}{r}+\frac{1}{r^{2}}}}\right] .
\]

Для последующего разложения в ряд по степеням $1 / r$ воспользуемся формулой Тейлора:
\[
(1+\chi)^{n}=1+n \chi+\frac{n(n-1)}{2} \chi^{2}+O\left(\chi^{3}\right) ;
\]

при $n=-1 / 2$
\[
(1+\chi)^{-1 / 2}=1-\frac{\chi}{2}+\frac{3}{8} \chi^{2}+O\left(\chi^{3}\right),
\]

где $O\left(\chi^{3}\right) \leqslant C \chi^{3}$ на любом отрезке $\left[\chi_{1}, \chi_{2}\right] \subset(-1,1)$. В нашем случае для $r>R>1$ получим
\[
\begin{array}{c}
\left(1 \mp \frac{12 \cos \theta}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right)^{-1 / 2}= \\
=1-\frac{1}{2}\left(\mp \frac{2 \cos \theta}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right)+\frac{3}{8}\left(\mp \frac{2 \cos \theta}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right)^{2}+\ldots= \\
=1 \mp \frac{\cos \theta}{r}+\frac{3 \cos ^{2} \theta-1}{2 r^{2}}+O\left(\frac{1}{r^{3}}\right)
\end{array}
\]

и после подстановки в (3.8) придем к
\[
V=-\frac{1}{r}\left(1+\frac{\mu \cos \theta}{r}+\frac{3 \cos \theta-1}{2 r^{2}}\right)+O\left(\frac{1}{r^{4}}\right) .
\]

В размерных переменных
\[
V=-\frac{f M m}{r}\left(1+\frac{\mu a}{M R} \cos \theta \frac{R}{r}+\frac{a^{2}}{R^{2}} \frac{3 \cos ^{2} \theta-1}{2}\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\right)+O\left(\left(\frac{R}{r}\right)^{4}\right) .
\]

Это – частный вариант разложения (6), в котором
\[
I_{1}=\mu a / M R, I_{2}=a^{2} / R^{2} .
\]

Ясно, что потенциал задачи двух центров может с принятой точностью (до членов порядка $(R / r)^{4}$ ) совпадать с потенциалом объемного тела только в том случае, если коэффициент $I_{2}$ у этого тела положителен: такое тело должно быть вытянуто. Но в действительности все планеты (кроме разве что некоторых астероидов) сжаты в результате собственного вращения, так что потенциал (7) в качестве приближения для них не пригоден. Зато используется
потенциал Гредеакса
(одна из работ Эве Гредеакса имеется в списке литературы; имя этого небесного механика стало известно благодаря $Г$. Н. Дубо-

шину). Подход, предложенный Гредеаксом, состоит в следующем. Примем формально, что массы притягивающих центров комплексные:
\[
M_{1}=\frac{1}{2}(M+i \mu), \quad M_{2}=\frac{1}{2}(M-i \mu)
\]

и расположены на «мнимой части оси $O z$ » : их координаты суть $(0,0, \pm i a)$.

В формулах (7) и (9) надо заменить $a$ на $i a$ и $\mu$ на $i \mu$. Та и другая будут по-прежнему иметь смысл; в самом деле (7) состоит теперь из двух комплексно сопряженных слагаемых и потому задает действительнозначную функцию. В результате
\[
I_{1}=-\frac{\mu a}{M R}, \quad I_{2}=-\frac{a^{2}}{R^{2}} .
\]

Коэффициент $I_{2}$ теперь отрицателен (а $I_{1}$ может быть любого знака, если считать $\mu \gtrsim 0$ ). Потенциал Гредеакса удобен для некоторых расчетов орбит искусственных спутников Земли.

Аналогично гравитационному потенциалу двух масс можно рассмотреть потенциал силы Кулона, создаваемый двумя неподвижными зарядами $Q_{1}, Q_{2}$. Формулы будут те же, только в них надо заменить $f m$ на $q, M$ на $Q_{1}+Q_{2}$ и $\mu$ на $Q_{1}-Q_{2}$. Кроме того, заряды не обязаны быть положительными.

В частности, возможно рассмотрение поля, создаваемого противоположными зарядами: $Q_{2}=-Q_{1}$. Разложение типа (9) будет
\[
V=\frac{2 Q_{1} a}{r^{2}} \cos \theta+\ldots
\]

Слагаемые, обозначенные многоточием, стремятся к нулю, если $a \rightarrow 0$. Считая, что одновременно $2 Q_{1} a \rightarrow K$, в пределе получим диполь:
\[
V_{\text {дип }}=\frac{K}{r^{2}} \cos \theta=\frac{K z}{r^{3}}, \quad[K]=M L^{4} / T^{2} .
\]

Можно вычислять потенциал непрерывного распределения зарядов. В отличие от гравитационного поля здесь более содержательны поверхностные и криволинейные распределения (например, заряды проводника всегда сосредоточены на его поверхности; потенциал на ней, кроме того, постоянен).
Расскажем о силе, действующей на движущийся заряд. Это,

СИЛА ЛОРЕНЦА.
Заряд $q$ помещен в электромагнитное поле; оно характеризуется двумя векторными полями: напряженностью электрического поля $\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ и индукцией магнитного поля $\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)$. Сила Лоренца имеет вид ( $\mathbf{v}$ – скорость заряда, $c$ – величина скорости света)
\[
\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]\right) .
\]

При B $=0$ мы получим выражение для силы, не содержащее скорости, как в электростатике, но пригодное для движущегося заряда. Оговорка, сделанная нами при рассказе о силе Кулона (что оба заряда должны быть неподвижны), в принципе сохраняет свою силу, но сейчас погашается другой оговоркой: при написании силы Лоренца пренебрегают собственным электромагнитным полем движущегося заряда, которое, строго говоря, следовало бы прибавлять к заданному.

Поля Е и В не произвольны. Законом их изменения в пространстве и во времени являются

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
Первая группа уравнения имеет вид
\[
\operatorname{rot} \mathbf{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0, \operatorname{div} \mathbf{B}=0 .
\]

Видим, что поле В всегда обладает векторным потенциалом A:
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A} \text {. }
\]

Операции rot и $\partial / \partial t$ перестановочны. Отсюда
\[
\operatorname{rot}\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0
\]

так что потенциально поле:
\[
\mathbf{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{{ }^{\partial} t}=-\operatorname{grad} \varphi .
\]

В случае стационарных (не зависящих от времени) полей потенциально просто $\mathrm{E}$.

Вторую группу уравнения Максвелла выпишем только для электромагнитного поля в вакууме:
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0, \operatorname{div} \mathbf{E}=\mathbf{0} .
\]

Следовательно, скалярный и векторный потенциалы стационарных полей Е и В удовлетворяют тождествам divgrad $\varphi \equiv 0$ (т. е. $\varphi$ – гармоническая функция) и $\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A} \equiv 0$. Векторный потенциал определен с точностью до слагаемого вида $\operatorname{grad} \psi$ (так как rotgrad $\equiv 0$ ). Выбором функции $\psi$ можно добиться того, что $\operatorname{div} \mathbf{A} \equiv 0$; тогда каждая компонента этого поля будет гармонической функцией.