Будем отталкиваться от уравнений Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $L=L\left(\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right)$ (структура $L$ пока роли не играет). Потребуем, чтобы определитель
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{j}}\right)
eq 0 \text {, }
\]

и рассмотрим систему соотношений
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

Величины $p_{i}$ называются обобщенными, или каноническими, импульсами. Они могут рассматриваться либо непосредственно как функции $\dot{q}, q, t$, либо как независимые переменные. В последнем случае в силу (2) из системы (3) можно получить выражения
\[
\dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}(p, q, t) .
\]

Функцией Гамильтона, или гамильтонианом, называется «энергия», выраженная через $p, q, t$ :
\[
H=\left.\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-L\right)\right|_{\dot{q}(p, q, t)} .
\]

Пространство переменных $(p, q)$ называется фазовым.

Теорема. Система $n$ уравнений второго порядка
(1) эквивалентна системе $2 n$ уравнений первого порядка:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}
\]
(уравнениями Гамильтона называются уравнения именно такого вида, где $H$ в принципе может быть любой функцией).

Доказательство. Вычисляем полный дифференциал функции $H$ :
\[
\begin{array}{c}
d H=\frac{\partial H}{\partial t} d t+\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}\right)=\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}+\sum_{i} p_{i} d \dot{q}_{i}- \\
-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t=\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}-\sum \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=-\frac{d p_{i}}{d t}, \\
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\dot{q}_{i}=\frac{d q_{i}}{d t},
\end{array}
\]

что и требовалось.
3амечание. Гамильтониан (равно как и лагранжиан) часто называют характеристической функцией: это значит, что в выражении $H(p, q, t)$ как бы зашифрованы все индивидуальные черты системы уравнений движения. В частности, выражения лагранжевых скоростей $\dot{q}_{i}$ через $p, q ; t$ совпадают, разумеется, со второй группой уравнений Гамильтона.
Вопрос. Как восстановить лагранжиан, зная гамильтониан?

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ СЕКРЕТ.

Из только что сказанного вытекает, что при применении гамильтонова формализма в конкретной задаче главное – выписать функцию $H$. Для этого гораздо удобнее не универсальная схема, изложенная в начале параграфа, а простые следствия ее, учитывающие специфику реальных лагранжианов. Чаще всего встречаются натуральные системы; поэтому пусть
\[
L=\frac{1}{2} \Sigma a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}-V=\frac{1}{2} \dot{q} \cdot A \dot{q}-V,
\]

где $A=\left(a_{i j}\right)$ – положительно определенная (и потому невырожденная) симметричная матрица коэффициентов живой силы. Тогда $p=A \dot{q}, \dot{q}=A^{-1} p$, и гамильтониан (полная энергия без-кавычек)
\[
H=\frac{1}{2} p \cdot A^{-1} p+V .
\]

Итак, если кинетическая энергия-квадратичная форма скоростей с матрицей $A$, то гамильтониан содержит квадратичную форму импульсов с обратной матрицей $A^{-1}$. Например:

a) для точки в плоскости в декартовых координатах $(x, y)$
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p^{2}{ }_{x}+p^{2}{ }_{y}\right)+V(x, y) ;
\]
б) для точки в центральном поле сил в полярных координатах $(r, \varphi)$
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)+V(r) .
\]

ПЕРВЫЙ ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Впредь считаем, что $H$ не зависит от времени $t$. Тогда эта функция является первым интегралом соответствующих уравнений Гамильтона:
\[
\frac{d H}{d t}=\sum \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{d p_{i}}{d t}+\sum \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}=\sum\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right]=0 .
\]

СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ – это те и только те точки $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, в которых правые части уравнений Гамильтона, т. е. все частные производные функции $H(p, q)$, обращаются в нуль (критические точки функции $H$ ).

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ОДНОИ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Число $n$ называется числом степеней свободы гамильтоновой системы порядка $2 n$ независимо от природы функции $H$. Пусть $n=1$. Тогда уровни функции $H(p, q)=h$ на фазовой плоскости состоят из траекторий решений системы уравнений Гамильтона и образуют так называемый фазовый портрет системы. При его графическом изображении принято рисовать положения равновесия и несколько характерных фазовых кривых. В случае натуральной системы
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} A(q) \dot{q}^{2}-V(q), \\
H=\frac{p^{2}}{2 A(q)}+V(q)=h, \\
p= \pm \sqrt{2 A(q)(h-V(q))} .
\end{array}
\]

Таким образом, при заданной энергии $h$ импульс $p$ может принимать в общем случае два значения, отличающихся знаком, пока $q$ принадлежит области возможности движения $\mathfrak{M}^{h}=\{V(q) \leqslant h\}$. Иными словами, множество $\mathfrak{N}^{h}$ есть образ фазовой кривой $H(p$, $q)=h$ при отображении проектирования $(p, q) \rightarrow q$.

Пример. Круговой маятник (см. $\S 4): H=p^{2} / 2-\cos \varphi$ (для определенности $m=q=l=1$ ). Фазовый портрет этой задачи (рис. 75) очень прост и вместе с тем нетривиален в том смысле, что содержит характерные черты фазовых портретов вообще. Это
1) устойчивые (ср. с § 4) состояния равновесия $E_{0}, E_{2 \pi}, \ldots$, окруженные замкнутыми фазовыми кривыми; последние в проекции на ось $q$ дают область возможности движения в виде отрезка;
2) неустойчивые состояния равновесия $E_{-\pi}, E_{\pi}, E_{3 \pi} \ldots$, представляющие собой особые точки типа «седло»;
3) помимо состояний равновесия, при $h=1$ возможны движения, которые стремятся к этому состоянию при $t \rightarrow \infty$ или $t \rightarrow-\infty$ (соответствующие участки уровня называются сепаратрисами).

Смысл последнего термина в том, что кривые $h=1$ отделяют один качественный тип движения от другого: при $h>1$ импульс сохраняет знак, следовательно, $d q / d t$ в нуль не обращается, и маятник движется все время в одну и ту же сторону; при $-1<$ $<h<1$ движение носит колебательный характер.

Уточнение 1. Рассматривая эту задачу как идеализацию реальной системы, мы подразумеваем, что масса $m$ подвешена не на нити, а на невесомом стержне, который не позволит покинуть ей окружность $x^{2}+y^{2}=l^{2}$ (другой вариант – бусинка, насаженная на проволочное кольцо). В .задаче о массе, подвешенной на нити, рассмотренной в $\$ 4$, учитывалась возможность того, что нитка может ослабнуть. Соответствующие состояния образуют целую область в $\mathbf{R}^{2}(p, q)$, которая на рис. 75 заштрихована.

Уточнение 2. Строго говоря, многообразие положений в задаче о круговом маятнике является окружностью $\mathbf{S}^{1}$. Поэтомунадо учесть, что точки $(q+2 \pi n, p)$ отвечают одному и тому же состоянию (это условно обозначается записью $q$ mod $2 \pi$ ). Чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между состояниями маятника и точками фазового портрета, надо отождествить точки плоскости $\mathbf{R}^{2}(p, q)$, у которых координата $q$ отличается на $2 \pi n$. При этом полосы $2 \pi n \leqslant q \leqslant 2 \pi(n+1)$ как бы наложатся друг на друга, а правая и левая границы у каждой из них склеются (так же, как при изготовлении цилиндра из прямоугольного листа бумаги). В результате получим цилиндр – прямое произведение $\mathbf{S}^{1} \times \mathbf{R}^{1}$ окружности $\mathbf{S}^{1}$ на прямую $\mathbf{R}^{1}$. Как итог отождествлений он обозначается так: $\mathbf{R}^{1} \times \mathbf{S}^{1}=\mathbf{R}^{2} / 2 \pi \mathbf{Z}$ (цилиндр есть результат факторизации плоскости $\mathbf{R}^{2}=\mathbf{R}^{1} \times \mathbf{R}^{1}$ по группе сдвигов на $2 \pi n$ в одном из сомножителей).
3 адача 49 (рис. 34). Большой обруч вращается в вертикальной плоскости со скоростью $\dot{\psi}=\varepsilon t ; \theta$ – угол отклонения центра маленького обруча, катающегося внутри; $\rho$-радиус большого обруча, $r$ – радиус малого обруча, его масса – $m$. а) Написать лагранжиан $L(\theta, \theta, t)$, б) выписать уравнения движения, в) подобрать другой лагранжиан $\mathcal{L}(\dot{\theta}, \theta)$, дающий те же уравнения, г) написать соответствующий гамильтониан, д) нарисовать фазовые портреты при $\varepsilon<\frac{g}{\rho-r}$ и $\varepsilon>\frac{g}{p-r}$. Считать, что малый обруч все время прилегает к большому.

Задача 50. Нарисовать фазовый портрет а) приведенной системы сферического маятника (изобразить также зону невозможности движения, если маятник – точка на нити); б) для задачи 43 при $v^{2}<g / r$ и $v^{2}>g / r$. Сравнить оба портрета и объяснить различие.

ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И СКОБКА ПУАССОНА.

Пусть $F(p, q)$ – некоторая функция обобщенных координат и импуль-

сов. Тогда в силу уравнений системы с гамильтонианом $H$
\[
\frac{d}{d t} F=\sum \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{d p_{i}}{d t}+\sum \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}=\sum\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Определение. Если $F$ и $G$-две функции переменных $p$ и $q$, то их скобкой Пуассона называется функция
\[
(F, G)=\sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Из (6) видим, что $F$ есть первый интеграл системы с гамильтонианом $H$ тогда и только тогда, когда
\[
(F, H) \equiv 0 .
\]

Говорят при этом, что функции $F$ и $H$ находятся в инволюции.

АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ

Из определения (7) вытекают следующие свойства скобок Пуассона:
(П1) кососимметричность $(F, G)=-(G, F)$;
(П2) линейность $(F, \alpha G+\beta H)=\alpha(F, G)+\beta(F, H)$;
(ПЗ) тождество Пуассона (Якоби):
\[
((F, G), H)+((H, F), G)+((G, H), F)=0 .
\]

Первые два свойства тривиальны. Третье доказывается прямой, но длинной выкладкой; позднее будет указан короткий вывод. Перечисленные свойства означают, что бесконечно дифференцируемые функции переменных $p, q$ образуют алгебру Ли.

Теорема Пуассона. Если F, G- первые интегралы системы с гамильтонианом $H$, то $(F, G)$ – тоже первый интеграл.

Доказательство. Перепишем тождество Пуассона, используя свойство кососимметричности, и учтем (8):
\[
((F, G), H)=((F, H), G)-((G, H), F)=(0, G)+(0, F) \equiv 0 .
\]

Этот факт важен в идейном отношении (первые интегралы гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре всех функций), но практически бесполезен: полученный таким образом интеграл всегда выражается через уже известные.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОБОК ПУАССОНА.

Для этого используются, помимо уже отмеченных, дальнейшие свойства скобок Пуассона:
(П 4) $\left(F, G_{1} \cdot G_{2}\right)=G_{1}\left(F, G_{2}\right)+G_{2}\left(F, G_{1}\right)$ (правило Лейбница);
(ПГ5) $\left(\varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right), G\right)=\sum_{i=1}^{k} \frac{\partial \varphi}{\partial F_{i}}\left(F_{i}, G\right)$ (правило сложной функции);
(П 6) $G_{i}(p, q)=G_{i}\left(p_{i}, q_{i}\right) \Rightarrow\left(G_{i}, G_{j}\right) \equiv 0$ (правило разных пар);
(П 7) $\quad\left(q_{i}, p_{i}\right)=1, \quad\left(p_{i}, q_{i}\right)=-1 \quad$ (ненулевые координатные скобки).

Докажем (П 5):
\[
\begin{array}{c}
\left(\varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right), G\right)=\sum_{i}\left(-\frac{\partial \varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right)}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \varphi\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right)}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right)= \\
=\sum_{i}\left(-\left(\sum_{\alpha} \frac{\partial \varphi}{\partial F_{\alpha}} \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial p_{i}}\right) \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\left(\sum_{\alpha} \frac{\partial \varphi}{\partial F_{\alpha}} \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial q_{i}}\right) \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right)= \\
=\sum_{\alpha} \frac{\partial \varphi}{\partial F_{\alpha}} \sum_{i}\left(-\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right) .
\end{array}
\]

В опр ос. Қак вывести свойства (П1), (П2), (П4) не из выражения скобок Пуассона, а из свойства (П 5)?
Более сложный вопрос: как вывести (П5) из (П 1), (П 2), (П 4)?
3 адача 51 (иллюстрация к теореме Пуассона и комментарию к ней). Рассмотрим движение точки массы $m$ в трехмерном пространстве $\mathbf{R}^{3}(x, y, z)$ в поле с потенциалом $V(x, y, z)$. Тогда
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p^{2}{ }_{x}+p^{2}{ }_{y}+p^{2}{ }_{z}\right)+V(x, y, z) .
\]

Требуется выразить компоненты – кинетического момента $\Lambda_{x}, \Lambda_{y}$, $\Lambda_{z}$ через переменные $p_{x}, p_{y}, p_{z}, x, y, z$ и показать, что
а) если $V=V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)$, то
\[
\left(\Lambda_{x}, H\right)=\left(\Lambda_{y}, H\right)=\left(\Lambda_{z}, H\right)=0,
\]
т. е. $\Lambda_{x}, \Lambda_{y}, \Lambda_{z}$ являются первыми интегралами;
б) попарные скобки Пуассона этих функций суть
\[
\left(\Lambda_{x}, \Lambda_{y}\right)=+\Lambda_{z}, \ldots ;
\]
в) функции $\Lambda_{z}$ и $\Lambda^{2}=\Lambda_{x}^{2}+\Lambda_{y}^{2}+\Lambda_{z}^{2}$ находятся в инволюции.

СТРУКТУРА ГАМИЛЬТОНИАНА И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Здесь приводятся самые простые наблюдения.
1. Если $\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=0$, то $q_{i}$ – первый интеграл; если $\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=0$, то $p_{i}$ – первый интеграл (естественно, он называется циклическим).
2. Отделение переменных. Если гамильтониан есть функция от некоторой функции $f\left(p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}\right)$ и от $p_{m+1}, \ldots, p_{n}$, $q_{m+1}, \ldots, q_{n}$, то $f$ – первый интеграл.
Действительно, пусть $H=\Phi\left(f, p_{m+1}, \ldots, p_{n}, q_{m+1}, \ldots, q_{n}\right)$. Тогда .
\[
\begin{array}{c}
(f, H)=\sum_{1}^{m}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)= \\
=\sum_{1}^{m}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial \Phi}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial \Phi}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\end{array}
\]
3. Полное разделение переменных:
\[
H=\Sigma H_{i}\left(q_{i} p_{i}\right) .
\]

Тогда $H_{i}$ – первые интегралы, попарно находящиеся в инволюции. Более того, система уравнений Гамильтона распадается на $n$ независимых систем:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{i}} ; \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{i}} .
\]

Если кривые $H_{i}\left(q_{i}, p_{i}\right)=c_{i}$ на соответствующей плоскости $\mathbf{R}^{2}\left(p_{i}\right.$, $q_{i}$ ) все замкнуты, то в фазовом пространстве $\mathbf{R}^{2 n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots\right.$ ,$\ldots q_{n}$ ) совместный уровень $I_{c_{1}, \ldots c_{n}}=\left\{H_{1}=c_{1}, \ldots, H_{n}=c_{n}\right\}$ получается $n$-мерным тором. В самом деле, $\mathbf{R}^{2 n}=\mathbf{R}_{1}{ }^{2} \times \ldots \times \mathbf{R}_{n}{ }^{2}$ и в каждом сомножителе высекается $\mathbf{S}^{1}$; в результате
\[
I_{c_{1} \ldots c_{n}} \simeq \mathbf{S}^{1} \times \ldots \times \mathbf{S}^{1}=\mathbf{T}^{n} .
\]

4. Сложное разделение переменных:
\[
H=\frac{\Sigma F_{i}\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\Sigma_{\uparrow_{i}}\left(q_{i}, p_{i}\right)} .
\]

Тогда $G_{i}=F_{i}-H f_{i}$ – первые интегралы в инволюции.
3 адача 52 . Проверить это.
В сумме функции $G_{i}$ дают тождественный нуль, так что среди них только не более ( $n-1$ ) независимых; вместе с $H$ получается ровно $n$. В частности, в случае лиувиллевых систем
\[
H=\left[\Sigma_{i}\left(q_{i}\right)\right]^{-1}\left[\boldsymbol{\Sigma}\left(\frac{p^{2} i}{2}+V_{i}\left(q_{i}\right)\right)\right],
\]
т. е. имеет место вариант сложного разделения переменных. Как и в случае полного разделения, в фазовом пространстве легко могут получаться $n$-мерные торы, если на плоскостях $\mathbf{R}^{2}\left(p_{i}, q_{i}\right)$ получаются «окружности» $\left\{G_{i}=F_{i}-h f_{i}=c_{i}\right\}$. На эту ситуацию еще предстоит посмотреть с более общей точки зрения.
3адача 53. Рассмотрим плоскую задачу Кеплера $(m=1)$ :
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{\mu}{r},
\]
a) Каков смысл циклического интеграла $G=p_{\varphi}$ ?
б) Допускает ли гамильтониан $H$ отделение переменных? Полное разделение переменных? Сложное разделение переменных?

Известно, что наряду с интегралами энергии и момента в задаче Кеплера есть векторный первый интеграл – вектор Лапласа $\boldsymbol{\Phi}=\Phi_{x} \mathbf{e}_{\boldsymbol{x}}+\Phi_{y} \mathbf{e}_{y}$ (см. §3). Требуется
в) выразить $\Phi_{x}, \Phi_{y}$ через $r, \varphi, p_{r}, p_{q}$;
г) показать, что
\[
\left(\Phi_{x}, G\right)=-\Phi_{y},\left(\Phi_{y}, G\right)=\Phi_{x},\left(\Phi_{x}, \Phi_{y}\right)=2 G H
\]
(еще одна иллюстрация теоремы Пуассона и комментария к ней).