Двумерное подмногообразие (поверхность) в $\mathbf{R}^{3}$ можно задать двумя локально эквивалентными способами:
1) уравнением: $\mathfrak{R}=\{(x, y, z): f(x, y, z)=0\}$, причем
\[
\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
eq\left. 0\right|_{\mathfrak{N}} ;
\]
2) параметрически: $\mathfrak{R}=\left\{x=x^{*}\left(q_{1}, q_{2}\right), y=y^{*}\left(q_{1}, q_{2}\right), z=z^{*}\left(q_{1}\right.\right.$,

92\}, причем
\[
\left.\operatorname{rang}\left(\begin{array}{lll}
\frac{\partial x^{*}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial y^{*}}{\partial q_{1}} & \frac{\partial z^{*}}{\partial q_{1}} \\
\frac{\partial x^{*}}{\partial q_{2}} & \frac{\partial y^{*}}{\partial q_{2}} & \frac{\partial z^{*}}{\partial q_{2}}
\end{array}\right)\right|_{\mathfrak{N}}=2 .
\]

Перемещение по поверхности задается либо тремя функциями $x(t), y(t), z(t)$, удовлетворяющими связи: $f(x(t), y(t), z(t))=0$, либо двумя функциями $q_{1}(t), q_{2}(t)$, тогда $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}^{*}\left(q_{1}(t), q_{2}(t)\right)$. Соответственно скорость $\mathbf{v}=(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})$, причем
\[
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\mathbf{r}(t)} \dot{x}+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\mathrm{r}(t)} \dot{y}+\left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_{\mathrm{r}(t)} \dot{z}=0
\]

или же
\[
\mathbf{v}=\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}
\]

векторы $\frac{\partial r^{*}}{\partial q_{i}}$ составляют базис плоскости $T_{\mathrm{r}}(\mathfrak{M})$, касательной к $\mathfrak{R}$ в точке $\mathbf{r}$. Поверхность $\mathfrak{R}$ называется многообразием положений, а множество всех возможных пар ( $\mathbf{r}, \mathbf{r}$ ) при перемещении по $\mathfrak{R}$ – многообразием состояний:
\[
\begin{array}{c}
T(\mathfrak{R})=\{(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r})\}=\left\{\dot{x}, \dot{y}, \dot{z} ; x, y, z \vdots f(x, y, z)=0, \frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}+\right. \\
\left.+\frac{\partial f}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \dot{z}=0\right\} \subset \mathbf{R}^{\mathbf{6}} .
\end{array}
\]

Пространство $\mathbf{R}^{6}(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z)$ – многообразие состояний свободной точки.

Единичную нормаль $\mathrm{n}$ к поверхности $\mathfrak{M}$ также можно задать двумя способами:
1) $\mathbf{n}(x, y, z)=\frac{\operatorname{grad} f}{|\operatorname{grad} f|}$; 2) $\mathbf{n}\left(q_{1}, q_{2}\right)=\frac{\left[\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}} \times \frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right]}{\left|\left[\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}} \times \frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right]\right|}$.

Если вектор а приложен в точке $\mathbf{r} \in \mathfrak{M}$, то пусть
\[
a_{\perp}=(\mathbf{a}, \mathbf{n})
\]

его нормальная компонента (число),
\[
\mathbf{a}_{
abla}=\mathbf{a}-a_{\perp} \mathbf{n}
\]

его касательная компонента (вектор).
Евклидова структура в $\mathbf{R}^{3}$ индуцирует положительно определенное скалярное произведение векторов каждого касательного пространства $T^{r}(\mathfrak{N})$. Скалярное произведение векторов
\[
\mathbf{v}=v_{1} \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{1}}+v_{2} \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}, \mathbf{w}=w_{1} \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{1}}+w_{2} \frac{\partial \mathbf{r}^{*}}{\partial q_{2}}
\]

вычисляется но формуле
\[
(\mathbf{v}, \mathbf{w})=E \boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{r}\left(\boldsymbol{w}_{2} \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{w}_{1}\right)+G \boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{w}_{2},
\]
pre
\[
\boldsymbol{E}=\left(\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}}, \frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}}\right), \quad F=\left(\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{1}} ; \frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right), \quad G=\left(\frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}}, \frac{\partial \mathrm{r}^{*}}{\partial q_{2}}\right) .
\]

Еели заданы $q_{1}(t), q_{2}(\boldsymbol{t})$, то вектор скороети имеет квадрат момуля:
\[
\boldsymbol{v}^{2}=\boldsymbol{E} \dot{q}_{1}^{2}+2 F \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+G \dot{q}_{2}^{2}=(\dot{\mathbf{r}}, \dot{\mathbf{r}}) .
\]

Получившаяся квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности. Значение второй квадратичной форм как функции вектора скорости перемещения $\mathrm{r}(t)$ по определению равно ( $\ddot{\mathbf{r}}, n)$, где $\mathbf{n}$ – нормаль. Так как
\[
(\ddot{\mathbf{r}}, \mathbf{n})=\frac{d}{d t}(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{n})-(\dot{\mathbf{r}}, \dot{\mathbf{n}}),(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{n}) \equiv \mathbf{0},
\]

то $(\ddot{\mathbf{r}}, \mathbf{n})=-(\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{n})$. Но $\dot{\mathbf{n}}-$ линейная форма по скоростям, так ная форма; обозначим ее $((\mathbf{r}, \mathbf{r}))$. Легко получаются формулы
\[
((\dot{\mathbf{r}}, \dot{\mathbf{r}}))=(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})\left(\begin{array}{lll}
\frac{\partial n_{x}}{\partial x} & \frac{\partial n_{x}}{\partial y} & \frac{\partial n_{x}}{\partial z} \\
\frac{\partial n_{y}}{\partial x} & \frac{\partial n_{y}}{\partial y} & \frac{\partial n_{y}}{\partial z} \\
\frac{\partial n_{x}}{\partial x} & \frac{\partial n_{z}}{\partial y} & \frac{\partial n_{z}}{\partial z}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{array}\right)=\left(\dot{q_{1}}, \dot{q_{2}}\right)\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q_{1} \\
\dot{q}_{2}
\end{array}\right),
\]

где
\[
L=\left(\frac{\partial^{2} \mathbf{r}}{\partial q_{1}^{2}}, \mathbf{n}\right), M=\left(\frac{\partial^{2} \mathbf{r} \cdot}{i \partial q_{1} \partial q_{2}}, \mathbf{n}\right), N=\left(\frac{\partial^{2} \mathbf{r}}{\partial q_{2}^{2}}, \mathbf{n}\right) .
\]

Величины $L, M, N$ суть функции точки на $\mathfrak{R}$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИИ. Задана поверхность $\mathfrak{P}$ и сила $\mathbf{F}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, t)$. Следующие определения движения эквиваленты. Функция $\mathbf{r}(t)$ называется движением, если удовлетворяются условие $f(\boldsymbol{r}(t)) \equiv 0$ и

O1) принцип д’Аламбера-Лагранжа: $\left(m \ddot{\mathbf{r}}-\mathbf{F}, \delta_{\mathbf{r}}\right)=0$, где $\delta_{\mathrm{r}}$ – произвольный касательный вектор в точке $\mathbf{r}(t)$;
O2) закон Ньютона и условие идеальности связи:
a) $m \mathbf{r}=\mathbf{F}+\mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ – так называемая сила реакции связи, удерживающая точку на поверхности,
б) реакция $\mathbf{R}$ ортогональна поверхности;
O3) внутреннее уравнение движения:
\[
m \mathbf{a}=F_{\mathrm{v}} ;
\]

O4) принцип Гаусса: все кривые $\mathbf{r}(t)$, удовлетворяющие условию связи, т. е. «перемещения», будем, по Гауссу, называть «мыс-

лимые движения»; чтобы из них выделить истинные, рассмотрим все такие мыслимые движения, которые при данном $t$ имеют одинаковые состояния ( $\ddot{\mathbf{r}}, \mathbf{r}$ ); тогда все мыслимые ускорения $\mathbf{r}$ заметают плоскость, ортогональную $\mathbf{n}$; если убрать связь, то вектор $F / m$ будет ускорением освобожденного движения (из закона Ньютона); по Гауссу, истинным является то ускорение из мыслимых, квадратичное отклонение которого от освобожденного минимально, т. е. величина $|\ddot{\mathbf{r}}-F / m|^{2}$ принимает наименьшее значение.
3амечание. Можно показать, что ускорение $\mathbf{a}_{
abla}$ в репере $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{1}}, \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}}$ имеет компоненты
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=\ddot{q}_{1}+\Sigma \Gamma_{i j}^{1} \dot{q}_{i} \dot{q}_{i}, \\
a_{2}=\ddot{q}_{2}+\Sigma \Gamma_{i j}^{2} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j},
\end{array}
\]

где $\Gamma_{i j}{ }^{k}$ выражаются через $E, F, G$ и их производные по $q_{1}, q_{2}$. Это значит, что если поверхность подвергнуть такой деформации с параметром $\alpha$,
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}^{*}\left(q_{1}, q_{2}, \alpha\right),
\]

при которой коэффициенты $E, F, G$ не меняются, а также не меняются компоненты касательного поля сил
\[
\mathbf{F}_{
abla}=F_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{1}}+F_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}},
\]

то движения будут задаваться одними и теми же зависимостями $q_{1}(t), q_{2}(t)$. Выражение «внутреннее уравнение движения», таким образом, вполне созвучно термину «внутренняя геометрия поверхности» в дифференциальной геометрии.

Данные ранее определения первого интеграла, области возможности движения, множества достижимости дословно переносятся на движение по поверхности и имеют «внутренний» смысл. Это не мешает нам в ходе исследований опираться не только на внутренний закон Ньютона, но и на «внешнюю» систему уравнений движения:
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X+x \frac{\partial f}{\partial x}, \\
\ddot{y}=Y+x \frac{\partial f}{\partial y}, \\
\ddot{z}=Z+x \frac{\partial f}{\partial z}, \\
f(x, y, z)=0,
\end{array}\right.
\]

вытекающую из $O 2$. Коэффициент $x$ легко вычислить как функцию состояния, при $\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r}, t)$ квадратичную по скоростям:
\[
|\operatorname{grad} f| x=-F_{\perp}-m((\dot{\mathrm{r}}, \dot{\mathrm{r}})) .
\]

Уравнениями вида (1) можно пользоваться и тогда, когда $f=$ $=f(x, y, z, t)$, т. е. связь явно зависит от времени.

ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ. По аналогии с $\S 1$ имеем:
А) интеграл импульса вдоль оси $x$ :
\[
X=0, \frac{\partial f}{\partial x} \in 0 \Rightarrow J_{1}=m \dot{x}=\text { const; }
\]
Б) интеграл кинетического момента относительно оси $O z$ :
\[
x Y-y X \equiv 0, x \frac{\partial f}{\partial y}-y \frac{\partial f}{\partial x} \equiv 0 \Rightarrow J_{2}=m(x \dot{y}-y \dot{x})=\text { const }
\]
(выводится из теоремы об изменении момента из § 3);
В) интеграл энергии:
\[
\begin{array}{c}
X=-\frac{\partial V}{\partial x}, Y=-\frac{\partial V}{\partial y}, Z=-\frac{\partial V}{\partial z}, \frac{\partial f \mid}{\partial t}=0 \Rightarrow \\
\Rightarrow H=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+V(x, y, z)=h=\text { const. }
\end{array}
\]

Здесь и всегда потенциал $V$ не зависит от времени.
Задача 8. Точка $m$ движется по горизонтальному цилиндру $\mathfrak{V}=\left\{y^{2}+z^{2}-r^{2}=0\right\}$ в поле силы тяжести; $V=m g z$. Здесь есть интеграл импульса и энергии:
\[
J_{1}=m \dot{x}=c, H=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+m g y=h .
\]

Найти область возможности движения $\mathfrak{M}_{c}{ }^{h}$.
3адача 9. Точка $m$ движется по вертикальному цилиндру $\mathfrak{R}=\left\{x^{2}+y^{2}-r^{2}=0\right\}$ в поле силы тяжести; есть интегралы момента относительно оси $z$ и энергии. Определить область возможности движения $\mathfrak{m}_{c}{ }^{h}$ и множество достижимости $A_{v_{0}}\left(\mathrm{r}_{0}\right)$ (использовать внутреннее уравнение движения).
3 адача 10. Точка единичной массы находится на эллипсоиде $\mathfrak{M}=\left\{A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1\right\}$ и движется по инерции ( $\mathbf{F} \equiv 0$ ), так что траектория движения является геодезической линией. Интеграл энергии $H=1 / 2\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)$. Доказать, что имеется еще квадратичный по скоростям интеграл
\[
\Phi=\frac{1}{2}\left(A^{2} x^{2}+B^{2} y^{2}+C^{2} z^{2}\right)\left(A \dot{x}^{2}+B \dot{y}^{2}+C \dot{z}^{2}\right),
\]

и что в уравнениях движения (1) множитель Лагранжа
\[
x=-\frac{1}{2} \frac{A \dot{x}^{2}+B \dot{y}^{2}+C z^{2}}{A^{2} x^{2}+B^{2} y^{2}+C^{2} z^{2}} .
\]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА. Пусть сила $\mathbf{F}$ потенциальна, так что
\[
n \ddot{x}+\frac{\partial V}{\partial x}=\varkappa \frac{\partial f}{\partial x},
\]

\[
m \ddot{y}+\frac{\partial V}{\partial y}=x \frac{\partial f}{\partial y}, m \ddot{z}+\frac{\partial V}{\partial z}=x \frac{\partial f}{\partial z} .
\]

Теорема. $B$ координатах на поверхности $\mathfrak{P}$ функции $q_{1}(t)$, $q_{2}(t)$ задают доижение тогда и только тогда, когда являются решениями системы уравнений Лагранжа, получаемых по формулам
\[
\frac{d}{d t} \frac{d L}{d \dot{q}_{1}}-\frac{\partial L}{\partial q_{1}}=0, \frac{d}{d t} \frac{d L}{d \dot{q}_{2}}-\frac{\partial L}{\partial q_{2}}=0,
\]

где функция Лагранжа (лагранжиан)
\[
L=T-V=\frac{m}{2}\left(E \dot{q}_{1}^{2}+2 F \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+G q^{2}\right)-V\left(x\left(q_{1}, q_{2}\right), y\left(q_{1}, q_{2}\right), z\left(q_{1}, q_{2}\right) .\right.
\]

Интеграл энергии $H=T+V$ отличается от $L$ знаком перед $V$. Доказательство. Уравнения (5.2) умножим соответственно на $\frac{\partial \dot{x}^{*}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial y^{*}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial z^{*}}{\partial q_{i}}$ и сложим. Справа получим нуль, а слева
\[
\begin{array}{c}
m\left(\ddot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{i}}+\ddot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{i}}+\ddot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial q_{i}}+\frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial q_{i}}+\frac{\partial V}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial q_{i}}= \\
=\frac{d}{d t} m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{i}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{i}}+\dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right)-m\left[\dot{x} \frac{d}{\partial t} \frac{\partial x}{\partial q_{i}}+\dot{y} \frac{d}{d t} \frac{\partial y}{\partial q_{i}}+\right. \\
\left.+\dot{z} \frac{d}{d t} \frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right]+\frac{\partial V}{\partial q_{i}} .
\end{array}
\]

Воспользуемся тем, что
\[
\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2} \Rightarrow \frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial x}{\partial q_{i}}, \frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{i}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial x}{\partial q_{i}},
\]

и аналогично для остальных координат. Получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} m\left(\dot{x} \frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{q}_{i}}+\dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial \dot{q}_{i}}+\dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-m\left(x \frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{i}}+\dot{y} \frac{\partial \dot{y}}{\partial q_{i}}+\dot{z} \frac{\partial \dot{z}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}= \\
=\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{\dot{q}_{i}} m \frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}{2}\right)-\frac{\partial}{\partial q_{i}} m \frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}{2}+\frac{\partial V}{\partial q_{i}}= \\
=\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}}\left(m \frac{\dot{x}^{2}+\dot{u}^{2}+\dot{z}^{2}}{2}-V\right)-\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(m \frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}{2}-V\right),
\end{array}
\]

что и требовалось.
Функция Лагранжа $L$ определена инвариантно, глобально, т. е. не зависит от выбора локальных координат на поверхности. Если $\mathbf{r} \in \mathfrak{R}$, а скорость $\mathbf{v} \in T_{\mathbf{r}}(\mathfrak{M})$, то $L=m \mathbf{v}^{2} / 2-V(\mathbf{r})$ зависит от состояния и только. Из этого вытекает, что мы имеем право

по нашему усмотрению заменять координаты в выражении $L$; еели
\[
q_{i}=q_{i}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right),
\]

Te
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial \boldsymbol{q}_{i}}{\partial \xi_{1}} \dot{\xi}_{1}+\frac{\partial \boldsymbol{q}_{i}}{\partial \xi_{2}} \dot{\xi}_{2},
\]

и, внося эти выражения в $L\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, q_{1}, q_{2}\right)$, получим новое аналитическое выражение $L\left(\dot{\xi}_{1}, \dot{\xi}_{2}, \xi_{1}, \xi_{2}\right)$ н новые уравнения движения:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial \xi_{i}}=0,
\]

равносильные уравнениям (3).
Впредь в (4) заменим $m E$ на $E, m F$ ма $F$ и $m G$ на $G$.