Пусть $x Y-y X \equiv 0$, т. е. $\mathbf{F} \| \mathbf{r}$. При $\mathbf{r}
eq 0$ положим $\mathbf{e}_{r}=\mathbf{r} /|\mathbf{r}|$. Будем писать $\mathbf{F}=F \mathbf{e}_{r}$, так что $F$ здесь-модуль силы с некоторым знаком (минус в случае притягивающей силы). Введем полярные координаты (рис. 50):
\[
\begin{array}{l}
x=r \cos \varphi, \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \\
y=r \sin \varphi, \quad \varphi=\operatorname{arctg} \frac{y}{x} .
\end{array}
\]

После дифференцирований
\[
\left(\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\cos \varphi-\sin \varphi \\
\sin \varphi \cdot \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\dot{r} \\
r \dot{\varphi}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
\ddot{x} \\
\ddot{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \varphi-\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2} \\
r \ddot{\varphi}+2 \ddot{r} \varphi
\end{array}\right) .
\]

По структуре это – формулы пересчета компонент векторов скорости $\mathbf{V}$ и ускорения а в репер $\mathbf{e}_{r}$, $\mathbf{e}_{\varphi}$, повернутый на угол $\varphi$ про-

тив часовой стрелки. Следовательно,
\[
\mathbf{v}=\dot{r} \mathrm{e}_{r}+r \dot{\varphi} \mathrm{e}_{\varphi},
\]

а закон Ньютона принимает вид
\[
m\left(\ddot{r}-\dot{r} \dot{\varphi}^{2}\right)=F, \quad m(\ddot{r} \ddot{\varphi}+2 \dot{r} \dot{\varphi})=0 .
\]

Это система уравнений второго порядка с неизвестными функциями $r(t), \theta(t)$. Интеграл кинетического момента
\[
J=m(x \dot{y}-\dot{y})=m r^{2} \dot{\varphi}=\frac{m}{2} \frac{d S}{d t}=m c=\text { const },
\]

где $S$ – площадь, заметаемая вектором $\mathbf{r}(t)$ (отсюда равносильный термин «интеграл площадей»), рис. 50.

При $c=0$ имеем движение по прямой $\varphi=$ const. При $c
eq 0$ (для определенности пусть $c>0$ ) функция $\varphi=\varphi(t)$ монотонна (возрастает), имеет обратную, и потому траекторию движения $r=r(t)$, $\varphi=\varphi(t)$ целесообразно задавать в виде $r=r_{\star}(\varphi)$.

ФОРМУЛЫ КЛЕРО. Пусть $r=r_{*}(\varphi)$ траектория движения с постоянной площадей $c
eq 0$. Тогда скорость движения $v(t)$ и действующую силу $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ тоже можно выразить через $\varphi$. После этого будут справедливы формулы
\[
v^{2}=c^{2}\left(\left(\frac{d \rho}{d \varphi}\right)^{2}+\rho^{2}\right), F=-m c^{2} \rho^{2}\left(\frac{d^{2} \rho}{d \varphi^{2}}+\rho\right) ; \rho=\frac{1}{r_{*}(\varphi)} .
\]

Для доказательства надо выполнить замену переменных $t$ на $\varphi$, $r$ на $\rho$ в выражениях
\[
v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}, \quad F=m\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Пользуясь тем, что в силу интеграла площадей
\[
\frac{d}{d t}=\dot{\varphi} \frac{d}{d \varphi}=\frac{c}{r^{2}} \frac{d}{d \varphi},
\]

приходим к
\[
v^{2}=c^{2}\left(\left(\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right), \quad F=\frac{m c^{2}}{r^{2}}\left[\frac{d}{d \varphi}\left(\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \varphi}\right)-\frac{1}{r}\right] .
\]

после чего остается перейти к $\rho$.

ДВИЖЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ИНТЕГРАЛА ЭНЕРГИИ
Лемма 1. Пусть $\mathbf{F}(\mathbf{r})=F(r, \varphi) \mathbf{e}_{r}$ – центральное силовое поле. Оно потенциально тогда и только тогда, когда функция $F$. не зависит от $\varphi$, а потенциал
\[
V(x, y)=V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right), V(r)=-\int F d r .
\]

Для доказательства заметим, что выражение $X d x+Y d y=F d r$ должно быть полным дифференциалом.

Всюду ниже центральное поле считается потенциальным. Интеграл энергии предста́вим в виде
\[
K=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)+V(r)=h .
\]

Если зафиксированы константы $c$ и $h$, то область возможности движения $\mathfrak{R}_{c}{ }^{h}$ (определение аналогично) дается формулой
\[
\mathfrak{N}_{c}^{h}=\left\{r: V(r)+\frac{m c^{2}}{2 r^{2}} \leqslant h\right\} .
\]

Функция $V_{c}=V+\frac{m c^{2}}{2 r^{2}}$ называется приведенным потенциалом.
Лемма 2. В центральном поле сил с потенциалом $V(r)$ рассмотрим движение $c$ постоянной площадей с. Тогда функции $r(t), \rho_{*}(\varphi)$ удовлетворяют соответственно уравнениям
\[
\begin{array}{c}
m \frac{d^{2} r}{d t^{2}}=-\frac{d}{d r} V_{c}(r), \\
m \frac{d^{2} \rho}{d \varphi^{2}}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{d}{d \rho} V_{c}\left(\frac{1}{\rho}\right), c
eq 0 .
\end{array}
\]

Это выводится из закона Ньютона и второй формулы Клеро.
Обратим внимание на связь, которая существует между формулами (1) и (2). Множество $\mathfrak{m}_{c}{ }^{h}$ состоит, вообще говоря, из нескольких колец, включая варианты, когда кольцо имеет нулевой или бесконечный радиус (рис. 52). Число этих колец меняется (происходит перестройка $\mathfrak{\mathfrak { N }}_{c}{ }^{h}$ ), когда $h$ пересекает критическое значение приведенного потенциала $h_{i}{ }^{*}=V_{c}\left(r_{i}{ }^{*}\right)$, где $r_{i}{ }^{*}$ – критическая точка $\left.V_{c} \vdots \frac{d V_{c}}{d r}\right|_{r_{i}^{*}}=0$. А из формулы (2) видно, что критическим точкам $V_{c}$ соответствуют простейшие из центральных движений, так называемые относительные равновесия $r(t)=$ $=r_{i}{ }^{*}$ или $\rho_{*}(\theta)=\rho_{i}{ }^{*}$. При этом энергия этих движений, как легко проверить, равна в точности соответствующему значению $h_{i}{ }^{*}$.

Поясним термин «приведенный потенциал». Смысл леммы 2 состоит в том, что от двух уравнений движения второго порядка (закон Ньютона в плоскости – формулы (1) из §1) мы перешли к одному уравнению. Здесь мы имеем частный случай общего приведения по Раусу (см. ниже $\S 15$ ), где и возникают соответствующие общие объекты, в том числе приведенный потенциал.

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. Пусть точка притягивается к началу координат согласно закону обратных квадратов:
\[
\mathbf{F}=-\frac{\mu m}{r^{2}} \mathbf{e}_{r} ; \quad V=-\frac{\mu m}{r} .
\]

Классифицируем области возможности движения и траектории. Пусть $2 h=m k$. Области $\mathfrak{R}_{c}^{k}$ находятся из неравенства
\[
-\frac{2 \mu}{r^{r}}+\frac{c^{2}}{r^{2}} \leqslant k .
\]

Единственная критическая точка у функции слева (фактически у приведенного потенциала) есть $r^{*}=c^{2} / \mu$, критическое значение $k^{*}=-\mu^{2} / c^{2}$. Нарисовав график, легко убедиться, что $\mathfrak{m}_{c}{ }^{k}$ есть внешность круга (взятая с границей) при $k \geqslant 0$, кольцо при $k^{*}<$ $<k<0$, окружность при $k=k^{*}$, пустое множество при $k<k^{*}$. Перейдем к траекториям. Поскольку
\[
V_{c}\left(\frac{1}{\rho}\right)=-\mu m \rho-\mu \frac{c^{2} \rho^{2}}{2},
\]

выписываем уравнение (2Б) и сразу решаем его:
\[
\begin{array}{c}
m \rho^{\prime \prime}+m \rho=\mu m / c^{2}, \\
\rho=\mu / c^{2}+A \cos (\varphi-\hat{\varphi}) .
\end{array}
\]

Здесь $A, \hat{\varphi}$ – произвольные постоянные. В силу интеграла энергии и первой формулы Клеро
\[
\begin{aligned}
v^{2} & =k+2 \mu \rho, \\
c^{2}\left(\frac{\mu^{2}}{c^{4}}+2 \frac{\mu A}{c^{2}} \cos (\varphi-\hat{\varphi})+A^{2}\right) & =k+2 \mu\left(\frac{\mu}{c^{2}}+A \cos (\varphi-\hat{\varphi})\right),
\end{aligned}
\]

откуда $c^{2} A^{2}=k+\mu^{2} / c^{2}$ и, наконец,
\[
r=\frac{p}{1+e \cos (\varphi-\widehat{\varphi})}, \quad p=\frac{c^{2}}{\mu}, \quad e=A p=\sqrt{1+\frac{k c^{2}}{\mu^{2}}} .
\]

Траектории суть гиперболы при $e>1(k>0)$, параболы при $e=1$ $(k=0)$, эллипсы при $0 \leqslant e<1 \quad\left(k^{*} \leqslant k<0\right)$, превращающиеся в окружности при $e=0\left(k=k^{*}\right)$. Все это – конические сечения с фокусом в начале координат. При $\varphi=\hat{\varphi}$ имеем направление на перицентр – ближайшую к началу координат точку орбиты.
Эллиптические орбиты можно задать уравнением
\[
|\mathrm{r}|+|\mathrm{r}-\mathrm{s}|=2 a,
\]

где s-радиус-вектор второго фокуса, $a$-большая полуось эллипса:
\[
a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}\right)=-\frac{\mu}{k},
\]

зависящая только от полной энергии.
Обратим внимание также на смысл величины $p$ : она равна радиусу $r^{*}$ круговой орбиты с данной постоянной площадей $c$. На эллиптической орбите точка достигает этого расстояния, будучи на угловом расстоянии от перицентра $\varphi-\hat{\varphi}= \pm \pi / 2$.

Величина $е$ называется эксцентриситетом (еа есть расстояние между фокусом и центром эллипса).

ЭЛЛИПС БЕЗОПАСНОСТИ. Построим множества достижимости в задаче Кеплера при $k<0$. Можно зафиксировать эту константу вместо начальной скорости или, что равносильно, большую полуось траектории. Имеем из (3)
\[
\left|\mathrm{r}_{0}\right|+\left|\mathrm{r}_{0}-\mathrm{s}\right|=2 a \text {. }
\]

Сложив с (3), получаем
\[
|\mathbf{r}|+\left|\mathrm{r}_{0}-\mathrm{s}\right|+|\mathrm{r}-\mathrm{s}|=4 a-\left|\mathrm{r}_{0}\right| .
\]

Поскольку
\[
\left|r_{0}-s\right|+|r-s| \geqslant\left|r-r_{0}\right| \text {, }
\]

выводим, что
\[
|\mathbf{r}|+\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right| \leqslant 4 a-\left|\mathbf{r}_{0}\right|,
\]
т. е. множество достижимости лежит внутри (5). Равенство как частный случай неравенства (4) реализуется на каждой траектории (прямая, проведенная через $\mathbf{r}_{0}$ и второй фокус $\mathbf{s}$, пересекает эллипс еще в одной точке). Следовательно, неравенство (5) определяет множество достижимости. Его граница
\[
\left\{|\mathrm{r}|+\left|\mathrm{r}-\mathrm{r}_{0}\right|=4 a-\left|\mathrm{r}_{0}\right|\right\}
\]

и называется эллипсом безопасности.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОВЕДЕНИИ ТРАЕКТОРИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ. Пусть $h$ некритическое значение приведенного потенциала $V_{c}$; рассмотрим движения, происходящие в связной компоненте $\mathfrak{R}_{c}{ }^{h}$ типа кольца:
\[
r_{1}(h) \leqslant r \leqslant r_{2}(h), \rho_{2}(h) \leqslant \rho \leqslant \rho_{1}(h) .
\]

Из первой формулы Клеро или леммы 2
\[
\frac{d \rho}{d \varphi}= \pm \sqrt{\frac{2}{m c^{2}}\left(h-V_{c}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)} .
\]

В этой формуле надо брать определенный знак, пока подкоренное выражение не обратится в нуль. При этом движение выходит на границу $\mathfrak{m}_{c}{ }^{h}$, затем $d \rho / d \varphi$ меняет направление изменения и следует взять уже противоположный знак. Таким образом, функция $\rho_{\star}(\varphi)$ получается периодической, а траектории, например, такими, как на рис. 52 . Величина
\[
\Phi_{c h}=\int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}\left[\frac{2}{m c^{2}}\left(h-V_{c}\left(\frac{1}{\rho}\right)\right)\right]^{-1 / 2} d \rho
\]

называется апсидальным углом. Траектории замкнуты, когда $\Phi_{c h} / \pi$-рациональное число; в противном случае они всюду плотно заметают кольцо. В задаче Кеплера $\Phi_{c h} \equiv л$, для гармонического осциллятора $\Phi_{c h} \equiv \pi / 2$. Других задач с постоянным апсидальным углом не существует.

Когда $r_{1}=0$ или $r_{2}=\infty$, движения не возвращаются близко к исходной точке и потому менее интересны. Хорошее представление о них дает
3адача 3. Классифицировать области возможности движения, траектории, вычислить апсидальный угол, когда потенциал $V=-\mu m / r+v m / 2 r^{2}$. Часть ответа: решение при $1+v / c^{2}>0$ имеет

вид
\[
\begin{array}{c}
\rho_{\bullet}=\frac{1}{p}(1+e \cos n(\theta-\hat{\theta})), \\
n=\sqrt{1+\frac{
u}{c^{2}}}, \quad p=\frac{c^{2}+v}{\mu}, \quad e=\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+\frac{k c^{2}}{\mu^{2}}} ;
\end{array}
\]

если $e<1$, то $\theta_{c h}=\pi / n$.