Начнем с классической натуральной системы. Из ее уравнений движения (11.51) видно, что состояние равновесия
\[
q(t) \equiv q_{\star}
\]

возможно тогда и только тогда, когда (ср. с темой 5)
\[
\left.\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right|_{q^{*}}=0 .
\]

Не уменьшая общности, можем считать $q_{\star}=0$.

Нас интересуют те движения, которые происходят вблизи состояния равновесия. Необходимый этап исследования близких к равновесию движений – это рассмотрение уравнений первого приближения. Вообще если есть система $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=f(x) \Leftrightarrow \frac{d x_{i}}{l d t}=f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

то $x=0$ есть состояние равновесия тогда и только тогда, когда $f(0)=0$. Разложим $f(x)$ в ряд Тейлора:
\[
f(x)=C x+O\left(|x|^{2}\right), \quad C=\frac{‘ \partial f}{\partial x}(0),
\]

и отбросим члены порядка выше первого. Получим линейную систему
\[
\dot{x}=C x,
\]

которая и называется первым приближением для системы $\dot{x}=$ $=f(x)$ в окрестности состояния равновесия $x=0$. Напомним, что свойства решений существенно зависят от распределения корней характеристического уравнения
\[
\operatorname{det}(C-\lambda E)=0 .
\]

Если все корни $\chi_{i}$ (вообще говоря, комплексные числа) различны и отличны от нуля, то общее решение первого приближения есть линейная комбинация частных решений вида:
\[
e^{\lambda_{i}{ }^{t}}\left(\begin{array}{c}
\xi_{1}^{(i)} \\
\vdots \\
\xi_{n}^{(i)}
\end{array}\right), \quad C \xi^{(i)}=\lambda_{i} \xi^{(i)} .
\]

Перейдем к уравнениям Лагранжа.
Теорема. Пусть $q_{*}=0, \dot{q}=0$ – состояние равновесия классической натуральной системы. Тогда уравнения первого приближения порождаются лагранжианом
\[
L_{0}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} b_{i j} q_{i} q_{j},
\]

коэффициенты которого образуют матрицы
\[
A=\left\|a_{i j}\right\|=\left\|a_{i j}(0)\right\|, B=\left\|b_{i j}\right\|=\left\|\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}(0)\right\| .
\]

Доказательство. Согласно (11.52), уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям первого порядка вида:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q}{d t}=\dot{q}, \\
\frac{d \dot{q}}{d t}=-A^{-1}(q) \frac{\partial V}{\partial^{\prime} q}-\Gamma(\dot{q}, q) .
\end{array}
\]

Нам надо линеаризовать их в окрестности состояния покоя $q=0$, $\dot{q}=0$. Верхние уравнения уже и так линейны, а нижние надо разложить в ряд Тейлора (сразу заметим, что слагаемые $\Gamma(\dot{q}, q)=$ $=O\left(\dot{q}^{2}\right)$ :
\[
\frac{d \dot{q}}{d t}=-\left(A^{-1}(0)+O(q)\right)\left(B q+O\left(q^{2}\right)\right)+O\left(q^{2}\right)=A^{-1} B q+O\left(q^{2}+\dot{q}^{2}\right) .
\]

Отсюда уравнения первого приближения суть
\[
\frac{d q}{d t}=\dot{q}, \quad \frac{d \dot{q}}{d t}=-A^{-1} B q .
\]

Возвращаясь к уравнениям второго порядка, имеем
\[
A \ddot{q}+B q=0,
\]

что и требовалось. Отметим дополнительно, что $L_{0}$ получается из лагранжиана $L$ разложением его в ряд Тейлора по $\dot{q}, q$ и отбрасыванием членов порядка выше второго.

Чтобы описать движения в первом приближении, нам потребуется вторая теорема об эквивалентности и
факт из линейной алгебры:

если имеются две квадратичные формы
\[
\varphi=\Sigma a_{i j} x_{i} x_{i}, \quad \psi=\boldsymbol{\Sigma} b_{i j} x_{i} x_{i},
\]

причем первая из них положительно определена, то существует невырожденная замена переменных
\[
x=S \xi\left\lfloor\left( x_{i}=\sum_{\alpha} S_{i} \alpha \xi \alpha,\right.\right.
\]

такая, что после подстановки
\[
\varphi=\Sigma \xi_{\alpha}^{2}, \quad \psi=\Sigma \Lambda_{\alpha} \xi_{\alpha}^{2} .
\]

При этом $\Lambda_{i}-$ корни уравнения $\operatorname{det}(\Lambda A-B)=0$.
Применим это преобразование к лагранжиану $L_{0}$ и положим $q=S \xi$, тогда $\dot{q}=S \dot{\xi}$, так что
\[
L^{*}=\frac{1}{2} \Sigma \dot{\xi}_{\alpha}^{2}-\frac{1}{2} \Sigma \Lambda_{\alpha} \xi_{\alpha}^{2},
\]

а система уравнений первого приближения приняла вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}_{1}+\Lambda_{1} \xi_{1}=0, \\
\dot{\xi}_{n}+\Lambda_{n} \xi_{n}=0 .
\end{array}
\]

Ее частные решения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\xi_{1}=\xi_{2}=\ldots \xi_{k-1}=\xi_{k+1}=\ldots=\xi_{n} \equiv 0, \\
\xi_{k}=\left\{\begin{array}{c}
e^{\sqrt{\Lambda_{k}} t} \text { или } e^{-\sqrt{\Lambda_{k}} t}, \Lambda_{k}>0, \\
1 \text { или } t, \Lambda_{k}=0, \\
\cos \sqrt{-\Lambda_{k}} t \text { или } \sin \sqrt{-\Lambda_{k}} t, \Lambda_{k}<0 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Свойства линеаризованной системы полностью определяются характером частных решений. Например, устойчивость ее (т. е. ограниченность всех решений) гарантируется условием $\Lambda_{k}<0$, когда все собственные числа $\pm i \sqrt{-\boldsymbol{\Lambda}_{k}}$ получаются чисто мнимыми (тогда $V$ имеет минимум в точке 0 ). В переменных $q$ в этом случае возможны нормальные колебания:
\[
q^{(k)}(t)=\left(c_{k}^{\prime} \cos \omega_{k} t+c_{k}^{\prime \prime} \sin \omega_{k} t\right) \rho^{(k)}, \omega_{k}=V \overline{-\Lambda_{k}},
\]

где $\rho^{(k)}$ собственный вектор матрицы $-\omega_{k}{ }^{2} A+B$ :
\[
\left(-\omega_{k}^{2} A+B\right) \rho^{(k)}=0 .
\]

Переменные $\xi_{k}$ называются нормальными координатами.
Из теорем о первом приближении вытекает, что при $\Lambda_{k}
eq 0$ уравнения (4) в ряде вопросов дают неплохое представление о поведении решений точной системы. Особенно важна роль этого приема на практике, где ценность всякого приближения усиливается тем, что фактически важно поведение решений лишь на каком-то конечном интервале времени.

Линеаризация в случае (автономных) обобщенно-натуральных систем сложнее. К уравнениям (11.51) добавляются члены
\[
\sum_{\ell k}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{i} .
\]

Состояние равновесия по-прежнему имеем при условии $\frac{\partial V}{\partial q}=0$, а уравнения первого приближения получают вид
\[
A \ddot{q}+C \dot{q}+B q=0,
\]

где
\[
C=\left.\left\|\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}\right\|\right|_{q=0} .
\]

Хотя достаточные условия устойчивости можно принять те же самые: корни характеристического уравнения
\[
\operatorname{det}\left(A \lambda^{2}+C \lambda+B\right)=0,
\]

должны быть ненулевыми и числа мнимыми:
\[
\lambda= \pm i \omega, \omega=\omega_{1}, \ldots, \omega_{n},
\]

соответствующие семейства частных решений будут
\[
q(t)=\left(c^{\prime} \cos \omega t+c^{\prime \prime} \sin \omega t\right) \rho+\left(-c^{\prime} \sin \omega t+c^{\prime \prime} \cos \omega t\right) \sigma,
\]

где векторы $\sigma$ и $\rho$ удовлетворяют системе
\[
\left(-A \omega^{2}+B\right) \rho-C \omega \sigma=0, \quad C \omega \rho+\left(-A \omega^{2}+B\right), \sigma=0
\]
(для доказательства искать частные решения в виде $e^{\lambda t}(\rho+i \sigma)$ и учесть, что $\lambda= \pm i \omega)$.

Таким образом, в общем случае будем иметь не колебания (8). вдоль вектора $\rho$, а движение по замкнутым кривым в плоскости

векторов $\rho$ и $\sigma$, как у особой точки типа «центр». Подчеркнем: речь идет только о некоторых частных решениях; в той же плоскости векторов $\rho$ и $\sigma$ вполне возможны совсем другие решения (положим, например, $n=2$ !). В пространстве переменных $q$ получается до $n$ таких плоскостей, которые, конечно, будут пересекаться (у эквивалентной системы первого порядка в пространстве $q, \dot{q}$ имеются инвариантные плоскости, которые, конечно, не пересекаются; пересечения возникают после проектирования их в пространство $q$ ).