Локальные координаты
\[
\left(z_{1}, \ldots, z_{2 n}\right)=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)
\]

называются каноническими, если
\[
\Omega=-\sum_{i=1}^{n} d p_{i} \wedge d q_{i} .
\]

Ненулевыми элементами матрицы коэффициентов $\Omega$ являются $\Omega_{i, n+i}=-1, \Omega_{n+i, i}=1$, так что
\[
\left\|\Omega_{i j}\right\|=I, J=-I^{-1}=I,
\]

где $I$ — симплектическая единица из $\S 17$. Далее,
1) в каждом касательном пространстве имеем симплектическую структуру, причем векторные поля
\[
\frac{\partial}{\partial p_{1}}, \cdots, \frac{\partial}{\partial p_{n}}, \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q_{n}}
\]

в каждой точке образуют симплектический базис;

2) полю $\overleftarrow{H}$ соответствует система дифференциальных уравнений
\[
\left(\begin{array}{c}
\frac{d z_{1}}{d t} \\
\vdots \\
\frac{d z_{2 n}}{d t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E_{n} \\
\\
E_{n} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial z_{1}} \\
\cdot \\
\cdot \\
\frac{\partial H}{\partial z_{2 n}}
\end{array}\right)=I \frac{\partial H}{\partial z},
\]

так что гамильтоновы векторные поля — это инвариантный объект, замещающий уравнения Гамильтона;
3) скобка Пуассона принимает обычный вид:
\[
(F, G)=\frac{\partial F}{\partial z} \cdot I \frac{\partial G}{\partial z}=\boldsymbol{\sum}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right) .
\]

То, что замкнутая форма $\Omega$ локально точна в канонических координатах видно непосредственно. В самом деле,
\[
\Omega=-d\left(\sum_{i} p_{i} d q_{i}\right)
\]

Форма $\omega=\Sigma p_{i} d q_{i}$ понадобится нам в следующем параграфе. Заметим, не вникая в подробности, что в случае классических натуральных механических систем она корректно определена глобально.

ПЛЮС ИЛИ МИНУС? В литературе по каноническому формализму полностью отсутствует единообразие выбора знаков в определениях основных объектов: скобки Пуассона, симплектической единицы, канонической 2 -формы и т. д.

Дело в том, что по ряду причин следовало бы изменить знак функции Гамильтона. Поскольку это невозможно, каждому пишущему о гамильтоновом формализме приходится в одиночку бороться с появляющимися то там то здесь минусами.

В этих лекциях принят такой подход: импульсы важнее координат (реальный гамильтониан обязательно зависит от импульсов, но может не зависеть от координат), следовательно, импульсы обозначаются предшествующей буквой алфавита, пишутся первыми, рисуются по вертикали; время пишется последним, так как в реальных гамильтонианах появляется относительно редко. Итак,
\[
H=H(p, q, t) .
\]

Уравнения Гамильтона
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} \\
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{d}{d t}\left(\begin{array}{c}
p \\
q
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E \\
E & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\frac{\partial H}{\partial q}
\end{array}\right),
\]

причем первые строчки суть преобразованные законы Ньютона $\left(H=T+V\right.$, так что $\left.\dot{p}=-\frac{\partial V}{\partial q}+\ldots\right)$. Видим, что
\[
I=\left(\begin{array}{cc}
0 & -E \\
E & 0
\end{array}\right) .
\]

Скобка Пуассона имеет вид, принятый в большинстве учебников:
\[
(F, G)=\left(\frac{\partial F}{\partial p}, \frac{\partial F}{\partial q}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & -E \\
E & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial G}{\partial p} \\
\frac{\partial G}{\partial q}
\end{array}\right)=\sum_{i}\left(-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}+\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}\right),
\]

причем слагаемые со знаком минус поставлены первыми для того, чтобы $p_{i}$ писать раньше $q_{i}$ и одновременно $F$ раньше $G$. Аналогично кососкалярное произведение и каноническая структура даются матричной формулой
\[
\Omega(\mathbf{a}, \mathbf{b})=\left(A_{1}, \ldots, A_{2 n}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & -E_{n} \\
E_{n} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
B_{1} \\
\cdot \\
\cdot \\
B_{2 n}
\end{array}\right),
\]

где базисные векторы, по которым раскладываются $a$ и $b$, стоят в принятом нами порядке: $\frac{\partial}{\partial p_{1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial q_{n}}$. Отсюда
\[
\Omega=-\sum_{i} d p_{i} \wedge d q_{i},
\]

причем знак минус опять поставлен для того, чтобы импульсы написать первыми. Отметим случаи «не тех знаков»:
\[
\begin{array}{c}
\overleftarrow{H}(F)=(F, H), \\
\left(p_{i}, q_{i}\right)=-1 .
\end{array}
\]

Наконец, мы имеем
\[
[\overleftarrow{F}, \overleftarrow{G}]=(\overleftarrow{F, G})
\]

за счет того, что скобка Ли
\[
[X, Y]=Y X-X Y
\]
(в большинстве учебников знак другой).
Теперь нам надо увериться в том, что канонические координаты существуют всегда. Мы сделаем это в два этапа.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОПОЛНЕНИИ.

Пусть имеется п независимых функций в инволюции:
\[
\left(\Phi_{i}, \Phi_{j}\right) \equiv 0, i=1, \ldots, n \text {. }
\]

Тогда существуют еще $n$ функций $\Psi_{1}, \ldots, \Psi_{n}$ таких, что набор $\left(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n}, \Psi_{1}, \ldots, \Psi_{n}\right)$ является канонической системой координат (в частности, функции $\Psi_{i}$ также попарно в инволюции).

Доказательство. Поскольку $\left[\stackrel{\leftarrow}{\Phi}_{i}, \stackrel{\leftarrow}{\Phi}_{j}\right]=\left(\stackrel{\leftrightarrow}{\Phi}_{i}, \Phi_{j}\right) \equiv 0$ в силу основного свойства коммутирующих полей существуют такие координаты $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$, что $\overleftarrow{\Phi}_{i}=\frac{\partial}{\partial \xi_{i}} \cdot$ Отсюда
\[
\left(\xi_{i}, \Phi_{j}\right)=\overleftarrow{\Phi}_{j}\left(\xi_{i}\right)=\frac{\partial \xi_{i}}{\partial \xi_{j}}=\delta_{i j} .
\]

Лемма о невырожденности. Пусть $2 n$ функций $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{2 n}$ имеют невырожденную матрицу попарных скобок Пуассона:
\[
((\zeta ; \zeta))=\left\|\left(\zeta_{i}, \zeta_{j}\right)\right\| \text {. }
\]

Тогда невырождена матрица Якоби этих функций
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial z}=\left\|\frac{\partial \zeta_{j}}{\partial z_{i}}\right\| \text {, }
\]

и их можно принять за координаты. В самом деле, из (18.16)
\[
((\zeta, \zeta))=\left(\frac{\partial \zeta}{\partial z}\right)^{*} J\left(\frac{\partial \zeta}{\partial z}\right), \operatorname{det} J
eq 0 .
\]

В нашем частном случае в силу (4) и (5) невырождена матрица
\[
((\Phi, \xi ; \Phi, \xi))=\left\|\begin{array}{cc}
0 & -E \\
E & \Lambda
\end{array}\right\|, \Lambda=? .
\]

Дальнейшее рассмотрение поведем в кооринатах $\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n}$, $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$. Уточним структуру матрицы $\Lambda$ в (6). Заметим, что
\[
\left(\xi_{i}, \xi_{j}\right)=\lambda_{i j}(\Phi),
\]

так как в силу тождества Пуассона и (5)
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \lambda_{i j}}{\partial \xi_{k}}=\left(\left(\xi_{i}, \xi_{j}\right), \Phi_{k}\right)=-\left(\left(\Phi_{k}, \xi_{i}\right), \xi_{j}\right)+\left(\left(\Phi_{k}, \xi_{j}\right) \xi_{i}\right)= \\
=\left(\delta_{k i}, \xi_{i}\right)-\left(\delta_{k j}, \xi_{i}\right) \equiv 0 .
\end{array}
\]

В координатах $Ф, \xi$ матрица $J$ равна (6). Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\left\|\Omega_{i j}\right\|=-J^{-1}=\left\|\begin{array}{cc}
-\Lambda & -E \\
E & 0
\end{array}\right\|, \\
\Omega=-\sum_{i} d \Phi_{i} \wedge d \xi_{i}-\sum_{i<j} \lambda_{i j}(\Phi) d \Phi_{i} \wedge d \Phi_{i} .
\end{array}
\]

Первое слагаемое само по себе есть замкнутая форма (ср. с (3)). Следовательно, замкнутой формой является и второе слагаемое:
\[
\sum_{i<j} \lambda_{i j} d \Phi_{i} \wedge d \Phi_{i}=d\left(\sum_{i} f_{i}(\Phi) d \Phi_{i}\right) .
\]

Форма $\Omega$ приводится к виду
\[
\Omega=d\left(\sum_{i} \xi_{i} d \Phi_{i}\right)-d\left(\sum_{i} f_{i} d \Phi_{i}\right)=d\left(\sum_{i}\left(\xi_{i}-f_{i}(\Phi)\right) d \Phi_{i}\right) .
\]

Осталось положить
\[
\Psi_{i}=\xi_{i}-f_{i}(\Phi),
\]

и мы получим искомые канонические координаты.
Примечание на будущее. Если в выражении функции $\varphi(Ф, \xi)$ мы сделаем замену (7), то, очевидно, $\frac{\partial \varphi}{\partial \Psi_{i}}=\frac{\partial \varphi}{\partial \xi_{i}}$. Отсюда
\[
\overleftarrow{\Phi}_{i}=\frac{\partial}{\partial \Psi_{i}}
\]

в координатах $Ф, \Psi$.

ТЕОРЕМА ДАРБУ.

В окрестности каждой точки канонического многообразия существуют канонические координаты.

Доказательство. Нам достаточно убедиться в локальном существовании $n$ функций в инволюции. Но справедливо даже более сильное индуктивное утверждение:

если имеется $k<n$ независимых функций в инволюции $\Phi_{1}, \ldots$ $\ldots, \Phi_{k}$, то существует независимая от них $\Phi_{k+1}$ такая, что $\left(\Phi_{i}, \Phi_{k+1}\right) \equiv 0$ (ясно, что одну функцию в инволюции мы всегда можем предъявить, поскольку ( $Ф, \Phi) \equiv 0$ ). Действительно, в некоторых координатах $\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}, \eta_{1}, \ldots, \eta_{2 n-k}$ имеем, как и выше, $\stackrel{\leftarrow}{\boldsymbol{\Phi}}_{i}=\frac{\partial}{\partial \xi_{i}} \cdot$ При этом
\[
\Phi_{i}=\Phi_{i}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{2 n-k}\right),
\]

в силу того что
\[
\frac{\partial \Phi_{i}}{\partial \xi_{j}}=\overleftarrow{\Phi}_{i}\left(\Phi_{i}\right)=\left(\Phi_{i}, \Phi_{j}\right) \equiv 0 .
\]

Поскольку $k<2 n-k$, существует функция $\Phi_{k+1}(\eta)$, независимая с $\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{k}$. Тогда
\[
\left(\Phi_{k+1}, \Phi_{i}\right)=\frac{\partial \Phi_{k+1}}{\partial \xi_{i}} \equiv 0,
\]

что и требовалось.

ЛЕММА КАРАТЕОДОРИ.

Рассмотрим замену переменных
\[
\begin{array}{l}
P_{k}=q_{k}, Q_{k}=-p_{k}, k=j_{1}, \ldots, j_{m}, \\
P_{k}=p_{k}, Q_{k}=q_{k}, k
eq j_{1}, \ldots, j_{m} .
\end{array}
\]

Ясно, что переменные $P, Q$ — тоже канонические. Замена называется канонической перестановкой по индексам $j_{1}, \ldots, j_{m}$.

Если есть $n$ функций в инволюции $F_{1}, \ldots, F_{n}$, независимых в точке $z$, то в ее окрестности существует такая каноническая перестановка, что в новых переменных
\[
\operatorname{det} \frac{\partial F}{\partial P}=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial F_{i}}{\partial P_{j}}\right\|
eq 0 \text {. }
\]

Доказательство. Матрица Якоби в точке $z$
\[
\frac{\partial^{F}}{\partial(p, q)}=\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial F_{1}}{\partial p_{1}} & & \frac{\partial F_{n}}{\partial p_{1}} \\
\vdots & & : \\
\frac{\partial \dot{F}_{1}}{\partial p_{n}} & & \frac{\partial F_{n}}{\partial p_{n}} \\
\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{n}}{\partial q_{1}} \\
\vdots & & \cdot \\
\dot{\dot{F}_{1}} & & \frac{\partial F_{n}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\|
\]

имеет ранг $n$. Следовательно, у нее есть невырожденные миноры порядка $n$ (хотя бы один) вида
\[
\frac{\partial F}{\partial\left(p_{i_{1}}, \ldots, p_{i_{l}}, q_{j_{1}}, \ldots, q_{j_{m}}\right)}, l+m=n .
\]

Существо леммы в том, что можно подобрать минор так, чтобы
\[
i_{\alpha}
eq j_{\beta} \text {. }
\]

Вообще, невырожденный минор любой матрицы $M$ можно искать методом окаймления: выстраивается цепочка невырожденных миноров
\[
M_{1} \subset M_{2} \subset \ldots \subset M_{k} \subset \ldots \subset M_{n},
\]

причем в качестве $M_{1}$ можно взять любой ненулевой элемент матрицы M. В нашем случае мы знаем, что ранг матрицы (11) максимален, так что ненулевой элемент имеется.в первом столбце. Далее, минор $M_{2}$ можно выбрать из первых двух столбцов; $M_{3}$ из первых трех и т. д. Будем действовать методом окаймления, но с дополнительным условием: если к минору $M_{k}$ присоединяется часть строки $\frac{\partial F}{\partial p_{i}}$ или $\frac{\partial F}{\partial q_{j}}$ (и, разумеется, часть $(k+1)$-го столбца), то дополнительно будем вычеркивать всю строку $\frac{\partial F}{\partial q_{i}}$ или $\frac{\partial F}{\partial p_{j}}$ соответственно (в этом и состоит эффективное наращивание непересекающихся множеств $\left\{i_{\alpha}\right\}$ и $\left\{j_{\beta}\right\}$ ).

Допустим, что таким методом мы не сможем получить ненулевого минора порядка $n$. С точностью до канонической перестановки это значит, что
\[
\operatorname{det} \frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right)}{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)}
eq 0
\]

и
\[
\operatorname{rang} \frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)}{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{k+1}, \ldots, q_{n}\right)}=k<n \text {. }
\]

Зафиксируем произвольно $q_{1}, \ldots, q_{k}$. Утверждения (12), (13) означают, что сужения функций $F_{i}$ на подмногообразия $q_{1}, \ldots, q_{k}=$ $=$ const зависимы, так что
\[
F_{k+i}=\varphi_{i}\left(F_{1}, \ldots, F_{k}, q_{1}, \ldots, q_{k}\right),
\]

где $\varphi_{i}$ — некоторые гладкие функции. Вычислим теперь скобки Пуассона:
\[
\left(F_{k+i}, F_{\alpha}\right)=\sum_{\mu=1}^{k} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial F_{\mu}}\left(F_{\mu}, F_{\alpha}\right)+\sum_{\mu=1}^{k} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{\mu}}\left(q_{\mu}, F_{\alpha}\right)=\sum_{\mu=1}^{k} \frac{\partial \rho_{i}}{\partial q_{\mu}} \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial p_{\mu}} \equiv 0 .
\]

В силу (12) отсюда следует, что $\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial q_{\mu}} \equiv 0$, так что
\[
F_{k+i}=\varphi_{i}\left(F_{1}, \ldots, F_{k}\right) .
\]

Это значит, что функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ зависимы. Противоречие.